【数学】四川省成都市郫都区2019-2020学年高一上学期期中考试试题(解析版） 10页

四川省成都市郫都区 2019-2020 学年高一上学期期中考试 数学试题 第 I 卷（选择题 共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是最符合题目要求的） 1.下列四个关系中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】元素 与集合 是属于关系，故 A 对，C、D 错误，而 之间 是包含关系，所以 B 错误，故本题选 A. 2.已知集合 A＝{1，3，5}，B＝{3，5，7}，则 A∩B＝（　　） A. {1，3，5，7} B. {1，7） C. {3，5} D. {5} 【答案】C 【解析】因为集合 ， ，所以集合 A，B 的公共元素有 3 和 5，根据 集合的交集运算，则 ，故选 C. 3.已知 ，则 （ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】f（x+1）＝x2﹣2x+2，令 x=0，∴f（0+1）＝f（1）=02﹣0+2=2． ∴f（1）=2． 故选 A． 4.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A { },a a b∈ { } { },a a b∈ { }a a∉ { },a a b∉ a { } { }a a b、 ， { } { },a a b、 {1,3,5}A = {3,5,7}=B {3,5}A B = 2( 1) 2 2f x x x+ = − + (1)f = 2− 2( ) , ( )f x x g x x= = ( ) 2 , ( ) 2( 1)f x x g x x= = + ( ) ( )22( ) , ( )f x x g x x= − = − 2 ( ) , ( )1 x xf x g x xx += =+ 【解析】对于 A，两个函数的定义域均为 R，且 ，故 为同一函数； 对于 B，两个函数的对应法则不一样，所以两个函数不是同一函数； 对于 C， 的定义域为 R，而 的定义域为 ，故两个函数不是相同的函数； 对于 D， 的定义域为 ，而 的定义域为 R，故两个函数不是 相同的函数； 综上，选 A. 5.已知幂函数 y=f(x)的图像经过点（4，2），则这个函数的解析式是( ) A. y=x2 B. C. D. y=2x 【答案】C 【解析】设幂函数 y＝f（x）＝xα ∵幂函数 y＝f（x）的图象经过点（4，2），∴2＝4α∴α ，∴幂函数 f（x）＝xα ， 故选 C． 6.下列函数中，值域为 的是（ ） A. ， B. C. D. 【答案】C 【解析】对于 A 选项，函数 ， 的值域为 ， 不合乎题意； 对于 B 选项， ，该函数的值域为 ，不合乎题意； 对于 C 选项， 且 ，即 ，该函数的值域为 ，合乎题意； 对于 D 选项，当 时，由基本不等式得 ，该函数的 值域为 ，不合乎题意.故选 C. ( )g x x= ( ) ( ),f x g x ( )f x ( )g x ( ],0−∞ ( )f x ( ) ( ), 1 1,−∞ − − +∞ ( )g x 1( )2 xy = 1 2y x= 1 2 = 1 2x= [ ]0,4 ( ) 1f x x= − { }1,2,3,4,5x∈ ( ) 2 4f x x= − + ( ) 216f x x= − ( ) ( )1 2 0f x x xx = + − > ( ) 1f x x= − { }1,2,3,4,5x∈ { }0,1,2,3,4 ( ) 2 4 4f x x= − + ≤ ( ],4−∞ ( ) 216 4f x x= − ≤ 216 0x− ≥ ( )0 4f x≤ ≤ [ ]0,4 0x > ( ) 1 12 2 2 0f x x xx x = + − ≥ ⋅ − = [0, )+∞ 7.用分数指数幂表示 其结果是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 本题正确选项：B 8.已知函数 的图象如图所示，则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由图像可知， ，得 ， 故选 A.. 9.设 ，则 ， ， 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由于 ，而 ，故 ，所以选 A. 10.在同一直角坐标系中，函数 ， （ ，且 ） 的图象大致为（ ） ( )1 1 2 2 0a a a a > a 1 2a 1 4a 1 6a 0a > 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2a a a a a a a a a a aa= = =⋅= =∴ ⋅ , ,a b xy x y x y c= = = , ,a b c c b a< < a b c< < c a b< < a c b< < 1 11, ,02 2a b c> = < < a b c> > 2 3 3 42 , log 5, log 5a b c −= = = a b c a c b< < a b c< < b c a< < c b a< < 2 032 2 1 − < = 3 4 4log 5 log 5 log 4 1> > = a c b< < ( ) 2f x ax= − ( ) ( )log 2ag x x= + 0a > 1a ≠ A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意，当 ，函数 为单调递减函数，若 时， 函数 的零点 ，且函数 在 上为单调 递减函数；若 时，函数 与的零点 ，且函数 在 上为单调递增函数.综上得，正确答案为 A. 11.已知 是定义在 上的偶函数，且在 上为增函数，则 的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 为 上的偶函数 ，解得： 在 上为增函数，在 上为减函数 由 得： ，解得： 的解集为 0a > ( ) 2f x ax= − 0 1a< < ( ) 2f x ax= − 0 2 2x a = > ( ) ( )log 2ag x x= + ( )2− + ∞， 1a > ( ) 2f x ax= − 0 2 2x a = < ( ) ( )log 2ag x x= + ( )2− + ∞， ( )f x [ ]2 ,1b b− [ ]2 ,0b (2 1) (2 )f x f x− ≤ 12, 4  −   1 1,2 4  −   1 14     ， 1, 4  −∞   ( )f x [ ]2 ,1b b− 1 2b b∴ − = − 1b = − ( )f x∴ [ ]2,0− [ ]0,2 ( ) ( )2 1 2f x f x− ≤ 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 x x x x  − ≥ − ≤ − ≤ − ≤ ≤ 1 1 2 4x− ≤ ≤ ( ) ( )2 1 2f x f x∴ − ≤ 1 1,2 4  −   故选：B 12.已知 ，设函数 的最大值为 ，最小值为 ， 那么 （） A. 2020 B. 2019 C. 4040 D. 4039 【答案】D 【解析】 ， 又 是 上的增函数， ，故选 D． 第 II 卷（非选择题 共 90 分） 二.填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.集合 的真子集的个数为______. 【答案】7 【解析】集合的真子集为 ， ， ， ， ， ， .共有 7 个. 故答案为 7. 14.已知 ，则函数的单调递增区间是_______. 【答案】 【解析】由题意得 ，画出函数 图象如下图所示．的 0a > 12020 2019( ) 2020 1 x xf x + += + ( [ , ])x a a∈ − M N M N+ = 12020 2019( ) 20202020 1 202 1 1 0 x x xf x + += = −+ + 2020( ) 2020 20202020 1 1 2020 1 x x xf x −∴ − = − = −+ + 20202020 2020 40392020 1 2020 1 1( ) ( ) x x xf x f x∴ + − − =+= − ++ ( )y f x= [ , ]a a− ( ) ( ) 4039M N f a f a∴ + = + − = { }1,2,3 { }1 { }2 { }3 { }1,2 { }1,3 { }2,3 ∅ ( ) 3f x x= − (3, )+∞ ( ) 3, 33 3, 3 x xf x x x x − ≥= − = − + < 由图象可得，函数的单调递增区间为 ．（填 也可）． 15.设偶函数 的定义域 ，若当 时， 的图像如图所示，则满足不等式 的 的范围是______________ 【答案】 【解析】因为 ， ，又因为 是偶函数，所以 ， ； 当 ，当 ，当 ， 当 ；所以 的解集为： . 16.函数 满足对任意 都有 成立， 则 的取值范围是__________________ 【答案】 . 【解析】因为对任意 都有 成立，所以 在 上 增函数， 则有： 且 ，解得： . 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.计算下列各式的值． （1） ； （2） 是 ( )3,+∞ [3, )+∞ ( )f x [ ]-5 5， [ ]0,5 ( )f x ( ) 0xf x < x ( ) ( )2,0 2,5−  ( ) ( )0,2 , 0x f x∈ > ( ) ( )2,5 , 0x f x∈ < ( )f x ( ) ( )5, 2 , 0x f x∈ − − < ( ) ( )2,0 , 0x f x∈ − > ( ) ( )0,2 , 0x xf x∈ > ( ) ( )2,5 , 0x xf x∈ < ( ) ( )5, 2 , 0x xf x∈ − − > ( ) ( )2,0 , 0x xf x∈ − < ( ) 0xf x < ( ) ( )2,0 2,5−  ( ) ( ) ( ) ( ) 21 , 1( ) 3 4 , 1 x xf x a x a x − − <=  − + ≥ 1 2x x≠ 1 2 1 2 ( ) ( ) 0f x f x x x − >− a [ )1,3− 1 2x x≠ 1 2 1 2 ( ) ( ) 0f x f x x x − >− ( )f x R 3 0a− > ( ) ( )21 1 3 1 4a a− − ≤ − × + [ )1,3a∈ − 2 1 23 227 1( ) ( ) ( 5 3)8 5 −+ + − 3 3 2 9 2 2log log log 3 log 4.3 9 − − ⋅ 解： 原式 ； 原式 ． 18.已知集合 ， ， .求 的值及集合 ． 解：由题意可知 3,7∈A， 3,7∈B，∵A= ∴a2+4a +2=7 即 a 2+4a－5=0 解得 a =－5 或 a =1 当 a=－5 时，A=｛2 3,7｝，B=｛0,7,7,3｝不合题意，舍去． 当 a=1 时，A=｛2,3,7｝，B=｛0,7,1,3｝ ∴A∪B=｛0，1，2，3，7｝ 19.已知集合 ， ， . （1）求 ， ; （2）若 A 是 C 的子集，求实数 的取值范围. 解：（1） ， 或 （2） 是 的子集 ，解得： 实数 的取值范围为 20.已知函数 为奇函数． （1）求 的值； （2）判断函数 的单调性，并加以证明； , ( )1 9 215 3 54 4 = + + − = ( )2 ( )3 3 2 2 2log 2 1 log 2 2 log 3 02log 3 = − − − − ⋅ = 2{2 3 4 2}A a a= + +，， 2{0 7 2 4 2}B a a a= − + −，， ， { }3,7A B∩ = a A B { }22 3 4 2a a+ +，， { | 6 3}A x x= − ≤ < { }2| 16B x x= ≤ { | 3 0}C x x m= + < A B ( )C A BR  m { } { }2 16 4 4B x x x x= ≤ = − ≤ ≤ { }4 3A B x x∴ ∩ = − ≤ < { }6 4A B x x∪ = − ≤ ≤ ( ) { 6RC A B x x∴ ∪ = < − }4x > { }3 0 3 mC x x m x x = + < = < −   A C 33 m∴− ≥ 9m ≤ − ∴ m { }9m m ≤ − ( ) 3 3 1 x x af x += + a ( )f x （3）若 为偶函数，且当 时， ，求 的解析式. 解：（1） 为奇函数且定义域为 R ，解得： （2）由（1）知： 设任意的 ，则 ，即 又 ， ，即 在定义域 R 上单调递增 （3）当 时， 当 时， 为偶函数 综上所述： 21.已知函数 （1）求 的定义域； （2）判断 的奇偶性并给予证明； （3）求关于 x 的不等式 的解集． 解：（1）根据题意，函数 ， 则有 ，解可得 ， ( )g x 0x ≥ ( ) ( )g x f x= ( )g x ( )f x ( ) 10 02 af +∴ = = 1a = − ( ) 3 1 3 1 2 213 1 3 1 3 1 x x x x xf x − + −= = = −+ + + 1 2x x< ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 2 1 2 1 21 2 2 3 32 21 13 1 3 1 3 1 3 1 x x x x x xf x f x − − = − − + =+ + + + 1 2x x< 1 23 3x x∴ < 1 23 3 0x x− < 13 1 0x + > 23 1 0x + > ( ) ( )1 2 0f x f x∴ − < ( ) ( )1 2f x f x< ( )f x∴ 0x ≥ ( ) 3 1 3 1 x xg x −= + 0x ≤ 0x− ≥ ( ) 3 1 1 3 3 1 1 3 x x x xg x − − − −∴ − = =+ + ( )g x ( ) ( ) ( )1 3 01 3 x xg x g x x −∴ = − = ≤+ ( ) 3 1, 03 1 1 3 , 01 3 x x x x x g x x  − ≥ +=  − ≤ + 1 2 1 2 0 1a af x log x log x a a= + − − ≠（ ） （ ） （ ）（ ＞ ， ） f x（ ） f x（ ） 0f x（ ）＞ log 1 2 log 1 2a af x x x= + − −（ ） （ ） （ ） 1 2 0 1 2 0 x x + >  − > 1 1 2 2x− < < 即函数 的定义域为 ； （2）首先，定义域关于原点对称，函数 ， 则 则函数 为奇函数， （3）根据题意， 即 ， 当 时，有 ，解可得 ，此时不等式的解集为 ； 当 时，有 ，解可得 ，此时不等式的解集为 ； 故当 时，不等式的解集为 ； 当 时，不等式的解集为 ． 22.已知函数 ( 为实常数)． （1）当 时，作出 的图象，并写出它的单调递增区间； （2）设 在区间 的最小值为 ，求 的表达式； （3）已知函数 在 的情况下：其在区间 单调递减，在区间 单调递增.设 ，若函数 在区间 上是增函数，求实数 的 f x（ ） 1 1,2 2  −   1 2 1 2a af x log x log x= + − −（ ） （ ） （ ） [1 2 1 2 1 2 1 2 ]a a a af x log x log x log x log x f x− = − − + = − + − − = −（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） f x（ ） 1 2 1 2 0a alog x log x+ − −（ ） （ ）＞ 1 2 1 2a alog x log x+ −（ ）＞ （ ） 1a＞ 1 2 0 1 2 0 1 2 1 2 x x x x + >  − >  + > − 10 2x＜ ＜ 10, 2      0 1a＜ ＜ 1 2 0 1 2 0 1 2 1 2 x x x x +  −  + − ＞ ＞ ＜ 1 02 x− < < 1 02 −（ ，） 1a＞ 10, 2      0 1a＜ ＜ 1 02 −（ ，） 2( ) 2 1f x x ax a= − + − a 0a = ( )y f x= ( )f x [1,2] ( )g a ( )g a ( )0ay x xx = + > 0a > ( )0 a， ( ),a +∞ ( )( ) f xh x x = ( )h x [ )1 + ∞， a 取值范围. 解：（1）当 时， ，则 图象如下图所示： 由图象可知： 的单调递增区间为 （2）当 ，即 时， 当 ，即 时， 当 ，即 时， 综上所述： （3）由题意得： 当 ，即 时， 在 上单调递增，符合题意； 当 ，即 时， 在 单调递减，在 单调递增 ，解得： 综上所述：实数 的取值范围为 0a = ( ) 2 1f x x= − ( )y f x= ( )y f x= ( ) ( )1,0 , 1,− +∞ 12 a ≤ 2a ≤ ( ) ( )1 1 2 1g a f a a a= = − + − = 1 22 a< < 2 4a< < ( ) 2 2 2 2 1 2 12 4 2 4 a a a ag a f a a = = − + − = − + −   22 a ≥ 4a ≥ ( ) ( )2 4 2 2 1 3g a f a a= = − + − = ( ) 2 , 2 2 1,2 44 3, 4 a a ag a a a a ≤ = − + − < <  ≥ ( ) ( ) 2 1f x ah x x ax x −= = + − 2 1 0a − ≤ 1 2a ≤ ( )h x [ )1,+∞ 2 1 0a − > 1 2a > ( )h x ( )0, 2 1a − ( )2 1,a − +∞ 2 1 1a∴ − ≤ 1 12 a< ≤ a ( ],1−∞