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  • 2021-06-16 发布

【数学】2018届一轮复习北师大版第04讲函数的值域(最值)的常见求法(3)学案

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‎【知识要点】‎ 一、绝对值不等式 ‎1、重要绝对值不等式: |‎ 使用这个不等式可以求绝对值函数的最值,先要确定是使用左边还是右边,如果两个绝对值中间是“一”‎ 号,就用左边,如果两个绝对值中间是“+”号,就使用右边. 再确定中间的“±”号,不管是“+”还是“一”,总之要使中间是常数.‎ ‎2、求绝对值的最值,常用重要绝对值不等式求解,或者利用数形结合求解.‎ 二、柯西不等式 ‎1、二维形式的柯西不等式:若为实数,则.(当且仅当时取“=”)‎ 二维形式的柯西不等式的一些变式 或 或,要灵活选择应用.‎ ‎2、维向量的柯西不等式:设,则 ‎ ‎ ‎(当且仅当时取等号,假设)‎ ‎3、利用柯西不等式求最值时,要注意灵活配凑和构造,,使条件满足柯西不等式,这一点很关键.‎ ‎【方法讲评】‎ 方法一 求绝对值函数的最值 使用情景 一般含有两个绝对值.‎ 解题步骤 直接使用重要绝对值不等式求解,也可以利用数形结合求解.‎ ‎【例1】已知函数.‎ ‎(1)求的取值范围,使为常数函数;‎ ‎(2)若关于的不等式解集不是空集,求实数的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎【点评】(1)关于的不等式解集不是空集,即关于的不等式有实数解,即至少存在一个实数使得不等式成立,所以它是不等式“有解”问题.即左边绝对值函数的最小值小于等于8.(2)不等式的恒成立和存在性问题有时很容易弄混淆,所以要理解清楚.恒成立等价于,有解等价于,恒成立等价于,有解等价于.(3)第2问中绝对值的最值,用到了数形结合的方法和绝对值不等式. 学 ‎ ‎【反馈检测1】若不等式的解集为,则实数的取值范围是____.‎ ‎【反馈检测2】若关于的不等式有实数解,则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ 方法二 利用柯西不等式求函数的最值 使用情景 一般含有平方和或交叉的乘积等.‎ 解题步骤 一般先进行配凑构造,使它们满足柯西不等式,再化简求最值.‎ ‎【例2】已知的最小值.‎ ‎【点评】(1)本题利用其它方法求函数的最值不是很方便简洁,但是选择柯西不等式比较简洁.由于已知中有平方和等条件,所以可以尝试利用柯西不等式求最值.(2)利用柯西不等式时,要学会配凑和构造,使它满足柯西不等式左右两边的形式.‎ ‎【反馈检测3】已知,且,则的最小值是 .‎ ‎【反馈检测4】若存在实数使成立,求常数的取值范围 .‎ ‎【反馈检测5】已知函数,,且的解集为.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若,且,求 的最小值.‎ 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第04讲:函数的值域(最值)的常见求法(3)(绝对值不等式法和柯西不等式法)参考答案 ‎【反馈检测1答案】‎ ‎【反馈检测1详细解析】不等式的解集为,故,所以,.‎ ‎【反馈检测2答案】B ‎【反馈检测2详细解析】由绝对值不等式得,即,所 以,所以函数的最小值是,关于的不等式 有实数解等价于,即,解得故选.‎ ‎【反馈检测3答案】‎ ‎【反馈检测4答案】‎ ‎【反馈检测4详细解析】‎ 由柯西不等式,,即 ‎,又知为非负数,所以 ‎,当且仅当,即时取等号.所以最大值为8.则若存在实数使成立,,所以常数的取值范围为.‎ ‎【反馈检测5答案】(1);(2)9.‎