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- 2021-06-16 发布
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沧州市第一中学2019—2020学年第二学期第二次学段检测
高一年级数学试题
一.单选题(每题5分)
1.在等差数列中,若,则( )
A. 5 B. 10 C. 6 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可得,进而可得公差,可得,代入值计算即可.
【详解】解:设公差为,
∵在等差数列中,,
∴,解得,
∴公差,
∴,
故选:D
【点睛】本题考查等差数列的通项公式,等差数列的性质,属于基础题.
2.在中,已知三个内角为,,满足,则( ).
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用正弦定理、余弦定理即可得出.
【详解】由正弦定理,以及,得,
不妨取,则,又,
.
故选:C.
【点睛】本题主要考查了正弦定理,余弦定理在解三角形中应用,考查了转化思想,属于基础题.
3.在等差数列中,若,是方程的两根,则的前11项的和为( )
A. 22 B. -33 C. -11 D. 11
【答案】D
【解析】
【分析】
a5,a7是方程x2-2x-6=0的两根,则a5+a7=2, S11==11 a6进而得到结果.
【详解】等差数列{an}中,若a5,a7是方程x2-2x-6=0的两根,
则a5+a7=2,∴a6=(a5+a7)=1,∴{an}的前11项的和为
S11==11a6=11×1=11.
故选D.
【点睛】点睛:本题考查等差数列的通项公式,是基础的计算题,对于等差数列的小题,常用到的方法,其一是化为基本量即首项和公差,其二是观察各项间的脚码关系,即利用数列的基本性质.
4.已知直线,直线,且,则的值为( )
A. -1 B. C. 或-2 D. -1或-2
【答案】D
【解析】
试题分析:由两直线平行可知系数满足的值为-1或-2
考点:两直线平行的判定
5.已知等比数列为递增数列,是其前项和.若,,则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
∵数列为等比数列且,∴,又∵且为递增数列,
∴,,则公比,故,故选D.
6.不论m为何实数,直线(m-1)x-y+2m+1=0恒过定点( )
A. B. (-2,0) C. (-2,3) D. (2,3)
【答案】C
【解析】
分析】
将直线(m−1)x−y+2m+1=0可为变为m(x+2)+(−x−y+1)=0,令求两定直线的交点此点即为直线恒过的定点.
【详解】直线(m−1)x−y+2m+1=0可为变为m(x+2)+(−x−y+1)=0
令,解得.
故无论m为何实数,直线(m−1)x−y+2m+1=0恒通过一个定点(−2,3)
故选C.
【点睛】探索曲线过定点的常见方法有两种:① 可设出曲线方程
,然后利用条件建立等量关系进行消元(往往可以化为的形式,根据 求解),借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点,也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ② 从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关.
7.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知,a=2,c=,则C=
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析:根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可
详解:sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,
∵sinB+sinA(sinC﹣cosC)=0,
∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0,
∴cosAsinC+sinAsinC=0,
∵sinC≠0,
∴cosA=﹣sinA,
∴tanA=﹣1,
∵<A<π,
∴A= ,
由正弦定理可得,
∵a=2,c=,
∴sinC== ,
∵a>c,
∴C=,
故选B.
点睛:本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用,属于难题.在解与三角形有关的问题时,正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时,往往用余弦定理,而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时,往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
8.过直线和的交点,且与直线垂直的直线方程是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先求出两条直线的交点,根据垂直求出直线斜率,再用点斜式即可求出直线方程.
【详解】由题意得:
,
解得,
直线的斜率是,
故其垂线的斜率是:,
∴所求方程是:,
即,
故选:D
【点睛】本题主要考查两条直线的交点坐标,以及两直线垂直的应用,属于简单题.
9.已知等差数列的前项和为,且,,则使得取最小值时的为( )
A. 9 B. 7 C. 6 D. 6或7
【答案】C
【解析】
【分析】
由得;由得,求出公差,再确定通项,令通项小于等于零即可.
【详解】解:等差数列的前项和为,且,
,
因为,所以递增数列,取最小值
令
故选:C
【点睛】考查等差数列的有关性质及前项和最小值求法,基础题.
10.已知点,,直线:与线段相交,则的取值范围为( )
A. 或 B. 或
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直线过定点,且与线段相交,利用数形结合法,求出、的斜率,从而得出的取值范围.
【详解】解:∵直线的方程可化为,
∴直线过定点,且与线段相交,如图所示;
则直线的斜率是,
直线的斜率是,
则直线与线段相交时,它的斜率的取值范围是:
或,又
故选:B .
【点睛】本题主要考查了直线方程应用问题,也考查了数形结合的应用问题,属于中档题.
11.若,,且,则的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
从题设可得,则,应选答案A.
12.直线的倾斜角为( )
A. 75° B. 105° C. 165° D. 15°
【答案】C
【解析】
【分析】
由得斜率,根据诱导公式化简即可.
【详解】解:由,,
故选:C
【点睛】考查已知直线方程求直线倾斜角的方法以及诱导公式的用法,基础题.
二.不定项选择题(每题5分,多选错选不给分,少选给3分)
13.已知等差数列的前项和为,且,,则下列说法正确的是( )
A. 最大. B.
C. D. 数列中绝对值最小项为
【答案】ABD
【解析】
【分析】
利用等差数列的性质推导出,,此数列中绝对值最小的项为,由此能求出结果.
【详解】解:∵,,
∴,
,
∴,,
可得,,,故A,B都正确,C错误,
由等差数列的单调性即可得出:此数列中绝对值最小的项为,故D正确.
故选:ABD.
【点睛】本题考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题.
14.已知数列的前n项和为,且满足,则下列说法正确的是( )
A. 数列前n项和为 B. 数列的通项公式为
C. 数列为递增数列 D. 数列为递增数列
【答案】AD
【解析】
【分析】
先根据和项与通项关系化简条件,再构造等差数列,利用等差数列定义与通项公式求,最后根据和项与通项关系得.
【详解】
因此数列为以为首项,为公差的等差数列,也是递增数列,即D正确;
所以,即A正确;
当时
所以,即B,C不正确;
故选:AD
【点睛】本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性,考查基本分析论证与求解能力,属中档题.
三.填空题(每题5分)
15.过点(1,2),且与原点距离最大的直线方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】
过点A(1,2)且与原点距离最大的直线与OA所在直线垂直,再用点斜式方程求解
【详解】根据题意得,过点A(1,2)的直线与直线OA垂直时,直线与原点距离最大,
直线OA的斜率为 ,所以所求直线斜率为 ,
所以由点斜式方程得:y-2=(x-1),
化简得:x+2y-5=0
【点睛】本题考查直线方程的求法,解题时要认真审题,注意点到直线的距离最高值的合理理解.
16.过点(-1,2)且在坐标轴上的截距相等的直线的一般式方程是______.
【答案】2x+y=0或x+y-1=0
【解析】
当直线过原点时,斜率等于,故直线的方程为,即,当直线不过原点时,设直线的方程为,把代入直线的方程得,故求得的直线方程为 综上,满足条件的直线方程为
或,故答案为 或.
17.设点和,在直线:上找一点,使取到最小值,则这个最小值为__________
【答案】
【解析】
【分析】
求出点关于直线:的对称点为,连结,则交直线于点,点即为所求的点,此时,.
【详解】解:
设点关于直线:的对称点为
线段的中点在上
则
又,
解得,
故答案为:
【点睛】本题考查线段和的最小值的求法,解题时要认真审题,注意数形结合思想的合理运用,
属于中档题.
18.在数列中,,且,则__________
【答案】2601
【解析】
【分析】
分为奇数和偶数两种情况讨论,是两个等差数列,然后分组求和.
【详解】解:由,
为奇数时,
为偶数时,,此时为公差是2的等差数列
故答案为:2601
【点睛】考查对的讨论、等差数列的求和公式以及分组求和,基础题.
四.解答题(每题10分)
19.过点的直线与轴正半轴和轴正半轴分别交于,
(1)当为的中点时,求的方程
(2)当最小时,求的方程
(3)当面积取到最小值时,求的方程
【答案】(1)(2)(3)
【解析】
【分析】
(1)设,,由为的中点,求出,再写方程. (2)设所求直线的方程为,求出,,表示出,用均值定理即可
(3)设直线的截距式方程为,由用均值定理即可.
【详解】解:(1)设,,
∵为的中点,
∴,,
∴由截距式得的方程为:,
即;
(2)设所求直线的方程为,由题意知,
令可得,令可得,
即,.
∴,
当且仅当,即时取等号,取最小值为12,
即直线的方程为;
(3)由题意设直线的截距式方程为,
∵直线过,
∴,
∴,∴.
当且仅当即且时取等号,
∴的面积,
∴面积的最小值为12,此时直线的方程为,
即直线的方程为.
【点睛】考查考查中点坐标公式、直线的点斜式、直线的截距式、两点距离公式以及均值定理的应用,基础题.
20.已知是公差为3的等差数列,数列满足.
(Ⅰ)求的通项公式; (Ⅱ)求的前n项和.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)用等差数列通项公式求;(Ⅱ)求出通项,再利用等比数列求和公式来求.
试题解析:(Ⅰ)由已知,得,所以数列
是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为.
(Ⅱ)由(Ⅰ)和得,因此是首项为1,公比为的等比数列.记的前项和为,则
【考点】等差数列与等比数列
【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程(组),因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.
21.中,角A,B,C所对边分别是a、b、c,且.
(1)求的值;
(2)若,求面积的最大值.
【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】
(1)将化简代入数据得到答案.
(2)利用余弦定理和均值不等式计算,代入面积公式得到答案.
【详解】
;
(2)由,可得,
由余弦定理可得,
即有,当且仅当,取得等号.
则面积为.
即有时,的面积取得最大值.
【点睛】本题考查了三角恒等变换,余弦定理,面积公式,均值不等式,属于常考题型.
22.△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为
(1)求;
(2)若求△ABC的周长.
【答案】(1)(2) .
【解析】
试题分析:(1)由三角形面积公式建立等式,再利用正弦定理将边化成角,从而得出的值;(2)由和计算出,从而求出角,根据题设和余弦定理可以求出和的值,从而求出的周长为.
试题解析:(1)由题设得,即.
由正弦定理得.
故.
(2)由题设及(1)得,即.
所以,故.
由题设得,即.
由余弦定理得,即,得.
故的周长为.
点睛:在处理解三角形问题时,要注意抓住题目所给的条件,当题设中给定三角形的面积,可以使用面积公式建立等式,再将所有边的关系转化为角的关系,有时需将角的关系转化为边的关系;解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角,求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角,再有另外一个条件,求面积或周长的值”,这类问题的通法思路是:全部转化为角的关系,建立函数关系式,如,从而求出范围,或利用余弦定理以及基本不等式求范围;求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.
23.已知数列的前n项和为,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,设数列的前n项和为,证明.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】
【试题分析】(1)借助题设中的数列递推式探求数列通项之间的关系,再运用等比数列的定义求得通项公式;(2)依据(1)的结论运用错位相减法求解,再借助简单缩放法推证:
(1)当时,得,
当时,得 ,
所以,
(2)由(1)得: ,
又 ①
得 ②
两式相减得: ,
故 ,
所以 .
点睛:解答本题的思路是充分借助题设条件,先探求数列的的通项公式,再运用错位相减法求解前项和.解答第一问时,先借助题设中的数列递推式探求数列通项之间的关系,再运用等比数列的定义求得通项公式;解答第二问时,先依据(1)中的结论求得,运用错位相减求和法求得,使得问题获解.
24.
在等差数列中,已知公差,是与的等比中项.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,记,求.
【答案】(1).(2).
【解析】
试题分析:(1)由题意知,
解得,即得所求.
(2)由题意知.
从而得到.
由于.因此应分n为偶数、n为奇数讨论求和
具体的,当n为偶数时,
当n为奇数时,
.
试题解析:(1)由题意知,
即,
解得,
所以数列的通项公式为.
(2)由题意知.
所以.
因为.
可得,当n为偶数时,
当n为奇数时,
所以.
考点:等差数列、等比数列,数列的求和,分类讨论思想.