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- 2021-06-16 发布
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第1节 集 合
最新考纲 1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题;2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;在具体情境中了解全集与空集的含义;
3.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.
知 识 梳 理
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法.
2.集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
符号语言
集合间的基本关系
相等
集合A与集合B中的所有元素都相同
A=B
子集
A中任意一个元素均为B中的元素
A⊆B
真子集
A中任意一个元素均为B中的元素,且B中至少有一个元素不是A中的元素
AB
空集
空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U,则集合A
的补集为∁UA
图形表示
集合表示
{x|x∈A,或x∈B}
{x|x∈A,且x∈B}
{x|x∈U,且x∉A}
4.集合的运算性质
(1)A∩A=A,A∩∅=∅,A∩B=B∩A.
(2)A∪A=A,A∪∅=A,A∪B=B∪A.
(3)A∩(∁UA)=∅,A∪(∁UA)=U,∁U(∁UA)=A.
[微点提醒]
1.若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有2n-1个.
2.子集的传递性:A⊆B,B⊆C⇒A⊆C.
3.A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁UA⊇∁UB.
4. ∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.( )
(2)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.( )
(3)对于任意两个集合A,B,关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.( )
(4)含有n个元素的集合有2n个真子集.( )
解析 (1)错误.{x|y=x2+1}=R,{y|y=x2+1}=[1,+∞),{(x,y)|y=x2+1}是抛物线y=x2+1上的点集.
(2)错误.当x=1时,不满足集合中元素的互异性.
(4)错误.含有n个元素的集合有2n-1个真子集.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×
2.(必修1P5练习1改编)若集合P={x∈N|x≤},a=2,则( )
A.a∈P B.{a}∈P
C.{a}⊆P D.a∉P
解析 因为a=2不是自然数,而集合P是不大于的自然数构成的集合,所以a∉P,只有D正确.
答案 D
3.(必修1P9A1(4)改编)已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},则集合M∪N的子集的个数为________.
解析 由已知得M∪N={0,1,2,3,4,5},所以M∪N的子集有26=64(个).
答案 64
4.(2018·全国Ⅰ卷)已知集合A={x|x2-x-2>0},则∁RA=( )
A.{x|-12}
D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}
解析 法一 A={x|x2-x-2>0}={x|(x-2)(x+1)>0}={x|x<-1或x>2},所以∁RA={x|-1≤x≤2}.
法二 因为A={x|x2-x-2>0},所以∁RA={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2}.
答案 B
5.(2019·南昌模拟)已知集合P={x|x2≤1},M={a}.若P∪M=P,则实数a的取值范围为( )
A.[-1,1] B.[1,+∞)
C.(-∞,-1] D.(-∞,-1]∪[1,+∞)
解析 ∵P={x|-1≤x≤1},且P∪M=P,
∴M⊆P,∴a∈P,因此-1≤a≤1.
答案 A
6.(2017·全国Ⅲ卷改编)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|x,y∈R,且y=x},则A∩B中元素的个数为________.
解析 集合A表示圆心在原点的单位圆上所有点的集合,集合B表示直线y=x上所有点的集合,易知直线y=x和圆x2+y2=1相交,且有2个交点,故A∩B中有2个元素.
答案 2
考点一 集合的基本概念
【例1】 (1)(2019·湖北四地七校联考)若集合M={x||x|≤1},N={y|y=x2,|x|≤1},则( )
A.M=N B.M⊆N
C.M∩N=∅ D.N⊆M
(2)若x∈A,则∈A,就称A是伙伴关系集合,集合M=
的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )
A.1 B.3 C.7 D.31
解析 (1)易知M={x|-1≤x≤1},N={y|y=x2,|x|≤1}={y|0≤y≤1},∴N⊆M.
(2)具有伙伴关系的元素组是-1,,2,所以具有伙伴关系的集合有3个:{-1},,.
答案 (1)D (2)B
规律方法 1.研究集合问题时,首先要明确构成集合的元素是什么,即弄清该集合是数集、点集,还是其他集合;然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么,从而准确把握集合的含义.
2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
【训练1】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( )
A.9 B.8 C.5 D.4
(2)设集合A={x|(x-a)2<1},且2∈A,3∉A,则实数a的取值范围为________.
解析 (1)由题意知A={(-1,0),(0,0),(1,0),(0,-1),(0,1),(-1,
-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)},故集合A中共有9个元素.
(2)由题意得解得
所以10},N=,则( )
A.MN B.NM
C.M=N D.M∪N=R
(2)若将本例(2)的集合A改为A={x|x2-5x-14>0}.其它条件不变,则m的取值范围是________.
解析 (1)集合M={x|x2-x>0}={x|x>1或x<0},N=={x|x>1或x<0},所以M=N.
(2)A={x|x2-5x-14>0}={x|x<-2或x>7}.
当B=∅时,有m+1≥2m-1,则m≤2.
当B≠∅时,若B⊆A,
则或
解之得m≥6.
综上可知,实数m的取值范围是(-∞,2]∪[6,+∞).
答案 (1)C (2)(-∞,2]∪[6,+∞)
考点三 集合的运算 多维探究
角度1 集合的基本运算
【例3-1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)已知集合A={x|x<2},B={x|3-2x>0},则( )
A.A∩B= B.A∩B=∅
C.A∪B= D.A∪B=R
(2)(2018·天津卷)设全集为R,集合A={x|00}=,A={x|x<2},所以A∩B=,A∪B={x|x<2}.
(2)因为B={x|x≥1},所以∁RB={x|x<1},因为A={x|02},∁RB={x|x≥0},
∴(∁RA)∩B={x|x≤-1},A项不正确.
A∩B={x|-10},若A⊆B,则实数c的取值范围为( )
A.(0,1] B.[1,+∞)
C.(0,1) D.(1,+∞)
解析 法一 由题意知,A={x|y=lg(x-x2)}={x|x-x2>0}={x|00}={x|00}={x|00},则(∁RS)∩T=________.
解析 易知S={x|x≤2或x≥3},
∴∁RS={x|20}={x|x<-1或x>0},则A-B={x|-1≤x<0}.
答案 {x|-1≤x<0}
能力提升题组
(建议用时:10分钟)
13.(2018·河南百校联盟联考)若集合A={x|y=lg(3x-x2)},B=,则A∩(∁RB)等于( )
A.(0,2] B.(2,3) C.(3,5) D.(-2,-1)
解析 由3x-x2>0,得0