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- 2021-06-16 发布
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第1讲 直线的倾斜角与斜率、直线方程
一、知识梳理
1.直线的倾斜角
(1)定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线l,把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角,叫作直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°.
(2)倾斜角的范围为[0,π).
2.直线的斜率
(1)定义:一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k=tan α,倾斜角是90°的直线没有斜率.
(2)过两点的直线的斜率公式
经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k==.
3.直线方程的五种形式
名称
方程形式
适用条件
点斜式
y-y0=k(x-x0)
斜截式
y=kx+b
不能表示斜率不存在的直线
两点式
=
不能表示平行于坐标轴的直线
截距式
+=1
不能表示平行于坐标轴的直线和过原点的直线
一般式
Ax+By+C=0
(A,B不同时为零)
可以表示所有类型的直线
常用结论
1.直线的倾斜角和斜率的关系
(1)直线都有倾斜角,但不一定都有斜率.
(2)不是倾斜角越大,斜率k就越大,因为k=tan α,当α∈时,α越大,斜率k就越大,同样α∈时也是如此,但当α∈[0,π)且α≠时就不是了.
2.识记几种特殊位置的直线方程
(1)x轴:y=0.
(2)y轴:x=0.
(3)平行于x轴的直线:y=b(b≠0).
(4)平行于y轴的直线:x=a(a≠0).
(5)过原点且斜率存在的直线:y=kx.
二、教材衍化
1.经过点P(2,-3),倾斜角为45°的直线方程为 .
答案:x-y-5=0
2.经过点A(-1,0),B(2,-2)两点的直线方程为 .
答案:2x+3y+2=0
3.若过两点A(-m,6),B(1,3m)的直线的斜率为12,则直线的方程为 .
答案:12x-y-18=0
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)直线的倾斜角越大,其斜率就越大.( )
(2)直线的斜率为tan α,则其倾斜角为α.( )
(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( )
(4)经过点P(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示.( )
(5)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
二、易错纠偏
(1)对倾斜角的取值范围不清楚;
(2)忽略截距为0的情况.
1.直线x+y+1=0的倾斜角是( )
A. B.
C. D.
解析:选D.由直线的方程得直线的斜率为k=-,设倾斜角为α,则tan α=-,所以α=.
2.过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 .
解析:当纵、横截距均为0时,直线方程为3x-2y=0;当纵、横截距均不为0时,设直线方程为+=1,则+=1,解得a=5.所以直线方程为x+y-5=0.
答案:3x-2y=0或x+y-5=0
直线的倾斜角与斜率(典例迁移)
(1)直线xsin α+y+2=0的倾斜角的取值范围是( )
A. B.∪
C. D.∪
(2)直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围为 .
【解析】 (1)设直线的倾斜角为θ,则有tan θ=-sin α.因为sin α∈[-1,1],所以-1≤tan θ≤1,又θ∈[0,π),所以0≤θ≤或≤θ<π,故选B.
(2)如图,因为kAP==1,
kBP==-,所以直线l的斜率k∈∪.
【答案】 (1)B
(2)∪
【迁移探究1】 (变条件)若本例(1)的条件变为:直线2xcos α-y-3=0的倾斜角的变化范围为 .
解析:直线2xcos α-y-3=0的斜率k=2cos α.由于α∈,所以≤cos α≤,因此k=2cos α∈[1,].设直线的倾斜角为θ,则有tan θ∈[1,].由于θ∈[0,π),所以θ∈,即倾斜角的变化范围是.
答案:
【迁移探究2】 (变条件)若将本例(2)中P(1,0)改为P(-1,0),其他条件不变,求直线l斜率的取值范围.
解:因为P(-1,0),A(2,1),B(0,),所以kAP==,kBP==.
由图可知,直线l斜率的取值范围为.
(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤
①求出斜率k=tan α的取值范围;
②利用三角函数的单调性,借助图象,确定倾斜角α的取值范围.
求倾斜角时要注意斜率是否存在.
(2)斜率的求法
①定义法:若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值,一般根据k=tan α求斜率;
②公式法:若已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2),一般根据斜率公式k=(x1≠x2)求斜率.
1.若点A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线,则a的值为 .
解析:因为kAC==1,kAB==a-3.
由于A,B,C三点共线,
所以a-3=1,即a=4.
答案:4
2.若直线l的斜率为k,倾斜角为α,且α∈∪,则k的取值范围是 .
解析:当α∈时,k=tan α∈;
当α∈时,k=tan α∈[-,0).
综上得k∈[-,0)∪.
答案:[-,0)∪
直线的方程(师生共研)
(1)若直线过点A(1,3),且斜率是直线y=-4x的斜率的,则该直线的方程为 .
(2)若直线经过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍,则该直线的方程为 .
【解析】 (1)设所求直线的斜率为k,依题意k=-4×=-.又直线经过点A(1,3),因此所求直线的方程为y-3=-(x-1),即4x+3y-13=0.
(2)①当横截距、纵截距均为零时,设所求的直线方程为y=kx,将(-5,2)代入y=kx中,得k=-,此时,直线方程为y=-x,即2x+5y=0.
②当横截距、纵截距都不为零时,
设所求直线方程为+=1,
将(-5,2)代入所设方程,解得a=-,此时,直线方程为x+2y+1=0.
综上所述,所求直线的方程为x+2y+1=0或2x+5y=0.
【答案】 (1)4x+3y-13=0
(2)x+2y+1=0或2x+5y=0
巧设直线方程的方法
(1)已知一点坐标,可采用点斜式设直线方程,但要注意讨论直线斜率不存在的情况;
(2)已知两点或可通过计算表示出两点的坐标,则可采用两点式设直线方程,但要注意讨论分母为零的情况;
(3)当题目涉及直线在x轴、y轴上的截距时,可采用截距式设直线方程,但要注意莫遗漏直线在x轴、y轴上的截距为0的情况;
(4)已知直线的斜率或倾斜角,考虑利用点斜式或斜截式设直线方程.
[注意] (1)当已知直线经过点(a,0),且斜率不为0时,可将直线方程设为x=my+a;
(2)当已知直线经过点(0,a),且斜率存在时,可将直线方程设为y=kx+a;
(3)当直线过原点,且斜率存在时,可将直线方程设为y=kx.
1.已知△ABC的三个顶点坐标为A(1,2),B(3,6),C(5,2),M为AB的中点,N为AC的中点,则中位线MN所在直线的方程为( )
A.2x+y-12=0 B.2x-y-12=0
C.2x+y-8=0 D.2x-y+8=0
解析:选C.由题知M(2,4),N(3,2),中位线MN所在直线的方程为=,整理得2x+y-8=0.
2.经过点B(3,4),且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线的方程为 .
解析:由题意可知,所求直线的斜率为±1.
又过点(3,4),由点斜式得y-4=±(x-3).
所求直线的方程为x-y+1=0或x+y-7=0.
答案:x-y+1=0或x+y-7=0
直线方程的综合应用(典例迁移)
(一题多解)已知直线l过点M(2,1),且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A,B两点,O为原点,当△AOB面积最小时,求直线l的方程.
【解】 法一:设直线l的方程为y-1=k(x-2)(k<0),A,B(0,1-2k),S△AOB=(1-2k)·=≥(4+4)=4,当且仅当-4k=-,即k=-时,等号成立.故直线l的方程为y-1=-(x-2),即x+2y-4=0.
法二:设直线l:+=1,且a>0,b>0,因为直线l过点M(2,1),所以+=1,则1=+≥2,故ab≥8,故S△AOB的最小值为×ab=×8=4,当且仅当==时取等号,此时a=4,b=2,故直线l为+=1,即x+2y-4=0.
【迁移探究】 (变问法)在本例条件下,当|OA|+|OB|取最小值时,求直线l的方程.
解:由本例法二知,+=1,a>0,b>0,
所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)·
=3++≥3+2,
当且仅当a=2+,b=1+时等号成立,所以当|OA|+|OB|取最小值时,直线l的方程为x+y=2+.
直线方程综合问题的两大类型及其解法
(1)求解与直线方程有关的最值问题:先设出直线方程,建立目标函数,再利用基本不等式求解最值.
(2)求参数值或范围:注意点在直线上,则点的坐标适合直线的方程,再结合函数的单调性或基本不等式求解.
1.直线x-2y+b=0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,那么b的取值范围是( )
A.[-2,2] B.(-∞,-2]∪[2,+∞)
C.[-2,0)∪(0,2] D.(-∞,+∞)
解析:选C.令x=0,得y=,令y=0,得x=-b,
所以所求三角形的面积为|-b|=b2,且b≠0,b2≤1,所以b2≤4,所以b的取值范围是[-2,0)∪(0,2].
2.已知直线x+2y=2分别与x轴、y轴相交于A,B两点,若动点P(a,b)在线段AB上,则ab的最大值为 .
解析:直线方程可化为+y=1,故直线与x轴的交点为A(2,0),与y轴的交点为B(0,1),由动点P(a,b)在线段AB上,可知0≤b≤1,且a+2b=2,从而a=2-2b,故ab=(2-2b)b=-2b2+2b=-2+,由于0≤b≤1,故当b=时,ab取得最大值.
答案:
[基础题组练]
1.若直线过点(1,1),(2,1+),则此直线的倾斜角的大小为( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
解析:选C.设此直线的倾斜角为α,则k=tan α==.又a∈[0,π),所以α=60°.故选C.
2.已知直线l的斜率为,在y轴上的截距为另一条直线x-2y-4=0的斜率的倒数,则直线l的方程为( )
A.y=x+2 B.y=x-2
C.y=x+ D.y=-x+2
解析:选A.因为直线x-2y-4=0的斜率为,所以直线l在y轴上的截距为2,所以直线l的方程为y=x+2.
3.(2020·黑龙江鹤岗一中期中)已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是( )
A.1 B.-1
C.2或1 D.-2或1
解析:选D.当a=0时,直线方程为y=2,显然不符合题意,当a≠0时,令y=0,得到直线在x轴上的截距是,令x=0,得到直线在y轴上的截距为2+a,根据题意得=2+a,解得a=-2或a=1,故选D.
4.若<α<2π,则直线+=1必不经过( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:选B.令x=0,得y=sin α<0,令y=0,得x=cos α>0,直线过(0,sin α),(cos α,0)两点,因而直线不经过第二象限.选B.
5.在等腰三角形MON中,MO=MN,点O(0,0),M(-1,3),点N在x轴的负半轴上,则直线MN的方程为( )
A.3x-y-6=0 B.3x+y+6=0
C.3x-y+6=0 D.3x+y-6=0
解析:选C.因为MO=MN,所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数,所以kMN=-kMO=3,所以直线MN的方程为y-3=3(x+1),即3x-y+6=0,选C.
6.已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),则BC边上中线所在的直线方程为 .
解析:BC的中点坐标为,所以BC边上中线所在直线方程为=,即x+13y+5=0.
答案:x+13y+5=0
7.直线l过原点且平分▱ABCD的面积,若平行四边形的两个顶点为B(1,4),D(5,0),则直线l的方程为 .
解析:直线l平分▱ABCD的面积,则直线l过BD的中点(3,2),则直线l:y=x.
答案:y=x
8.设点A(-1,0),B(1,0),直线2x+y-b=0与线段AB相交,则b的取值范围是 .
解析:b为直线y=-2x+b在y轴上的截距,如图,当直线y=-2x+b过点A(-1,0)和点B(1,0)时,b分别取得最小值和最大值.所以b的取值范围是[-2,2].
答案:[-2,2]
9.已知△ABC的三个顶点分别为A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),求:
(1)BC边所在直线的方程;
(2)BC边的垂直平分线DE的方程.
解:(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(-2,3)两点,
所以BC的方程为=,
即x+2y-4=0.
(2)由(1)知,直线BC的斜率k1=-,则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2=2.因为BC边的垂直平分线DE经过BC的中点(0,2),
所以所求直线方程为y-2=2(x-0),
即2x-y+2=0.
10.已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3,分别求满足下列条件的直线l的方程:
(1)过定点A(-3,4);
(2)斜率为.
解:(1)设直线l的方程为y=k(x+3)+4,它在x轴,y轴上的截距分别是--3,3k+4,由已知,得(3k+4)×=±6,解得k1=-或k2=-.
故直线l的方程为2x+3y-6=0或8x+3y+12=0.
(2)设直线l在y轴上的截距为b,则直线l的方程是y=x+b,它在x轴上的截距是-6b,
由已知,得|-6b·b|=6,
所以b=±1.
所以直线l的方程为x-6y+6=0或x-6y-6=0.
[综合题组练]
1.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是( )
A.-1<k< B.k>1或k<
C.k>或k<1 D.k>或k<-1
解析:选D.设直线的斜率为k,则直线方程为y-2=k(x-1),令y=0,得直线l在x轴上的截距为1-,
则-3<1-<3,解得k>或k<-1.
2.过直线l:y=x上的点P(2,2)作直线m,若直线l,m与x轴围成的三角形的面积为2,则直线m的方程为 .
解析:①若直线m的斜率不存在,则直线m的方程为x=2,直线m,直线l和x轴围成的三角形的面积为2,符合题意;②若直线m的斜率k=0,则直线m与x轴没有交点,不符合题意;③若直线m的斜率k≠0,设其方程为y-2=k(x-2),令y=0,得x=2-,依题意有××2=2,即=1,解得k=,所以直线m的方程为y-2=(x-2),即x-2y+2=0.综上可知,直线m的方程为x-2y+2=0或x=2.
答案:x-2y+2=0或x=2
3.已知直线l过点(2,1),且在x,y轴上的截距相等.
(1)求直线l的一般方程;
(2)若直线l在x,y轴上的截距不为0,点P(a,b)在直线l上,求3a+3b的最小值.
解:(1)①截距为0时,k==,
所以l:y=x,即x-2y=0;
②截距不为0时,设直线方程为+=1,将(2,1)代入,计算得t=3,则直线方程为x+y-3=0.
综上,直线l的方程为x-2y=0或x+y-3=0.
(2)由题意得l的方程为x+y-3=0,
因为点P(a,b)在直线l上,所以a+b=3,
所以3a+3b≥2=2=6,
当且仅当a=b=时等号成立,
所以3a+3b的最小值是6.
4.(综合型)为了绿化城市,拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图),另外△EFA内部有一文物保护区不能占用,经测量AB=100 m,BC=80 m,AE=30 m,AF=20 m,应如何设计才能使草坪面积最大?
解:如图所示,建立平面直角坐标系,则E(30,0),F(0,20),
所以直线EF的方程为+=1(0≤x≤30).
易知当矩形草坪的一个顶点在EF上时,可取最大值,
在线段EF上取点P(m,n),作PQ⊥BC于点Q,PR⊥CD于点R,设矩形PQCR的面积为S,
则S=|PQ|·|PR|=(100-m)(80-n).
又+=1(0≤m≤30),
所以n=20-m.
所以S=(100-m)
=-(m-5)2+(0≤m≤30).
所以当m=5时,S有最大值,这时=5∶1.
所以当矩形草坪的两边在BC,CD上,一个顶点在线段EF上,且这个顶点分有向线段EF成5∶1时,草坪面积最大.