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- 2021-06-16 发布
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江西省宜春市昌黎实验学校2019-2020学年高一上学期
12月月考数学试题
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.空间两两相交的三条直线,可以确定的平面数是( )
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】当三条直线两两相交于同一点,如空间直角坐标系的轴,此时可以确定3个平面.
当三条直线两两相交于三个不同的点时,根据不共线的三点确定一个平面可知可以确定一个平面.
故选:D
2.下列函数是偶函数的是 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A、,图象不关于y轴对称,不是偶函数,
B、,定义域为,不是偶函数,
C、,此函数为偶函数;
D、,此函数为奇函数,故选C.
3.下列函数中,在区间上是增函数的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】对A, 为抛物线开口向下, 在区间上是减函数.
对B, 为直线,且因为斜率为故单调递减.
对C, 在区间上是减函数.
对D, 在区间上解析式为是增函数.
故选:D
4.如图所示是水平放置的三角形的直观图,轴,则原图中是( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 任意三角形
【答案】B
【解析】由轴可知,在原图中轴,故,故是直角三角形.
故选:B
5.设函数 的定义域,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则
A. (1,2) B. (1,2] C. (-2,1) D. [-2,1)
【答案】D
【解析】由得,由得,
故,选D.
6.函数y=2+logax(a>0,且a≠1),不论a取何值必过定点( )
A. (1,0) B. (3,0)
C. (1,2) D. (2,3)
【答案】C
【解析】因为且)过定点,
所以且)过定点,故选.
7.已知,,,,则下列关系正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意,,由于,函数
为减函数,故.故选C.
8.已知点(,27)在幂函数f(x)=(t-2)xa的图象上,则t+a=( )
A B. 0 C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】∵幂函数,则,即,
又∵点在幂函数的图象上,
∴,解得,
∴
故选B
9.如图,四面体中,,且,分别是的中点,则与所成的角为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设为中点,由中位线可知,所以就是所求两条之间所成角,且三角形为等腰直角三角形你给,所以.
10.关于x的方程有解,则实数的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】,
,
,
(当且仅当,即,等号成立),
故,实数的取值范围是,故选C.
11.在正四棱锥中,,,分别是,,的中点.动点在线段上运动时,下列四个结论,不一定成立的为( )
①;②;③平面;④平面.
A. ①③ B. ③④ C. ①② D. ②④
【答案】D
【解析】作出如图的辅助线.
对①,再正四棱锥中,因为,,面,面,且,故面.又因为,,分别是,,的中点,故面面,故面,因为面,故成立.故①成立.
对②,当且仅当与重合时, .故②不一定成立.
对③,由①有面面,又面,故平面.故③成立.
对④, 当且仅当与重合时, 才有平面.故④不一定成立.
故选:D
12.已知奇函数满足若当时,,,则实数的值可以是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为奇函数满足,故,,
所以,故周期为4.
又故即.
又当时,,故当时满足.
故选:D
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)
13.计算:__________.
【答案】
【解析】
故答案为:4
14.设,则__________.
【答案】
【解析】,
故答案为:2
15.设、、为三条不同的直线,、、为三个不同的平面,则
①若,,,则;
②若,,,则;
③若,,,则;
④若,,,则;
⑤若,,,,则.
以上命题正确的有________________
【答案】②④
【解析】①若,,,则或相交;
②若,,,由线面垂直的判定定理可得:;
③若,,,则与相交平行或为异面直线,因此不正确;
④若,,,由线面平行的判定定理及其性质定理可得:;
⑤若,,,,则与不一定垂直.
综上可得:②④正确.
故答案②④.
16.设,,均为正数,且,,.则,,的大小关系为__________.
【答案】
【解析】画出与的图像如图,
由图像知, 故答案为:
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知全集为R,集合,,
求:(1);
(2);
(3)
解:(1)由集合,得
(2) ,,故
(3),故
18.已知函数 ,.
(1)求的值;
(2)试判断并证明函数的奇偶性;
解:(1)因为所以;
(2)由(1)知的定义域为,因为
所以为偶函数;
(3)对任意,则 =
=,则所以在区间上为增函数,
又为偶函数,所以在区间上是减函数,所以的最小值为=2 ,
所以值域为.
19.养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用),已建的仓库的底面直径为,高.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐.现有两种方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大(高不变);二是高度增加(底面直径不变).
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积;
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积;
(3)哪个方案更经济些?
解:(1)如果按方案一,仓库的底面直径变成16,则仓库的体积
如果按方案二,仓库的高变成8,
体积
(2)如果按方案一,仓库的底面直径变成16m,半径为8m.
锥的母线长为
则仓库的表面积
如果按方案二,仓库的高变成8m.,
棱锥的母线长为,
则仓库的表面积
(3)
20.四面体及其三视图如图所示,平行于棱,的平面分别交四面体的棱,
,,于点,,,.
(1) 求四面体的体积;
(2)证明:四边形是矩形.
解:(1)由该四面体的三视图可知,,,,,,
平面.
∴四面体体积.
(2)平面,
平面平面,
平面平面,
,.
.
同理,,.
∴四边形是平行四边形.
又平面BDC,,.
∴四边形是矩形.
21.如图,四面体中,平面,,,.
(Ⅰ)证明:平面;
(Ⅱ)在线段上是否存在点,使得,若存在,求的值,若不存在,请说明理由.
解:(Ⅰ)由题知:,,.
则,所以,
又因为平面,所以,
因为,
所以平面;
(Ⅱ)在线段上存在点,当时,使得.
理由如下:
在平面内,过点作,垂足为,
在平面内,过点作,交于点,连结,
由平面,知,
所以,所以平面,
又因为平面,所以,
在中,,
所以,,
所以,
所以,
22.如图,矩形的长是宽的2倍,将沿对角线翻折,使得平面平面,连接.
(Ⅰ)若,计算翻折后得到的三棱锥的体积;
(Ⅱ)若、、、四点都在表面积为的球面上,求三棱锥的表面积.
解:(Ⅰ)若,则,,
则,三棱锥的高为,
故;
(Ⅱ)取中点,则在直角三角形中,
得,同理在直角三角形中,,
∴球的半径,由,可得,则.
又,∴,,
∴,
过点作于,再过点作于,连接,得,
∴,,,
∵,∴,,
∴,
三棱锥的表面积为.