【数学】2019届一轮复习北师大版不等式选讲学案文 13页

‎§13.2　不等式选讲 最新考纲 考情考向分析 ‎1.理解绝对值不等式的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b∈R)．‎ ‎2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：‎ ‎|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.‎ ‎3.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法.‎ 本节题目常见的是解绝对值不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围，求含有绝对值的函数最值也是考查的热点．求解的一般方法是去掉绝对值，也可以借助数形结合求解．在高考中主要以解答题的形式考查，难度为中、低档.‎ ‎1．绝对值不等式的解法 ‎(1)含绝对值的不等式|x|a的解集 不等式 a>0‎ a＝0‎ a<0‎ ‎|x|a ‎(－∞，－a)∪(a，＋∞)‎ ‎(－∞，0)∪(0，＋∞)‎ R ‎(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 ‎①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；‎ ‎②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.‎ ‎(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法 ‎①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ ‎②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ ‎③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．‎ ‎2．含有绝对值的不等式的性质 ‎(1)如果a，b是实数，则|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．‎ ‎(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．‎ ‎3．不等式证明的方法 ‎(1)比较法 ‎①作差比较法 知道a>b⇔a－b>0，ab，只要证明a－b>0即可，这种方法称为作差比较法．‎ ‎②作商比较法 由a>b>0⇔>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时，要证明a>b，只要证明>1即可，这种方法称为作商比较法．‎ ‎(2)综合法 从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫作综合法，即“由因导果”的方法．‎ ‎(3)分析法 从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫作分析法，即“执果索因”的方法．‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)若|x|>c的解集为R，则c≤0.(　×　)‎ ‎(2)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为∅.(　√　)‎ ‎(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a>b>0时等号成立．(　×　)‎ ‎(4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立．(　×　)‎ ‎(5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．(　√　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．不等式3≤|5－2x|<9的解集为(　　)‎ A．[－2,1)∪[4,7) B．(－2,1]∪(4,7]‎ C．(－2，－1]∪[4,7) D．(－2,1]∪[4,7)‎ 答案　D 解析　由题意得 即 解得不等式的解集为(－2,1]∪ [4,7)．‎ ‎3．求不等式|x－1|－|x－5|<2的解集．‎ 解　①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，‎ ‎∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1；‎ ‎②当15；‎ 当－2≤x<时，y＝－x＋3>，y≤5；‎ 当x≥时，y＝3x＋1≥，故函数y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值为.因为不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，所以≥a2＋a＋2.‎ 解不等式≥a2＋a＋2，得－1≤a≤，‎ 故实数a的取值范围为.‎ 题型一　绝对值不等式的解法 ‎1．(2017·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；‎ ‎(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．‎ 解　(1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于 x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.①‎ 当x<－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；‎ 当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1；‎ 当x>1时，①式化为x2＋x－4≤0，‎ 从而11.‎ ‎(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；‎ ‎(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－‎2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．‎ 解　(1)方法一　当a＝2时，由题意知|x－2|＋|x－4|≥4，利用几何意义可知不等式表示数轴上x的对应点到2与4对应点的距离之和大于等于4，又2和4之间的距离为2，即x在以2和4为标准分别向左或者向右平移1个单位长度的位置上．‎ 故不等式的解集为{x|x≤1或x≥5}．‎ 方法二　当a＝2时，‎ f(x)＋|x－4|＝ 当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|，得－2x＋6≥4，‎ 解得x≤1；‎ 当20恒成立，‎ ‎∴不等式f(x)≥0的解集为.‎ ‎(2)由方程f(x)＝x可变形为 m＝x＋|x－2|－|x＋2|.‎ 令h(x)＝x＋|x－2|－|x＋2|‎ ‎＝ 作出图像如图所示，‎ 数形结合，可得－2y，求证：2x＋≥2y＋3；‎ ‎(2)设a，b，c>0且ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥.‎ 证明　(1)因为x>0，y>0，x－y>0，‎ ‎2x＋－2y＝2(x－y)＋ ‎＝(x－y)＋(x－y)＋ ‎≥3＝3，‎ 所以2x＋≥2y＋3.‎ ‎(2)因为a，b，c>0，所以要证a＋b＋c≥，‎ 只需证明(a＋b＋c)2≥3.‎ 即证a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，‎ 而ab＋bc＋ca＝1，‎ 故需证明a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)，‎ 即证a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.‎ 而ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)成立，‎ 所以原不等式成立．‎ 思维升华 用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野．‎ 跟踪训练 (2017·全国Ⅱ)已知a>0，b>0，a3＋b3＝2，证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；‎ ‎(2)a＋b≤2.‎ 证明　(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6‎ ‎＝(a3＋b3)2－‎2a3b3＋ab(a4＋b4)‎ ‎＝4＋ab(a4＋b4－‎2a2b2)‎ ‎＝4＋ab(a2－b2)2≥4.‎ ‎(2)因为(a＋b)3＝a3＋‎3a2b＋3ab2＋b3‎ ‎＝2＋3ab(a＋b)‎ ‎≤2＋(a＋b)‎ ‎＝2＋，‎ 所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.‎ ‎1．解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5.‎ 解　方法一　如图，设数轴上与－2,1对应的点分别是A，B，则不等式的解就是数轴上到A，B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数．‎ 显然，区间[－2,1]不是不等式的解集．把点A向左移动一个单位到点A1，此时|A‎1A|＋|A1B|＝1＋4＝5.把点B向右移动一个单位到点B1，此时|B‎1A|＋|B1B|＝5，故原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．‎ 方法二　由原不等式|x－1|＋|x＋2|≥5，‎ 可得或 或解得x≥2或x≤－3，‎ ‎∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．‎ 方法三　将原不等式转化为|x－1|＋|x＋2|－5≥0.‎ 令f(x)＝|x－1|＋|x＋2|－5，则 f(x)＝ 作出函数的图像，如图所示．‎ 由图像可知，当x∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，y≥0，‎ ‎∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．‎ ‎2．不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围．‎ 解　由绝对值的几何意义知，|x－4|＋|x＋5|≥9，则log3(|x－4|＋|x＋5|)≥2，所以要使不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则需a<2.‎ 所以实数a的取值范围为(－∞，2)．‎ ‎3．对于任意实数a，b，已知|a－b|≤1，|‎2a－1|≤1，且恒有|‎4a－3b＋2|≤m，求实数m的取值范围．‎ 解　因为|a－b|≤1，|‎2a－1|≤1，‎ 所以|‎3a－3b|≤3，≤，‎ 所以|‎4a－3b＋2|＝ ‎≤|‎3a－3b|＋＋≤3＋＋＝6，‎ 即|‎4a－3b＋2|的最大值为6，‎ 所以m≥|‎4a－3b＋2|max＝6.‎ 即实数m的取值范围为[6，＋∞)．‎ ‎4．设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：‎ ‎(1)若ab＞cd，则＋＞＋；‎ ‎(2)＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件．‎ 证明　(1)因为(＋)2＝a＋b＋2，‎ ‎(＋)2＝c＋d＋2，‎ 由题设知a＋b＝c＋d，ab＞cd，‎ 得(＋)2＞(＋)2.‎ 因此＋＞＋.‎ ‎(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2, ‎ 即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.‎ 因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd；‎ 由(1)得＋＞＋，即必要性成立；‎ ‎②若＋＞＋，则(＋)2＞(＋)2，‎ 即a＋b＋2＞c＋d＋2.‎ 因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，于是 ‎(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.‎ 因此|a－b|＜|c－d|，即充分性成立．‎ 综上，＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件．‎ ‎5．(2017·洛阳模拟)已知关于x的不等式|2x＋1|－|x－1|≤log‎2a(其中a>0)．‎ ‎(1)当a＝4时，求不等式的解集；‎ ‎(2)若不等式有解，求实数a的取值范围．‎ 解　(1)当a＝4时，不等式为|2x＋1|－|x－1|≤2.‎ 当x<－时，－x－2≤2，解得－4≤x<－；‎ 当－≤x≤1时，3x≤2，解得－≤x≤；‎ 当x>1时，x≤0，此时x不存在，‎ ‎∴原不等式的解集为.‎ ‎(2)令f(x)＝|2x＋1|－|x－1|，‎ 则f(x)＝ 故f(x)∈，即f(x)的最小值为－.‎ 若f(x)≤log‎2a有解，则log‎2a≥－，‎ 解得a≥，即a的取值范围是.‎ ‎6．已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.‎ ‎(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；‎ ‎(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．‎ 解　当a＝－3时，f(x)＝|x－3|＋|x－2|‎ ‎＝ 当x≤2时，由f(x)≥3，得－2x＋5≥3，解得x≤1；‎ 当2a2.同理b>b2，c>c2.‎ ‎∴a2＋b2＋c21，①当x<0时，≤x<0；‎ ‎②当0≤x≤1时，得x＋1－x≤m,0≤x≤1；‎ ‎③当x>1时，得2x－1≤m,1