【数学】2019届一轮复习北师大版　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案 12页

第 3 讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 考纲要求 考情分析 命题趋势 1. 了 解 逻 辑 联 结 词 “或”“且”“非”的含义． 2．理解全称量词与存在量 词的意义． 3．能正确地对含有一个量 词的命题进行否定. 2017·山东 卷，5 2015·湖北 卷，3 2014·安徽 卷，2 2014·辽宁 卷，5 1.含有逻辑联结词的命题的真假判 断，常结合函数、不等式、三角形问题 等知识考查． 2．全称命题或特称命题的否定． 3．常以不等式、函数为载体判断命 题真假，或已知命题真假求参数的取值 范围. 分值：5 分 1．简单的逻辑联结词 (1)逻辑联结词有“或”“且”“非”． (2)命题 p∧q，p∨q，¬p 的真假判断 p q p∧q p∨q ¬p 真 真 __真__ __真__ __假__ 真 假 __假__ __真__ __假__ 假 真 __假__ __真__ __真__ 假 假 __假__ __假__ __真__ 简记为：p∧q 中一假则假，全真才真；p∨q 中一真则真，全假才假；p 与¬p 真假性相 反． 2．全称量词和存在量词 量词 名称 常见量词 符号表示 全称 量词 所有、一切、任意、全部、每一个 等 __∀__ 存在 存在一个、至少一个、有些、某些 __∃__ 量词 等 3．全称命题和特称命题 名称 形式 全称命题 特称命题 结构 对 M 中的任意一个 x，有 p(x)成立 存在 M 中的一个 x0，使 p(x0) 成立 简记 __∀x∈M，p(x)__ __∃x0∈M，p(x0)__ 否定 __∃x0∈M__，¬p(x0) __∀x∈M__，¬p(x) 1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)命题“5>6 或 5>2”是假命题．( × ) (2)若命题 p∧q 为真，则 p 为真或 q 为真．( × ) (3)“长方形的对角线相等”是特称命题．( × ) (4)命题“菱形的对角线相等”的否定是“菱形的对角线不相等”．( × ) 解析 (1)错误．命题 p∨q 中有一真则 p∨q 为真． (2)错误．p∧q 为真，则 p，q 同时为真． (3)错误．命题“长方形的对角线相等”可叙述为“任意长方形的对角线相等”，是全 称命题． (4)错误．“菱形的对角线相等”是全称命题，其否定为“有的菱形的对角线不相等”． 2．下列命题中的假命题是( C ) A．∃x∈R，lg x＝0 B．∃x∈R，tan x＝1 C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R,2x>0 解析 当 x＝1 时，lg x＝0；当 x＝π 4 时，tan x＝1，所以 A，B 项中的命题均为真命题．显 然 D 项中的命题为真命题．当 x＝0 时，x3＝0，所以 C 项中的命题为假命题．故选 C． 3．已知命题 p：若实数 x，y 满足 x2＋y2＝0，则 x，y 全为 0；命题 q：若 a>b，则1 a<1 b. 给出下列四个命题： ①p 且 q；②p 或 q；③¬p；④¬q. 其中真命题的个数是( B ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析 ∵命题 p 为真命题，q 为假命题，∴p 或 q，¬q 为真命题．故选 B． 4．已知命题 p：∃n∈N,2n>1 000，则¬p 为( A ) A．∀n∈N,2n≤1 000 B．∀n∈N,2n>1 000 C．∃n∈N,2n≤1 000 D．∃n∈N,2n<1 000 解析 由于特称命题的否定是全称命题，因而¬p：∀n∈N,2n≤1 000.故选 A． 5．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题 p 是“甲降落在指定范围”， q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 ( A ) A．(¬p)∨(¬q) B．p∨(¬q) C．(¬p)∧(¬q) D．p∨q 解析 因为 p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则¬p 是“甲没 有降落在指定范围”， ¬q 是“乙没有降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有 降落在指定范围”可表示为(¬p)∨(¬q)．故选 A． 一 含有逻辑联结词的命题的真假判断 (1)判断含有逻辑联结词的命题真假的步骤： ①先判断简单命题 p，q 的真假； ②再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假． (2)含逻辑联结词命题真假的等价关系： ①p∨q 真⇔p，q 至少有一个真⇔(¬p)∧(¬q)假； ②p∨q 假⇔p，q 均假⇔(¬p)∧(¬q)真； ③p∧q 真⇔p，q 均真⇔(¬p)∨(¬q)假； ④p∧q 假⇔p，q 至少有一个假⇔(¬p)∨(¬q)真； ⑤¬p 真⇔p 假；¬p 假⇔p 真． 【例 1】 (1)(2017·山东卷)已知命题 p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题 q：若 a20 恒成立，∴p 为真命题．对于命题 q，取 a＝2，b＝－ 3,22<(－3)2，而 2>－3，∴q 为假命题，¬q 为真命题．因此 p∧(¬q)为真命题．故选 B． (2)∵y＝2x 在 R 上为增函数， y＝－2－x＝－ 1 2 x 在 R 上为增函数， ∴y＝2x－2－x 在 R 上为增函数，故 p1 是真命题． y＝2x＋2－x 在 R 上为减函数是错误的，故 p2 是假命题． ∴q1：p1∨p2 是真命题，因此排除 B 项和 D 项，q2：p1∧p2 是假命题，q3：(¬p1)∨p2 是 假命题，排除 A 项．故选 C． 二 全称命题与特称命题 (1)全称命题与特称命题真假的判断方法： 命题 名称 真 假 判断方法一 判断方 法二 全称 命题 真 所有对象使命题真 否定为 假 假 存在一个对象使命题假 否定为 真 特称 命题 真 存在一个对象使命题真 否定为 假 假 所有对象使命题假 否定为 真 (2)全称命题与特称命题的否定要注意以下两点： ①否定量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对 量词进行否定； ②否定结论：对原命题的结论进行否定． 【例 2】 (1)设命题 p：∃n∈N，n2>2n，则¬p 为( C ) A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n (2)命题“对任意 x∈R，都有 x2≥ln 2”的否定为( D ) A．对任意 x∈R，都有 x22n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”． (2)按照“任意”改“存在”，结论变否定的模式，命题的否定为“存在 x0∈R，使得 x200 B．∀x∈N*，(x－1)2>0 C．∃x0∈R，ln x0<1 D．∃x0∈R，tan x0＝2 (2)已知命题 p：∀x>0，x＋4 x ≥4；命题 q：∃x0∈(0，＋∞)，2x0＝1 2 ，则下列判断正确 的是( C ) A．p 是假命题 B．q 是真命题 C．p∧(¬q)是真命题 D．(¬p)∧q 是真命题 解析 (1)因为 2x－1>0，对∀x∈R 恒成立，所以 A 项中的命题是真命题；当 x＝1 时，(x －1)2＝0，所以 B 项中的命题是假命题；存在 00 时，x＋4 x ≥2 x·4 x ＝4，p 是真命题；当 x>0 时，2x>1，q 是假命题，所以 p ∧(¬q)是真命题，(¬p)∧q 是假命题． 三 根据命题的真假求参数的取值范围 根据命题的真假求参数取值范围的求解策略 (1)含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)简单命题的真假，求出此时 命题成立的参数的取值范围，再求出含逻辑联结词的命题成立的参数的取值范围． (2)全称命题可转化为恒成立问题． 【例 4】 已知命题 p：函数 y＝x2－2x＋a 在区间(1,2)上有 1 个零点，命题 q：函数 y＝ x2＋(2a－3)x＋1 的图象与 x 轴交于不同的两点，如果 p∧q 是假命题，p∨q 是真命题，求 a 的取值范围． 解析 若命题 p 为真命题，则函数 y＝x2－2x＋a 在区间(1,2)上有 1 个零点． 因为二次函数图象开口向上，对称轴为 x＝1， 所以 12－2×1＋a<0， 22－2×2＋a>0， 所以 00，得 4a2－12a＋5>0，解得 a<1 2 或 a>5 2. 因为 p∧q 是假命题，p∨q 是真命题，所以 p，q 一真一假． ①若 p 真 q 假，则 05 2 ， 所以 a≤0 或 a>5 2. 故实数 a 的取值范围是(－∞，0]∪ 1 2 ，1 ∪ 5 2 ，＋∞ . 1．已知命题 p：复数 z＝1＋i i 在复平面内所对应的点位于第四象限；命题 q：∃x0>0,2 －x0＝ex0，则下列命题中为真命题的是( A ) A．p∧q B．(¬p)∧q C．p∧(¬q) D．(¬p)∧(¬q) 解析 化简 z＝1＋i i ＝1＋i·i i·i ＝1－i，故命题 p 是真命题；在同一坐标系中同时画出函 数 f(x)＝2－x 和函数 g(x)＝ex 的图象(图略)，观察发现图象的交点在第一象限，故命题 q 是 真命题．再根据复合命题的真值表，知 A 项是正确的． 2．命题 p：对任意的 x∈R，f(x)＝2cos2x＋ 3sin 2x≤3，则( D ) A．p 是假命题；¬p：存在 x0∈R，使得 f(x0)＝2cos2x0＋ 3sin 2x0≤3 B．p 是假命题；¬p：存在 x0∈R，使得 f(x0)＝2cos2x0＋ 3sin 2x0>3 C．p 是真命题；¬p：存在 x0∈R，使得 f(x0)＝2cos2x0＋ 3sin 2x0≤3 D．p 是真命题；¬p：存在 x0∈R，使得 f(x0)＝2cos2x0＋ 3sin 2x0>3 解析 根据全称命题的否定是特称命题，可知全称命题 p 的否定是存在 x0∈R，使得 f(x0) ＝2cos2x0＋ 3sin 2x0>3.另外，f(x)＝2cos2x＋ 3sin 2x＝ 3sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin 2x＋π 6 ＋ 1≤3.故选 D． 3．若命题“∃x0∈R，x20－2x0＋m≤0”是假命题，则实数 m 的取值范围是__(1，＋∞)__. 解析 由题意，知命题“∀x∈R，x2－2x＋m>0”是真命题，故Δ＝(－2)2－4m<0，即 m>1. 4．已知命题 p：关于 x 的方程 x2－mx－2＝0 在 x∈[0,1]时有解；命题 q：f(x)＝ log2 x2－2mx＋1 2 在 x∈[1，＋∞)时单调递增．若綈 p 为真命题，p∨q 是真命题，则实数 m 的取值范围为__ －1，3 4 __. 解析 根据题意，关于 x 的方程 x2－mx－2＝0 在 x∈[0,1]时有解，可得 1－m－2≥0， 从 而 求 得 m≤ － 1 ； f(x) ＝ log2 x2－2mx＋1 2 在 x ∈ [1 ， ＋ ∞) 时 单 调 递 增 ， 可 得 m≤1， 1－2m＋1 2>0， 解得 m<3 4.根据綈 p 为真命题，p∨q 是真命题，可知 p 假 q 真，所以实数 m 的取值范围为 －1，3 4 . 易错点 混淆否命题与命题的否定 错因分析：否命题既要否定条件，又要否定结论，而命题的否定只否定结论． 【例 1】 写出命题“若 a2＋b2＝0，则实数 a，b 全为零”的否定及否命题． 解析 命题的否定：若 a2＋b2＝0，则实数 a，b 不全为零． 命题的否命题：若 a2＋b2≠0，则实数 a，b 不全为零． 【跟踪训练 1】 (2016·浙江卷)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得 n≥x2”的否定形式是 ( D ) A．∀x∈R，∃n∈N*，使得 n0，总有 ex≥1，则¬p 为( B ) A．存在 x0≤0，使得 ex0<1 B．存在 x0>0，使得 ex0<1 C．对任意 x>0，总有 ex<1 D．对任意 x≤0，总有 ex<1 解析 因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题 p：对任意 x>0，总有 ex≥1 的否 定¬p：存在 x0>0，使得 ex0<1.故选 B． 2．已知命题 p：∃x0∈R，tan x0＝1；命题 q：∀x∈R，x2＞0.下列结论正确的是 ( D ) A．命题 p∧q 是真命题 B．命题 p∧(¬q)是假命题 C．命题(¬p)∨q 是真命题 D．命题(¬p)∧(¬q)是假命题 解析 取 x0＝π 4 ，有 tanπ 4 ＝1，故命题 p 是真命题；当 x＝0 时，x2＝0，故命题 q 是假命 题．再根据复合命题的真值表，知 D 项是正确的． 3．已知函数 f(x)＝x2－2ax＋2a2－2(a≠0)，g(x)＝－ex－1 ex ，则下列命题为真命题的是 ( B ) A．∀x∈R，都有 f(x)＜g(x) B．∀x∈R，都有 f(x)＞g(x) C．∃x0∈R，使得 f(x0)＜g(x0) D．∃x0∈R，使得 f(x0)＝g(x0) 解析 函数 f(x)＝x2－2ax＋2a2－2＝(x－a)2＋a2－2≥a2－2>－2，g(x)＝－ex－1 ex ＝－ ex＋1 ex ≤－2，显然∀x∈R，都有 f(x)>g(x)．故选 B． 4．命题“存在 x∈R，使 x2＋ax－4a＜0 为假命题”是命题“－16≤a≤0”的( A ) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析 依题意，知 x2＋ax－4a≥0 恒成立，则Δ＝a2＋16a≤0，解得－16≤a≤0.故选 A． 5．命题 p：x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若¬p 是真命题，则实数 a 的取值范围是( D ) A．(0,4] B．[0,4] C．(－∞，0)∪[4，＋∞) D．(－∞，0)∪(4，＋∞) 解析 命题 p 的否定是¬p：∃x∈R，ax2＋ax＋1<0 成立，即不等式 ax2＋ax＋1<0 有解． 当 a＝0 时，1<0，不等式无解； 当 a≠0 时，要使不等式有解，须 a2－4a>0， 解得 a>4 或 a<0， 综上，a 的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．故选 D． 6．已知命题 p1：∀x∈(0，＋∞)，有 3x>2x，p2：∃θ∈R，sin θ＋cos θ＝3 2 ，则在命题 q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(¬p1)∨p2 和 q4：p1∧(¬p2)中，真命题是( C ) A．q1，q3 B．q2，q3 C．q1，q4 D．q2，q4 解析 因为 y＝ 3 2 x 在 R 上是增函数，即 y＝ 3 2 x>1 在(0，＋∞)上恒成立，所以 p1 是真 命题；sin θ＋cos θ＝ 2sin θ＋π 4 ≤ 2，所以命题 p2 是假命题，¬p2 是真命题，所以命题 q1： p1∨p2，q4：p1∧(¬p2)是真命题．故选 C． 二、填空题 7．已知函数 f(x)的定义域为(a，b)，若“∃x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－x0)≠0”是假命题， 则 f(a＋b)＝__0__. 解析 若“∃x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－x0)≠0”是假命题，则“∀x∈(a，b)，f(x)＋f(－x) ＝0”是真命题，即 f(－x)＝－f(x)，则函数 f(x)是奇函数，则 a＋b＝0，即 f(a＋b)＝0. 8．命题“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数 a 的取值范围是__[－2 2，2 2]__. 解析 由题可知“∀x∈R,2x2 －3ax＋9≥0”为真命题，所以可得Δ＝(－3a)2 － 4×2×9≤0，解得－2 2≤a≤2 2. 9．给出下列命题：①函数 y＝sin 3 2π＋x 是偶函数；②函数 y＝cos 2x＋π 4 图象的一条 对称轴方程为 x＝π 8 ；③对于任意实数 x，有 f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且 x＞0 时，f′(x) ＞0，g′(x)＞0，则 x＜0 时，f′(x)＞g′(x)；④若∀x∈R，函数 f(x)满足 f(x＋2)＝－f(x)， 则 4 是该函数的一个周期；其中真命题为__①③④__(写出所有真命题的序号)． 解析 对于①，y＝sin 3 2π＋x ＝－cos x 是偶函数，正确；对于②，把 x＝π 8 代入 2x＋π 4 ， 有 2×π 8 ＋π 4 ＝π 2 ，而 cosπ 2 ＝0，故 x＝π 8 不是函数图象的一条对称轴方程，错误；对于③，根据 函数的奇偶性和导数与函数单调性的关系，可以得出，当 x<0 时，有 f′(x)>0，而 g′(x)<0， 故 x<0 时，f′(x)>g′(x)，正确；对于④，令 x＝x＋2，可以得到 f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 根据周期的定义，可知 4 是该函数的一个周期，正确． 三、解答题 10．(2018·湖南岳阳一中月考)已知命题 p：(x＋1)(x－5)≤0，命题 q：1－m≤x≤1＋m(m>0)． (1)若 p 是 q 的充分条件，求实数 m 的取值范围； (2)若 m＝5，p∨q 为真命题，p∧q 为假命题，求实数 x 的取值范围． 解析 (1)设使命题 p 成立的集合为 A，命题 q 成立的集合为 B，则 A＝{x|－1≤x≤5}，B＝{x|1－m≤x≤1＋m}，所以 A⊆B， 所以 m>0， 1＋m≥5， 1－m≤－1， 解得 m≥4.故实数 m 的取值范围为[4，＋∞)． (2)根据条件可知 p，q 一真一假． 当 p 真 q 假时， －1≤x≤5， x>6 或 x<－4， 无解． 当 p 假 q 真时， x>5 或 x<－1， －4≤x≤6， 解得－4≤x<－1 或 52， a≤1， 则 a<－1， 故实数 a 的取值范围是(－∞，－1)． 12．已知 a∈R，命题 p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题 q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0. (1)若命题 p 为真命题，求实数 a 的取值范围； (2)若命题 p∨q 为真命题，命题 p∧q 为假命题，求实数 a 的取值范围． 解析 (1)因为命题 p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，令 f(x)＝x2－a，根据题意，只要 x∈[1,2] 时，f(x)min≥0 即可，也就是 1－a≥0⇒a≤1，即 a 的取值范围是(－∞，1]． (2)由(1)可知，命题 p 为真时，a≤1， 命题 q 为真时，Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得 a≤－2 或 a≥1. 因为命题 p∨q 为真命题，命题 p∧q 为假命题，所以命题 p 与命题 q 一真一假， 当命题 p 为真、命题 q 为假时， a≤1， －2＜a＜1 ⇒－2＜a＜1； 当命题 p 为假、命题 q 为真时， a＞1， a≤－2 或 a≥1 ⇒a＞1. 综上，实数 a 的取值范围是(－2,1)∪(1，＋∞)．