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  • 2021-06-16 发布

【数学】2018届一轮复习北师大版导数运算及基本应用学案

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第六节 导数运算及基本应用 一 考查热点:主要考查导数的基本运算、利用导数几何意义求解切线相关问题以及简 单的函数单调、极值、最值问题。 二 要点小结: 1. 求函数在点 0 0( , )P x y 的切线方程方法:(1)求导数 ( )f x ;(2)求切线斜率 0( )k f x ;(3)写出切线方程 0 0 0( )( )y y f x x x   . 2. 求函数过点 0 0( , )P x y 的切线方程方法:(1)设出切点坐标 1 1( , ( ))P x f x ;(2)求导 数 ( )f x ,并求切线斜率 1( )k f x ;(3)写出切线方程 1 1 1( ) ( )( )y f x f x x x   ;(4) 将点 0 0( , )P x y 代入切线方程,求出 1x ;(5)将 1x 带回切线方程即得. 3. 求可导函数单调区间、极值、最值的一般步骤: (1) 确定函数 ( )f x 的定义域; (2) 求导函数 ( )f x ; (3) 在函数定义域内求不等式 ( ) 0, ( ) 0f x f x   的解集; (4) 由 ( ) 0, ( ) 0f x f x   的解集确定函数 ( )f x 的单调增(减)区间. (5)由 ( )f x 的单调性确定函数的极值; (6)由函数的极值以及区间端点的值确定函数的最值。 三 典例分析 例 1. (2015 新课标 2)已知曲线 xxy ln 在点 )1,1( 处的切线与曲线 1)2(2  xaaxy 相切,则 a . 例 2(2014 湖南)若 1 20 1x x   ,则( ) A. 2 1 2 1ln lnx xe e x x   B. 2 1 2 1ln lnx xe e x x   C. 1 2 2 1 x xx e x e D. 1 2 2 1 x xx e x e 例 3 (2015 天津)已知函数    ln , 0,f x ax x x   ,其中 a 为实数,  f x 为  f x 的导函数,若  1 3f   ,则 a 的值为 . 四 真题演练 1.(2014 新课标 2)若函数   lnf x kx x  在区间 1, 单调递增,则 k 的取值范围是 (A) , 2  (B) , 1  (C) 2, (D) 1, 2.(2016 四川)已知 a 函数   3 12f x x x  的极小值点,则 a= (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 3.(2015 安徽)函数   3 2f x ax bx cx d    的图像如图所示,则下列结论成立的是 (A)a>0,b<0,c>0,d>0 (B)a>0,b<0,c<0,d>0 (C)a<0,b<0,c>0,d>0 (D)a>0,b>0,c>0,d<0 4.(2016 山东)若函数 ( )y f x 的图象上存在两点,使得函数 的图象在这两点处的切线互相垂直,则称 ( )y f x 具有 T 性质 下列函数中具有 T 性质的是 (A) siny x (B) lny x (C) exy  (D) 3y x 5.(2016 四川)设直线 l1,l2 分别是函数 f(x)= ln ,0 1, ln , 1, x x x x      图象上点 P1,P2 处的切线, l1 与 l2 垂直相交于点 P,且 l1,l2 分别与 y 轴相交于点 A,B,则△PAB 的面积的取值范围是 (A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞) 6. (2014 广东) 曲线 5 3xy e   在点 (0, 2) 处的切线方程为 . 7. (2014 安徽)若直线l 与曲线C 满足下列两个条件: )(i 直线 l 在点  00 , yxP 处与曲线 C 相切; )(ii 曲线C 在 P 附近位于直线 l 的两侧,则称 直线l 在点 P 处“切过”曲线 C . 下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号) ①直线 0: yl 在点  0,0P 处“切过”曲线C : 2xy  ②直线 1: xl 在点  0,1P 处“切过”曲线C : 2)1(  xy ③直线 xyl : 在点  0,0P 处“切过”曲线C : xy sin ④直线 xyl : 在点  0,0P 处“切过”曲线C : xy tan ⑤直线 1:  xyl 在点  0,1P 处“切过”曲线C : xy ln 8.(2014 江西)若曲线 Pxxy 上点ln 处的切线平行于直线 Pyx 则点,012  的坐标 是_______. 9、(2015 陕西)函数 y=xex 在其极值点处的切线方程为____________. 10. (2015 新课标 1)已知函数   3 1f x ax x   的图像在点   1, 1f 的处的切线过点  2,7 ,则 a  . 11.(2016 新课标 3)已知 f(x)为偶函数,当 0x  时, 1( ) xf x e x   ,则曲线 y= f(x)在点 (1,2)处的切线方程是____________ 12. ( 2016 天 津 ) 已 知 函 数 ( ) (2 +1) , ( )xf x x e f x 为 ( )f x 的 导 函 数 , 则 (0)f  的 值 为 __________. 13、(2015 四川)已知函数 f(x)=2x,g(x)=x2+ax(其中 a∈R).对于不相等的实数 x1,x2,设 m= 1 2 1 2 ( ) ( )f x f x x x   ,n= 1 2 1 2 ( ) ( )g x g x x x   ,现有如下命题:[ :Z,xx,k.Com] (1)对于任意不相等的实数 x1,x2,都有 m>0; (2)对于任意的 a 及任意不相等的实数 x1,x2,都有 n>0; (3)对于任意的 a,存在不相等的实数 x1,x2,使得 m=n; (4)对于任意的 a,存在不相等的实数 x1,x2,使得 m=-n。 其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号)。 14. (2014 北京)已知函数 3( ) 2 3f x x x  . (1)求 ( )f x 在区间[ 2,1] 上的最大值; (2)若过点 (1, )P t 存在 3 条直线与曲线 ( )y f x 相切,求 t 的取值范围; (3)问过点 ( 1,2), (2,10), (0,2)A B C 分别存在几条直线与曲线 ( )y f x 相切?(只需写 出结论) [ : + ] 第六节 例题:8,C,3 演练:DDAAA 5 2 0x y   ,①③④,( , )e e ,y =- 1 e ,1, 2y x , 3,①④ 14 解:(I)由 3( ) 2 3f x x x  得 2'( ) 6 3f x x  ,令 '( ) 0f x  ,得 2 2x   或 2 2x  , 因为 ( 2) 10f    , 2( ) 22f   , 2( ) 22f   , (1) 1f   , 所以 ( )f x 在区间[ 2,1] 上的最大值为 2( ) 22f   . (II)设过点 P(1,t)的直线与曲线 ( )y f x 相切于点 0 0( , )x y ,则 3 0 0 02 3y x x  ,且切线斜率为 2 06 3k x  ,所以切线方程为 2 0 0 0(6 3)( )y y x x x    , 因此 2 0 0 0(6 3)(1 )t y x x    ,整理得: 3 2 0 04 6 3 0x x t    , 设 ( )g x  3 24 6 3x x t   ,则“过点 (1, )P t 存在 3 条直线与曲线 ( )y f x 相切”等价于 “ ( )g x 有 3 个不同零点”, ' ( )g x  212 12x x =12 ( 1)x x  , ( )g x 与 ' ( )g x 的情况如下: x ( ,0) 0 (0,1) 1 (1, ) [ :Z|xx|k.Com] ' ( )g x + 0  0 + ( )g x t+3 1t  所以, (0) 3g t  是 ( )g x 的极大值, (1) 1g t  是 ( )g x 的极小值, 当 (0) 3 0g t   ,即 3t   时,此时 ( )g x 在区间 ( ,1] 和 (1, ) 上分别至多有 1 个零 点,所以 ( )g x 至多有 2 个零点, 当 (1) 1 0g t   , 1t   时,此时 ( )g x 在区间 ( ,0) 和[0, ) 上分别至多有 1 个零点, 所以 ( )g x 至多有 2 个零点. 当 (0) 0g  且 (1) 0g  ,即 3 1t    时,因为 ( 1) 7 0g t    , (2) 11 0g t   , 所以 ( )g x 分别为区间[ 1,0),[0,1) 和[1,2)上恰有 1 个零点,由于 ( )g x 在区间 ( ,0) 和 (1, ) 上单调,所以 ( )g x 分别在区间 ( ,0) 和[1, ) 上恰有 1 个零点. 综上可知,当过点 (1, )P t 存在 3 条直线与曲线 ( )y f x 相切时,t 的取值范围是 ( 3, 1)  . (III)过点 A(-1,2)存在 3 条直线与曲线 ( )y f x 相切; 过点 B(2,10)存在 2 条直线与曲线 ( )y f x 相切; 过点 C(0,2)存在 1 条直线与曲线 ( )y f x 相切.