高考卷 普通高等学校招生考试宁夏海南理理科数学（宁夏、 海南卷） 13页

2007 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（宁夏、 海南卷） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分．第 II 卷第 22 题为选考题， 其他题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的 准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上． 2．选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号； 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损． 5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的 标号涂黑． 参考公式： 样本数据 1x ， 2x ，， nx 的标准差 锥体体积公式 2 2 2 1 2 1 [( ) ( ) ( ) ]ns x x x x x xn        1 3V Sh 其中 x 为样本平均数 其中 S 为底面面积、 h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 V Sh 24πS R ， 34 π3V R 其中 S 为底面面积， h 为高 其中 R 为球的半径 第 I 卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．已知命题 :p x  R ，sin 1x≤ ，则（ ） Ａ． :p x   R ，sin 1x≥ Ｂ． :p x   R ，sin 1x≥ Ｃ． :p x   R ，sin 1x  Ｄ． :p x   R ，sin 1x  【答案】：C 【分析】： p 是对 p 的否定，故有： ,x R sin 1.x  2．已知平面向量 (11) (1 1)  ，， ，a b ，则向量 1 3 2 2  a b （ ） Ａ． ( 2 1) ， Ｂ． ( 21) ， Ｃ． ( 1 0) ， Ｄ． ( 1 2) ， 【答案】：D 【分析】： 1 3 2 2  a b ( 1 2). ， 3．函数 πsin 2 3y x     在区间 π π2     ， 的简图是（ ） 【答案】：A 【分析】： π 3( ) sin 2 ,3 2f         排除Ｂ、Ｄ， π( ) sin 2 0,6 6 3f         排除Ｃ。也可由五点法作图验证。 4．已知 na 是等差数列， 10 10a  ，其前 10 项和 10 70S  ， 则其公差 d  （ ） Ａ． 2 3  Ｂ． 1 3  Ｃ． 1 3 Ｄ． 2 3 【答案】：D 【分析】： 1 10 10 1 1 ( ) 10 5( 10) 70 4.2 a aS a a       10 1 2.9 3 a ad    y x 1 1 2  3  O 6   y x 1 12  3  O 6   y x 1 1 2  3 O 6   y x 2  6  1 O 1 3  Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． P D C B A 5．如果执行右面的程序框图，那么输出的 S  （ ） Ａ．2450 Ｂ．2500 Ｃ．2550 Ｄ．2652 【答案】：C 【分析】：由程序知， 1 502 1 2 2 2 50 2 50 2550.2S            6．已知抛物线 2 2 ( 0)y px p  的焦点为 F ， 点 1 1 1 2 2 2( ) ( )P x y P x y， ， ， ， 3 3 3( )P x y， 在抛物线上， 且 2 1 32x x x  ， 则有（ ） Ａ． 1 2 3FP FP FP  Ｂ． 2 2 2 1 2 3FP FP FP  Ｃ． 2 1 32 FP FP FP  Ｄ． 2 2 1 3FP FP FP · 【答案】：C 【分析】：由抛物线定义， 2 1 32( ) ( ) ( ),2 2 2 p p px x x     即： 2 1 32 FP FP FP  ． 7．已知 0x  ， 0y  ， x a b y， ， ， 成等差数列， x c d y， ， ， 成等比数列， 则 2( )a b cd  的最小值是（ ） Ａ． 0 Ｂ．1 Ｃ． 2 Ｄ． 4 【答案】：D 【分析】： , ,a b x y cd xy    22 2 (2 )( ) ( ) 4.xya b x y cd xy xy      8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中 标出 的尺寸（单位：cm），可得这个几 何体的体积是（ ） Ａ． 34000 cm3 Ｂ． 38000 cm3 Ｃ． 32000cm Ｄ． 34000cm 开始 1k  0S  50?k ≤ 是 2S S k  1k k  否 输出 S 结束 20 20 正视图 20 侧视图 10 10 20 俯视图 【答案】：B 【分析】：如图， 1 800020 20 20 .3 3V      9．若 cos2 2 π 2sin 4         ，则 cos sin  的值为（ ） Ａ． 7 2  Ｂ． 1 2  Ｃ． 1 2 Ｄ． 7 2 【答案】：C 【分析】： 2 2cos2 cos sin 22(sin cos ) ,π 22sin (sin cos )4 2                    1cos sin .2     10．曲线 1 2e x y  在点 2(4 e )， 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ． 29 e2 Ｂ． 24e Ｃ． 22e Ｄ． 2e 【答案】：D 【分析】： 1 1 2 21( ) ,2 x x y e e    曲线在点 2(4 e )， 处的切线斜率为 21 2 e ，因此切线方程 为 2 21 ( 4),2y e e x   则切线与坐标轴交点为 2(2,0), (0, ),A B e 所以： 2 21 | | 2 .2AOBS e e     11．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭 20 次，三人的测试成绩如下表 1 2 3s s s， ， 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ） Ａ． 3 1 2s s s  Ｂ． 2 1 3s s s  Ｃ． 1 2 3s s s  Ｄ． 2 3 1s s s  【答案】：B 【分析】： (7 8 9 10) 5 8.5,20x      甲 甲的成绩 环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5 乙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 6 4 4 6 丙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 4 6 6 4 h 1 h(h 2 ) P D C B A E 2 2 2 2 2 1 5 [(7 8.5) (8 8.5) (9 8.5) (10 8.5) ] 1.25,20s          (7 10) 6 (8 9) 4 8.5,20x      乙 2 2 2 2 2 2 6 [(7 8.5) (10 8.5) ] 4 [(8 8.5) (9 8.5) ] 1.45,20s           (7 10) 4 (8 9) 6 8.5,20x      丙 2 2 2 2 2 3 4 [(7 8.5) (10 8.5) ] 6 [(8 8.5) (9 8.5) ] 1.05,20s           2 2 2 1 3 2 1 3 .s s s s s s   2由 得 12．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形， 且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、 三棱锥、三棱柱的高分别为 1h ， 2h ， h ，则 1 2: :h h h  （ ） Ａ． 3 :1:1 Ｂ． 3 : 2: 2 Ｃ． 3 : 2: 2 Ｄ． 3 : 2: 3 【答案】：B 【分析】：如图，设正三棱锥 P ABE 的各棱长为 a ， 则四棱锥 P ABCD 的各棱长也为 a ， 于是 2 2 1 2 2( ) ,2 2h a a a   2 2 2 3 2 6( ) ,2 3 2h a a a h     1 2: : 3 : 2: 2.h h h  第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题－第 21 题为必考题，每个试题考生都必须 做答，第 22 题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2，焦点到渐近线 的距离为 6，则该双曲线的离心率为 ． 【答案】：3 【分析】：如图，过双曲线的顶点 A、焦点 F 分别 向其渐近线作垂线，垂足分别为 B、C， 则： | | | | 6 3.| | | | 2 OF FC c OA AB a     14．设函数 ( 1)( )( ) x x af x x   为奇函数，则 a  ． 【答案】：-1 【分析】： (1) ( 1) 0 2(1 ) 0 0, 1.f f a a          15．i 是虚数单位， 5 10 3 4 i i    ．（用 a bi 的形式表示， a bR， ） 【答案】：1 2i 【分析】： 5 10 ( 5 10 )(3 4 ) 25 50 1 2 .3 4 (3 4 )(3 4 ) 25 i i i i ii i i            16．某校安排 5 个班到 4 个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排 一个班，不同的安排方法共有 种．（用数字作答） 【答案】：240 【分析】：由题意可知有一个工厂安排 2 个班，另外三个工厂每厂一个班， 共有 1 2 3 4 5 3 240.C C A   种安排方法。 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 12 分） 如图，测量河对岸的塔高 AB 时，可以选与塔底 B 在同一水平面 内的两个测点 C 与 D ．现测得 BCD BDC CD s     ， ， ， 并在点C 测得塔顶 A 的仰角为 ，求塔高 AB ． 解：在 BCD△ 中， πCBD      ． 由正弦定理得 sin sin BC CD BDC CBD   ． 所以 sin sin sin sin( ) CD BDC sBC CBD        ． 在 ABCRt△ 中， tan sintan sin( ) sAB BC ACB         ． 18．（本小题满分 12 分） 如图，在三棱锥 S ABC 中，侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边三角形， 90BAC  °，O 为 BC 中点． （Ⅰ）证明： SO  平面 ABC ； （Ⅱ）求二面角 A SC B  的余弦值． 证明： （Ⅰ）由题设 AB AC SB SC= = =  SA ，连结OA ， ABC△ 为等腰直角三角形， 所以 2 2OA OB OC SA   ，且 AO BC ， 又 SBC△ 为等腰三角形，故 SO BC ， 且 2 2SO SA ，从而 2 2 2OA SO SA  ． 所以 SOA△ 为直角三角形， SO AO ． 又 AO BO O ． 所以 SO  平面 ABC ． （Ⅱ）解法一： 取 SC 中点 M ，连结 AM OM， ，由（Ⅰ）知 SO OC SA AC ， ， 得OM SC AM SC ， ． OMA∴ 为二面角 A SC B  的平面角． 由 AO BC AO SO SO BC O  ， ， 得 AO  平面 SBC ． 所以 AO OM ，又 3 2AM SA ， 故 2 6sin 33 AOAMO AM     ． 所以二面角 A SC B  的余弦值为 3 3 ． 解法二： 以O 为坐标原点，射线OB OA， 分别为 x 轴、 y 轴的正半轴， 建立如图的空间直角坐标系 O xyz ． O S B A C O S B A C M 设 (1 0 0)B ，， ，则 ( 1 0 0) (01 0) (0 01)C A S ，，， ，，， ，， ． SC 的中点 1 102 2M     ，， ， 1 1 1 10 1 ( 1 0 1)2 2 2 2MO MA SC                  ，， ， ，， ， ，， ． 0 0MO SC MA SC    ，∴ · · ． 故 ,MO SC MA SC MO MA   ， ，< 等于 二面角 A SC B  的平面角． 3cos 3 MO MAMO MA MO MA        ， · · ， 所以二面角 A SC B  的余弦值为 3 3 ． 19．（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，经过点 (0 2)， 且斜率为 k 的直线l 与椭圆 2 2 12 x y  有两个不同的交点 P 和Q ． （I）求 k 的取值范围； （II）设椭圆与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为 A B， ，是否存在常数 k ， 使得向量 OP OQ  与 AB  共线？如果存在，求 k 值；如果不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）由已知条件，直线l 的方程为 2y kx  ， 代入椭圆方程得 2 2( 2) 12 x kx   ． 整理得 2 21 2 2 1 02 k x kx       ① 直线l 与椭圆有两个不同的交点 P 和Q 等价于 2 2 218 4 4 2 02k k k          ， O S B A C M x z y 解得 2 2k   或 2 2k  ．即 k 的取值范围为 2 2 2 2                ， ，∞ ∞ ． （Ⅱ）设 1 1 2 2( ) ( )P x y Q x y， ， ， ，则 1 2 1 2( )OP OQ x x y y     ， ， 由方程①， 1 2 2 4 2 1 2 kx x k     ． ② 又 1 2 1 2( ) 2 2y y k x x    ． ③ 而 ( 2 0) (01) ( 21)A B AB  ，， ，， ， ． 所以 OP OQ  与 AB  共线等价于 1 2 1 22( )x x y y    ， 将②③代入上式，解得 2 2k  ． 由（Ⅰ）知 2 2k   或 2 2k  ，故没有符合题意的常数 k ． 20．（本小题满分 12 分） 如图，面积为 S 的正方形 ABCD 中有一个不规则的图形 M ，可按下面方法估计 M 的面积： 在正方形 ABCD 中随机投掷 n 个点，若 n 个点中有 m 个点落入 M 中，则 M 的面积的估计 值为 m Sn . 假设正方形 ABCD 的边长为 2，M 的面积为 1，并向正方形 ABCD 中随机投掷 10000 个点，以 X 表示落入 M 中的点的数目． （I）求 X 的均值 EX ； （II）求用以上方法估计 M 的面积时， M 的面积的估计值与实际 值之差在区间 ( 0.03 ) ， 内的概率． 附表： 10000 10000 0 ( ) 0.25 0.75 k t t t t P k C      k 2424 2425 2574 2575 ( )P k 0.0403 0.0423 0.9570 0.9590 解： 每个点落入 M 中的概率均为 1 4p  ． D C BA M 依题意知 1~ 10000 4X B     ， ． （Ⅰ） 110000 25004EX    ． （Ⅱ）依题意所求概率为 0.03 4 1 0.0310000 XP        ， 0.03 4 1 0.03 (2425 2575)10000 XP P X           2574 10000 10000 2426 0.25 0.75t t t t C      2574 2425 10000 10000 1 10000 10000 2426 0 0.25 0.75 0.25 0.75t t t t t t t C C           0.9570 0.0423 0.9147   ． 21．（本小题满分 12 分） 设函数 2( ) ln( )f x x a x   （I）若当 1x   时， ( )f x 取得极值，求 a 的值，并讨论 ( )f x 的单调性； （II）若 ( )f x 存在极值，求 a 的取值范围，并证明所有极值之和大于 eln 2 ． 解： （Ⅰ） 1( ) 2f x xx a    ， 依题意有 ( 1) 0f    ，故 3 2a  ． 从而 22 3 1 (2 1)( 1)( ) 3 3 2 2 x x x xf x x x         ． ( )f x 的定义域为 3 2      ， ∞ ，当 3 12 x    时， ( ) 0f x  ； 当 11 2x    时， ( ) 0f x  ； 当 1 2x   时， ( ) 0f x  ． 从而， ( )f x 分别在区间 3 112 2              ， ， ， ∞ 单调增加，在区间 11 2      ， 单调减少． （Ⅱ） ( )f x 的定义域为 ( )a ， ∞ ， 22 2 1( ) x axf x x a     ． 方程 22 2 1 0x ax   的判别式 24 8a   ． （ⅰ）若 0  ，即 2 2a   ，在 ( )f x 的定义域内 ( ) 0f x  ，故 ( )f x 的极值． （ⅱ）若 0  ，则 2a  或 2a   ． 若 2a  ， ( 2 )x  ， ∞ ， 2( 2 1)( ) 2 xf x x    ． 当 2 2x   时， ( ) 0f x  ， 当 2 22 2 2x                  ， ， ∞ 时， ( ) 0f x  ，所以 ( )f x 无极值． 若 2a   ， ( 2 )x ， ∞ ， 2( 2 1)( ) 0 2 xf x x     ， ( )f x 也无极值． （ⅲ）若 0  ，即 2a  或 2a   ，则 22 2 1 0x ax   有两个不同的实根 2 1 2 2 a ax    ， 2 2 2 2 a ax    ． 当 2a   时， 1 2x a x a   ， ，从而 ( )f x 有 ( )f x 的定义域内没有零点， 故 ( )f x 无极值． 当 2a  时， 1x a  ， 2x a  ， ( )f x 在 ( )f x 的定义域内有两个不同的零点， 由根值判别方法知 ( )f x 在 1 2x x x x ， 取得极值． 综上， ( )f x 存在极值时， a 的取值范围为 ( 2 )， ∞ ． ( )f x 的极值之和为 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1( ) ( ) ln( ) ln( ) ln 1 1 ln 2 ln2 2 ef x f x x a x x a x a             ． 22．请考生在 A B C， ， 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．Ａ（本小题满分 10 分）选修 4－1：几何证明选讲 如图，已知 AP 是 O 的切线， P 为切点， AC 是 O 的割线，与 O 交于 B C， 两点，圆心O 在 PAC 的内部，点 M 是 BC 的中点． （Ⅰ）证明 A P O M， ， ， 四点共圆； （Ⅱ）求 OAM APM   的大小． （Ⅰ）证明：连结OP OM， ． 因为 AP 与 O 相切于点 P ，所以OP AP ． 因为 M 是 O 的弦 BC 的中点，所以OM BC ． 于是 180OPA OMA    °． 由圆心O 在 PAC 的内部，可知四边形 APOM 的对角互补，所以 A P O M， ， ， 四点共圆． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得 A P O M， ， ， 四点共圆，所以 OAM OPM   ． 由（Ⅰ）得OP AP ． 由圆心O 在 PAC 的内部，可知 90OPM APM    °． 所以 90OAM APM    °． 22．Ｂ（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程 1O 和 2O 的极坐标方程分别为 4cos 4sin     ， ． （Ⅰ）把 1O 和 2O 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求经过 1O ， 2O 交点的直线的直角坐标方程． 解：以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴，建立平面直角坐标系， 两坐标系中取相同的长度单位． （Ⅰ） cosx   ， siny   ，由 4cos  得 2 4 cos   ． 所以 2 2 4x y x  ． 即 2 2 4 0x y x   为 1O 的直角坐标方程． A P O M C B A P O M C B 同理 2 2 4 0x y y   为 2O 的直角坐标方程． （Ⅱ）由 2 2 2 2 4 0 4 0 x y x x y y        ， 解得 1 1 0 0 x y    ， ， 2 2 2 2 x y     ． 即 1O ， 2O 交于点 (0 0)， 和 (2 2)， ．过交点的直线的直角坐标方程为 y x  ． 22．Ｃ（本小题满分 10 分）选修 4 5 ；不等式选讲 设函数 ( ) 2 1 4f x x x    ． （I）解不等式 ( ) 2f x  ； （II）求函数 ( )y f x 的最小值． 解： （Ⅰ）令 2 1 4y x x    ，则 15 2 13 3 42 5 4 x x y x x x x             ， ， ， ， ， ． ≤ ≥ ．．．．．．．．．．．．．．．3 分 作出函数 2 1 4y x x    的图象，它与直线 2y  的交点为 ( 7 2) ， 和 5 23      ， ． 所以 2 1 4 2x x    的解集为 5( 7) 3x x     ， ， ． （Ⅱ）由函数 2 1 4y x x    的图像可知， 当 1 2x   时， 2 1 4y x x    取得最小值 9 2  ． 1 2  O 2y  4 x y