【数学】2018届一轮复习北师大版三角函数的图象与性质教案 14页

第 1 讲　三角函数的图象与性质 　　　　　　　　三角函数的定义、诱导公式及基本关系 自主练透　夯实双基 1．三角函数：设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，则 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝ y x.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2．同角关系：sin2α＋cos2α＝1， sin α cos α＝tan α. 3．诱导公式：在 kπ 2 ＋α，k∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”． [题组通关] 1．已知 cos(π 2＋φ )＝－ 3 2 ，且角 φ 的终边上有一点(2，a)，则 a＝(　　) A．－ 3　　　　　　　　　 B．2 3 C．±2 3 D. 3 B　[解析] 由 cos(π 2＋φ )＝－ 3 2 得 sin φ＝ 3 2 ，则 a 4＋a2＝ 3 2 ，解得 a＝2 3. 2．已知角 α 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边上一点 P(－4，3)，则 cos(π 2＋α )sin（－π－α） cos(11π 2 －α)sin(9π 2 ＋α) 的值为________． [解析] 原式＝ －sin α·sin α －sin α·cos α＝tan α.根据三角函数的定义，得 tan α＝ y x＝－ 3 4，所以 原式＝－ 3 4. [答案] － 3 4 3．(2016·高考全国卷乙)已知 θ 是第四象限角，且 sin(θ＋π 4 )＝ 3 5，则 tan(θ－π 4 )＝________． [解析] 法一：因为 sin (θ＋π 4 )＝ 3 5，所以 cos(θ－π 4 )＝sin[π 2＋(θ－π 4 )]＝sin(θ＋π 4 )＝ 3 5， 因为 θ 为第四象限角，所以－π 2＋2kπ＜θ＜2kπ，k∈Z，所以－ 3π 4 ＋2kπ＜θ－ π 4＜2kπ－π 4， k∈Z，所以 sin(θ－π 4 )＝－ 1－(3 5 )2 ＝－ 4 5，所以 tan(θ－π 4 )＝ sin(θ－π 4 ) cos(θ－π 4 ) ＝－ 4 3. 法二：因为 θ 是第四象限角，且 sin(θ＋π 4 )＝ 3 5，所以 θ＋π 4为第一象限角，所以 cos(θ＋π 4 ) ＝ 4 5，所以 tan(θ－π 4 )＝ sin(θ－π 4 ) cos(θ－π 4 ) ＝ －cos[π 2＋(θ－π 4 )] sin[π 2＋(θ－π 4 )] ＝－ cos(θ＋π 4 ) sin(θ＋π 4 ) ＝－ 4 3. [答案] － 4 3 应用三角函数的概念和诱导公式的注意事项 (1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决，机械地使用三角函 数的定义就会出现错误． (2)应用诱导公式与同角关系开方运算时，一定注意三角函数的符号；利用同角三角函 数的关系化简要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等． 　　　　　　　　　　　　　三角函数的图象与解析式 高频考点　多维探明 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象 (1)“五点法”作图 设 z＝ωx＋φ，令 z＝0，π 2，π，3π 2 ，2π，求出 x 的值与相应的 y 的值，描点、连线可得． (2)图象变换 y＝sin x ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ―→向左（φ＞0）或向右（φ＜0） 平移|φ|个单位 y＝sin(x＋φ) ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ―→横坐标变为原来的（ω＞0）倍 纵坐标不变 y＝sin(ωx＋φ) ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ―→纵坐标变为原来的A（A＞0）倍 横坐标不变 y＝Asin(ωx＋φ)． 　由函数图象求解析式或求值 (2016·高考全国卷甲)函数 y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　) A．y＝2sin(2x－π 6)　　　　 B．y＝2sin(2x－π 3) C．y＝2sin(x＋π 6 ) D．y＝2sin(x＋π 3 ) 【解析】　由题图易知 A＝2，因为周期 T 满足 T 2＝π 3－(－π 6 )，所以 T＝π，ω＝ 2π T ＝2. 由 x＝π 3时，y＝2 可知 2×π 3＋φ＝π 2＋2kπ(k∈Z)，所以 φ＝－π 6＋2kπ(k∈Z)，结合选项可知函 数解析式为 y＝2sin(2x－π 6). 【答案】A 　三角函数的图象变换 (1)(2016·高考全国卷乙)将函数 y＝2sin (2x＋π 6)的图象向右平移 1 4个周期后，所得 图象对应的函数为(　　) A．y＝2sin(2x＋π 4) B．y＝2sin(2x＋π 3) C．y＝2sin(2x－π 4) D．y＝2sin(2x－π 3) (2)(2016·武汉市武昌区调研)已知函数 f(x)＝2sin (ωx＋π 6)－1(ω>0)的图象向右平移 2π 3 个 单位后与原图象重合，则 ω 的最小值是(　　) A．3 B. 3 2 C. 4 3 D. 2 3 【解析】　(1)函数 y＝2sin (2x＋π 6)的周期为 π，所以将函数 y＝2sin (2x＋π 6)的图象向右 平移π 4个单位长度后，得到函数图象对应的解析式为 y＝2sin [2(x－π 4 )＋π 6] ＝2sin(2x－π 3).故选 D. (2)将 f(x)的图象向右平移 2π 3 个单位后得到图象的函数解析式为 2sin[ω(x－2π 3 )＋π 6]－1＝ 2sin(ωx－2ωπ 3 ＋π 6)－1，所以2ωπ 3 ＝2kπ，k∈Z，所以 ω＝3k，k∈Z，因为 ω>0，k∈Z，所以 ω 的最小值为 3. 【答案】　(1)D　(2)A 解决三角函数图象问题的方法及注意事项 (1)已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图 中的最高点、最低点或特殊点求 A；由函数的周期确定 ω；确定 φ 常根据“五点法”中的五 个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位 置． (2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换，变换只是相对于其中 的自变量 x 而言的，如果 x 的系数不是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和 方向． [题组通关] 1.(2016· 石 家 庄 市 第 一 次 模 考 ) 函 数 f(x) ＝ Asin(ωx ＋ φ) (A > 0，ω > 0，|φ| < π 2)的部分图象如图所示，则 f (11π 24 )的值为(　　) A．－ 6 2 　　　　　　　　 B．－ 3 2 C．－ 2 2 D．－1 D　[解析] 由图象可得 A＝ 2，最小正周期 T＝4×(7π 12－π 3)＝π，则 ω＝ 2π T ＝2.又 f(7π 12 ) ＝ 2sin(7π 6 ＋φ)＝－ 2，得 φ＝π 3，则 f(x)＝ 2sin(2x＋π 3)，f(11π 24 )＝ 2sin(11π 12 ＋π 3)＝ 2sin 5π 4 ＝－1，选项 D 正确． 2．(2016·高考全国卷丙)函数 y＝sin x－ 3cos x 的图象可由函数 y＝2sin x 的图象至少向 右平移________个单位长度得到． [解析] 因为 y＝sin x－ 3cos x＝2sin(x－π 3 )，所以函数 y＝sin x－ 3cos x 的图象可由函 数 y＝2sin x 的图象至少向右平移π 3个单位长度得到． [答案] π 3 3．某同学用“五点法”画函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω > 0，|φ| < π 2)在某一个周期内的图 象时，列表并填入了部分数据，如下表： ωx＋φ 0 π 2 π 3π 2 2π x π 3 5π 6 Asin(ωx＋φ) 0 5 －5 0 请将上表数据补充完整，并直接写出函数 f(x)的解析式． [解] 根据表中已知数据，解得 A＝5，ω＝2，φ＝－π 6，数据补全如下表： ωx＋φ 0 π 2 π 3π 2 2π x π 12 π 3 7π 12 5π 6 13 12π Asin(ωx＋φ) 0 5 0 －5 0 且函数解析式为 f(x)＝5sin(2x－π 6). 　　　　　　　　　　　　　　　　　三角函数的性质 共研典例　类题通法 1．三角函数的单调区间 y＝sin x 的单调递增区间是[2kπ－π 2，2kπ＋π 2](k∈Z)， 单调递减区间是[2kπ＋π 2，2kπ＋3π 2 ](k∈Z)； y＝cos x 的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)； y＝tan x 的递增区间是(kπ－π 2，kπ＋π 2)(k∈Z)． 2．y＝Asin(ωx＋φ)，当 φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数； 当 φ＝kπ＋π 2(k∈Z)时为偶函数； 对称轴方程可由 ωx＋φ＝kπ＋π 2(k∈Z)求得． y＝Acos(ωx＋φ)，当 φ＝kπ＋π 2(k∈Z)时为奇函数； 当 φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数； 对称轴方程可由 ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得． y＝Atan(ωx＋φ)，当 φ＝ kπ 2 (k∈Z)时为奇函数． (2016·高考天津卷)已知函数 f(x)＝4tan x·sin(π 2－x )cos(x－π 3 )－ 3. (1)求 f(x)的定义域与最小正周期； (2)讨论 f(x)在区间[－π 4，π 4]上的单调性． 【解】　(1)f(x)的定义域为{x|x ≠ π 2＋kπ，k ∈ Z}. f(x)＝4tan xcos xcos(x－π 3 )－ 3 ＝4sin xcos(x－π 3 )－ 3 ＝4sin x(1 2cos x＋ 3 2 sin x)－ 3 ＝2sin xcos x＋2 3sin2x－ 3 ＝sin 2x＋ 3(1－cos 2x)－ 3 ＝sin 2x－ 3cos 2x＝2sin(2x－π 3). 所以 f(x)的最小正周期 T＝ 2π 2 ＝π. (2)令 z＝2x－π 3，函数 y＝2sin z 的单调递增区间为[－π 2＋2kπ，π 2＋2kπ]，k∈Z. 由－π 2＋2kπ≤2x－π 3≤π 2＋2kπ，得 － π 12＋kπ≤x≤ 5π 12＋kπ，k∈Z. 设 A＝[－π 4，π 4]，B＝{x|－ π 12＋kπ ≤ x ≤ 5π 12＋kπ，k ∈ Z}， 易知 A∩B＝[－ π 12，π 4]. 所以，当 x∈[－π 4，π 4]时，f(x)在区间[－ π 12，π 4]上单调递增，在区间[－π 4，－ π 12]上单调 递减． 三角函数的单调性、周期性及最值的求法 (1)三角函数单调性的求法 求形如 y＝Asin(ωx＋φ)(或 y＝Acos(ωx＋φ))(A、ω、φ 为常数，A≠0，ω＞0)的单调区间 的一般思路是令 ωx＋φ＝z，则 y＝Asin z(或 y＝Acos z)，然后由复合函数的单调性求解． (2)三角函数周期性的求法 函数 y＝Asin(ωx＋φ)(或 y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期 T＝ 2π |ω|.应特别注意 y＝|Asin(ωx ＋φ)|的最小正周期为 T＝ π |ω|. (3)三角函数最值(或值域)的求法 在求最值(或值域)时，一般要先确定函数的定义域，然后结合三角函数性质可得函数 f(x) 的最值. [题组通关] 1．(2016·兰州市诊断考试)将函数 f(x)＝cos 2x 的图象向右平移π 4个单位后得到函数 g(x) 的图象，则 g(x)具有性质(　　) A．最大值为 1，图象关于直线 x＝π 2对称 B．在(0，π 4 )上单调递增，为奇函数 C．在(－3π 8 ，π 8)上单调递增，为偶函数 D．周期为 π，图象关于点(3π 8 ，0)对称 B　[解析] 由题意可知将 f(x)＝cos 2x 的图象向右平移π 4个单位得到 g(x)＝cos [2(x－π 4 )] ＝cos(π 2－2x) ＝sin 2x 的图象，因为函数 g(x)为奇函数，所以排除 C，又当 x＝π 2时函数值为 0，当 x＝ 3π 8 时，函数值为 2 2 ，所以 A 和 D 中对称的说法不正确，选 B. 2．已知函数 f(x)＝2sin xsin(x＋π 6 ). (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)当 x∈[0，π 2 ]时，求函数 f(x)的值域． [解] (1)f(x)＝2sin x( 3 2 sin x＋1 2cos x) ＝ 3× 1－cos 2x 2 ＋ 1 2sin 2x ＝sin(2x－π 3)＋ 3 2 . 函数 f(x)的最小正周期为 T＝π. 由－π 2＋2kπ≤2x－π 3≤π 2＋2kπ，k∈Z， 解得－ π 12＋kπ≤x≤ 5π 12＋kπ，k∈Z， 所以函数 f(x)的单调递增区间是[－ π 12＋kπ， 5π 12＋kπ]，k∈Z. (2)当 x∈[0，π 2 ]时，2x－π 3∈[－π 3， 2π 3 ]， sin(2x－π 3)∈[－ 3 2 ，1]， 可得函数 f(x)的值域为[0，1＋ 3 2 ]. 课时作业 1．(2016·广州市五校联考)下列函数中，周期为 π 的奇函数是(　　) A．y＝sin xcos x　　　　　 B．y＝sin2x C．y＝tan 2x D．y＝sin 2x＋cos 2x A　[解析] y＝sin2x 为偶函数；y＝tan 2x 的周期为π 2；y＝sin 2x＋cos 2x 为非奇非偶函数， 故 B、C、D 都不正确，选 A. 2．已知角 α 的终边与单位圆 x2＋y2＝1 交于 P(1 2，y0)，则 sin(π 2＋2α)＝(　　) A．－ 1 2 B．1 C. 1 2 D．－ 3 2 A　[解析] 由题意知当 x＝ 1 2时，y0＝－ 3 2 或 y0＝ 3 2 ，即 sin α＝－ 3 2 或 sin α＝ 3 2 ，又因 为 sin(π 2＋2α)＝cos 2α＝1－2sin2α，所以 sin(π 2＋2α)＝1－2× 3 4＝－ 1 2. 3．(2016·福建省毕业班质量检测)若 sin (π 2＋α )＝－ 3 5，且 α∈(π 2，π )，则 sin(π－2α)＝ (　　) A. 24 25 B. 12 25 C．－ 12 25 D．－ 24 25 D　[解析] 由 sin(π 2＋α )＝cos α＝－ 3 5，且 α∈(π 2，π )，得 sin α＝ 4 5，所以 sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin α·cos α＝－24 25，选项 D 正确． 4．(2016·沈阳市教学质量监测(一))某函数部分图象如图所示，它的函数解析式可能是 (　　) A．y＝sin(－5 6x＋3π 5 ) B．y＝sin(6 5x－2π 5 ) C．y＝sin(6 5x＋3π 5 ) D．y＝－cos(5 6x＋3π 5 ) C　[解析] 不妨令该函数解析式为 y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)，由图知 A＝1， T 4＝3π 4 －π 3＝ 5π 12， 于是 2π ω＝ 5π 3 ，即 ω＝ 6 5，π 3是函数的图象递减时经过的零点，于是 6 5×π 3＋φ＝2kπ＋π，k∈Z， 所以 φ 可以是 3π 5 ，选 C. 5．已知 ω>0，函数 f(x)＝sin (ωx＋π 4)在(π 2，π )上单调递减，则 ω 的取值范围是(　　) A.[1 2， 5 4 ] B.[1 2， 3 4 ] C.(0， 1 2 ] D．(0，2] A　[解析] 由π 20，所以 sin α－cos α<0，所以 sin α－cos α＝－7 5. [答案] － 7 5 8．已知函数 y＝cos x 与 y＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π 3的交点， 则 φ 的值是________． [解析] 由题意，得 sin(2 × π 3＋φ)＝cos π 3， 因为 0≤φ<π，所以 φ＝π 6. [答案] π 6 9．已知 f(x)＝sin 2x－ 3cos 2x，若对任意实数 x∈(0，π 4 ]，都有|f(x)|0)个单位长度，得到的图象关于直线 x＝3π 4 对称，求 θ 的最小 值． [解] (1)f(x)＝ 2sin x＋ 6cos x ＝2 2(1 2sin x＋ 3 2 cos x)＝2 2sin(x＋π 3 ). 由 f(α)＝2，得 sin(α＋π 3 )＝ 2 2 ， 即 α＋π 3＝2kπ＋π 4或 α＋π 3＝2kπ＋ 3π 4 ，k∈Z. 于是 α＝2kπ－ π 12或 α＝2kπ＋ 5π 12，k∈Z. 又 α∈[0，π]，故 α＝5π 12. (2)将 y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2(纵坐标不变)，得到 y＝2 2sin (2x＋π 3)的图象，再将 y＝2 2sin (2x＋π 3)图象上所有点的横坐标向右平行移动 θ 个单位长度， 得到 y＝2 2sin (2x－2θ＋π 3)的图象． 由于 y＝sin x 的图象关于直线 x＝kπ＋π 2(k∈Z)对称， 令 2x－2θ＋π 3＝kπ＋π 2，解得 x＝ kπ 2 ＋θ＋ π 12，k∈Z. 由于 y＝2 2sin (2x－2θ＋π 3)的图象关于直线 x＝ 3π 4 对称， 令 kπ 2 ＋θ＋ π 12＝ 3π 4 ，解得 θ＝－ kπ 2 ＋ 2π 3 ，k∈Z. 由 θ>0 可知，当 k＝1 时，θ 取得最小值π 6. 14．已知定义在区间[－π， 3π 2 ]上的函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝π 4对称，当 x≥π 4时， f(x)＝－sin x. (1)作出 y＝f(x)的图象； (2)求 y＝f(x)的解析式； (3)若关于 x 的方程 f(x)＝a 有解，将方程中的 a 取一确定的值所得的所有解的和记为 Ma， 求 Ma 的所有可能的值及相应的 a 的取值范围． [解] (1)y＝f(x)的图象如图所示． (2)任取 x∈[－π，π 4]， 则π 2－x∈[π 4， 3π 2 ]， 因为函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝π 4对称， 则 f(x)＝f(π 2－x )，又当 x≥π 4时，f(x)＝－sin x， 则 f(x)＝f(π 2－x )＝－sin(π 2－x ) ＝－cos x， 即 f(x)＝Error! (3)当 a＝－1 时，f(x)＝a 的两根为 0，π 2，则 Ma＝π 2；当 a∈(－1，－ 2 2 )时，f(x)＝a 的四 根满足 x1