【数学】2018届一轮复习北师大版第九章算法初步统计统计案例第二节随机抽样教案 8页

第二节　随机抽样 ‎☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆‎ 考纲要求 真题举例 命题角度 ‎1.理解随机抽样的必要性和重要性；‎ ‎2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；‎ ‎3.了解分层抽样和系统抽样方法。‎ ‎2015，湖南卷，12,5分(系统抽样)‎ ‎2014，天津卷，9,5分(分层抽样)‎ ‎2015，湖北卷，2,5分(简单随机抽样)‎ ‎1.主要考查学生在应用问题中构造抽样模型、识别模型、收集数据等能力方法，是统计学中最基础的知识；‎ ‎2.高考试题中主要以选择题或填空题的形式出现，题目多为中低档题，重在考查抽样方法的应用。‎ 微知识　小题练 自|主|排|查 ‎1．简单随机抽样 ‎(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。‎ ‎(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法。‎ ‎2．系统抽样的步骤 假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本。‎ ‎(1)先将总体的N个个体编号。‎ ‎(2)确定分段间隔k，对编号进行分段，当是整数时，取k＝。‎ ‎(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)。‎ ‎(4)按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本。‎ ‎3．分层抽样 ‎(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照_一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样。‎ ‎(2)分层抽样的应用范围：‎ 当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样。‎ 微点提醒 ‎1．随机数法编号要求：应保证各号数的位数相同，而抽签法则无限制。‎ ‎2．不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率是相同的。‎ ‎3．系统抽样是等距抽样，入样个体的编号相差的整数倍。‎ ‎4．分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比。‎ 小|题|快|练 一 、走进教材 ‎1．(必修3P‎64A组T6改编)在一次游戏中，获奖者可以得到5件不同的奖品，这些奖品要从由1～50编号的50种不同奖品中随机抽取确定，用系统抽样的方法为某位获奖者确定5件奖品的编号可以为(　　)‎ A．5,15,25,35,45 B．1,3,5,7,9‎ C．11,22,33,44,50 D．12,15,19,23,28‎ ‎【解析】　采用系统抽样的等距抽样法，抽样间距为＝10，随机抽取第1个奖品号，设为a(0≤a≤10)，则其他奖品号分别为10＋a,20＋a,30＋a,40＋a，所以可知A正确。‎ ‎【答案】　A ‎2．(必修3P‎100A组T2(2)改编)一段高速公路有300个太阳能标志灯，其中进口的有30个，联合研制的有75个，国产的有195个，为了掌握每个标志灯的使用情况，要从中抽取一个容量为20的样本，若采用分层抽样的方法，抽取的进口的标志灯的数量为(　　)‎ A．2　　　 B．‎3　‎　　‎ C．5　　　 D．13‎ ‎【解析】　由题意，设抽取的进口的标志灯的数量为x，则＝，所以x＝2。故选A。‎ ‎【答案】　A ‎3．(必修3P‎64A组T5改编)一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本。已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为(　　)‎ A．40 B．60‎ C．80 D．120‎ ‎【解析】　因为用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本。由B层中每个个体被抽到的概率都为，知道在抽样过程中每个个体被抽到的概率是。所以总体中的个体数为10÷＝120。故选D。‎ ‎【答案】　D 二、双基查验 ‎1．为了了解全校240名学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，下列说法正确的是(　　)‎ A．总体是240　　　　　　 B．个体是每一个学生 C．样本是40名学生 D．样本容量是40‎ ‎【解析】　总体容量是240；总体是240名学生的身高；个体是每名学生的身高；样本是40名学生的身高；样本容量是40。故选D。‎ ‎【答案】　D ‎2．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成。利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为(　　)‎ ‎7816‎ ‎6572‎ ‎0802‎ ‎6314‎ ‎0702‎ ‎4369‎ ‎9728‎ ‎0198‎ ‎3204‎ ‎9234‎ ‎4935‎ ‎8200‎ ‎3623‎ ‎4869‎ ‎6938‎ ‎7481‎ A.08 B．07‎ C．02 D．01‎ ‎【解析】　从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08,02,14,07,01，所以第5个个体的编号为01。故选D。‎ ‎【答案】　D ‎3．某公司有员工500人，其中不到35岁的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取100名员工，则应在这三个年龄段分别抽取人数为(　　)‎ A．33人，34人，33人 B．25人，56人，19人 C．30人，40人，30人 D．30人，50人，20人 ‎【解析】　因为125∶280∶95＝25∶56∶19，所以抽取人数分别为25人，56人，19人。故选B。‎ ‎【答案】　B ‎4．已知某商场新进3 000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否超标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查，若第一组抽出的号码是11，则第六十一组抽出的号码为________。‎ ‎【解析】　每组袋数：d＝＝20，‎ 由题意知这些号码是以11为首项，20为公差的等差数列。a61＝11＋60×20＝1 211。‎ ‎【答案】　1 211‎ 微考点　大课堂 考点一 ‎ 简单随机抽样 ‎【典例1】　(1)下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为(　　)‎ ‎①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；‎ ‎②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验。在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；‎ ‎③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检查；‎ ‎④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛。‎ A．0　　　　　　　　　　 B．1‎ C．2 D．3‎ ‎(2)(2016·泰安模拟)假设要考察某公司生产的‎500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋奶按000,001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号________。(下面摘取了随机数表第7行至第9行)‎ ‎【解析】　(1)①不是简单随机抽样。因为被抽取样本的总体的个体数是无限的，而不是有限的。‎ ‎②不是简单随机抽样。因为它是放回抽样。‎ ‎③不是简单随机抽样。因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取。‎ ‎④不是简单随机抽样。因为指定个子最高的5名同学是56名中特指的，不具有随机性，不是等可能的抽样。故选A。‎ ‎(2)找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785；第二个数916>799，舍去；第三个数955>799，舍去；第四个数567符合题意，这样再依次读出结果为199,507,175。‎ ‎【答案】　(1)A　(2)785,567,199,507,175‎ 反思归纳　抽签法与随机数表法的适用情况 ‎1．抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数表法适用于总体中个体数较多的情况。‎ ‎2．一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：‎ 一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀。一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法。‎ ‎【变式训练】　(1)下面的抽样方法是简单随机抽样的是(　　)‎ A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2 709的为三等奖 B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格 C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解学校机构改革的意见 D．用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验 ‎(2)(2015·湖北高考)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为(　　)‎ A．134石 B．169石 C．338石 D．1 365石 ‎【解析】　(1)A，B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；C不是简单随机抽样，因为总体中的个体有明显的层次；D是简单随机抽样。故选D。‎ ‎(2)设这批米内夹谷x石，则由题意知，＝，即x＝×1 534≈169。故选B。‎ ‎【答案】　(1)D　(2)B 考点二 ‎ 系统抽样……母题发散 ‎【典例2】　(1)为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为(　　)‎ A．50 B．40‎ C．25 D．20‎ ‎(2)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为(　　)‎ A．11 B．12‎ C．13 D．14‎ ‎【解析】　(1)由＝25，可得分段间隔为25。故选C。‎ ‎(2)由系统抽样定义可知，所分组距为＝20，每组抽取一个，因为包含整数个组，所以抽取个体在区间[481,720]的数目为(720－480)÷20＝12。故选B。‎ ‎【答案】　(1)C　(2)B ‎【母题变式】　1.本典例(2)中条件不变，若第三组抽得的号码为44，则在第八组中抽得的号码是______。‎ ‎【解析】　在第八组中抽得的号码为(8－3)×20＋44＝144。‎ ‎【答案】　144‎ ‎2．本典例(2)中条件不变，若在编号为[481,720]中抽取8人，则样本容量为________。‎ ‎【解析】　因为在编号[481,720]中共有720－480＝240人，又在[481,720]中抽取8人，所以抽样比应为240∶8＝30∶1，又因为单位职工共有840人，所以应抽取的样本容量为＝28。‎ ‎【答案】　28‎ 反思归纳　解决系统抽样问题的两个关键步骤 ‎1．分组的方法应依据抽取比例而定，即根据定义每组抽取一个样本。‎ ‎2．起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了。‎ ‎【拓展变式】　(2015·湖南高考)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示。‎ ‎13‎ ‎0　0　3　4　5　6　6　8　8　8　9‎ ‎14‎ ‎1　1　1　2　2　2　3　3　4　4　5　5　5　6　6　7　8‎ ‎15‎ ‎0　1　2　2　3　3　3‎ 若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________。‎ ‎【解析】　35÷7＝5，因此可将编号为1～35的35个数据分成7组，每组有5个数据，在区间[139,151]上共有20个数据，分在4个小组中，每组取1人，共取4人。‎ ‎【答案】　4‎ 考点三 ‎ 分层抽样……多维探究 角度一：分层抽样的计算 ‎【典例3】　(2016·安徽江南十校联考)‎2016年1月1日我国全面二孩政策实施后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生育二孩意愿的调查活动。已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，30岁以下的约2 400人，30岁至40岁的约3 600人，40岁以上的约6 000人。为了解不同年龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容量为N的样本进行调查，已知从30岁至40岁的女性中抽取的人数为60，则N＝________。‎ ‎【解析】　由题意可得＝，故N＝200。‎ ‎【答案】　200‎ 角度二：分层抽样与概率的综合问题 ‎【典例4】　最新高考改革方案已在上海和浙江实施，某教育机构为了解我省广大师生对新高考改革方案的看法，对某市部分学校500名师生进行调查，统计结果如下：‎ 赞成改革 不赞成改革 无所谓 教师 ‎120‎ y ‎40‎ 学生 x z ‎130‎ 在全体师生中随机抽取1名“赞成改革”的人是学生的概率为0.3，且z＝2y。‎ ‎(1)现从全部500名师生中用分层抽样的方法抽取50名进行问卷调查，则应抽取“不赞成改革”的教师和学生人数各是多少？‎ ‎(2)在(1)中所抽取的“不赞成改革”的人中，随机选出3人进行座谈，求至少有1名教师被选出的概率。‎ ‎【解析】　(1)由题意知＝0.3，所以x＝150，所以y＋z＝60。‎ 因为z＝2y，所以y＝20，z＝40。‎ 则应抽取“不赞成改革”的教师人数为×20＝2，‎ 应抽取“不赞成改革”的学生人数为×40＝4。‎ ‎(2)至少有1名教师被选出的概率 ‎【答案】　(1)教师为2名，学生为4名　(2) 微考场　新提升 ‎1．为了了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是(　　)‎ A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样 解析　不同的学段在视力状况上有所差异，所以应该按照学段分层抽样。故选C。‎ 答案　C ‎2．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为(　　)‎ A．6 B．8‎ C．10 D．12‎ 解析　设样本容量为N，则N×＝6，∴N＝14，‎ ‎∴高二年级所抽学生人数为14×＝8。故选B。‎ 答案　B ‎3．从2 007名学生中选取50名学生参加全国数学联赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2 007人中剔除7人，剩下的2 000人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率(　　)‎ A．不全相等 B．均不相等 C．都相等，且为 D．都相等，且为 解析　从N个个体中抽取M个个体，则每个个体被抽到的概率都等于。‎ 先从2 007人中剔除7人，即从中选2 000人，每人被选到的概率为，再从2 000人中选50人，每人被选到的概率为，故每人入选的概率为×＝。故选C。‎ 答案　C ‎4．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生。‎ 解析　抽取比例与学生比例一致。‎ 设应从高二年级抽取x名学生，则x∶50＝3∶10。解得x＝15。‎ 答案　15‎ ‎5．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组抽出的号码为123，则第2组中应抽出个体的号码是________。‎ 解析　由题意可知，系统抽样的组数为20，间隔为8，设第1组抽出的号码为x，则由系统抽样的法则可知，第n组抽出个体的号码应该为x＋(n－1)×8，所以第16组应抽出的号码为x＋(16－1)×8＝123，解得x＝3，所以第2组中应抽出个体的号码为3＋(2－1)×8＝11。‎ 答案　11‎