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- 2021-06-16 发布
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清北班2020年10月月考试卷
考试范围：必修三第二章、第三章（3.1-3.2）占30%；选修2-1第一章、第二章（2.2椭圆）占70%.
考试时间120分钟，满分150分。
一、 单选题（每题5分）
1、下列四个命题中，
①若，则，中至少有一个不小于的逆命题；
②存在正实数，，使得；
③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”；
④在中，是的充分不必要条件.
真命题的个数是（ ）
A． B． C． D．
2、“2a1c2.
三、填空题（每题5分）
13、某公司当月购进、、三种产品，数量分别为、、，现用分层抽样的方法从、、三种产品中抽出样本容量为的样本，若样本中型产品有件，则的值为_______．
14、已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是
15、已知椭圆，点P是椭圆上在第一象限上的点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，过F2作∠F1PF2的外角的角平分线的垂线，垂足为A，若|OA|＝2b，则椭圆的离心率为 ．
16、若两函数与的图象有两个交点、，是坐标原点，当是直角三角形时，则满足条件的所有实数的值的乘积为________.
四、解答题（第17题10分，第18-22题每题12分）
17、已知集合A是函数的定义域，集合B是不等式的解集，命题p：x∈A，命题q：x∈B.
(1)若A∩B＝，求实数a的取值范围；(2)若是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18、（本题满分12分）为了研究的需要，某科研团队进行了如下动物性实验：将实验核酸疫苗注射到小白鼠身体中，通过正常的生理活动产生抗原蛋白，诱导机体持续作出免疫产生抗体，经过一段时间后用某种科学方法测算出动物体内抗体浓度，得到如图所示的统计频率分布直方图.
（Ⅰ）求抗体浓度百分比的中位数；
（Ⅱ）为了研究“小白鼠注射疫苗后出现副作用症状”，从实验中分层抽取了抗体浓度在，中的6只小白鼠进行研究，并且从这6只小白鼠中选取了2只进行医学观察，求这2只小白鼠中恰有1只抗体浓度在中的概率.
19、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点P(0，1)，Q(0，2)．设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T.求证：点T在椭圆C上．
20、已知椭圆C：的一个顶点为A（2，0），离心率为．直线与椭圆C交于不同的两点M，N．
（1）求椭圆C的方程；（2）当△AMN的面积为时，求的值．
21、西尼罗河病毒(WNV)是一种脑炎病毒，通常是由鸟类携带，经蚊子传播给人类。1999年8－10月，美国纽约首次爆发了WNV脑炎流行。在治疗上目前尚未有什么特效药可用，感染者需要采取输液及呼吸系统支持性疗法，有研究表明，大剂量的利巴韦林含片可抑制WNV的复制，抑制其对细胞的致病作用。现某药企加大了利巴韦林含片的生产，为了使生产效率提高，该药企负责人收集了5组实验数据，得到利巴韦林的投入量x(千克)和利巴韦林含片产量y(百盒)的统计数据如下：
由相关系数r可以反映两个变量相关性的强弱，|r|∈[0.75，1]，认为两个变量相关性很强；|r|∈[0.3，0.75)，认为两个变量相关性一般；|r|∈[0，0.3)，认为两个变量相关性较弱。
(1)计算相关系数r，并判断变量x、y相关性强弱；
(2)根据上表中的数据，建立y关于x的线性回归方程。为了使某组利巴韦林含片产量达到150百盒，估计该组应投入多少利巴韦林?
参考数据：≈25.69。
参考公式：相关系数r＝，线性回归方程中，
。
22、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右顶点为（2，0），离心率为，P是直线x＝4上任一点，过点M（1，0）且与PM垂直的直线交椭圆于A，B两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若P点的坐标为（4，3），求弦AB的长度；
（3）设直线PA，PM，PB的斜率分别为，，，问：是否存在常数λ，使得？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
清北班2020年10月月考试卷
考试范围：必修三第二章、第三章（3.1-3.2）占30%；选修2-1第一章、第二章（2.2椭圆）占70%.
考试时间120分钟，满分150分。 命题人：赵瑞杰
一、 单选题（每题5分）
1、下列四个命题中，
①若，则，中至少有一个不小于的逆命题；
②存在正实数，，使得；
③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”；
④在中，是的充分不必要条件.
真命题的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】①若，中至少有一个不小于,如 ，则不成立，①错；
② 时；②对；
③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”； ③对；
④在中，是的充分必要条件. ④错；
因此选B.
2、“2b>0)和圆O：x2＋y2＝b2，若C上存在点M，过点M引圆O的两条切线，切点分别为E，F，使得△MEF为正三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由于点O，M，E，F四点共圆，当△MEF为正三角形时，∠EOF＝120°，O到EF的距离为b，且|EF|＝b，此时正△MEF的高为×b＝b，可得点M到点O的距离为2b.问题等价于椭圆上存在点M到坐标原点的距离为2b.设M(x0，y0)，则x＋y＝x＋b2＝x＋b2，由于0
eq f(3,4)，所以e＝>，又e<1，所以e的取值范围是.
一、 多选题（每题5分）
9、在统计中，由一组样本数据，，利用最小二乘法得到两个变量的回归直线方程为，那么下面说法正确的是（）
A．直线至少经过点，，中的一个点
B．直线必经过点
C．直线表示最接近与之间真实关系的一条直线
D．，且越接近于1，相关程度越大；越接近于0，相关程度越小
【答案】BCD
【解析】理解回归直线的含义，逐项分析.
A．直线由点拟合而成，可以不经过任何样本点，故A错；
B．直线必过样本点中心即点，故B正确；
C．直线是采用最小二乘法求解出的直线方程，接近真实关系，故C正确；
D．相关系数的绝对值越接近于，表示相关程度越大，越接近于，相关程度越小，故D正确.
故选：BCD.
10、下列叙述中不正确的是（ ）
A．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
B．若，则“”的充要条件是“”
C．“”是“”的充分不必要条件
D．若,则“”的充要条件是“”
【答案】AB
【解析】
【分析】
对A，B，C，D四个选项条件和结论进行推导，判断是否正确.
【详解】
A.令，方程有一个正根和一个
负根，则，则有，∴“”是“方程
有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，错误.
B.当时，若“”成立，而，充分性不成立
,错误.
C.,∴“”是“”的充分不必要条
件，正确
D.可以推出，而也可以推
出，正确.
故选：AB.
【点睛】
考查命题的充要条件，充分不必要条件，必要不充分条件.运用了二次函数的性质，基本不等式的性质.
11、椭圆的左右焦点分别为，为坐标原点，以下说法正确的是（ ）
A．过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为.
B．椭圆上存在点，使得.
C．椭圆的离心率为
D．为椭圆一点，为圆上一点，则点，的最大距离为.
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据椭圆的定义，可判断A；根据数量积运算，以及椭圆的性质，可判断B
；根据离心率的定义，可判断出C；根据点与圆位置关系，以及椭圆的性质，可判断D.
【详解】
对于选项A，因为分别为椭圆的左右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点，由椭圆定义可得：，
因此的周长为，故A正确；
对于选项B，设点为椭圆上任意一点，
则点坐标满足，且
又，，所以，，
因此，
由，可得：，故B正确；
对于选项C，因为，，所以，即，
所以离心率为，故C错；
对于选项D，设点为椭圆上任意一点，
由题意可得：点到圆的圆心的距离为：，
因为，所以.故D正确；故选：ABD
【点睛】本题主要考查椭圆相关命题真假的判定，熟记椭圆的定义，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.
2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大
专项领导小组审议12、通过，正式开始实施．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：
①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③<；④c1a2>a1c2.
其中正确式子的序号是________．
[解析] 观察图形可知a1＋c1>a2＋c2，即①式不正确；a1－c1＝a2－c2＝|PF|，即②式正确；由a1－c1＝a2－c2>0，c1>c2>0知，<，即<，从而c1a2>a1c2，>，即④式正确，③式不正确．
[答案] ②④
一、 填空题（每题5分）
13、某公司当月购进、、三种产品，数量分别为、、，现用分层抽样的方法从、、三种产品中抽出样本容量为的样本，若样本中型产品有件，则的值为_______．
【答案】.
【解析】在分层抽样中，每层抽样比和总体的抽样比相等，则有，
解得，故答案为：.
14、已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是
【解析】因为命题“，使”是假命题，所以恒成立，所以，解得，故实数的取值范围是．
【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0
；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数．而二次函数的恒成立问题，也可以采取以上方法，当二次不等式在R上大于或者小于0恒成立时，可以直接采用判别式法.
15、已知椭圆，点P是椭圆上在第一象限上的点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，过F2作∠F1PF2的外角的角平分线的垂线，垂足为A，若|OA|＝2b，则椭圆的离心率为 ．
【解析】解：如图，由题意可得，A为F2B的中点，
由|OA|＝2b，得|F1B|＝4b，
又|PF2|＝|PB|，
∴|F1B|＝|PF1|+|PB|＝|PF1|+|PF2|＝2a＝4b，
∴a＝2b，则c＝＝，得e＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆的定义及三角形中位线定理的应用，是中档题．
16、若两函数与的图象有两个交点、，是坐标原点，当是直角三角形时，则满足条件的所有实数的值的乘积为________.
【答案】
【解析】
，设
联立方程得到 故
故
故
当为直角时，，故，
代入方程解得，满足条件；
同理可得：当为直角时，得到；
当为直角时，
代入化简得到或（舍去）
故满足条件的有两个和，乘积为
故答案为：
一、 解答题（第17题10分，第18-22题每题12分）
17、已知集合A是函数y＝lg(20＋8x－x2)的定义域，集合B是不等式x2－2x＋1－a2≥0(a>0)的解集，p：x∈A，q：x∈B.
(1)若A∩B＝∅，求实数a的取值范围；
(2)若綈p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
[解析] (1)由题意得A＝{x|－2＜x＜10}，
B＝{x|x≥1＋a或x≤1－a}．
若A∩B＝∅，则必须满足解得a≥9.
∴实数a的取值范围是[9，＋∞)．
(2)易得綈p：x≥10或x≤－2.
∵綈p是q的充分不必要条件，
∴{x|x≥10或x≤－2}是B＝{x|x≥1＋a或x≤1－a}的真子集，则
解得0＜a≤3，
∴实数a的取值范围是(0，3].
18、（本题满分12分）为了研究的需要，某科研团队进行了如下动物性实验：将实验核酸疫苗注射到小白鼠身体中，通过正常的生理活动产生抗原蛋白，诱导机体持续作出免疫产生抗体，经过一段时间后用某种科学方法测算出动物体内抗体浓度，得到如图所示的统计频率分布直方图.
（Ⅰ）求抗体浓度百分比的中位数；
（Ⅱ）为了研究“小白鼠注射疫苗后出现副作用症状”，从实验中分层抽取了抗体浓度在，中的6只小白鼠进行研究，并且从这6只小白鼠中选取了2只进行医学观察，求这2只小白鼠中恰有1只抗体浓度在中的概率.
【答案】（1）4；（2）.
【解析】（1）设抗体浓度百分比的中位数为，
由题意：，
解得：
所以抗体浓度百分比的中位数为4.
（2）根据频率分布直方图：抗体浓度在，中的比例为，
则抽取的6只小白鼠中抗体浓度在中的有只，分别是、、、；则抽取的6只小白鼠中抗体浓度在中的有只，分别是、,从这6只小白鼠中选取了2只进行医学观察的样本有：、、、、、、、、、、、、、、,共15个，其中2只小白鼠中恰有1只抗体浓度在中的样本有：、、、、、、、,共8个，所以2只小白鼠中恰有1只抗体浓度在中的概率为：，
19、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点P(0，1)，Q(0，2)．设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T.求证：点T在椭圆C上．
[解析] (1)由题意知，b＝＝.
因为离心率e＝＝，
所以＝＝.
所以a＝2.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由题意可设M，N的坐标分别为(x0，y0)，(－x0，y0)，
则直线PM的方程为y＝x＋1， ①
直线QN的方程为y＝x＋2. ②
法一：联立①②解得x＝，y＝，
即T.由＋＝1，可得x＝8－4y.
因为＋＝
＝＝＝＝1，
所以点T的坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．
法二：设T(x，y)，联立①②解得x0＝，y0＝.
因为＋＝1，所以＋＝1.
整理得＋＝(2y－3)2，
所以＋－12y＋8＝4y2－12y＋9，即＋＝1.
所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．
20、已知椭圆C：的一个顶点为A（2，0），离心率为．直线y＝k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）当△AMN的面积为时，求k的值．
【解析】解：（1）由题意得，解得a＝2，，
∴椭圆C的方程为；
（2）由，得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4＝0．
设点M，N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
则y1＝k（x1﹣1），y2＝k（x2﹣1），，，
∴．
又∵点A（2，0）到直线y＝k（x﹣1）的距离，
∴△AMN的面积为：．
由，整理得：20k4+4k2﹣7＝0，
解得（舍），故．
【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．
21、西尼罗河病毒(WNV)是一种脑炎病毒，通常是由鸟类携带，经蚊子传播给人类。1999年8－10月，美国纽约首次爆发了WNV脑炎流行。在治疗上目前尚未有什么特效药可用，感染者需要采取输液及呼吸系统支持性疗法，有研究表明，大剂量的利巴韦林含片可抑制WNV的复制，抑制其对细胞的致病作用。现某药企加大了利巴韦林含片的生产，为了使生产效率提高，该药企负责人收集了5组实验数据，得到利巴韦林的投入量x(千克)和利巴韦林含片产量y(百盒)的统计数据如下：
由相关系数r可以反映两个变量相关性的强弱，|r|∈[0.75，1]，认为两个变量相关性很强；|r|∈[0.3，0.75)，认为两个变量相关性一般；|r|∈[0，0.3)，认为两个变量相关性较弱。
(1)计算相关系数r，并判断变量x、y相关性强弱；
(2)根据上表中的数据，建立y关于x的线性回归方程。为了使某组利巴韦林含片产量达到150百盒，估计该组应投入多少利巴韦林?
参考数据：≈25.69。
参考公式：相关系数r＝，线性回归方程中，。
22、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的右顶点为（2，0），离心率为，P是直线x＝4上任一点，过点M（1，0）且与PM垂直的直线交椭圆于A，B两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若P点的坐标为（4，3），求弦AB的长度；
（3）设直线PA，PM，PB的斜率分别为k1，k2，k3，问：是否存在常数λ，使得k1+k3＝λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
【解析】解：（1）由题知a＝2，e＝＝，
∴c＝，b2＝a2﹣c2＝1，
∴椭圆方程为．
（2）∵M（1，0），P（4，3）
∴kMP＝1，
∵直线AB与直线PM垂直，
∴kAB＝﹣1，
∴直线AB方程y﹣0＝﹣（x﹣1），即y＝﹣x+1，
联立，得5x2﹣8x＝0
∴x＝0或
∴A（0，1），B（），
∴|AB|＝．
（3）假设存在常数λ，使得k1+k2＝λk3．
当直线AB的斜率不存在时，其方程为x＝1，代入椭圆方程得A（1，），B（1，），此时P（4，0），易得k1+k3＝0＝k2
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）
代入椭圆方程得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4＝0，
∴x1+x2＝，，
直线PM方程为y＝﹣（x﹣1），则P（4，）
k2＝﹣
k1＝，k3＝．
k1+k3＝λk2，
，
即，
化简得：，
将x1+x2＝，，y1＝k（x1﹣1），y2＝k（x2﹣1），代入并化简得：
∴λ＝2．
综上：λ＝2．
【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，计算量较大，属于难题．
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