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  • 2021-06-16 发布

河北省邯郸市大名县第一中学2020-2021高二数学(实验班)10月月考试题(Word版带答案)

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清北班2020年10月月考试卷 考试范围:必修三第二章、第三章(3.1-3.2)占30%;选修2-1第一章、第二章(2.2椭圆)占70%.‎ 考试时间120分钟,满分150分。 ‎ 一、 单选题(每题5分)‎ ‎1、下列四个命题中,‎ ‎①若,则,中至少有一个不小于的逆命题;‎ ‎②存在正实数,,使得;‎ ‎③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”;‎ ‎④在中,是的充分不必要条件.‎ 真命题的个数是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2、“2a1c2.‎ 三、填空题(每题5分)‎ ‎13、某公司当月购进、、三种产品,数量分别为、、,现用分层抽样的方法从、、三种产品中抽出样本容量为的样本,若样本中型产品有件,则的值为_______.‎ ‎14、已知命题“,使”是假命题,则实数的取值范围是 ‎ ‎15、已知椭圆,点P是椭圆上在第一象限上的点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,O是坐标原点,过F2作∠F1PF2的外角的角平分线的垂线,垂足为A,若|OA|=2b,则椭圆的离心率为  .‎ ‎16、若两函数与的图象有两个交点、,是坐标原点,当是直角三角形时,则满足条件的所有实数的值的乘积为________.‎ 四、解答题(第17题10分,第18-22题每题12分)‎ ‎17、已知集合A是函数的定义域,集合B是不等式的解集,命题p:x∈A,命题q:x∈B.‎ ‎(1)若A∩B=,求实数a的取值范围;(2)若是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.‎ ‎18、(本题满分12分)为了研究的需要,某科研团队进行了如下动物性实验:将实验核酸疫苗注射到小白鼠身体中,通过正常的生理活动产生抗原蛋白,诱导机体持续作出免疫产生抗体,经过一段时间后用某种科学方法测算出动物体内抗体浓度,得到如图所示的统计频率分布直方图.‎ ‎(Ⅰ)求抗体浓度百分比的中位数;‎ ‎(Ⅱ)为了研究“小白鼠注射疫苗后出现副作用症状”,从实验中分层抽取了抗体浓度在,中的6只小白鼠进行研究,并且从这6只小白鼠中选取了2只进行医学观察,求这2只小白鼠中恰有1只抗体浓度在中的概率.‎ ‎19、在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的离心率为,以原点为圆心,椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)已知点P(0,1),Q(0,2).设M,N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点,直线PM与QN相交于点T.求证:点T在椭圆C上.‎ ‎20、已知椭圆C:的一个顶点为A(2,0),离心率为.直线与椭圆C交于不同的两点M,N.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;(2)当△AMN的面积为时,求的值.‎ ‎21、西尼罗河病毒(WNV)是一种脑炎病毒,通常是由鸟类携带,经蚊子传播给人类。1999年8-10月,美国纽约首次爆发了WNV脑炎流行。在治疗上目前尚未有什么特效药可用,感染者需要采取输液及呼吸系统支持性疗法,有研究表明,大剂量的利巴韦林含片可抑制WNV的复制,抑制其对细胞的致病作用。现某药企加大了利巴韦林含片的生产,为了使生产效率提高,该药企负责人收集了5组实验数据,得到利巴韦林的投入量x(千克)和利巴韦林含片产量y(百盒)的统计数据如下:‎ 由相关系数r可以反映两个变量相关性的强弱,|r|∈[0.75,1],认为两个变量相关性很强;|r|∈[0.3,0.75),认为两个变量相关性一般;|r|∈[0,0.3),认为两个变量相关性较弱。‎ ‎(1)计算相关系数r,并判断变量x、y相关性强弱;‎ ‎(2)根据上表中的数据,建立y关于x的线性回归方程。为了使某组利巴韦林含片产量达到150百盒,估计该组应投入多少利巴韦林?‎ 参考数据:≈25.69。‎ 参考公式:相关系数r=,线性回归方程中,‎ ‎。‎ ‎22、在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的右顶点为(2,0),离心率为,P是直线x=4上任一点,过点M(1,0)且与PM垂直的直线交椭圆于A,B两点.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)若P点的坐标为(4,3),求弦AB的长度;‎ ‎(3)设直线PA,PM,PB的斜率分别为,,,问:是否存在常数λ,使得?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.‎ 清北班2020年10月月考试卷 考试范围:必修三第二章、第三章(3.1-3.2)占30%;选修2-1第一章、第二章(2.2椭圆)占70%.‎ 考试时间120分钟,满分150分。 命题人:赵瑞杰 一、 单选题(每题5分)‎ ‎1、下列四个命题中,‎ ‎①若,则,中至少有一个不小于的逆命题;‎ ‎②存在正实数,,使得;‎ ‎③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”;‎ ‎④在中,是的充分不必要条件.‎ 真命题的个数是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】①若,中至少有一个不小于,如 ,则不成立,①错;‎ ‎② 时;②对;‎ ‎③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”; ③对;‎ ‎④在中,是的充分必要条件. ④错;‎ 因此选B.‎ ‎2、“2b>0)和圆O:x2+y2=b2,若C上存在点M,过点M引圆O的两条切线,切点分别为E,F,使得△MEF为正三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. 解析:选C 由于点O,M,E,F四点共圆,当△MEF为正三角形时,∠EOF=120°,O到EF的距离为b,且|EF|=b,此时正△MEF的高为×b=b,可得点M到点O的距离为2b.问题等价于椭圆上存在点M到坐标原点的距离为2b.设M(x0,y0),则x+y=x+b2=x+b2,由于0‎ eq f(3,4),所以e=>,又e<1,所以e的取值范围是.‎ 一、 多选题(每题5分)‎ ‎9、在统计中,由一组样本数据,,利用最小二乘法得到两个变量的回归直线方程为,那么下面说法正确的是()‎ A.直线至少经过点,,中的一个点 B.直线必经过点 C.直线表示最接近与之间真实关系的一条直线 D.,且越接近于1,相关程度越大;越接近于0,相关程度越小 ‎【答案】BCD ‎【解析】理解回归直线的含义,逐项分析.‎ A.直线由点拟合而成,可以不经过任何样本点,故A错;‎ B.直线必过样本点中心即点,故B正确;‎ C.直线是采用最小二乘法求解出的直线方程,接近真实关系,故C正确;‎ D.相关系数的绝对值越接近于,表示相关程度越大,越接近于,相关程度越小,故D正确.‎ 故选:BCD.‎ ‎10、下列叙述中不正确的是( )‎ A.“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 B.若,则“”的充要条件是“”‎ C.“”是“”的充分不必要条件 D.若,则“”的充要条件是“”‎ ‎【答案】AB ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对A,B,C,D四个选项条件和结论进行推导,判断是否正确.‎ ‎【详解】‎ A.令,方程有一个正根和一个 负根,则,则有,∴“”是“方程 有一个正根和一个负根”的必要不充分条件,错误. ‎ B.当时,若“”成立,而,充分性不成立 ‎,错误. ‎ C.,∴“”是“”的充分不必要条 件,正确 D.可以推出,而也可以推 出,正确. ‎ 故选:AB.‎ ‎【点睛】‎ 考查命题的充要条件,充分不必要条件,必要不充分条件.运用了二次函数的性质,基本不等式的性质.‎ ‎11、椭圆的左右焦点分别为,为坐标原点,以下说法正确的是( )‎ A.过点的直线与椭圆交于,两点,则的周长为.‎ B.椭圆上存在点,使得.‎ C.椭圆的离心率为 D.为椭圆一点,为圆上一点,则点,的最大距离为.‎ ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的定义,可判断A;根据数量积运算,以及椭圆的性质,可判断B ‎;根据离心率的定义,可判断出C;根据点与圆位置关系,以及椭圆的性质,可判断D.‎ ‎【详解】‎ 对于选项A,因为分别为椭圆的左右焦点,过点的直线与椭圆交于,两点,由椭圆定义可得:,‎ 因此的周长为,故A正确;‎ 对于选项B,设点为椭圆上任意一点,‎ 则点坐标满足,且 又,,所以,,‎ 因此,‎ 由,可得:,故B正确;‎ 对于选项C,因为,,所以,即,‎ 所以离心率为,故C错;‎ 对于选项D,设点为椭圆上任意一点,‎ 由题意可得:点到圆的圆心的距离为:,‎ 因为,所以.故D正确;故选:ABD ‎【点睛】本题主要考查椭圆相关命题真假的判定,熟记椭圆的定义,以及椭圆的简单性质即可,属于常考题型.‎ ‎2016年1月14日,国防科工局宣布,嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大 专项领导小组审议12、通过,正式开始实施.如图所示,假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长,给出下列式子:‎ ‎①a1+c1=a2+c2;②a1-c1=a2-c2;③<;④c1a2>a1c2.‎ 其中正确式子的序号是________.‎ ‎[解析] 观察图形可知a1+c1>a2+c2,即①式不正确;a1-c1=a2-c2=|PF|,即②式正确;由a1-c1=a2-c2>0,c1>c2>0知,<,即<,从而c1a2>a1c2,>,即④式正确,③式不正确.‎ ‎[答案] ②④‎ 一、 填空题(每题5分)‎ ‎13、某公司当月购进、、三种产品,数量分别为、、,现用分层抽样的方法从、、三种产品中抽出样本容量为的样本,若样本中型产品有件,则的值为_______.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】在分层抽样中,每层抽样比和总体的抽样比相等,则有,‎ 解得,故答案为:.‎ ‎14、已知命题“,使”是假命题,则实数的取值范围是 ‎ ‎【解析】因为命题“,使”是假命题,所以恒成立,所以,解得,故实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题,常用方法有:变量分离,参变分离,转化为函数最值问题;或者直接求函数最值,使得函数最值大于或者小于0‎ ‎;或者分离成两个函数,使得一个函数恒大于或小于另一个函数.而二次函数的恒成立问题,也可以采取以上方法,当二次不等式在R上大于或者小于0恒成立时,可以直接采用判别式法.‎ ‎15、已知椭圆,点P是椭圆上在第一象限上的点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,O是坐标原点,过F2作∠F1PF2的外角的角平分线的垂线,垂足为A,若|OA|=2b,则椭圆的离心率为  .‎ ‎【解析】解:如图,由题意可得,A为F2B的中点,‎ 由|OA|=2b,得|F1B|=4b,‎ 又|PF2|=|PB|,‎ ‎∴|F1B|=|PF1|+|PB|=|PF1|+|PF2|=2a=4b,‎ ‎∴a=2b,则c==,得e=,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的简单性质,考查椭圆的定义及三角形中位线定理的应用,是中档题.‎ ‎16、若两函数与的图象有两个交点、,是坐标原点,当是直角三角形时,则满足条件的所有实数的值的乘积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎,设 ‎ 联立方程得到 故 ‎ ‎ ‎ 故 ‎ 故 当为直角时,,故,‎ 代入方程解得,满足条件;‎ 同理可得:当为直角时,得到;‎ 当为直角时,‎ 代入化简得到或(舍去)‎ 故满足条件的有两个和,乘积为 故答案为:‎ 一、 解答题(第17题10分,第18-22题每题12分)‎ ‎17、已知集合A是函数y=lg(20+8x-x2)的定义域,集合B是不等式x2-2x+1-a2≥0(a>0)的解集,p:x∈A,q:x∈B.‎ ‎(1)若A∩B=∅,求实数a的取值范围;‎ ‎(2)若綈p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.‎ ‎[解析] (1)由题意得A={x|-2<x<10},‎ B={x|x≥1+a或x≤1-a}.‎ 若A∩B=∅,则必须满足解得a≥9.‎ ‎∴实数a的取值范围是[9,+∞).‎ ‎(2)易得綈p:x≥10或x≤-2.‎ ‎∵綈p是q的充分不必要条件,‎ ‎∴{x|x≥10或x≤-2}是B={x|x≥1+a或x≤1-a}的真子集,则 解得0<a≤3,‎ ‎∴实数a的取值范围是(0,3].‎ ‎18、(本题满分12分)为了研究的需要,某科研团队进行了如下动物性实验:将实验核酸疫苗注射到小白鼠身体中,通过正常的生理活动产生抗原蛋白,诱导机体持续作出免疫产生抗体,经过一段时间后用某种科学方法测算出动物体内抗体浓度,得到如图所示的统计频率分布直方图.‎ ‎(Ⅰ)求抗体浓度百分比的中位数;‎ ‎(Ⅱ)为了研究“小白鼠注射疫苗后出现副作用症状”,从实验中分层抽取了抗体浓度在,中的6只小白鼠进行研究,并且从这6只小白鼠中选取了2只进行医学观察,求这2只小白鼠中恰有1只抗体浓度在中的概率.‎ ‎【答案】(1)4;(2).‎ ‎【解析】(1)设抗体浓度百分比的中位数为,‎ 由题意:,‎ 解得:‎ 所以抗体浓度百分比的中位数为4.‎ ‎(2)根据频率分布直方图:抗体浓度在,中的比例为,‎ 则抽取的6只小白鼠中抗体浓度在中的有只,分别是、、、;则抽取的6只小白鼠中抗体浓度在中的有只,分别是、,从这6只小白鼠中选取了2只进行医学观察的样本有:、、、、、、、、、、、、、、,共15个,其中2只小白鼠中恰有1只抗体浓度在中的样本有:、、、、、、、,共8个,所以2只小白鼠中恰有1只抗体浓度在中的概率为:,‎ ‎19、在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)已知点P(0,1),Q(0,2).设M,N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点,直线PM与QN相交于点T.求证:点T在椭圆C上.‎ ‎[解析] (1)由题意知,b==.‎ 因为离心率e==,‎ 所以==.‎ 所以a=2.‎ 所以椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)由题意可设M,N的坐标分别为(x0,y0),(-x0,y0),‎ 则直线PM的方程为y=x+1, ①‎ 直线QN的方程为y=x+2. ②‎ 法一:联立①②解得x=,y=,‎ 即T.由+=1,可得x=8-4y.‎ 因为+= ‎====1,‎ 所以点T的坐标满足椭圆C的方程,即点T在椭圆C上.‎ 法二:设T(x,y),联立①②解得x0=,y0=.‎ 因为+=1,所以+=1.‎ 整理得+=(2y-3)2,‎ 所以+-12y+8=4y2-12y+9,即+=1.‎ 所以点T坐标满足椭圆C的方程,即点T在椭圆C上.‎ ‎20、已知椭圆C:的一个顶点为A(2,0),离心率为.直线y=k(x﹣1)与椭圆C交于不同的两点M,N.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)当△AMN的面积为时,求k的值.‎ ‎【解析】解:(1)由题意得,解得a=2,,‎ ‎∴椭圆C的方程为;‎ ‎(2)由,得(1+2k2)x2﹣4k2x+2k2﹣4=0.‎ 设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),‎ 则y1=k(x1﹣1),y2=k(x2﹣1),,,‎ ‎∴.‎ 又∵点A(2,0)到直线y=k(x﹣1)的距离,‎ ‎∴△AMN的面积为:.‎ 由,整理得:20k4+4k2﹣7=0,‎ 解得(舍),故.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求法,考查直线与椭圆位置关系的应用,考查计算能力,是中档题.‎ ‎21、西尼罗河病毒(WNV)是一种脑炎病毒,通常是由鸟类携带,经蚊子传播给人类。1999年8-10月,美国纽约首次爆发了WNV脑炎流行。在治疗上目前尚未有什么特效药可用,感染者需要采取输液及呼吸系统支持性疗法,有研究表明,大剂量的利巴韦林含片可抑制WNV的复制,抑制其对细胞的致病作用。现某药企加大了利巴韦林含片的生产,为了使生产效率提高,该药企负责人收集了5组实验数据,得到利巴韦林的投入量x(千克)和利巴韦林含片产量y(百盒)的统计数据如下:‎ 由相关系数r可以反映两个变量相关性的强弱,|r|∈[0.75,1],认为两个变量相关性很强;|r|∈[0.3,0.75),认为两个变量相关性一般;|r|∈[0,0.3),认为两个变量相关性较弱。‎ ‎(1)计算相关系数r,并判断变量x、y相关性强弱;‎ ‎(2)根据上表中的数据,建立y关于x的线性回归方程。为了使某组利巴韦林含片产量达到150百盒,估计该组应投入多少利巴韦林?‎ 参考数据:≈25.69。‎ 参考公式:相关系数r=,线性回归方程中,。‎ ‎22、在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(a>b>0)的右顶点为(2,0),离心率为,P是直线x=4上任一点,过点M(1,0)且与PM垂直的直线交椭圆于A,B两点.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)若P点的坐标为(4,3),求弦AB的长度;‎ ‎(3)设直线PA,PM,PB的斜率分别为k1,k2,k3,问:是否存在常数λ,使得k1+k3=λk2?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.‎ ‎【解析】解:(1)由题知a=2,e==,‎ ‎∴c=,b2=a2﹣c2=1,‎ ‎∴椭圆方程为.‎ ‎(2)∵M(1,0),P(4,3)‎ ‎∴kMP=1,‎ ‎∵直线AB与直线PM垂直,‎ ‎∴kAB=﹣1,‎ ‎∴直线AB方程y﹣0=﹣(x﹣1),即y=﹣x+1,‎ 联立,得5x2﹣8x=0‎ ‎∴x=0或 ‎∴A(0,1),B(),‎ ‎∴|AB|=.‎ ‎(3)假设存在常数λ,使得k1+k2=λk3.‎ 当直线AB的斜率不存在时,其方程为x=1,代入椭圆方程得A(1,),B(1,),此时P(4,0),易得k1+k3=0=k2‎ 当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k(x﹣1),A(x1,y1),B(x2,y2)‎ 代入椭圆方程得(1+4k2)x2﹣8k2x+4k2﹣4=0,‎ ‎∴x1+x2=,,‎ 直线PM方程为y=﹣(x﹣1),则P(4,)‎ k2=﹣‎ k1=,k3=.‎ k1+k3=λk2,‎ ‎,‎ 即,‎ 化简得:,‎ 将x1+x2=,,y1=k(x1﹣1),y2=k(x2﹣1),代入并化简得:‎ ‎∴λ=2.‎ 综上:λ=2.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系,计算量较大,属于难题.‎