【数学】2018届一轮复习北师大版第04讲函数的值域（最值）的常见求法（3）学案 5页

‎【知识要点】‎ 一、绝对值不等式 ‎1、重要绝对值不等式： |‎ 使用这个不等式可以求绝对值函数的最值，先要确定是使用左边还是右边，如果两个绝对值中间是“一”‎ 号，就用左边，如果两个绝对值中间是“+”号，就使用右边. 再确定中间的“±”号，不管是“+”还是“一”，总之要使中间是常数.‎ ‎2、求绝对值的最值，常用重要绝对值不等式求解，或者利用数形结合求解.‎ 二、柯西不等式 ‎1、二维形式的柯西不等式：若为实数，则.（当且仅当时取“=”）‎ 二维形式的柯西不等式的一些变式 或 或，要灵活选择应用.‎ ‎2、维向量的柯西不等式：设，则 ‎ ‎ ‎（当且仅当时取等号，假设）‎ ‎3、利用柯西不等式求最值时，要注意灵活配凑和构造,，使条件满足柯西不等式，这一点很关键.‎ ‎【方法讲评】‎ 方法一 求绝对值函数的最值 使用情景 一般含有两个绝对值.‎ 解题步骤 直接使用重要绝对值不等式求解，也可以利用数形结合求解.‎ ‎【例1】已知函数.‎ ‎(1)求的取值范围,使为常数函数；‎ ‎(2)若关于的不等式解集不是空集,求实数的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎【点评】（1）关于的不等式解集不是空集，即关于的不等式有实数解，即至少存在一个实数使得不等式成立，所以它是不等式“有解”问题.即左边绝对值函数的最小值小于等于8.（2）不等式的恒成立和存在性问题有时很容易弄混淆，所以要理解清楚.恒成立等价于，有解等价于，恒成立等价于，有解等价于.(3)第2问中绝对值的最值，用到了数形结合的方法和绝对值不等式. 学 ‎ ‎【反馈检测1】若不等式的解集为，则实数的取值范围是____．‎ ‎【反馈检测2】若关于的不等式有实数解，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 方法二 利用柯西不等式求函数的最值 使用情景 一般含有平方和或交叉的乘积等.‎ 解题步骤 一般先进行配凑构造，使它们满足柯西不等式，再化简求最值.‎ ‎【例2】已知的最小值.‎ ‎【点评】(1)本题利用其它方法求函数的最值不是很方便简洁，但是选择柯西不等式比较简洁.由于已知中有平方和等条件，所以可以尝试利用柯西不等式求最值.(2)利用柯西不等式时，要学会配凑和构造，使它满足柯西不等式左右两边的形式.‎ ‎【反馈检测3】已知，且，则的最小值是 ．‎ ‎【反馈检测4】若存在实数使成立，求常数的取值范围 .‎ ‎【反馈检测5】已知函数，，且的解集为．‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若，且，求 的最小值.‎ 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第04讲：函数的值域（最值）的常见求法（3）（绝对值不等式法和柯西不等式法）参考答案 ‎【反馈检测1答案】‎ ‎【反馈检测1详细解析】不等式的解集为，故，所以，.‎ ‎【反馈检测2答案】B ‎【反馈检测2详细解析】由绝对值不等式得,即，所 以，所以函数的最小值是，关于的不等式 有实数解等价于，即，解得故选.‎ ‎【反馈检测3答案】‎ ‎【反馈检测4答案】‎ ‎【反馈检测4详细解析】‎ 由柯西不等式，，即 ‎，又知为非负数，所以 ‎，当且仅当，即时取等号.所以最大值为8.则若存在实数使成立，，所以常数的取值范围为.‎ ‎【反馈检测5答案】（1）；（2）9.‎