【数学】2019届理科一轮复习北师大版4-4数系的扩充与复数的引入教案 7页

第四节　数系的扩充与复数的引入 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义．‎ ‎(对应学生用书第77页)‎ ‎[基础知识填充]‎ ‎1．复数的有关概念 ‎(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．‎ ‎(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．‎ ‎(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．‎ ‎(4)复数的模：向量的模r叫作复数z＝a＋bi的模，即|z|＝|a＋bi|＝.‎ ‎2．复数的几何意义 复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b) 平面向量＝(a，b)．‎ ‎3．复数的运算 ‎(1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ‎①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；‎ ‎②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；‎ ‎③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；‎ ‎④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．‎ ‎(2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋‎ z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．(　　)‎ ‎(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　　)‎ ‎(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　　)‎ ‎(4)在复平面内，原点是实轴与虚轴的交点．(　　)‎ ‎(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√‎ ‎2. (教材改编)如图441，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是(　　)‎ 图441‎ A．A　　　　　　 B．B C．C D．D B　[共轭复数对应的点关于实轴对称．]‎ ‎3．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 C　[∵z＝i(－2＋i)＝－1－2i，∴复数z＝－1－2i所对应的复平面内的点为Z(－1，－2)，位于第三象限．‎ 故选C．]‎ ‎4．(2017·全国卷Ⅱ)＝(　　)‎ A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i D　[＝＝＝2－i.‎ 故选D．]‎ ‎5．设i是虚数单位，若复数(2＋ai)i的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为________．‎ ‎2　[因为(2＋ai)i＝－a＋2i，又其实部与虚部互为相反数，所以－a＋2＝0，即a＝2.]‎ ‎(对应学生用书第77页)‎ 复数的有关概念 ‎　(1)(2018·合肥一检)设i为虚数单位，复数z＝的虚部是(　　)‎ A．　　　　　　 B．－ C．1 D．－1‎ ‎(2)(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：‎ p1：若复数z满足∈R，则z∈R；‎ p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；‎ p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；‎ p4：若复数z∈R，则∈R.‎ 其中的真命题为(　　)‎ A．p1，p3 B．p1，p4‎ C．p2，p3 D．p2，p4‎ ‎(1)B　(2)B　[(1)复数z＝＝＝－i，则z的虚部为－，故选B．‎ ‎(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．‎ 对于p1，若∈R，即＝∈R，则b＝0⇒z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题．‎ 对于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则ab＝0.‎ 当a＝0，b≠0时，z＝a＋bi＝bi∉R，所以p2为假命题．‎ 对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而z1＝2，即a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题．‎ 对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0⇒＝a－bi＝a∈R，所以p4为真命题．故选B．]‎ ‎ [规律方法]　与复数概念相关问题的求解方法 (1)复数的概念问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.‎ (2)解决复数模的问题可以根据模的性质把积、商的模转化为模的积、商.‎ 易错警示：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.‎ ‎[跟踪训练]　(1)(2016·全国卷Ⅲ)若z＝1＋2i，则＝(　　)‎ A．1 B．－1‎ C．i D．－i ‎(2)(2018·长沙模拟(二))已知a是实数，是纯虚数，则a＝(　　)‎ A． B．－ C．1 D．－1‎ ‎(1)C　(2)A　[(1)因为z＝1＋2i，则＝1－2i，所以z＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则＝＝i.故选C．‎ ‎(2)复数＝＝－i是纯虚数，则＝0且－≠0，解得a＝，故选A．]‎ 复数的几何意义 ‎　(1)(2018·石家庄质检(二))在复平面中，复数对应的点在(　　) ‎ ‎【导学号：79140161】‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎(2)(2016·全国卷Ⅱ)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．(－3,1) B．(－1,3)‎ C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)‎ ‎(1)D　(2)A　[(1)复数＝＝＝－i，其在复平面内对应的点为，位于第四象限，故选D．‎ ‎(2)由题意知即－3＜m＜1.故实数m的取值范围为(－3,1)．]‎ ‎[规律方法]　对复数几何意义的理解及应用,(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔.,(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.‎ ‎[跟踪训练]　(1)若复数z＝(a－1)＋3i(a∈R)在复平面内对应的点在直线y＝x＋2上，则a的值等于(　　)‎ A．1　　 B．2　　　　C．5　　　　D．6‎ ‎(2)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝(　　)‎ A．－5 B．5‎ C．－4＋i D．－4－i ‎(1)B　(2)A　[(1)复数z＝(a－1)＋3i在复平面内对应的点(a－1,3)在直线y＝x＋2上，3＝a－1＋2，a＝2，故选B．‎ ‎(2)∵z1＝2＋i在复平面内的对应点的坐标为(2,1)，又z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z2的对应点的坐标为(－2,1)即z2＝－2＋i，‎ ‎∴z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.]‎ 复数的代数运算 ‎　(1)(2018·广州综合测试(二))若复数z满足(3＋4i－z)i＝2＋i，则z＝(　　)‎ A．4＋6i B．4＋2i C．－4－2i D．2＋6i ‎(2)(2018·石家庄一模)若z是复数，z＝，则z·＝(　　)‎ A． B． C．1 D． ‎(1)D　(2)D　[(1)由题意得3＋4i－z＝＝＝1－2i，所以z＝2＋6i，故选D．‎ ‎(2)因为z＝＝＝－－i，所以＝－＋i，所以z·＝＝，故选D．]‎ ‎[规律方法]　复数代数运算问题的求解方法 (1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式.‎ (2)记住以下结论，可提高运算速度 ‎①(1±i)2＝±2i；②＝i；③＝－i；④－b＋ai＝i(a＋bi)；⑤i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1； i4n＋3＝－i(n∈N).‎ ‎[跟踪训练]　(1)已知i是虚数单位，＋＝________. ‎ ‎【导学号：79140162】‎ ‎(2)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则的值为________．‎ ‎(1)1＋i　(2)2　[(1)原式＝＋ ‎＝i8＋＝i8＋i1 009‎ ‎＝1＋i4×252＋1＝1＋i.‎ ‎(2)∵(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，又a，b∈R，‎ ‎∴1＋b＝a且1－b＝0，得a＝2，b＝1，∴＝2.]‎