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  • 2021-06-16 发布

湖南省株洲市茶陵县第三中学2019-2020学年高一上学期第三次月考数学试题

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www.ks5u.com 茶陵县第三中学高一年级2019年下期第3次月考 数学试题 一、选择题 (本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.已知集合, ,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意可得,选A.‎ ‎2.已知函数,则的解析式是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由于,所以.‎ ‎3.函数y=ax﹣2+1(a>0且a≠1)的图象必经过点( )‎ A. (0,1) B. (1,1) C. (2,0) D. (2,2)‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析:根据a0=1(a≠0)时恒成立,我们令函数y=ax﹣2+1解析式中的指数部分为0,即可得到函数y=ax﹣2+1(a>0且a≠1)的图象恒过点的坐标.‎ 解:∵当X=2时 y=ax﹣2+1=2恒成立 故函数y=ax﹣2+1(a>0且a≠1)的图象必经过点(2,2)‎ 故选D 考点:指数函数的单调性与特殊点.‎ ‎4.若直线//平面,直线,则与的位置关系是( )‎ A. // B. 与异面 C. 与相交 D. 与没有公共点 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析:因为直线,所以直线与平面没有交点,因为直线,所以直线与直线也没有交点,故选择D 考点:线与线的位置关系 ‎5.已知函数为奇函数,且时,,则( )‎ A. B. C. 2 D. -2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由奇函数的性质得出,可求出实数的值,并计算出的值,再利用奇函数的性质可得出的值.‎ ‎【详解】由于函数为奇函数,故,.‎ 所以.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查奇函数的函数值的计算,求出解析式中的参数值是计算的关键,考查运算求解能力,属于基础题.‎ ‎6.设,是两个不同的平面,,是两条不同的直线,且,( )‎ A. 若,则 B. 若,则 C. 若,则 D. 若,则 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析:由面面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一平面的一条垂线,则两面垂直,可得,‎ 可得 考点:空间线面平行垂直的判定与性质 ‎7.已知圆锥的底面半径为,且它的侧面开展图是一个半圆,则这个圆锥的体积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 半径为半径卷成一圆锥,‎ 则圆锥的母线长为,‎ 设圆锥底面半径为,‎ 则,即,‎ ‎∴圆锥的高,‎ ‎∴圆锥的体积,‎ 所以的选项是正确的.‎ ‎8.函数f(x)=log2x+x–4的零点所在的区间是 A. B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连续函数f(x)=log2x+x﹣4在(0,+∞)上单调递增且f(2)=﹣1<0,f(3)=log23﹣1>‎ ‎0,根据函数的零点的判定定理可求 ‎【详解】∵函数f(x)=log2x+x–4在(0,+∞)上图象连续,f(2)=–1<0,f(3)=log23–1>0,‎ ‎∴f(x)=log2x+x–4的零点所在的区间为(2,3).‎ 故选C.‎ ‎【点睛】函数的零点问题,常根据零点存在性定理来判断,如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,且有,那么,函数在区间内有零点,即存在使得这个也就是方程的根,由此可判断根所在区间.‎ ‎9.设长方体的长、宽、高分别为,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为 A. 3a2 B. 6a2 C. 12a2 D. 24a2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】方体的长、宽、高分别为,其顶点都在一个球面上,长方体的对角线的 长就是外接球的直径,所以球直径为:,‎ 所以球的半径为,所以球的表面积是,故选B ‎10.如图,三棱柱中,侧棱,底面三角形是正三角形,是中点,则下列叙述正确的是( )‎ A. 与异面直线 B. ‎ C. ,为异面直线,且 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可证明平面,再根据异面直线的判断方法可得C是正确的,其他情形可通过反证法或反面情况给予证明或说明.‎ ‎【详解】是共面直线,故A错;‎ 若平面,因平面,故,这与矛盾,故B错;‎ 因为平面,故平面,因平面,故.由三棱柱可以得到,故,由,可以得到.而,从而有平面,而平面,故,又平面, 平面,,故是异面直线,故C正确;‎ 若平面,因平面,故.因平面, 平面,故,而,故平面,又 平面,故,这与矛盾,故D错;‎ 综上,选C.‎ ‎【点睛】异面直线的证明可以用判断定理(即与平面相交的直线与平面内不过交点的直线的是异面直线),也可以用反证法来说明.关于线面关系的判断题,也可通过反证法来说明.‎ ‎11.已知在长方体中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点到截面的距离是(   )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 点到截面的距离是,由,可得,解得,故选C.‎ ‎12.已知长方体中, ,,分别是和中点,则异面直线与所成角的大小为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取中点为,连接,,根据题意,得到即是异面直线与所成的角,设,根据题中条件,得到,即可得出结果.‎ ‎【详解】取中点为,连接,,‎ 因为为的中点,所以,且,‎ 因此即是异面直线与所成的角,‎ 又是中点,为长方体中心,‎ 所以在长方体中,,‎ 设,所以在长方体中,,‎ 因此,‎ 又,且,所以,‎ 因此,‎ 所以,即,‎ 故异面直线与所成的角为.‎ 故选:D ‎【点睛】本题主要考查求异面直线所成的角,在几何体中作出异面直线所成的角,即可由题中数据求解,属于常考题型.‎ 二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.设函数,若,则实数 .‎ ‎【答案】-4,2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据自变量范围分类讨论,再根据对应解析式列方程,解出结果.‎ 详解】当 时, ,所以 ;‎ 当 时, ,所以 ‎ 故 .‎ ‎【点睛】本题考查根据函数值求自变量,考查分类讨论思想以及基本分析求解能力.‎ ‎14.已知圆柱的母线,全面积为,则圆柱的底面半径______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将圆柱的两底面积与侧面积相加得出圆柱的全面积,可解出的值.‎ ‎【详解】圆柱的侧面积为,两底面积为,,‎ 解得或(舍去),‎ 因此,圆柱的底面半径为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查利用圆柱的表面积计算圆柱底面的半径,考查运算求解能力,属于中等题.‎ ‎15.水平放置的的直观图如图所示,已知,则原图中边上中线的实际长度为_____. ‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据斜二测画法的原则,得到,,,即可得出结果.‎ ‎【详解】由斜二测画法的原则可得:,,,‎ 因此,‎ 所以原图中边上中线的实际长度为.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查斜二测画法的应用,熟记斜二测画法的原则即可,属于常考题型.‎ ‎16.已知,,对任意,都存在,使,则实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得知,在上的值域是函数在上的值域的子集,求出集合、,根据得出关于实数的不等式组,解出即可.‎ ‎【详解】由题意知,“对任意,都存在,使”等价于“在上的值域是函数在上的值域的子集”,‎ 易知,根据二次函数的图象可知,‎ ‎∵,∴,解得.‎ ‎∴实数的取值范围是.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】解答函数中的恒成立、能成立问题时要注意以下结论,借助结论将问题转化为函数的最值(或值域)问题处理.‎ ‎①任意的x1A,x2B,f(x1)>g(x2) f(x)min>g(x)max;‎ ‎②存在x1A,x2B,f(x1)>g(x2)f(x)max> g(x)min;‎ ‎③任意的x1A, 存在x2B, f(x1)>g(x2)f(x)min> g(x)min;‎ ‎④存在的x1A, 任意x2B, f(x1)>g(x2)f(x)max> g(x)max;‎ ‎⑤任意的x1A, 存在x2B, f(x1)=g(x2)f(x)的值域是g(x)值域的子集.‎ 三、解答题:(本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. )‎ ‎17.设函数.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)若,求实数的取值范围。‎ ‎【答案】(1);(2)或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据函数解析式,由内到外,逐步代入,即可得出结果;‎ ‎(2)分,两种情况讨论,解对应不等式,即可得出结果.‎ ‎【详解】(1)因为,所以,‎ 因此;‎ ‎(2)当时,由可得:,即,解得,所以;‎ 当时,由可得:,即,解得:,所以;‎ 综上,实数的取值范围是或.‎ ‎【点睛】本题主要考查求函数值,以及解分段函数对应的不等式,熟记分段函数的性质,以及函数单调性即可,属于常考题型.‎ ‎18.如图,在三棱锥中,平面平面为等边三角形,且分别为的中点.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)求证:平面平面;‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)因为分别为的中点,所以,由线面平行的判定定理,即可得到平面;‎ ‎(2)因为为的中点,得到,利用面面垂直的性质定理可证得平面,由面面垂直的判定定理,即可得到平面平面.‎ ‎【详解】(1)因为、分别为、的中点,所以.‎ 又因为平面,所以平面;‎ ‎(2)因为,为的中点,所以 ‎,又因为平面平面,平面平面,且平面,‎ 所以平面,平面,平面平面.‎ ‎【点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明,熟练掌握空间中线面位置关系的判定、几何特征是解答的关键,其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型:(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行;(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直;(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.‎ ‎19.已知是矩形,平面,,,‎ 为的中点.‎ ‎(1)求证:平面.‎ ‎(2)求直线与平面所成的角.‎ ‎【答案】(1)见解析; (2)直线与平面所成的角为 ‎【解析】‎ ‎【详解】(1)在中,,‎ 平面,平面,‎ 又,平面 ‎(2)为与平面所成的角 在,,在中,‎ 在中,,‎ ‎20.已知四棱锥(图1)的三视图如图2所示,为正三角形,垂直底面,俯视图是直角梯形.‎ ‎(1)求正视图的面积; ‎ ‎(2)求四棱锥的体积。‎ ‎【答案】(1); (2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先过作,根据三视图得到是的中点,且,由题意求出,,进而可求出正视图的面积;‎ ‎(2)先由(1)得到四棱锥的高,根据棱锥的体积公式,即可求出结果.‎ ‎【详解】(1)过作,根据三视图可知,是的中点,且.‎ 又∵为正三角形,‎ ‎∴,且,‎ ‎∴.‎ ‎∵平面,平面,∴.‎ ‎∴,即.‎ 因此,正视图的面积为;‎ ‎(2)由(1)可知,四棱锥的高,底面积为 ‎,‎ ‎∴四棱锥的体积为.‎ ‎【点睛】本题主要考查由几何体的三视图求正视图的面积,以及几何体的体积,熟记棱锥的体积公式,以及几何体的结构特征即可,属于常考题型.‎ ‎21.某商品的进价为每件元,售价为每件元,每个月可卖出件;如果每件商品在该售价的基础上每上涨元,则每个月少卖件(每件售价不能高于元).设每件商品的售价上涨元(为正整数),每个月的销售利润为元.‎ ‎(1)求与的函数的函数关系式并直接写出自变量的取值范围;‎ ‎(2)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?‎ ‎【答案】(1)(且为正整数);(2)当售价定为每件或元,每个月的利润最大,最大的月利润是元.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】(1)(且为正整数);‎ ‎(2).,‎ 当时,有最大值2402.5.‎ ‎,且为正整数,当时,,‎ ‎(元),当时,,(元)‎ 当售价定为每件55或56元,每个月的利润最大,最大的月利润是2400元;‎ ‎22.已知函数.‎ ‎(1)判断函数的单调性,不需要说明理由.‎ ‎(2)判断函数的奇偶性,并说明理由.‎ ‎(3)对于任意,不等式恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)增函数; (2)奇函数,理由见解析; (3).‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎(1)将函数化为,即可直接得出结果;‎ ‎(2)先由解析式,得到函数定义域, 再由,即可判断出结果;‎ ‎(3)先由函数奇偶性与单调性,将原不等式化为,在恒成立,令,,分别讨论,,三种情况,结合二次函数的单调性,即可得出结果.‎ ‎【详解】(1)为上的增函数;‎ ‎(2)根据题意,函数,其定义域为,‎ 有,‎ 则函数为奇函数; ‎ ‎(3)由(2)的结论,为上的奇函数,‎ 则可化为:,‎ 即,‎ 又由在上是单调递增的函数,则有,在恒成立;‎ 即,在恒成立,‎ 设,,则等价于即可.‎ 即,‎ 当时,函数在上单调递增,其最小值为,得 ‎,不成立;‎ 当时,函数在上单调递减,在上单调递增,其最小值为,解得,所以;‎ 当时,函数在上单调递减,其最小值为,可得,所以 综上可得:的取值范围为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查判断函数单调性与奇偶性,以及由函数单调性与奇偶性求参数的范围,熟记函数单调性与奇偶性的判定方法,以及二次函数性质即可,属于常考题型.‎ ‎ ‎ ‎ ‎