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  • 2021-06-16 发布

【数学】2018届一轮复习北师大版空间点、线、面的位置关系教案

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第2讲 空间点、线、面的位置关系 ‎              空间线面位置关系的判断 自主练透 夯实双基 空间线面位置关系判断的常用方法 ‎(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题;‎ ‎(2)必要时可以借助空间几何模型,如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系,并结合有关定理来进行判断.‎ ‎[题组通关]‎ ‎1.(2016·高考浙江卷)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则(  )‎ A.m∥l        B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n C [解析] 因为α∩β=l.所以l⊂β,又n⊥β,所以n⊥l.‎ ‎2.(2016·合肥市第一次教学质量检测)已知l,m,n为不同的直线,α,β,γ为不同的平面,则下列判断正确的是(  )‎ A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m⊥α,n∥β,α⊥β,则m⊥n C.若α∩β=l,m∥α,m∥β,则m∥l D.若α∩β=m,α∩γ=n,l⊥m,l⊥n,则l⊥α C [解析] A:m,n可能的位置关系为平行,相交,异面,故A错误;B:根据面面垂直与线面平行的性质可知B错误;C:根据线面平行的性质可知C正确;D:若m∥n,根据线面垂直的判定可知D错误,故选C.‎ ‎3.(2016·石家庄教学质量检测(二))设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列四个命题:‎ ‎①若m⊂α,n∥α,则m∥n;‎ ‎②若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ;‎ ‎③若α∩β=n,m∥n,则m∥α,且m∥β;‎ ‎④若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β.‎ 其中真命题的个数为(  )‎ A.0          B.1‎ C.2 D.3‎ B [解析] ①m∥n或m,n异面,故①错误;②根据面面平行的性质以及线面垂直的性质可知②正确;③m∥α或m⊂α,m∥β或m⊂β,故③错误;④根据面面垂直的性质以及面面平行的判定可知④错误,所以真命题的个数为1,故选B.‎ 判断空间线面位置关系应注意的问题 解决空间点、线、面位置关系的组合判断题,主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况,以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断,必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断,同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中.‎ ‎             空间平行、垂直关系的证明 数学思想 活学活用 ‎1.直线、平面平行的判定及其性质 ‎(1)线面平行的判定定理:a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α.‎ ‎(2)线面平行的性质定理:a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b.‎ ‎(3)面面平行的判定定理:a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥α⇒α∥β.‎ ‎(4)面面平行的性质定理:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b.‎ ‎2.直线、平面垂直的判定及其性质 ‎(1)线面垂直的判定定理:m⊂α,n⊂α,m∩n=P,l⊥m,l⊥n⇒l⊥α.‎ ‎(2)线面垂直的性质定理:a⊥α,b⊥α⇒a∥b.‎ ‎(3)面面垂直的判定定理:a⊂β,a⊥α⇒α⊥β.‎ ‎(4)面面垂直的性质定理:α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β.‎ ‎ (2016·高考山东卷)在如图所示的几何体中,D是AC的中点,EF∥DB.‎ ‎(1)已知AB=BC,AE=EC.求证:AC⊥FB;‎ ‎(2)已知G,H分别是EC和FB的中点.求证:GH∥平面ABC.‎ ‎【证明】 (1)因为EF∥DB,‎ 所以EF与DB确定平面BDEF.连接DE.‎ 因为AE=EC,D为AC的中点,‎ 所以DE⊥AC.‎ 同理可得BD⊥AC.‎ 又BD∩DE=D,‎ 所以AC⊥平面BDEF,‎ 因为FB⊂平面BDEF,‎ 所以AC⊥FB.‎ ‎(2)设FC的中点为I,连接GI,HI.‎ 在△CEF中,因为G是CE的中点,‎ 所以GI∥EF.‎ 又EF∥DB,所以GI∥DB.‎ 在△CFB中,因为H是FB的中点,‎ 所以HI∥BC,‎ 又HI∩GI=I,‎ 所以平面GHI∥平面ABC.‎ 因为GH⊂平面GHI,‎ 所以GH∥平面ABC.‎ ‎(1)平行关系及垂直关系的转化 空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化,即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化.‎ ‎(2)数学思想 ‎①本例在证明线线垂直、线面平行时,采用了转化与化归思想.‎ ‎②利用转化与化归思想还可以解决本专题中的线面其他位置关系.‎ ‎[题组通关]‎ ‎1.(2016·广州市五校联考)如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD是菱形,PA=PD,∠BAD=60°,E是AD的中点,点Q在侧棱PC上.‎ ‎(1)求证:AD⊥平面PBE;‎ ‎(2)若Q是PC的中点,求证:PA∥平面BDQ.‎ ‎[证明] (1)由E是AD的中点,PA=PD可得AD⊥PE.‎ 又底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,‎ 所以AB=BD,又因为E是AD的中点,所以AD⊥BE,‎ 又PE∩BE=E,所以AD⊥平面PBE.‎ ‎(2)连接AC,交BD于点O,连接OQ.‎ 因为O是AC的中点,‎ Q是PC的中点,‎ 所以OQ∥PA,‎ 又PA⊄平面BDQ,OQ⊂平面BDQ,‎ 所以PA∥平面BDQ.‎ ‎2.(2016·河北省三市第二次联考)在直三棱柱ABCA1B1C1中,AC=4,CB=2,AA1=2,∠ACB=60°,E,F分别是A1C1,BC的中点.‎ ‎(1)证明:平面AEB⊥平面BB1C1C; ‎ ‎(2)证明:C1F∥平面ABE;‎ ‎(3)设P是BE的中点,求三棱锥PB1C1F的体积.‎ ‎[解] (1)证明:在△ABC中,因为AC=2BC=4,∠ACB=60°,所以AB=2,所以AB2+BC2=AC2,所以AB⊥BC,由已知AB⊥BB1,且BC∩BB1=B,可得AB⊥平面BB1C1C,又AB⊂平面ABE,‎ 所以平面ABE⊥平面BB1C1C.‎ ‎(2)证明:取AC的中点M,连接C1M,FM,‎ 在△ABC中,FM∥AB,‎ 而FM⊄平面ABE,所以直线FM∥平面ABE,‎ 在矩形ACC1A1中,E,M分别是A1C1,AC的中点,所以C1M∥AE,‎ 而C1M⊄平面ABE,所以C1M∥平面ABE,‎ 因为C1M∩FM=M,‎ 所以平面ABE∥平面FMC1,又C1F⊂平面FMC1,故C1F∥平面ABE.‎ ‎(3)取B1C1的中点H,连接EH,‎ 则EH∥AB,且EH=AB=,‎ 又AB⊥平面BB1C1C,‎ 所以EH⊥平面BB1C1C,‎ 因为P是BE的中点,‎ 所以VPB1C1F=VEB1C1F=×S△B1C1F·EH=××2×=.‎ ‎              空间几何中的“翻折”问题 共研典例 类题通法 ‎ (2016·高考全国卷甲)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E、F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置.‎ ‎(1)证明:AC⊥HD′;‎ ‎(2)若AB=5,AC=6,AE=,OD′=2,求五棱锥D′ABCFE的体积.‎ ‎【解】 (1)证明:由已知得AC⊥BD,AD=CD.‎ 又由AE=CF得=,故AC∥EF.‎ 由此得EF⊥HD,EF⊥HD′,所以AC⊥HD′.‎ ‎(2)由EF∥AC得==.‎ 由AB=5,AC=6得DO=BO==4.‎ 所以OH=1,D′H=DH=3.‎ 于是OD′2+OH2=(2)2+12=9=D′H2,‎ 故OD′⊥OH.‎ 由(1)知,AC⊥HD′,又AC⊥BD,BD∩HD′=H,所以AC⊥平面BHD′,于是AC⊥OD′.‎ 又由OD′⊥OH,AC∩OH=O,所以OD′⊥平面ABC.‎ 又由=得EF=.‎ 五边形ABCFE的面积S=×6×8-××3=.‎ 所以五棱锥D′ABCFE的体积V=××2=.‎ 解决与折叠有关的问题的两个关键 ‎(1)要明确折叠前后的变化量和不变量.一般情况下,线段的长度是不变量,而位置关系往往会发生变化.‎ ‎(2)在解决问题时,要比较折叠前后的图形,既要分析折叠后的图形,也要分析折叠前的图形.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎(2016·贵州省适应性考试)已知长方形ABCD中,AB=3,AD=4.现将长方形沿对角线BD折起,使AC=a,得到一个四面体ABCD,如图所示.‎ ‎(1)试问:在折叠的过程中,直线AB与CD能否垂直?若能,求出相应a的值;若不能,请说明理由.‎ ‎(2)求四面体ABCD体积的最大值.‎ ‎[解] (1)直线AB与CD能够垂直.‎ 因为AB⊥AD,‎ 若AB⊥CD,AD∩CD=D,‎ 则有AB⊥平面ACD,‎ 从而AB⊥AC.‎ 此时,a= ==,‎ 即当a=时,有AB⊥CD.‎ ‎(2)由于△BCD面积为定值,所以当点A到平面BCD的距离最大,即当平面ABD⊥平面BCD时,该四面体的体积最大,‎ 此时,过点A在平面ABD内作AH⊥BD,垂足为H,‎ 则有AH⊥平面BCD,AH就是该四面体的高.‎ 在△ABD中,AH==,‎ S△BCD=×3×4=6,此时VABCD=S△BCD·AH=,即为该四面体体积的最大值.‎ 课时作业 ‎1.(2016·河南省八市重点高中质量检测)设平面α与平面β相交于直线m,直线a在平面α内,直线b在平面β内,且b⊥m,则“a⊥b”是“α⊥β”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 B [解析] 因为α⊥β,b⊥m,所以b⊥α,又直线a在平面α内,所以a⊥b;但直线a,m不一定相交,所以“a⊥b”是“α⊥β”的必要不充分条件,故选B.‎ ‎2.已知两个不同的平面α,β和两条不重合的直线m,n,则下列四个命题中不正确的是(  )‎ A.若m∥n,m⊥α,则n⊥α B.若m⊥α,m⊥β,则α∥β C.若m⊥α,m∥n,n⊂β,则α⊥β D.若m∥α,α∩β=n,则m∥n D [解析] 由线面平行、垂直之间的转化知A、B正确;对于C,因为m⊥α,m∥n,所以n⊥α,又n⊂β,所以β⊥α,即C正确;对于D,m∥α,α∩β=n,则m∥n,或m与n是异面直线,故D项不正确.‎ ‎3.(2016·贵阳市监测考试)如图,在三棱锥PABC中,不能证明AP⊥BC的条件是(  )‎ A.AP⊥PB,AP⊥PC B.AP⊥PB,BC⊥PB C.平面BPC⊥平面APC,BC⊥PC D.AP⊥平面PBC B [解析] A中,因为AP⊥PB,AP⊥PC,PB∩PC=P,所以AP⊥平面PBC,又BC⊂平面PBC,所以AP⊥BC,故A可以证明;C中,因为平面BPC⊥平面APC,BC⊥PC,所以BC⊥平面APC,AP⊂平面APC,所以AP⊥BC,故C可以证明;D中,由A知D可以证明;B中条件不能判断出AP⊥BC,故选B.‎ ‎4.设A,B,C,D是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是(  )‎ A.若AC与BD共面,则AD与BC共面 B.若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直线 C.若AB=AC,DB=DC,则AD=BC D.若AB=AC,DB=DC,则AD⊥BC C [解析] A中,若AC与BD共面,则A,B,C,D四点共面,则AD与BC共面;B中,若AC与BD是异面直线,则A,B,C,D四点不共面,则AD与BC是异面直线;C中,若AB=AC,DB=DC,AD不一定等于BC;D中,若AB=AC,DB=DC,可以证明AD⊥BC.‎ ‎5.(2016·广州市五校联考)已知a,b是空间中两条不同的直线,α,β是空间中两个不同的平面,下列命题中正确的是(  )‎ A.若直线a∥b,b⊂α,则a∥α B.若平面α⊥β,a⊥α,则a∥β C.若平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥b D.若a⊥α,b⊥β,a∥b,则α∥β D [解析] 构造长方体ABCDA1B1C1D1.‎ 对于A,若AB∥CD,CD⊂平面ABCD,但AB⊂平面ABCD,A错;‎ 对于B,平面ABB1A1⊥平面ABCD,AD⊥平面ABB1A1,但AD⊂平面ABCD,B错;‎ 对于C,若平面A1B1C1D1∥平面ABCD,B1C1⊂平面A1B1C1D1,AB⊂平面ABCD,但B1C1不平行于AB,C错;‎ 对于D,若A1B1⊥平面BCC1B1,AB⊥平面ADD1A1,AB∥A1B1,则平面BCC1B1∥平面ADD1A1,D正确.故选D.‎ ‎6.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N,P,Q分别是AA1,A1D1,CC1,BC的中点,给出以下四个结论:①A1C⊥MN;②A1C∥平面MNPQ;③A1C与PM相交;④NC与PM异面.其中不正确的结论是(  )‎ A.① B.②‎ C.③ D.④‎ B [解析] 作出过M,N,P,Q四点的截面交C1D1于点S,交AB于点R,如图中的六边形MNSPQR,显然点A1,C分别位于这个平面的两侧,故A1C与平面MNPQ一定相交,不可能平行,故结论②不正确.‎ ‎7.如图,在空间四边形ABCD中,M∈AB,N∈AD,若=,则直线MN与平面BDC的位置关系是________.‎ ‎[解析] 由=,得MN∥BD.‎ 而BD⊂平面BDC,MN⊄平面BDC,‎ 所以MN∥平面BDC.‎ ‎[答案] 平行 ‎8.已知E,F,G,H是空间四点,命题甲:E,F,G,H四点不共面,命题乙:直线EF和GH不相交,则甲是乙成立的________条件.‎ ‎[解析] 若E,F,G,H四点不共面,则直线EF和GH肯定不相交,但直线EF和GH不相交,E,F,G,H四点可以共面,例如EF∥GH.‎ ‎[答案] 充分不必要 ‎9.如图所示,直线PA垂直于⊙O所在的平面,△ABC内接于⊙O,且AB为⊙O的直径,点M为线段PB的中点.现有结论:①BC⊥PC;②OM∥平面APC;③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长.其中正确的是________.‎ ‎[解析] 对于①,因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC.因为AB为⊙O的直径,所以BC⊥AC,所以BC⊥平面PAC,又PC⊂平面PAC,所以BC⊥PC;对于②,因为点M为线段PB的中点,所以OM∥PA,因为PA⊂平面PAC,所以OM∥平面PAC;对于③,由①知BC⊥平面PAC,所以线段BC的长即是点B到平面PAC的距离,故①②③都正确.‎ ‎[答案] ①②③‎ ‎10.α、β是两个平面,AB、CD是两条线段,已知α∩β=EF,AB⊥α于B,CD⊥α于D,若增加一个条件,就能得出BD⊥EF.现有下列条件:①AC⊥β;②AC与α、β所成的角相等;③AC与CD在β内的射影在同一条直线上;④AC∥EF.其中能成为增加条件的序号是________.‎ ‎[解析] 由题意得,AB∥CD,所以A,B,C,D四点共面,①:因为AC⊥β,EF⊂β,所以AC⊥EF,又因为AB⊥α,EF⊂α,所以AB⊥EF,因为AB∩AC=A,所以EF⊥平面ABCD,又因为BD⊂平面ABCD,所以BD⊥EF,故①正确;②不能得到BD⊥EF,故②错误;③:由AC与CD在β内的射影在同一条直线上可知平面ABCD⊥β,又AB⊥α,AB⊂平面ABCD,所以平面ABCD⊥α.因为平面ABCD⊥α,平面ABCD⊥β,α∩β=EF,所以EF⊥平面ABCD,又BD⊂平面ABCD,所以BD⊥EF,故③正确;④:由①知,若BD⊥EF,则EF⊥平面ABCD,则EF⊥AC,故④错误,故填①③.‎ ‎[答案] ①③‎ ‎11.(2016·云南省第一次统一检测)如图,在三棱锥ABCD中,CD⊥BD,AB=AD,E为BC的中点.‎ ‎(1)求证:AE⊥BD;‎ ‎(2)设平面ABD⊥平面BCD,AD=CD=2,BC=4,求三棱锥DABC的体积.‎ ‎[解] (1)证明:设BD的中点为O,连接AO,EO,‎ 因为AB=AD,所以AO⊥BD.‎ 又E为BC的中点,‎ 所以EO∥CD.‎ 因为CD⊥BD,‎ 所以EO⊥BD.‎ 又OA∩OE=O,‎ 所以BD⊥平面AOE.‎ 又AE⊂平面AOE,‎ 所以AE⊥BD.‎ ‎(2)由已知得三棱锥DABC与CABD的体积相等.‎ 因为CD⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,‎ 所以CD⊥平面ABD,BD==2.‎ 由已知得S△ABD=×BD×=.‎ 所以三棱锥CABD的体积VCABD=×CD×S△ABD=.‎ 所以三棱锥DABC的体积为.‎ ‎12.(2016·河南省八市重点高中质量检测)如图,过底面是矩形的四棱锥FABCD的顶点F作EF∥AB,使AB=2EF,且平面ABFE⊥平面ABCD,若点G在CD上且满足DG=GC.‎ ‎(1)求证:FG∥平面AED;‎ ‎(2)求证:平面DAF⊥平面BAF.‎ ‎[证明] (1)因为DG=GC,AB=CD=2EF,AB∥EF∥CD,‎ 所以EF∥DG,EF=DG.‎ 所以四边形DEFG为平行四边形,‎ 所以FG∥ED.‎ 又因为FG⊄平面AED,ED⊂平面AED,‎ 所以FG∥平面AED.‎ ‎(2)因为平面ABFE⊥平面ABCD,平面ABFE∩平面ABCD=AB,AD⊥AB,AD⊂平面ABCD,所以AD⊥平面BAF,又AD⊂平面DAF,所以平面DAF⊥平面BAF.‎ ‎13.(2016·昆明市两区七校调研)一个正方体的平面展开图及该正方体直观图的示意图如图所示,在正方体中,设BC的中点为M,GH的中点为N.‎ ‎(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);‎ ‎(2)证明:直线MN∥平面BDH;‎ ‎(3)过点M,N,H的平面将正方体分割为两部分,求这两部分的体积比.‎ ‎[解] (1)点F,G,H的位置如图所示.‎ ‎(2)证明:连接BD,设O为BD的中点,连接OM,OH,AC,BH,MN.因为M,N分别是BC,GH的中点,‎ 所以OM∥CD,且OM=CD,‎ NH∥CD,且NH=CD,‎ 所以OM∥NH,OM=NH,‎ 则四边形MNHO是平行四边形,所以MN∥OH,‎ 又因为MN⊄平面BDH,OH⊂平面BDH,‎ 所以MN∥平面BDH.‎ ‎(3)由(2)知OM∥NH,OM=NH,连接GM,MH,过点M,N,H的平面就是平面GMH,它将正方体分割为两个同高的棱柱,高都是GH,底面分别是四边形BMGF和三角形MGC,体积比等于底面积之比,即3∶1.‎ ‎14.(2016·长春市质量检测(二))在四棱锥PABCD中,底面ABCD是菱形,PD⊥平面ABCD,点D1为棱PD的中点,过D1作与平面ABCD平行的平面与棱PA,PB,PC相交于点A1,B1,C1,∠BAD=60°.‎ ‎(1)证明:B1为PB的中点;‎ ‎(2)已知棱锥的高为3,且AB=2,AC,BD的交点为O,连接B1O.求三棱锥B1ABO外接球的体积.‎ ‎[解] (1)证明:连接B1D1.‎ ⇒BD∥B1D1,‎ 即B1D1为△PBD的中位线,‎ 即B1为PB的中点.‎ ‎(2)由(1)可得,OB1=,AO=,BO=1,且OA⊥OB,OA⊥OB1,OB⊥OB1,即三棱锥B1ABO的外接球为以OA,OB,OB1为长,宽,高的长方体的外接球,则该长方体的体对角线长d==,即外接球半径R=.‎ 则三棱锥B1ABO外接球的体积V=πR3=×π×=.‎