• 268.50 KB
  • 2021-06-16 发布

【数学】2018届一轮复习北师大版坐标系(理)教案

  • 9页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
选修4-4 坐标系与参数方程 第一节 坐标系 ‎[考纲传真] 1.理解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.‎ ‎1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.‎ ‎2.极坐标系的概念 ‎(1)极坐标系 如图1所示,在平面内取一个定点O,叫作极点,从O点引一条射线Ox,叫作极轴,选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向).这样就确定了一个平面极坐标系,简称为极坐标系.‎ 图1‎ ‎(2)极坐标 ‎①极径:设M是平面内任意一点,用ρ表示线段OM的长,ρ叫作点M的极径.‎ ‎②极角:以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫作点M 的极角,记为θ.‎ ‎③极坐标:有序实数对(ρ,θ)叫作点M的极坐标,记作M(ρ,θ).‎ ‎3.极坐标与直角坐标的互化 设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),则它们之间的关系为:‎ ‎4.圆的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为r的圆 ρ=r(0≤θ<2π)‎ 圆心为(r,0),半径为r的圆 ρ=2rcos_θ 圆心为,半径为r的圆 ρ=2rsin_θ(0≤0<π)‎ ‎5.直线的极坐标方程 ‎(1)直线l过极点,且极轴到此直线的角为α,则直线l的极坐标方程是θ=α(ρ∈R).‎ ‎(2)直线l过点M(a,0)且垂直于极轴,则直线l的极坐标方程为ρcos θ=a.‎ ‎(3)直线过M且平行于极轴,则直线l的极坐标方程为ρsin_θ=b(0<θ<π).‎ ‎1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系,在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系. (  )‎ ‎(2)若点P的直角坐标为(1,-),则点P的一个极坐标是.(  )‎ ‎(3)在极坐标系中,曲线的极坐标方程不是唯一的. (  )‎ ‎(4)极坐标方程θ=π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线. (  )‎ ‎[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×‎ ‎2.(教材改编)若以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为(  )‎ ‎【导学号:57962483】‎ A.ρ=,0≤θ≤ B.ρ=,0≤θ≤ C.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤ D.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤ A [∵y=1-x(0≤x≤1),‎ ‎∴ρsin θ=1-ρcos θ(0≤ρcos θ≤1),‎ ‎∴ρ=.]‎ ‎3.(教材改编)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为ρ=2sin θ,则曲线C的直角坐标方程为________.‎ x2+y2-2y=0 [由ρ=2sin θ,得ρ2=2ρsin θ.‎ 所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0.]‎ ‎4.已知直线l的极坐标方程为2ρsin=,点A的极坐标为A,则点A到直线l的距离为________.‎  [由2ρsin=,得2ρ=,‎ ‎∴y-x=1.‎ 由A,得点A的直角坐标为(2,-2).‎ ‎∴点A到直线l的距离d==.]‎ ‎5.(2015·江苏高考)已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin-4=0,求圆C的半径.‎ ‎[解] 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O,以极轴为x轴的正半轴,建立直角坐标系xOy. 2分 圆C的极坐标方程可化为ρ2+2ρ-4=0, 4分 化简,得ρ2+2ρsin θ-2ρcos θ-4=0. 6分 则圆C的直角坐标方程为x2+y2-2x+2y-4=0,‎ 即(x-1)2+(y+1)2=6,‎ 所以圆C的半径为. 10分 平面直角坐标系中的伸缩变换 ‎ ‎ ‎ 将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.‎ ‎(1)求曲线C的方程;‎ ‎(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.‎ ‎[解] (1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为曲线C上的点(x,y),依题意,得 2分 由x+y=1得x2+=1,‎ 故曲线C的方程为x2+=1. 5分 ‎(2)由解得或 6分 不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为,所求直线斜率为k=, 8分 于是所求直线方程为y-1=,‎ 化为极坐标方程,并整理得2ρcos θ-4ρsin θ=-3,‎ 故所求直线的极坐标方程为ρ=. 10分 ‎[规律方法] 1.解答该类问题应明确两点:一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用;二是明确变换前的点P(x,y)与变换后的点P′(x′,y′)的坐标关系,利用方程思想求解.‎ ‎2.求交点坐标,得直线方程,最后化为极坐标方程,其实质是将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入转化.‎ ‎[变式训练1] 在平面直角坐标系中,已知伸缩变换φ: ‎(1)求点A经过φ变换所得点A′的坐标;‎ ‎(2)求直线l:y=6x经过φ变换后所得直线l′的方程.‎ ‎[解] (1)设点A′(x′,y′),由伸缩变换 φ:得 2分 ‎∴x′=×3=1,y′==-1.‎ ‎∴点A′的坐标为(1,-1). 5分 ‎(2)设P′(x′,y′)是直线l′上任意一点.‎ 由伸缩变换φ:得 8分 代入y=6x,得2y′=6·=2x′,‎ ‎∴y′=x′为所求直线l′的方程. 10分 极坐标与直角坐标的互化 ‎ (2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求C1,C2的极坐标方程;‎ ‎(2)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.‎ ‎[解] (1)因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以C1的极坐标方程为ρcos θ=-2,C2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0. 4分 ‎(2)将θ=代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得 ρ2-3ρ+4=0,解得ρ1=2,ρ2=. 8分 故ρ1-ρ2=,即|MN|=.‎ 由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为. 10分 ‎[迁移探究1] 若本例条件不变,求直线C1与C2的交点的极坐标.‎ ‎[解] 联立方程 解得θ=且ρ=-2. 6分 所以交点的极坐标为. 10分 ‎[迁移探究2] 本例条件不变,求圆C2关于极点的对称圆的方程.‎ ‎[解] 因为点(ρ,θ)与点(-ρ,θ)关于极点对称,‎ 设点(ρ,θ)为对称圆上任意一点,则(-ρ,θ)在圆C2上,‎ 所以(-ρ)2+2ρcos θ+4ρsin θ+4=0. 6分 故所求圆C2关于极点的对称圆的方程为x2+y2+2x+4y+4=0. 10分 ‎[规律方法] 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是灵活应用互化公式:x=ρcos θ,y=ρsin θ,ρ2=x2+y2,tan θ=(x≠0).‎ ‎2.进行极坐标方程与直角坐标方程互化时,要注意ρ,θ的取值范围及其影响;要善于对方程进行合理变形,并重视公式的逆向与变形使用;要灵活运用代入法和平方法等方法.‎ ‎[变式训练2] (2016·北京高考改编)在极坐标系中,已知极坐标方程C1:ρcos θ-ρsin θ-1=0,C2:ρ=2cos θ.‎ ‎(1)求曲线C1,C2的直角坐标方程,并判断两曲线的形状;‎ ‎(2)若曲线C1,C2交于A,B两点,求两交点间的距离.‎ ‎[解] (1)由C1:ρcos θ-ρsin θ-1=0,‎ ‎∴x-y-1=0,表示一条直线. 2分 由C2:ρ=2cos θ,得ρ2=2ρcos θ,‎ ‎∴x2+y2=2x,则(x-1)2+y2=1.‎ ‎∴C2是圆心为(1,0),半径r=1的圆. 4分 ‎(2)由(1)知点(1,0)在直线x-y-1=0上,‎ 因此直线C1过圆C2的圆心. 6分 ‎∴两交点A,B的连线段是圆C2的直径.‎ 因此两交点A,B间的距离|AB|=2r=2. 10分 直线与圆的极坐标方程的应用 ‎ (2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ.‎ ‎(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;‎ ‎(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.‎ ‎[解] (1)消去参数t得到C1的普通方程为x2+(y-1)2=a2,则C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆. 2分 将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a2=0. 4分 ‎(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组 若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,‎ 由已知tan θ=2,得16cos2θ-8sin θcos θ=0, 8分 从而1-a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.‎ 当a=1时,极点也为C1,C2的公共点,且在C3上.‎ 所以a=1. 10分 ‎[规律方法] 1.第(1)问将曲线C1的参数方程先化为普通方程,再化为极坐标方程,考查学生的化归与转化能力.第(2)问中关键是理解极坐标方程,有意识地将问题简单化,进而求解.‎ ‎2.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时,如果不能直接用极坐标方程解决,可先转化为直角坐标方程,然后求解.‎ ‎[变式训练3] (2017·太原市质检)已知曲线C1:x+y=和C2:(φ为参数).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,且两种坐标系中取相同的长度单位.‎ ‎(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程;‎ ‎(2)设C1与x,y轴交于M,N两点,且线段MN的中点为P.若射线OP与C1,C2交于P,Q两点,求P,Q两点间的距离.‎ ‎【导学号:57962484】‎ ‎[解] (1)曲线C1化为ρcos θ+ρsin θ=.‎ ‎∴ρsin=. 2分 曲线C2化为+=1.(*)‎ 将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入(*)式 得cos2θ+sin2θ=1,即ρ2(cos2θ+3sin2θ)=6.‎ ‎∴曲线C2的极坐标方程为ρ2=. 4分 ‎(2)∵M(,0),N(0,1),∴P,‎ ‎∴OP的极坐标方程为θ=, 6分 把θ=代入ρsin=得ρ1=1,P.‎ 把θ=代入ρ2=得ρ2=2,Q. 8分 ‎∴|PQ|=|ρ2-ρ1|=1,即P,Q两点间的距离为1. 10分 ‎[思想与方法]‎ ‎1.曲线的极坐标方程与直角坐标方程互化:对于简单的可以直接代入公式ρcos θ=x,ρsin θ=y,ρ2=x2+y2‎ ‎,但有时需要作适当的变化,如将式子的两边同时平方,两边同乘以ρ等.‎ ‎2.确定极坐标方程的四要素:‎ 极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向,四者缺一不可.‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1.平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的,但点的极坐标的表示形式不唯一.极坐标与P点之间不是一一对应的,所以我们又规定ρ≥0,0≤θ<2π,来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的,但仍然不包括极点.‎ ‎2.进行极坐标方程与直角坐标方程互化时,应注意两点:‎ ‎(1)注意ρ,θ的取值范围及其影响.‎ ‎(2)重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用.‎