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- 2021-06-10 发布
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河南省××市××县第一高级中学2018-2019学年高二上学期理数月考试卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,每小题只有一个选项符合题意)
1.曲线在点处的切线的倾斜角为( )
A.
B.
C.
D.
2.下列求导运算正确的是( )
A.
B.
C.
D.
3.若函数的图象的顶点在第四象限且开口向上,则函数的图象是( )
4.函数有极值的充要条件是( )
A.
B.
C.
D.
5.已知函数,则与围成的封闭图形的面积为( )
A.
B.
C.
D.1
6.设分别是定义在上的奇函数和偶函数,当时,
,且,则不等式的解集是( )
A.
B.
C.
D.
7.已知有极大值和极小值,则的取值范围为( )
- 10 -
A.
B.
C.
D.
8.若,则( )
A.0
B.
C.1
D.以上均不对
9.设函数的导函数为,且,则( )
A.0
B.
C.
D.2
10.已知,且,则下列式子中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
11.若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数,则实数的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
12.已知函数,则下列结论正确的是( )
A.若是的极值点,则在区间内是增函数
B.若是的极值点,则在区间内是减函数
C.,且
D.在上是增函数
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)
13.已知函数,则的最小值为 .
14. .
15.已知函数有两个零点,则的取值范围是 .
16.已知函数若有,则的最大值为 .
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
- 10 -
17.(10分)已知函数在处有极值,求的值及的单调区间.
18.(12分)设函数为奇函数,其图象在点处的切线与直线垂直,导函数的最小值为
(1)求的值;
(2)求函数的单调递增区间,并求函数在上的最大值和最小值。
19.(12分)已知函数在处的切线方程为,数列满足
(1)求数列的通项公式以及前项和;
(2)求的最小值。
20.某校内有一块以O为圆心,R
- 10 -
(单位:米)为半径的半圆形荒地(如图),校总务处计划对其开发利用,其中弓形BCD区域(阴影部分)用于种植观赏植物,△OBD区域用于种植花卉出售,其余区域用于种植草皮出售。已知种植观赏植物的成本是每平方米20元,种植花卉的利润是每平方米80元,种植草皮的利润是每平方米30元。
(1)设(单位:弧度),用表示弓形BCD的面积;
(2)如果该校总务处邀请你规划这块土地。如何设计的大小才能使总利润最大?并求出该最大值。
21.已知函数
(1)求函数在上的最小值;
(2)若函数与的图象恰有一个公共点,求实数的值.
22.设函数
(1)讨论的单调性;
(2)若有两个极值点和,记过点的直线的斜率为,问:是否存在使得若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。
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答案及解析
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,每小题只有一个选项符合题意)
1.曲线在点处的切线的倾斜角为( )
A.
B.
C.
D.
1.答案:D 解析:处的切线斜率为,倾斜角为
2.下列求导运算正确的是
A.
B.
C.
D.
2.答案:B 解析:,,
3.若函数的图象的顶点在第四象限且开口向上,则函数的图象是( )
3.答案:A 解析:函数的图象的顶点在第四象限,开口向上,函数是先减后增,且极小值点为正,∴先有,后有,当时,
4.函数有极值的充要条件是( )
A.
B.
C.
D.
4.答案:C 解析:,由题意得有实数解,即,所以
5.已知函数,则与围成的封闭图形的面积为( )
A.
B.
C.
D.1
5.答案:C 解析:
6.设分别是定义在上的奇函数和偶函数,当时,
,且,则不等式的解集是( )
A.
B.
C.
D.
6.答案:D 解析:设,则,所以是上的奇函数,,当时,,所以是上的增函数,根据奇函数的对称性可知在上也是增函数,所以的解集为
7.已知有极大值和极小值,则的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
7.答案:D 解析:,依题意有两个不相等的实数根,∴,解得:或
- 10 -
8.若,则( )
A.0
B.
C.1
D.
8.答案:1或 解析:,∴,∴ 或,时,
,当时,
9.设函数的导函数为,且,则( )
A.0
B.
C.
D.2
9.答案:B 解析:,∴∴
10.已知,且,则下列式子中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
10.答案:B 解析:设,则,在上,单调递增,所以,即;设则
,当时,单调递减,当时,单调递增,∴C,D均不正确。
11.若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数,则实数的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
11.答案:B ∴当时,单调递减,当时,单调递增,依题意得,∴
12.已知函数,则下列结论正确的是( )
A.若是的极值点,则在区间内是增函数
B.若是的极值点,则在区间内是减函数
C.,且
D.在上是增函数
12.答案:D 解析:令,得或,列表如下:
+
-
-
+
增
减
减
增
- 10 -
因为在上不是单调函数,可判断A,B错,又,可判断C错,易知D正确。
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)
13.已知函数,则的最小值为 .
13.答案:,解析:令,得,当时,,单调递减,当时,,单调递增,所以
14. .
14.答案: 解析:∵∴
15.已知函数有两个零点,则的取值范围是 .
15.答案: 解析:,易知在上单调递减,在上单调递增,由题意可得所以
16.已知函数若有,则的最大值为 .
16.答案:3 解析:,当时,单调递增,所以,依题意得解得:,所以的最大值为3
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知函数在处有极值,求的值及的单调区间.
17.解:的定义域为,,由题意可得解得:,∴,显然在上是减函数,且,所以当时,单调递增;当时,单调递减。
所以的单调增区间是,的单调减区间是
18.(12分)设函数为奇函数,其图象在点处的切线与直线垂直,导函数的最小值为
(1)求的值;
(2)求函数的单调递增区间,并求函数在上的最大值和最小值。
18.解:(1)∵为奇函数,∴
∵的最小值为,∴,
又直线的斜率为,∴,解得
∴
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(2),列表如下:
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴函数的单调递增区间是和,
∵,∴函数在上的最大值是18,最小值是
19.(12分)已知函数在处的切线方程为,数列满足
(1)求数列的通项公式以及前项和;
(2)求的最小值。
18.解:(1),因此处的切线斜率是2,又当时,则切点为,所以切线方程为,所以,所以是首项为公差为2的等差数列,因此
(2),令,令,可得,易知是的最小值点。因为,又,所以当时,取得最小值,最小值为
20.某校内有一块以O为圆心,R(单位:米)为半径的半圆形荒地(如图),校总务处计划对其开发利用,其中弓形BCD区域(阴影部分)用于种植观赏植物,△OBD区域用于种植花卉出售,其余区域用于种植草皮出售。已知种植观赏植物的成本是每平方米20元,种植花卉的利润是每平方米80元,种植草皮的利润是每平方米30元。
(1)设(单位:弧度),用表示弓形BCD的面积;
(2)如果该校总务处邀请你规划这块土地。如何设计的大小才能使总利润最大?并求出该最大值。
20.(1)扇形的面积
(2)设总利润为元,种植草皮利润为元,种植花卉利润为元,种植学校观赏植物成本为元。
则
- 10 -
设则,令,得,当时,,单调递减;当时,,单调递增。
所以当时,取得极小值,也是最小值为
此时总利润最大,则最大总利润为
所以当扇形的圆心角为时,总利润取得最大值为元
21.已知函数
(1)求函数在上的最小值;
(2)若函数与的图象恰有一个公共点,求实数的值.
21.(1)令,得
①当时,函数在上单调递减,在上单调递增,此时函数在区间上的最小值为
②当时,函数在区间上单调递增,此时函数在区间上的最小值为
(2)由题意得,在上有且只有一个根,即在上有且只有一个根。令,则
,易知在上单调递减,在
上单调递增,所以,由题意可知,若使与的图象恰有一个公共点,则
22.设函数
(1)讨论的单调性;
(2)若有两个极值点和,记过点的直线的斜率为,问:是否存在使得若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。
22.解:(1)的定义域为,
令,其判别式
①时,,则,故在区间上单调递增
②当时,的两根都小于0,在上,则,故在区间上单调递增
③当时,的两根为,
- 10 -
当时,,即;当时,,即,单调递减;当时,,即
故在和上单调递增,在上单调递减。
(2)由(1)可知当时,函数有两个极值点,
∵
∴,又有(1)知,,于是
,若存在,使得,则,
即 (*)
再由(1)知,函数在上单调递增,且,而∴,这与(*)式矛盾,故不存在,使得
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