【数学】2019届一轮复习北师大版平面向量的概念及其线性运算学案 18页

第1讲　平面向量的概念及其线性运算 板块一　知识梳理·自主学习 ‎[必备知识]‎ 考点1　向量的有关概念 ‎(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．‎ ‎(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．‎ ‎(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．‎ ‎(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量．‎ 规定：0与任一向量共线．‎ ‎(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．‎ ‎(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．‎ 考点2　向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义)‎ 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：‎ a＋b＝b＋a；‎ 结合律：‎ ‎(a＋b)＋c＝‎ a＋(b＋c)‎ 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b)‎ 续表 向量运算 定义 法则(或几何意义)‎ 运算律 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 ‎|λa|＝|λ||a|，‎ 当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0‎ λ(μa)＝(λμ)a；‎ ‎(λ＋μ)a＝‎ λa＋μa；‎ λ(a＋b)＝‎ λa＋λb 考点3　共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.‎ ‎[必会结论]‎ ‎1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋An－1An＝.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．‎ ‎2．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)．‎ ‎[考点自测]‎ ‎1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．(　　)‎ ‎(2)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．(　　)‎ ‎(3)＝－.(　　)‎ ‎(4)向量a－b与b－a是相反向量．(　　)‎ ‎(5)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　　)‎ ‎(6)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(　　)‎ 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×　(6)√‎ ‎2．[课本改编]如图所示，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是(　　)‎ A.＝ B.＋＝ C.－＝ D.＋＝0‎ 答案　C 解析　由－＝＝－，故C错误．‎ ‎3．[课本改编]设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则(　　)‎ A.＋＝0 B.＋＝0‎ C.＋＝0 D.＋＋＝0‎ 答案　B 解析　∵＋＝2，∴P为AC的中点，∴＋＝0.选B.‎ ‎4．[2018·温州模拟]已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.‎ 答案　－ 解析　设a＋λb＝k[－(b－3a)]＝3ka－kb，∴1＝3k，且λ＝－k，∴λ＝－.‎ ‎5．[2015·北京高考]在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y＝________.‎ 答案　　－ 解析　由题中条件得＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝x＋y，所以x＝，y＝－.‎ 板块二　典例探究·考向突破 考向　平面向量的概念 例　1　给出下列命题：‎ ‎①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；‎ ‎②若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；‎ ‎③若A，B，C，D是不共线的四点，则＝，则ABCD为平行四边形；‎ ‎④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；‎ ‎⑤已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．‎ 其中真命题的序号是________．‎ 答案　③‎ 解析　①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．‎ ‎②错误，若b＝0，则a与c不一定共线．‎ ‎③正确，因为＝，所以||＝||且∥；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．‎ ‎④错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．‎ ‎⑤错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．‎ 故填③.‎ 触类旁通 对于向量的概念应注意的问题 ‎(1)向量的两个特征：有大小，有方向，向量既可以用有向线段表示，字母表示，也可以用坐标表示．‎ ‎(2)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量．‎ ‎(3)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小．‎ ‎(4)向量是自由向量，所以平行向量就是共线向量，二者是等价的．‎ ‎【变式训练1】　设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是(　　)‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ 答案　D 解析　向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.‎ 考向　平面向量的线性运算 命题角度1　向量加减法的几何意义 例　2　[2017·全国卷Ⅱ]设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则(　　)‎ A．a⊥b B．|a|＝|b|‎ C．a∥b D．|a|＞|b|‎ 答案　A 解析　解法一：∵|a＋b|＝|a－b|，‎ ‎∴|a＋b|2＝|a－b|2.‎ ‎∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.‎ ‎∴a·b＝0.∴a⊥b.‎ 故选A.‎ 解法二：利用向量加法的平行四边形法则．‎ 在▱ABCD中，设＝a，＝b，‎ 由|a＋b|＝|a－b|知||＝||，‎ 从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.‎ 故选A.‎ 命题角度2　向量的线性运算 例　3　[2015·全国卷Ⅰ]设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)‎ A.＝－＋ B.＝－ C.＝＋ D.＝－ 答案　A 解析　＝＋＝＋＝＋(－‎ )＝－＝－＋.故选A.‎ 命题角度3　利用向量的线性运算求参数 例　4　[2018·唐山模拟]在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是________．‎ 答案　0≤μ≤ 解析　由题意可求得AD＝1，CD＝，所以＝2.‎ ‎∵点E在线段CD上，‎ ‎∴＝λ(0≤λ≤1)．‎ ‎∵＝＋，‎ 又＝＋μ＝＋2μ＝＋，‎ ‎∴＝1，即μ＝.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤.‎ 触类旁通 平面向量线性运算的一般规律 ‎(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除 利用向量的加法、减法、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理．‎ ‎(2)在求向量时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．‎ 考向　共线向量定理的应用 例　5　设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.‎ ‎(1)求证：A，B，D三点共线；‎ ‎(2)若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．‎ 解　(1)证明：由已知得＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，‎ ‎∵＝2e1－8e2，∴＝2.‎ 又∵与有公共点B，‎ ‎∴A，B，D三点共线．‎ ‎(2)由(1)可知＝e1－4e2，‎ ‎∵＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，‎ ‎∴＝λ(λ∈R)，‎ 即3e1－ke2＝λe1－4λe2，得解得k＝12.‎ 触类旁通 怎样用向量证明三点共线问题 两向量共线且有公共点(起点相同或终点相同，或一个向量的起点是另一个向量的终点)，则可以得到三点共线；反之由三点共线也可得到向量共线．‎ ‎【变式训练2】　已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)．‎ ‎(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；‎ ‎(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.‎ 证明　(1)若m＋n＝1，‎ 则＝m＋(1－m)＝＋m(－)，‎ ‎∴－＝m(－)，‎ 即＝m，∴与共线．‎ 又∵与有公共点B，∴A，P，B三点共线．‎ ‎(2)若A，P，B三点共线，存在实数λ，使＝λ，‎ ‎∴－＝λ(－)．‎ 又＝m＋n.‎ 故有m＋(n－1)＝λ－λ，‎ 即(m－λ)＋(n＋λ－1)＝0.‎ ‎∵O，A，B不共线，∴，不共线，‎ ‎∴∴m＋n＝1.‎ 核心规律 ‎1.向量的加、减法运算，要在所表达的图形上多思考，多联系相关的几何图形，比如平行四边形、菱形、三角形等，可多记忆一些有关的结论．‎ ‎2.对于向量共线定理及其等价定理，关键要理解向量a与b共线是指a与b所在的直线平行或重合．‎ ‎3.要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式b＝λa，再结合条件或图形有无公共点证明几何位置．‎ 满分策略 ‎1.两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点．‎ ‎2.零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定．‎ ‎3.注意区分向量共线与向量所在的直线平行间的关系．向量与是共线向量，但A，B，C，D四点不一定在一条直线上．‎ ‎4.向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个.‎ 板块三　启智培优·破译高考 易错警示系列6——向量线性运算中的易错点 ‎[2018·铁岭模拟]已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝(　　)‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ 错因分析　本题主要考查向量的有关运算以及向量运算的几何意义．求解该题时容易出现两个问题：一是不能根据＋＋＝0分析出点M与△ABC之间的关系；二是不能灵活利用三角形的性质和向量运算的几何意义找出，与之间的关系．‎ 解析　解法一：由＋＋＝0，知点M为△ABC的重心，设点D为边BC的中点，则由向量加法，可知＋＝2.‎ 由重心的性质，可知||＝||，‎ 而且与同向，故＝，‎ 所以＝×(＋)＝(＋)，‎ 所以＋＝3，m＝3.故选B.‎ 解法二：由已知得＋＋＋＝m，‎ 又∵＋＝－＝，∴3＝m，‎ ‎∴m＝3.故选B.‎ 答案　B 答题启示　进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基底或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解.充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.‎ 跟踪训练 在△ABC中，点D在边CB的延长线上，且＝4＝r－s，则s＋r等于(　　)‎ A．0 B. C. D．3‎ 答案　C 解析　因为＝4，所以＝.又因为＝－，所以＝(－)＝－，所以r＝s＝，s＋r＝.‎ 板块四　模拟演练·提能增分 ‎[A级　基础达标]‎ ‎1．[2018·南京模拟]对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b；若a∥b，则a＝λb，a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．故选A.‎ ‎2．已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若2＋＝0，则向量等于(　　)‎ A.－ B．－＋ C．2－ D．－＋2 答案　C 解析　因为＝－，＝－，所以2＋＝2(－)＋(－)＝－2＋＝0，所以＝2－.故选C.‎ ‎3．[2018·嘉兴模拟]已知向量a与b不共线，且＝λa＋b，＝a＋μb，则点A，B，C三点共线应满足 (　　)‎ A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1 C．λμ＝－1 D．λμ＝1‎ 答案　D 解析　若A，B，C三点共线，则＝k，即λa＋b＝k(a＋μb)，所以λa＋b＝ka＋μkb，所以λ＝k,1＝μk，故λμ＝1.故选D.‎ ‎4．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＝.故选A.‎ ‎5．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是(　　)‎ A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．以上都不对 答案　C 解析　由已知得，＝＋＋＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，故∥.又因为与不平行，所以四边形ABCD是梯形．故选C.‎ ‎6.[2018·北京海淀期末]如图，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　)‎ A. B．－ C．1 D．－1‎ 答案　A 解析　因为E为DC的中点，所以＝＋＝＋＋＝＋，即＝－＋，所以λ＝－，μ＝1，所以λ＋μ＝.故选A.‎ ‎7．[2018·绵阳模拟]在等腰梯形ABCD中，＝－2，M为BC的中点，则＝(　　)‎ A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ 答案　B 解析　因为＝－2，所以＝2.又M是BC的中点，所以＝(＋)＝(＋＋)＝＝＋.故选B.‎ ‎8．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为________．‎ 答案　直角三角形 解析　因为＋－2＝－＋－＝＋，－＝＝－，所以|＋|＝|－|，即·＝0，故⊥，△ABC为直角三角形．‎ ‎9．[2018·江苏模拟]设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．‎ 答案　 解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，∵＝λ1＋λ2，‎ ‎∴λ1＝－，λ2＝，故λ1＋λ2＝.‎ ‎10．△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是________．‎ 答案　 解析　因为＋＋＝，所以＋＋＝－，所以＝－2＝2，即P是AC边的一个三等分点，且PC＝AC，由三角形的面积公式可知，＝＝.‎ ‎[B级　知能提升]‎ ‎1．[2018·福建模拟]设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋等于(　　)‎ A. B．2 C．3 D．4 答案　D 解析　＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝2＋2＝4.故选D.‎ ‎2．在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE与AC相交于点F，若＝m＋n(m，n∈R)，则的值为(　　)‎ A．－2 B．－ C．2 D. 答案　A 解析　设＝a，＝b，则＝ma＋nb，＝－＝b－a，由向量与共线可知存在实数λ，使得＝λ，即ma＋nb＝λb－λa，又a与b不共线，则所以＝－2.故选A.‎ ‎3．[2018·泉州四校联考]设e1，e2是不共线的向量，若＝e1－λe2，＝2e1＋e2，＝3e1－e2，且A，B，D三点共线，则λ的值为________．‎ 答案　2‎ 解析　∵＝2e1＋e2，＝3e1－e2，‎ ‎∴＝－＝(3e1－e2)－(2e1＋e2)＝e1－2e2，若A，B，D三点共线，则与共线，存在μ∈R使得＝μ，即e1－λe2＝μ(e1－2e2)，由e1，e2是不共线的向量，得解得λ＝2.‎ ‎4．已知||＝1，||＝，∠AOB＝90°，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°.设＝m＋n(m，n∈R)，求的值．‎ 解　如图所示，因为OB⊥OA，设||＝2，过点C作CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，所以四边形ODCE是矩形，‎ ＝＋＝＋.‎ 因为||＝2，∠COD＝30°，所以||＝1，||＝.‎ 又因为||＝，||＝1，所以＝，＝，‎ ＝＋，此时m＝，n＝，所以＝＝3.‎ ‎5．[2018·大同模拟]若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝＋3，求△ABM与△ABC的面积之比．‎ 解　设AB的中点为D，如图，连接MD，MC，由5＝＋3，得5＝2＋3　①，‎ 即＝＋，‎ 即＋＝1，‎ 故C，M，D三点共线，又＝＋　②，‎ ‎①②联立，得5＝3，即在△ABM与△ABC中，边AB上的高的比值为，所以△ABM与△ABC的面积的比值为.‎