高中数学第二章平面解析几何2-6-2双曲线的几何性质课件新人教B版选择性必修第一册 52页

2 . 6 . 2 　 双曲线的几何性质 核心 素养 1 . 掌握双曲线的简单几何性质 . ( 直观想象 ) 2 . 理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程 . ( 逻辑推理 ) 3 . 通过具体实例初步了解直线与双曲线相交的相关问题 . ( 数学运算 ) 思维脉络 激趣诱思 知识点拨 火电厂、核电站的循环水自然通风冷却塔是一种大型薄壳型构筑物 . 建在水源不十分充足的地区的电厂 , 为了节约用水 , 需建造一个循环冷却水系统 , 以使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复使用 . 大型电厂采用的冷却构筑物多为双曲线型冷却塔 . 这样从结构上最稳定 , 强度高 , 能够获得更大的容积 , 气流顺畅 , 对流冷却效果好 , 造型美观 . 激趣诱思 知识点拨 双曲线的几何 性质 标准方程 图形 激趣诱思 知识点拨 标准方程 性 质 范围 x ≤ -a 或 x ≥ a y ∈ R y ≤ -a 或 y ≥ a x ∈ R 对称性 对称轴 :x 轴、 y 轴 ; 对称中心 : 坐标原点 顶点坐标 A 1 (-a,0),A 2 (a,0) A 1 (0,-a),A 2 (0,a) 轴 实轴 : 线段 A 1 A 2 , 长 : 2a ; 虚轴 : 线段 B 1 B 2 , 长 : 2b ; 半实轴长 : a , 半虚轴长 : b 渐近线 y= ± x y= ± x 离心率 a,b,c 间的关系 c 2 = a 2 +b 2 (c>a>0,c>b>0) 名师点析 (1) 双曲线与椭圆的六个不同点 :   双曲线 椭圆 曲线 两支曲线 封闭的曲线 顶点 两个顶点 四个顶点 轴 实、虚轴 长、短轴 渐近线 有渐近线 无渐近线 离心率 e>1 0 0, n> 0) 的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 例 2 已知 F 1 , F 2 为 双曲线 ( a> 0, b> 0) 的左、右焦点 , 过 F 2 作垂直于 x 轴的直线交双曲线于点 P , 且 ∠ PF 1 F 2 = 30 ° , 求该双曲线的渐近线方程 . 分析 求双曲线的渐近线方程就必须求渐近线的斜率 , 也就是求 a , b 间的关系 . 本题利用双曲线的定义和直角三角形边、角之间的关系 , 求 a , b 间的关系 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的方法中 , 最简单且实用的是把双曲线标准方程中等号右边的 “1” 改成 “0”, 就得到了此双曲线的渐近线方程 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答案 : A 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 由双曲线的几何性质求标准方程 例 3 根据以下条件 , 求双曲线的标准方程 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 根据双曲线的某些几何性质求双曲线的标准方程 , 一般用待定系数法转化为解方程 ( 组 ), 但要注意焦点的位置 , 从而正确选择方程的形式 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2 . 巧设双曲线方程的六种方法与技巧 (5) 渐近线为 y= ± kx 的双曲线方程可设为 k 2 x 2 -y 2 = λ ( λ ≠0) . (6) 渐近线为 ax ± by= 0 的双曲线方程可设为 a 2 x 2 -b 2 y 2 = λ ( λ ≠0) . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2 求适合下列条件的双曲线的标准方程 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 直线与双曲线的位置关系 例 4 (1) 已知平面上两点 M ( - 5,0) 和 N (5,0), 若直线上存在点 P 使 |PM|-|PN|= 6, 则称该直线为 “ 单曲型直线 ”, 下列直线中 : ① y=x+ 1; ② y= 2; ③ y= x ; ④ y= 2 x+ 1 . 其中是 “ 单曲型直线 ” 的是 　　　　　 .   探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答案 : ① ② 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (2) 已知双曲线焦距为 4, 焦点在 x 轴上 , 且过点 P (2,3) . ① 求该双曲线的标准方程 ; ② 若直线 m 经过该双曲线的右焦点且斜率为 1, 求直线 m 被双曲线截得的弦长 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 直线与双曲线位置关系的判定方法 通常把直线与双曲线的方程联立成方程组 , 通过消元后化为 ax 2 +bx+c= 0 的形式 , 在 a ≠0 的情况下考查方程的判别式 . (1) Δ> 0 时 , 直线与双曲线有两个不同的公共点 . (2) Δ= 0 时 , 直线与双曲线只有一个公共点 . (3) Δ< 0 时 , 直线与双曲线没有公共点 . 当 a= 0 时 , 此时直线与双曲线的渐近线平行 , 直线与双曲线有一个公共点 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2 . 双曲线的弦长公式 和直线与椭圆相交所得的弦的长度求法一样 . 设直线 y=kx+b 与双 3 . 如果利用 “ 点差法 ” 解题 , 其过程是无法保证直线与双曲线相交的 , 因此必须对所得直线方程的存在性进行验证 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 3 (1) 已知双曲线方程为 x 2 - = 1, 过点 P (1,0) 的直线 l 与双曲线只有一个公共点 , 则 l 共有 ( 　　 ) A.4 条 B.3 条 C.2 条 D.1 条 解析 : 因为双曲线方程为 x 2 - = 1, 则 P (1,0) 是双曲线的右顶点 , 所以过 P (1,0) 并且和 x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线 , 与双曲线只有一个公共点 , 另外两条就是过 P (1,0) 分别和两条渐近线平行的直线 , 所以符合要求的有 3 条 . 答案 : B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (2) 已知双曲线 2 x 2 -y 2 = 2, 过点 B (1,1) 能否作直线 l , 使 l 与所给双曲线交于点 Q 1 , Q 2 , 且 B 是弦 Q 1 Q 2 的中点 , 若存在这样的直线 l , 求出它的方程 ; 若不存在 , 请说明理由 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (3) 已知双曲线 C : x 2 -y 2 = 1 及直线 l : y=kx- 1 . ① 若直线 l 与双曲线 C 有两个不同的交点 , 求实数 k 的取值范围 ; ② 若直线 l 与双曲线 C 交于 A , B 两点 , O 是坐标原点 , 且 △ AOB 的面积 为 , 求实数 k 的值 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 专项探究 　 离心率 问题 答案 : A 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答案 : A 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 归纳总结求双曲线的离心率 (1) 求双曲线的离心率或其范围的方法 ② 列出含有 a , b , c 的齐次方程或不等式 , 借助于 b 2 =c 2 -a 2 消去 b , 然后转化成关于 e 的方程或不等式求解 . (2) 求解时 , 若用到特殊几何图形 , 可运用几何性质使问题简化 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 迁移应用 1 (2019 浙江 ,2) 渐近线方程为 x ± y= 0 的双曲线的离心率是 ( 　　 ) 答案 : C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答案 : D 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1 . 双曲线 mx 2 +y 2 = 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍 , 则 m 的值为 ( 　　 ) 答案 : C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答案 : AD 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3 . 中心在原点 , 焦点在 x 轴上 , 且一个焦点在直线 3 x- 4 y+ 12 = 0 上的等轴双曲线的方程是 　　　　　 .   解析 : 令 y= 0, 得 x=- 4, ∴ 等轴双曲线的一个焦点为 ( - 4,0), 答案 : x 2 -y 2 = 8 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答案 : ②④ ⑤ 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 |PF|-|AP|= 2 a= 4, ① |QF|-|QA|= 2 a= 4, ② ① + ② 得 |PF|+|QF|-|PQ|= 8, ∴ 周长为 |PF|+|QF|+|PQ|= 8 + 2 |PQ|= 32 . 答案 : 32 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测