贵州省遵义市航天高级中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题 16页

www.ks5u.com ‎2019-2020学年第一学期第三次月考试题 高一数学 一、选择题：（每小题5分，共12小题，共60分）‎ ‎1.满足的集合A的个数为（ ）‎ A. 4 B. 6 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据{1}⊆A⊆{1，2，3，4}分析出集合A的所有结果即可．‎ ‎【详解】因为{1}⊆A⊆{1，2，3，4}，所以A＝{1}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{1，2，3，4}，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的包含关系，是基础题．‎ ‎2.计算的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数求解即可．‎ 详解】cos（﹣840°）＝cos840°＝cos120°．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查余弦函数的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．‎ ‎3.要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ）‎ A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数图像的平移变换规律：左加右减即可得答案．‎ ‎【详解】，‎ 故要得到的图象，‎ 只需将函数的图象向右平移个单位，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数图象的平移变换，该类题目要注意平移方向及平移对象．‎ ‎4.已知函数，包含的零点的区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 判断函数的单调性，求出f（1），f（2）函数值的符号，利用零点判定定理判断即可．‎ ‎【详解】函数，是减函数，又f（1）00，‎ f（2）＝﹣log22＝＜0，‎ 可得f（1）f（2）＜0，由零点判定定理可知：函数，包含零点的区间是：（1，2）．由选项可得A符合题意；‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查函数的零点判定定理的应用，考查计算能力，注意函数单调性的判断．‎ ‎5.如图,2弧度的圆心角所对的弦长为2,这个圆心角所对应的扇形面积是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 作于点，在中，，则，‎ 扇形的面积.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：(1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．‎ ‎(2)求扇形面积的最值应从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值.‎ ‎6.函数在上不单调，则实数a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据一元二次函数在[﹣1，2]上不单调，故对称轴在区间（﹣1，2）上，建立不等关系解出即可．‎ ‎【详解】因为函数f（x）＝x2﹣（4a﹣1）x+5在[﹣1，2]上不单调，‎ 所以﹣12，解得，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了一元二次函数的图象和性质，不等式的解法，属于基础题．‎ ‎7.已知那么等于（ ）‎ A. 2 B. 1 C. 4 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 考查的形式，把f（8）化为f（x3）的形式，即可．‎ ‎【详解】∵，∴f（8）,‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查函数含义，函数值的求法，是基础题；本题也可以先求函数f（x）的解析式，代入求值即可．‎ ‎8.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用换元法设＝θ，则θ，然后利用三角函数的诱导公式进行化简求解即可．‎ ‎【详解】设＝θ，则θ，∴，‎ 即sin（θ），即cosθ 即cos（），‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的化简和求值，利用换元法进行转化，结合三角函数的诱导公式是解决本题的关键．‎ ‎9.设,其中都是非零实数,若,那么（ ）‎ A. -1 B. 0 C. 1 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用诱导公式求得asinα+bcosβ＝1，由此利用诱导公式可得 f（2020）的值．‎ ‎【详解】f（x）＝asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a，b，α，β都是非零实数，‎ 若f（2019）＝asin（2019π+α）+bcos（2019π+β）＝﹣asinα﹣bcosβ＝﹣1，则asinα+bcosβ＝1，‎ 那么 f（2020）＝asin（2020π+α）+bcos（2020π+β）＝asinα+bcosβ＝1，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．‎ ‎10.函数的部分图像如图所示，则 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题图知，，最小正周期，所以，所以.因为图象过点，所以，所以，所以，令，得，所以，故选A.‎ ‎【考点】 三角函数的图像与性质 ‎【名师点睛】根据图像求解析式问题的一般方法是：先根据函数 图像的最高点、最低点确定A，h的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图像上的一个特殊点确定φ值．‎ ‎11.已知函数满足当时，，那么函数的图像与函数的图像的交点共有（ ）个 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件判断函数的周期性，作出函数f（x）和y＝|lgx|的图象，利用数形结合即可得到结论．‎ ‎【详解】∵∴f（x+2）＝f（x），‎ ‎∴函数y＝f（x）的周期为2，‎ 当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝x2，‎ ‎∴f（10）＝f（0）＝0，‎ f（11）＝f（1）＝1‎ 当x＝10时，函数y＝|lg10|＝1，‎ 当x＝11时，函数y＝|lg11|＞1，‎ 作出函数f（x）和y＝|lgx|的图象如图：‎ 由图象可知两个函数的图象交点为10个，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用函数图象数形结合解决图象交点问题的方法，利用函数的周期性画周期函数的图象，对数函数的图象和性质．‎ ‎12.已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为 A. 11 B. 9‎ C. 7 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值．‎ ‎【详解】∵x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，‎ ‎∴，即，（n∈N）‎ 即ω＝2n+1，（n∈N）‎ 即ω为正奇数，‎ ‎∵f（x）在（，）上单调，则，‎ 即T，解得：ω≤12，‎ 当ω＝11时，φ＝kπ，k∈Z，‎ ‎∵|φ|，‎ ‎∴φ，‎ 此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；‎ 当ω＝9时，φ＝kπ，k∈Z，‎ ‎∵|φ|，‎ ‎∴φ，‎ 此时f（x）在（，）单调，满足题意；‎ 故ω的最大值为9，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：①的单调区间长度是最小正周期的一半;②若的图像关于直线对称,则或.‎ 二、填空题：（每小题5分，共20分）‎ ‎13.若且，则函数的图象恒过定点______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据指数部分为零求解出的值，再根据的值即可计算出对应的的值，则图象恒过的定点为.‎ ‎【详解】令，得，，‎ 函数的图象恒过定点.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】对于形如，且的指数型函数，其恒过的定点的求解方法：‎ 先令，计算出的值即为定点的横坐标，再根据的值计算出的值即为纵坐标，所以恒过的定点为.‎ ‎14.幂函数y=f（x）的图象经过点（4，），则=______．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设幂函数，由于过点，，得，，，故答案为2.‎ 考点：幂函数的应用.‎ ‎15.设函数，则满足的取值范是____________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 分析：画出函数的图象，利用函数的单调性列出不等式转化求解即可.‎ 详解：函数的图象如图：‎ 满足，‎ 可得或，‎ 解得.‎ 故答案为.‎ 点睛：本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及不等式的解法，考查计算能力.‎ ‎16.已知函数的最大值为M，最小值为m，则_________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把已知函数化简可得，构造函数g（x）=，利用定义可知g（x）为奇函数，其图象关于原点对称，即最值和为0，而g（x）取最大值（最小值）时f（x）取最小值（最大值），整体代入求值 ‎【详解】‎ 令g（x）=，则g（﹣x）＝﹣g（x）‎ ‎∴函数g（x）为奇函数，图象关于原点对称，最大值与最小值也关于原点对称，即函数g（x）的最大值与最小值的和为0‎ ‎∴M+m＝1+g（x）min+1+g（x）max＝2‎ 故答案为2‎ ‎【点睛】本题考查了利用函数的性质：奇偶性解决函数的最值问题，解题时，不是把最大及最小值分别求出，而是利用整体思想求解，要灵活运用该方法．‎ 三、解答题（17小题10分，18-22每小题12分，共70分）‎ ‎17.已知，求.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角函数诱导公式及同角基本关系式化简所求后即可得解．‎ ‎【详解】原式 ‎.‎ 因为，所以原式 ‎【点睛】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数关系式，三角函数恒等变化的应用，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎18.已知,,且,,求和的值.‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知及诱导公式可得sinαsinβ，，两边平方后相加可得，由α、β的范围即可解得所求．‎ ‎【详解】由已知,得,①‎ ‎,②‎ 由,得,‎ 即,所以.‎ 又,则.‎ 将代入①,得.‎ 又,故.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，考查了诱导公式，同角三角函数关系式的应用，属于基本知识的考查．‎ ‎19.已知函数，而函数g(x)的图象与f(x)的图象关于原点对称.‎ ‎（1）写出g(x)的解析式.‎ ‎（2）若时，总有恒成立，求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据图象关于原点对称求出解析式g（x）＝﹣f（﹣x）；‎ ‎（2）将问题转化为求函数f（x）+g（x）的最大值．‎ ‎【详解】（1）∵g（x）的图象与f（x）的图象关于原点中心对称，‎ ‎∴g（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣loga（﹣x+1），‎ 即g（x）＝loga，x＜1；‎ 即.‎ ‎（2）记u（x）＝f（x）+g（x）＝loga（1+x）+logaloga，x∈[0，1），‎ ‎∵f（x）+g（x）≤m恒成立，∴m≥[loga]max，‎ 而u（x）＝logaloga（﹣1），‎ 当a∈（0，1），x∈[0，1）时，u（x）单调递减，‎ 所以，u（x）max＝u（0）＝loga1＝0，‎ 因此，m≥0．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的图象与性质，考查了对数复合函数的单调性及应用其求函数最值的方法，属于中档题．‎ ‎20.已知函数最小正周期是.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)求的单调区间.‎ ‎【答案】（1）（2）的单调递减区间为,单调递增区间为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据三角函数最小正周期Tπ，即可求ω的值．‎ ‎（2）将内层函数看作整体，放到正弦函数的单调区间上，解不等式得函数的单调区间．‎ ‎【详解】(1)因为，‎ 的最小正周期是，所以，所以.‎ ‎(2)由，‎ 得.‎ 故.‎ 所以的单调递增区间为.‎ 又由.‎ 得.‎ 故的单调递减区间为.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的图象及性质的运用，正弦函数的单调性问题，属于基础题．‎ ‎21.已知函数的图象的一条对称轴是直线,‎ ‎（1）求的值.‎ ‎（2）将的图象向右平移个单位后得到的图象，求当时，求函数的值域.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据三角函数的性质可知x处f（x）取得最值，结合已知范围即可求出；‎ ‎（2）根据三角函数的图象变换关系求出函数g（x）的表达式，结合三角函数的性质进行求解即可．‎ ‎【详解】（1）因为，所以，又，所以.‎ ‎（2）由（1）,所以.‎ 因为，所以，所以.‎ 所以的值域为 ‎【点睛】本题主要考查由函数y＝Asin（ωx+φ）的性质求解析式，考查了图像变换及正弦函数的定义域和值域，属于中档题．‎ ‎22.据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约只，并以平均每年的速度增加．‎ ‎(1)求两年后这种珍稀鸟类的大约个数；‎ ‎(2)写出（珍稀鸟类的个数）关于（经过的年数）的函数关系式；‎ ‎(3)约经过多少年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的倍或以上？（结果为整数）(参考数据：，)‎ ‎【答案】（1）1166个；（2），（3）15年 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题意求出一年后的只数，再求出两年后的只数即可;‎ ‎(2)根据珍稀鸟类的现有个数约只，并以平均每年的速度增加，列出函数关系即可；‎ ‎(3)由题意得到不等式，化简得到，利用对数运算的性质，化简即可求解.‎ ‎【详解】解：(1)依题意，一年后这种鸟类的个数为 两年后这种鸟类的个数为 ‎(2)由题意可知珍稀鸟类的现有个数约只，并以平均每年的速度增加 则所求的函数关系式为， ‎ ‎(3)令，得：两边取常用对数得：，即 考虑到，故，故 因为 所以 ‎ 约经过15年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的倍或以上 ‎【点睛】本题主要考查了利用指数函数模型解决实际问题，考查学生利用数学知识分析和解决问题的能力，属于中档题.‎ ‎ ‎