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  • 2021-06-16 发布

河北省沧州市第一中学2019-2020学年高一下学期学段检测数学试题

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沧州市第一中学2019—2020学年第二学期第二次学段检测 高一年级数学试题 一.单选题(每题5分)‎ ‎1.在等差数列中,若,则( )‎ A. 5 B. ‎10 ‎C. 6 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得,进而可得公差,可得,代入值计算即可.‎ ‎【详解】解:设公差为,‎ ‎∵在等差数列中,,‎ ‎∴,解得,‎ ‎∴公差,‎ ‎∴,‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式,等差数列的性质,属于基础题.‎ ‎2.在中,已知三个内角为,,满足,则( ).‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理、余弦定理即可得出.‎ ‎【详解】由正弦定理,以及,得,‎ 不妨取,则,又,‎ ‎.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理,余弦定理在解三角形中应用,考查了转化思想,属于基础题.‎ ‎3.在等差数列中,若,是方程的两根,则的前11项的和为( )‎ A. 22 B. ‎-33 ‎C. -11 D. 11‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ a5,a7是方程x2-2x-6=0的两根,则a5+a7=2, S11==‎11 a6进而得到结果.‎ ‎【详解】等差数列{an}中,若a5,a7是方程x2-2x-6=0的两根,‎ 则a5+a7=2,∴a6=(a5+a7)=1,∴{an}的前11项的和为 S11==‎11a6=11×1=11.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】点睛:本题考查等差数列的通项公式,是基础的计算题,对于等差数列的小题,常用到的方法,其一是化为基本量即首项和公差,其二是观察各项间的脚码关系,即利用数列的基本性质.‎ ‎4.已知直线,直线,且,则的值为( )‎ A. -1 B. C. 或-2 D. -1或-2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析:由两直线平行可知系数满足的值为-1或-2‎ 考点:两直线平行的判定 ‎5.已知等比数列为递增数列,是其前项和.若,,则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎∵数列为等比数列且,∴,又∵且为递增数列,‎ ‎∴,,则公比,故,故选D.‎ ‎6.不论m为何实数,直线(m-1)x-y+‎2m+1=0恒过定点( )‎ A. B. (-2,0) C. (-2,3) D. (2,3)‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 将直线(m−1)x−y+‎2m+1=0可为变为m(x+2)+(−x−y+1)=0,令求两定直线的交点此点即为直线恒过的定点.‎ ‎【详解】直线(m−1)x−y+‎2m+1=0可为变为m(x+2)+(−x−y+1)=0‎ 令,解得.‎ 故无论m为何实数,直线(m−1)x−y+‎2m+1=0恒通过一个定点(−2,3)‎ 故选C.‎ ‎【点睛】探索曲线过定点的常见方法有两种:① 可设出曲线方程 ‎ ‎,然后利用条件建立等量关系进行消元(往往可以化为的形式,根据 求解),借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点,也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ② 从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关.‎ ‎7.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知,a=2,c=,则C=‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析:根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可 详解:sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,‎ ‎∵sinB+sinA(sinC﹣cosC)=0,‎ ‎∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0,‎ ‎∴cosAsinC+sinAsinC=0,‎ ‎∵sinC≠0,‎ ‎∴cosA=﹣sinA,‎ ‎∴tanA=﹣1,‎ ‎∵<A<π,‎ ‎∴A= ,‎ 由正弦定理可得,‎ ‎∵a=2,c=,‎ ‎∴sinC== ,‎ ‎∵a>c,‎ ‎∴C=,‎ 故选B.‎ 点睛:本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用,属于难题.在解与三角形有关的问题时,正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时,往往用余弦定理,而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时,往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.‎ ‎8.过直线和的交点,且与直线垂直的直线方程是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出两条直线的交点,根据垂直求出直线斜率,再用点斜式即可求出直线方程.‎ ‎【详解】由题意得:‎ ‎,‎ 解得,‎ 直线的斜率是,‎ 故其垂线的斜率是:,‎ ‎∴所求方程是:,‎ 即,‎ 故选:D ‎【点睛】本题主要考查两条直线的交点坐标,以及两直线垂直的应用,属于简单题.‎ ‎9.已知等差数列的前项和为,且,,则使得取最小值时的为( )‎ A. 9 B. ‎7 ‎C. 6 D. 6或7‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得;由得,求出公差,再确定通项,令通项小于等于零即可.‎ ‎【详解】解:等差数列的前项和为,且,‎ ‎,‎ 因为,所以递增数列,取最小值 令 故选:C ‎【点睛】考查等差数列的有关性质及前项和最小值求法,基础题.‎ ‎10.已知点,,直线:与线段相交,则的取值范围为( )‎ A. 或 B. 或 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直线过定点,且与线段相交,利用数形结合法,求出、的斜率,从而得出的取值范围.‎ ‎【详解】解:∵直线的方程可化为,‎ ‎∴直线过定点,且与线段相交,如图所示;‎ 则直线的斜率是,‎ 直线的斜率是,‎ 则直线与线段相交时,它的斜率的取值范围是:‎ 或,又 故选:B .‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线方程应用问题,也考查了数形结合的应用问题,属于中档题.‎ ‎11.若,,且,则的最小值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 从题设可得,则,应选答案A.‎ ‎12.直线的倾斜角为( )‎ A. 75° B. 105° C. 165° D. 15°‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得斜率,根据诱导公式化简即可.‎ ‎【详解】解:由,,‎ 故选:C ‎【点睛】考查已知直线方程求直线倾斜角的方法以及诱导公式的用法,基础题.‎ 二.不定项选择题(每题5分,多选错选不给分,少选给3分)‎ ‎13.已知等差数列的前项和为,且,,则下列说法正确的是( )‎ A. 最大. B. ‎ C. D. 数列中绝对值最小项为 ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的性质推导出,,此数列中绝对值最小的项为,由此能求出结果.‎ ‎【详解】解:∵,,‎ ‎∴,‎ ‎,‎ ‎∴,,‎ 可得,,,故A,B都正确,C错误,‎ 由等差数列的单调性即可得出:此数列中绝对值最小的项为,故D正确.‎ 故选:ABD.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题.‎ ‎14.已知数列的前n项和为,且满足,则下列说法正确的是( )‎ A. 数列前n项和为 B. 数列的通项公式为 C. 数列为递增数列 D. 数列为递增数列 ‎【答案】AD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据和项与通项关系化简条件,再构造等差数列,利用等差数列定义与通项公式求,最后根据和项与通项关系得.‎ ‎【详解】‎ 因此数列为以为首项,为公差的等差数列,也是递增数列,即D正确;‎ 所以,即A正确;‎ 当时 所以,即B,C不正确;‎ 故选:AD ‎【点睛】本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性,考查基本分析论证与求解能力,属中档题.‎ 三.填空题(每题5分)‎ ‎15.过点(1,2),且与原点距离最大的直线方程为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过点A(1,2)且与原点距离最大的直线与OA所在直线垂直,再用点斜式方程求解 ‎【详解】根据题意得,过点A(1,2)的直线与直线OA垂直时,直线与原点距离最大,‎ 直线OA的斜率为 ,所以所求直线斜率为 ,‎ 所以由点斜式方程得:y-2=(x-1),‎ 化简得:x+2y-5=0‎ ‎【点睛】本题考查直线方程的求法,解题时要认真审题,注意点到直线的距离最高值的合理理解.‎ ‎16.过点(-1,2)且在坐标轴上的截距相等的直线的一般式方程是______.‎ ‎【答案】2x+y=0或x+y-1=0‎ ‎【解析】‎ 当直线过原点时,斜率等于,故直线的方程为,即,当直线不过原点时,设直线的方程为,把代入直线的方程得,故求得的直线方程为 综上,满足条件的直线方程为 或,故答案为 或.‎ ‎17.设点和,在直线:上找一点,使取到最小值,则这个最小值为__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出点关于直线:的对称点为,连结,则交直线于点,点即为所求的点,此时,.‎ ‎【详解】解:‎ 设点关于直线:的对称点为 线段的中点在上 则 又,‎ 解得,‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查线段和的最小值的求法,解题时要认真审题,注意数形结合思想的合理运用,‎ 属于中档题.‎ ‎18.在数列中,,且,则__________‎ ‎【答案】2601‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分为奇数和偶数两种情况讨论,是两个等差数列,然后分组求和.‎ ‎【详解】解:由,‎ 为奇数时,‎ 为偶数时,,此时为公差是2的等差数列 故答案为:2601‎ ‎【点睛】考查对的讨论、等差数列的求和公式以及分组求和,基础题.‎ 四.解答题(每题10分)‎ ‎19.过点的直线与轴正半轴和轴正半轴分别交于,‎ ‎(1)当为的中点时,求的方程 ‎(2)当最小时,求的方程 ‎(3)当面积取到最小值时,求的方程 ‎【答案】(1)(2)(3)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设,,由为的中点,求出,再写方程. (2)设所求直线的方程为,求出,,表示出,用均值定理即可 ‎(3)设直线的截距式方程为,由用均值定理即可.‎ ‎【详解】解:(1)设,, ‎ ‎∵为的中点,‎ ‎∴,,‎ ‎∴由截距式得的方程为:,‎ 即;‎ ‎(2)设所求直线的方程为,由题意知,‎ 令可得,令可得,‎ 即,.‎ ‎∴,‎ 当且仅当,即时取等号,取最小值为12,‎ 即直线的方程为;‎ ‎(3)由题意设直线的截距式方程为,‎ ‎∵直线过,‎ ‎∴,‎ ‎∴,∴.‎ 当且仅当即且时取等号,‎ ‎∴的面积,‎ ‎∴面积的最小值为12,此时直线的方程为,‎ 即直线的方程为.‎ ‎【点睛】考查考查中点坐标公式、直线的点斜式、直线的截距式、两点距离公式以及均值定理的应用,基础题.‎ ‎20.已知是公差为3的等差数列,数列满足.‎ ‎(Ⅰ)求的通项公式; (Ⅱ)求的前n项和.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(Ⅰ)用等差数列通项公式求;(Ⅱ)求出通项,再利用等比数列求和公式来求.‎ 试题解析:(Ⅰ)由已知,得,所以数列 是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)和得,因此是首项为1,公比为的等比数列.记的前项和为,则 ‎【考点】等差数列与等比数列 ‎【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程(组),因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.‎ ‎21.中,角A,B,C所对边分别是a、b、c,且.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若,求面积的最大值.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将化简代入数据得到答案.‎ ‎(2)利用余弦定理和均值不等式计算,代入面积公式得到答案.‎ ‎【详解】 ‎ ‎ ‎ ‎;‎ ‎(2)由,可得,‎ 由余弦定理可得,‎ 即有,当且仅当,取得等号.‎ 则面积为.‎ 即有时,的面积取得最大值.‎ ‎【点睛】本题考查了三角恒等变换,余弦定理,面积公式,均值不等式,属于常考题型.‎ ‎22.△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为 ‎(1)求;‎ ‎(2)若求△ABC的周长.‎ ‎【答案】(1)(2) .‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)由三角形面积公式建立等式,再利用正弦定理将边化成角,从而得出的值;(2)由和计算出,从而求出角,根据题设和余弦定理可以求出和的值,从而求出的周长为.‎ 试题解析:(1)由题设得,即.‎ 由正弦定理得.‎ 故.‎ ‎(2)由题设及(1)得,即.‎ 所以,故.‎ 由题设得,即.‎ 由余弦定理得,即,得.‎ 故的周长为.‎ 点睛:在处理解三角形问题时,要注意抓住题目所给的条件,当题设中给定三角形的面积,可以使用面积公式建立等式,再将所有边的关系转化为角的关系,有时需将角的关系转化为边的关系;解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角,求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角,再有另外一个条件,求面积或周长的值”,这类问题的通法思路是:全部转化为角的关系,建立函数关系式,如,从而求出范围,或利用余弦定理以及基本不等式求范围;求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.‎ ‎23.已知数列的前n项和为,且.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若,设数列的前n项和为,证明.‎ ‎【答案】(1);(2)见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【试题分析】(1)借助题设中的数列递推式探求数列通项之间的关系,再运用等比数列的定义求得通项公式;(2)依据(1)的结论运用错位相减法求解,再借助简单缩放法推证:‎ ‎(1)当时,得,‎ 当时,得 ,‎ 所以,‎ ‎(2)由(1)得: ,‎ 又 ①‎ 得 ②‎ 两式相减得: ,‎ 故 ,‎ 所以 .‎ 点睛:解答本题的思路是充分借助题设条件,先探求数列的的通项公式,再运用错位相减法求解前项和.解答第一问时,先借助题设中的数列递推式探求数列通项之间的关系,再运用等比数列的定义求得通项公式;解答第二问时,先依据(1)中的结论求得,运用错位相减求和法求得,使得问题获解.‎ ‎24.‎ 在等差数列中,已知公差,是与的等比中项.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)设,记,求.‎ ‎【答案】(1).(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)由题意知,‎ 解得,即得所求.‎ ‎(2)由题意知.‎ 从而得到.‎ 由于.因此应分n为偶数、n为奇数讨论求和 具体的,当n为偶数时,‎ 当n为奇数时,‎ ‎.‎ 试题解析:(1)由题意知,‎ 即,‎ 解得,‎ 所以数列的通项公式为.‎ ‎(2)由题意知.‎ 所以.‎ 因为.‎ 可得,当n为偶数时,‎ 当n为奇数时,‎ 所以.‎ 考点:等差数列、等比数列,数列的求和,分类讨论思想.‎