【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第一章第2讲　命题及其关系、充分条件与必要条件学案 13页

第2讲　命题及其关系、充分条件与必要条件 ‎1．命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．‎ ‎2．四种命题及其关系 ‎(1)四种命题间的相互关系 ‎(2)四种命题的真假关系 ‎①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；‎ ‎②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．‎ ‎3．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 p q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp ‎ 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)“x2＋2x－3＜0”是命题．(　　)‎ ‎(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则﹁q”．(　　)‎ ‎(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(　　)‎ ‎(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　)‎ ‎(5)q不是p的必要条件时，“pq”成立．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√‎ ‎ 下列命题为真命题的是(　　)‎ A．若＝，则x＝y　　 B．若x2＝1，则x＝1‎ C．若x＝y，则＝ D．若x＜y，则x2＜y2‎ 答案：A ‎ 命题“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题是(　　)‎ A．若a≤b，则a＋c≤b＋c B．若a＋c≤b＋c，则a≤b C．若a＋c＞b＋c，则a＞b D．若a＞b，则a＋c≤b＋c 解析：选A．命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，故选A．‎ ‎ (教材习题改编)“x>4”是“x2－2x－3>0”的(　　)‎ A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B．因为x2－2x－3>0，所以该不等式的解集为{x|x<－1或x>3}，‎ 所以x>4⇒x2－2x－3>0.‎ 但x2－2x－3>0x>4，‎ 所以“x>4”是“x2－2x－3>0”的充分而不必要条件．‎ ‎ (教材习题改编)命题：若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实数根的逆否命题是________．‎ 答案：若方程x2＋x－m＝0无实数根，则m≤0‎ ‎ (教材习题改编)命题p：x2＝3x＋4，命题q：x＝，则p是q的________条件．‎ 解析：当x2＝3x＋4时，x＝－1或4，当x＝－1时，x＝不成立，即p/⇒q.‎ 当x＝时，x≥0，3x＋4≥0，则x2＝3x＋4，即q⇒p，‎ 所以p是q的必要不充分条件．‎ 答案：必要不充分 四种命题的相互关系及真假判断 ‎[典例引领]‎ ‎ (1)命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是　(　　)‎ A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0‎ B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0‎ C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0‎ D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0‎ ‎(2)有下列四个命题：‎ ‎①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；‎ ‎②“面积相等的三角形全等”的否命题；‎ ‎③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；‎ ‎④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．‎ 其中真命题为________(填写所有真命题的序号)．‎ ‎【解析】　(1)“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.‎ ‎(2)①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，显然是真命题，故①正确；②“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”，显然是真命题，故②正确；③若x2－2x＋m＝0有实数解，则Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，所以“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题，故③正确；④若A∩B＝B，则B⊆A，故原命题错误，所以其逆否命题错误，故④错误．‎ ‎【答案】　(1)D　(2)①②③‎ ‎(1)写一个命题的其他三种命题时需关注2点 ‎①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写．‎ ‎②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．‎ ‎[注意]　四种命题的关系具有相对性，一旦一个命题定为原命题，相应的也就有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”．‎ ‎(2)判断命题真假的2种方法 ‎①直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．‎ ‎②间接判断：当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．已知命题p：若a＜1，则a2＜1，下列说法正确的是(　　)‎ A．命题p是真命题 B．命题p的逆命题是真命题 C．命题p的否命题是若a＜1，则a2≥1‎ D．命题p的逆否命题是若a2≥1，则a＜1‎ 解析：选B．已知命题p：若a＜1，则a2＜1，如a＝－2，则(－2)2＞1，命题p为假命题，所以A不正确；‎ 命题p的逆命题是若a2＜1，则a＜1，为真命题，所以B正确；‎ 命题p的否命题是若a≥1，则a2≥1，所以C不正确；‎ 命题p的逆否命题是若a2≥1，则a≥1，所以D不正确．故选B．‎ ‎2．下列命题：‎ ‎①“若a≤b，则a＜b”的否命题；‎ ‎②“若a＝1，则ax2－x＋3≥0的解集为R”的逆否命题；‎ ‎③“周长相同的圆面积相等”的逆命题；‎ ‎④“若x为有理数，则x为无理数”的逆否命题．‎ 其中真命题的序号为(　　)‎ A．②④　　　　　　 B．①②③‎ C．②③④ D．①③④‎ 解析：选B．对于①，逆命题为真，故否命题为真；‎ 对于②，原命题为真，故逆否命题为真；‎ 对于③，“面积相等的圆周长相同”为真；‎ 对于④，“若x为有理数，则x为0或无理数”，故原命题为假，逆否命题为假．故选B．‎ 充分条件、必要条件的判断 ‎[典例引领]‎ ‎ (1)(2017·高考北京卷)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的(　　)‎ A．充分而不必要条件　 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎(2)(2017·高考天津卷)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【解析】　(1)由存在负数λ，使得m＝λn，可得m、n共线且反向，夹角为180°，则m·n＝－|m||n|＜0，故充分性成立．由m·n＜0，可得m，n的夹角为钝角或180°，故必要性不成立．故选A．‎ ‎(2)由2－x≥0，得x≤2；由|x－1|≤1，得－1≤x－1≤1，即0≤x≤2，因为[0，2](－∞，2]，所以“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件，故选B．‎ ‎【答案】　(1)A　(2)B ‎(1)判断充要条件的3种常用方法 ‎①定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．‎ ‎②等价法：利用A⇒B与﹁B⇒﹁A，B⇒A与﹁A⇒﹁B，A⇔B与﹁B⇔﹁A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎③利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．‎ ‎(2)判断充要条件需注意3点 ‎①要分清条件与结论分别是什么；‎ ‎②要从充分性、必要性两个方面进行判断；‎ ‎③直接判断比较困难时，可举出反例说明．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x＋y＞2，则p是q的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A．当x＞1，y＞1时，x＋y＞2一定成立，即p⇒q，当x＋y＞2时，可以x＝－1，y＝4，即qp，故p是q的充分不必要条件．‎ ‎2．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“a⊥b”是“α⊥β”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B．先证“α⊥β⇒a⊥b”，因为α⊥β，α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以b⊥α，又a⊂α，所以b⊥a；再举反例证明“a⊥bα⊥β”，当a∥m时，由b⊥m，知a⊥b，此时二面角αmβ可以为(0，π]上的任意角，即α不一定垂直于β.故选B．‎ ‎3．下列命题中真命题的个数是(　　)‎ ‎①“x＝2”是“x2－4x＋4＝0”的充要条件；‎ ‎②“α＝β”是“sin α＝sin β”的充分条件；‎ ‎③“a>b”既不是“a2>b2”的充分条件也不是必要条件．‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ 解析：选D.①真，②真，③真．故选D.‎ 充分条件、必要条件的应用 ‎[典例引领]‎ ‎ 已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．‎ ‎【解】　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，‎ 所以P＝{x|－2≤x≤10}，‎ 由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.‎ 则所以0≤m≤3.‎ 所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，‎ 即所求m的取值范围是[0，3]．‎ ‎1.若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．‎ 解：若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，‎ 所以所以 即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．‎ ‎2.本例条件不变，若x∈﹁P是x∈﹁S的必要不充分条件，求实数m的取值范围．‎ 解：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，‎ 因为x∈﹁P是x∈﹁S的必要不充分条件，‎ 所以P⇒S且SP.‎ 所以[－2，10][1－m，1＋m]．‎ 所以或 所以m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)．‎ 利用充要条件求参数应关注2点 ‎(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．‎ ‎(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．‎ ‎[注意]　含有参数的问题，要注意分类讨论．　 ‎ ‎[通关练习]‎ 若“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，则a的最小值为________．‎ 解析：由x2－x－6>0，解得x<－2或x>3.‎ 因为“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，‎ 所以{x|x>a}是{x|x<－2或x>3}的真子集，‎ 即a≥3，故a的最小值为3.‎ 答案：3‎ ‎ 四种命题的书写及相互关系 ‎(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．‎ ‎(2)四种命题中的等价关系：原命题与逆否命题是等价命题，它们具有相同的真假性；否命题与逆命题也是等价命题，它们也具有相同的真假性．‎ ‎ 充分条件、必要条件与集合的关系 p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为B p是q的充分条件 A⊆B p是q的必要条件 B⊆A p是q的充分不必要条件 AB p是q的必要不充分条件 BA p是q的充要条件 A＝B ‎ 注意3个易错点 ‎(1)当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提．‎ ‎(2)否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．‎ ‎(3)注意区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且AB)两者的不同．‎ ‎1．已知x∈R，命题“若x2＞0，则x＞0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是(　　)‎ A．0　　　　　　　　　　 B．1‎ C．2 D．3‎ 解析：选C．命题“若x2＞0，则x＞0”的逆命题是“若x＞0，则x2＞0”，是真命题；‎ 否命题是“若x2≤0，则x≤0”，是真命题；‎ 逆否命题是“若x≤0，则x2≤0”，是假命题．‎ 综上，以上3个命题中真命题的个数是2.故选C．‎ ‎2．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的(　　)‎ A．逆命题 B．否命题 C．逆否命题 D．否定 解析：选B．命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．‎ ‎3．(2018·陕西质量检测(一))设a，b∈R，则“(a－b)a2＜0”是“a＜b”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A．由(a－b)a2＜0可知a2≠0，则一定有a－b＜0，即a＜b；但是a＜b即a－b＜0时，有可能a＝0，所以(a－b)a2＜0不一定成立，故“(a－b)a2＜0”是“a＜b”的充分不必要条件，选A．‎ ‎4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“sin A＞sin B”是“a＞b”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C．设△ABC外接圆的半径为R，若sin A＞sin B，则2Rsin A＞2Rsin B，即a＞b；若a＞b，则＞，即sin A＞sin B，所以在△ABC中，“sin A＞sin B”是“a＞b”的充要条件，故选C．‎ ‎5．有下列命题：‎ ‎①“若x＋y＞0，则x＞0且y＞0”的否命题；‎ ‎②“矩形的对角线相等”的否命题；‎ ‎③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3＞0的解集是R”的逆命题；‎ ‎④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．‎ 其中正确的是(　　)‎ A．①②③ B．②③④‎ C．①③④ D．①④‎ 解析：选C．①的逆命题为“若x＞0且y＞0，则x＋y＞0”为真，故否命题为真；‎ ‎②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题；‎ ‎③的逆命题为“若mx2－2(m＋1)x＋m＋3＞0的解集为R，则m≥1”．‎ 因为当m＝0时，解集不是R，‎ 所以应有即m＞1.所以③是真命题；‎ ‎④原命题为真，逆否命题也为真．‎ ‎6．(2018·石家庄模拟)“log2(2x－3)＜1”是“4x＞8”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A．由log2(2x－3)＜1⇒0＜2x－3＜2⇒＜x＜，4x＞8⇒2x＞3⇒x＞，所以“log2(2x－3)＜1”是“4x＞8”的充分不必要条件，故选A．‎ ‎7．已知直线l，m，其中只有m在平面α内，则“l∥α”是“l∥m”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B．当l∥α时，直线l与平面α内的直线m平行、异面都有可能，所以l∥m不一定成立；当l∥m时，根据直线与平面平行的判定定理知直线l∥α，即“l∥α”是“l∥m”的必要不充分条件，故选B．‎ ‎8．命题“对任意x∈[1，2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是(　　)‎ A．a≥4 B．a＞4‎ C．a≥1 D．a＞1‎ 解析：选B．要使“对任意x∈[1，2)，x2－a≤0”为真命题，只需要a≥4，所以a＞4是命题为真的充分不必要条件．‎ ‎9．(2017·高考浙江卷)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4 ＋ S6＞2S5”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C．因为{an}为等差数列，所以S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d，2S5＝10a1＋20d，S4＋S6－2S5＝d，所以d>0⇔S4＋S6>2S5，故选C．‎ ‎10．(2018·惠州第三次调研)设函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|是偶函数”是“y＝f(x)的图象关于原点对称”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C．设f(x)＝x2，y＝|f(x)|是偶函数，但是不能推出y＝f(x)的图象关于原点对称．反之，若y＝f(x)的图象关于原点对称，则y＝f(x)是奇函数，这时y＝|f(x)|是偶函数，故选C．‎ ‎11．(2018·贵阳检测)设向量a＝(1，x－1)，b＝(x＋1，3)，则“x＝2”是“a∥b”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A．依题意，注意到a∥b的充要条件是1×3＝(x－1)(x＋1)，即x＝±2.因此，由x＝2可得a∥b，“x＝2”是“a∥b”的充分条件；由a∥b不能得到x＝2，“x＝2”不是“a∥b”的必要条件，故“x＝2”是“a∥b”的充分不必要条件，选A．‎ ‎12．(2018·郑州第一次质量预测)已知命题p：＞，命题q：∀x∈R，ax2＋ax＋1＞0，则p 成立是q成立的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A．命题p等价于0＜a＜4.命题q，对∀x∈R，ax2＋ax＋1＞0，必有或，则0≤a＜4，所以命题p成立是命题q成立的充分不必要条件，故选A．‎ ‎13．下列命题中为真命题的是________．‎ ‎①命题“若x>1，则x2>1”的否命题；‎ ‎②命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题；‎ ‎③命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题；‎ ‎④命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题．‎ 解析：对于①，命题“若x>1，则x2>1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故①为假命题；对于②，命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|，则x>y”，分析可知②为真命题；对于③，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故③为假命题；对于④，命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故④为假命题．‎ 答案：②‎ ‎14．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是________．‎ 解析：原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．‎ 答案：1‎ ‎15．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．‎ 解析：由题意知ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得解得－3≤a<0，故－3≤a≤0.‎ 答案：[－3，0]‎ ‎16．(2018·长沙模拟)给出下列命题：‎ ‎①已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件；‎ ‎②“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的必要不充分条件；‎ ‎③“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”是“a＝1”的充要条件；‎ ‎④“平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“a·b＜0”．‎ 其中正确命题的序号是________．(把所有正确命题的序号都写上)‎ 解析：①因为“a＝3”可以推出“A⊆B”，但“A⊆B”不能推出“a＝3”，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件，故①正确；②“x＜0”不能推出“ln(x＋1)＜0”，但“ln(x＋1)＜0”可以推出“x＜0”，所以“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的必要不充分条件，故②正确；③f(x)＝cos2ax－sin2ax＝cos 2ax，若其最小正周期为π，则＝π⇒a＝±1，因此“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”是“a＝1”的必要不充分条件，故③错误；④“平面向量a与b的夹角是钝角”可以推出“a·b＜0”，但由“a·b＜0”，得“平面向量a与b的夹角是钝角或平角”，所以“a·b＜0”是“平面向量a与b的夹角是钝角”的必要不充分条件，故④错误．正确命题的序号是①②.‎ 答案：①②‎ ‎1．(2017·高考天津卷)设θ∈R，则“<”是“sin θ<”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A．因为＜⇔－＜θ－＜⇔0＜θ＜，‎ sin θ＜⇔θ∈，k∈Z，，k∈Z，‎ 所以“＜”是“sin θ＜”的充分而不必要条件．‎ ‎2．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是(　　)‎ A．p：x＝1，q：x2＝x B．p：|a|>|b|，q：a2>b2‎ C．p：x>a2＋b2，q：x>2ab D．p：a＋c>b＋d，q：a>b且c>d 解析：选D.A中，x＝1⇒x2＝x，x2＝x⇒x＝0或x＝1 x＝1，故p是q的充分不必要条件；B中，因为|a|>|b|，根据不等式的性质可得a2>b2，反之也成立，故p是q的充要条件；C中，因为a2＋b2≥2ab，由x>a2＋b2，得x>2ab，反之不成立，故p是q的充分不必要条件；D中，取a＝－1，b＝1，c＝0，d＝－3，满足a＋c>b＋d，但是ad，反之，由同向不等式可加性得a>b，c>d⇒a＋c>b＋d，故p是q的必要不充分条件．综上所述，故选D.‎ ‎3．已知p：x≥k，q：(x＋1)(2－x)<0，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是(　　)‎ A．[2，＋∞)　　　　　　 B．(2，＋∞)‎ C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]‎ 解析：选B．由q：(x＋1)(2－x)<0，得x<－1或x>2，又p是q的充分不必要条件，所以k>2，即实数k的取值范围是(2，＋∞)，故选B．‎ ‎4．已知集合A＝，B＝{x|－13，即m>2.‎ 答案：m＞2‎ ‎5．已知集合A＝，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．‎ 解：y＝x2－x＋1＝＋，‎ 因为x∈，所以≤y≤2，‎ 所以A＝.‎ 由x＋m2≥1，得x≥1－m2，‎ 所以B＝{x|x≥1－m2}．‎ 因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件，‎ 所以A⊆B，所以1－m2≤，‎ 解得m≥或m≤－，‎ 故实数m的取值范围是∪.‎ ‎6．已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．‎ 解：因为mx2－4x＋4＝0是一元二次方程，所以m≠0.‎ 又另一方程为x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，且两方程都要有实根，‎ 所以 解得m∈.‎ 因为两方程的根都是整数，‎ 故其根的和与积也为整数，‎ 所以 所以m为4的约数．‎ 又因为m∈，‎ 所以m＝－1或1.‎ 当m＝－1时，第一个方程x2＋4x－4＝0的根为非整数；‎ 而当m＝1时，两方程的根均为整数，‎ 所以两方程的根均为整数的充要条件是m＝1.‎