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  • 2021-06-16 发布

高考数学专题复习练习:第四章 4_3用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

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‎1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0).‎ 余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,1),(,0),(π,-1),(,0),(2π,1).‎ ‎2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 图象 定义域 R R ‎{x|x∈R且x≠+kπ,k∈Z}‎ 值域 ‎[-1,1]‎ ‎[-1,1]‎ R 单调性 在[-+2kπ,+2kπ](k∈Z)上递增;‎ 在[+2kπ,+2kπ](k∈Z)上递减 在[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上递增;‎ 在[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上递减 在(-+kπ,+kπ)(k∈Z)上递增 最值 当x=+2kπ(k∈Z)时,ymax=1;‎ 当x=2kπ(k∈Z)时,ymax=1;‎ 当x=-+2kπ(k∈Z)时,ymin=-1‎ 当x=π+2kπ(k∈Z)时,ymin=-1‎ 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 ‎(kπ,0)(k∈Z)‎ ‎(+kπ,0) (k∈Z)‎ ‎(,0)(k∈Z)‎ 对称轴方程 x=+kπ(k∈Z)‎ x=kπ(k∈Z)‎ 周期 ‎2π ‎2π π ‎【知识拓展】‎ ‎1.对称与周期 ‎(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.‎ ‎(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.‎ ‎2.奇偶性 若f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0),则 ‎(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ=+kπ(k∈Z);‎ ‎(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z).‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)y=sin x在第一、第四象限是增函数.( × )‎ ‎(2)常数函数f(x)=a是周期函数,它没有最小正周期.( √ )‎ ‎(3)正切函数y=tan x在定义域内是增函数.( × )‎ ‎(4)已知y=ksin x+1,x∈R,则y的最大值为k+1.( × )‎ ‎(5)y=sin |x|是偶函数.( √ )‎ ‎(6)若sin x>,则x>.( × )‎ ‎1.函数f(x)=cos(2x-)的最小正周期是(  )‎ A. B.π C.2π D.4π 答案 B 解析 最小正周期为T===π.故选B.‎ ‎2.(教材改编)函数f(x)=3sin(2x-)在区间[0,]上的值域为(  )‎ A.[-,] B.[-,3]‎ C.[-,] D.[-,3]‎ 答案 B 解析 当x∈[0,]时,2x-∈[-,],‎ sin(2x-)∈[-,1],‎ 故3sin(2x-)∈[-,3],‎ 即f(x)的值域为[-,3].‎ ‎3.函数y=tan 2x的定义域是(  )‎ A. B. C. D. 答案 D 解析 由2x≠kπ+,k∈Z,得x≠+,k∈Z,‎ ‎∴y=tan 2x的定义域为.‎ ‎4.(2016·开封模拟)已知函数f(x)=4sin(-2x),x∈[-π,0],则f(x)的单调递减区间是(  )‎ A.[-π,-]‎ B.[-π,-]‎ C.[-π,-π],[-,0]‎ D.[-π,-π],[-,0]‎ 答案 C 解析 f(x)=4sin(-2x)=-4sin(2x-).‎ 由-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),得 ‎-+kπ≤x≤π+kπ(k∈Z).‎ 所以函数f(x)的递减区间是[-+kπ,π+kπ](k∈Z).‎ 因为x∈[-π,0],‎ 所以函数f(x)的递减区间是[-π,-π],[-,0].‎ ‎5.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),对于任意x都有f=f,则f的值为________.‎ 答案 2或-2‎ 解析 ∵f=f,‎ ‎∴x=是函数f(x)=2sin(ωx+φ)的一条对称轴.‎ ‎∴f=±2.‎ 题型一 三角函数的定义域和值域 例1 (1)函数f(x)=-2tan(2x+)的定义域是____________.‎ ‎(2)(2017·郑州月考)已知函数f(x)=sin(x+),其中x∈[-,a],若f(x)的值域是[-,1],则实数a的取值范围是________.‎ 答案 (1){x|x≠+,k∈Z} (2)[,π]‎ 解析 (1)由2x+≠+kπ,k∈Z,得x≠+,k∈Z,‎ 所以f(x)的定义域为{x|x≠+,k∈Z}.‎ ‎(2)∵x∈[-,a],∴x+∈[-,a+],‎ ‎∵x+∈[-,]时,f(x)的值域为[-,1],‎ ‎∴由函数的图象知≤a+≤,∴≤a≤π.‎ 思维升华 (1)三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借助三角函数线或三角函数图象来求解.‎ ‎(2)三角函数值域的不同求法 ‎①利用sin x和cos x的值域直接求;‎ ‎②把所给的三角函数式变换成y=Asin(ωx+φ)的形式求值域;‎ ‎③通过换元,转换成二次函数求值域.‎ ‎ (1)函数y=lg(sin x)+ 的定义域为 .‎ ‎(2)函数y=2sin(-) (0≤x≤9)的最大值与最小值的和为__________.‎ 答案 (1) ‎(2)2- 解析 (1)要使函数有意义必须有 即解得 ‎∴2kπ<x≤+2kπ(k∈Z),‎ ‎∴函数的定义域为.‎ ‎(2)∵0≤x≤9,∴-≤-≤,‎ ‎∴-≤sin(-)≤1,‎ 故-≤2sin(-)≤2.‎ 即函数y=2sin(-)(0≤x≤9)的最大值为2,最小值为-.‎ ‎∴最大值与最小值的和为2-.‎ 题型二 三角函数的单调性 例2 (1)函数f(x)=tan的单调递增区间是(  )‎ A.(k∈Z) B.(k∈Z)‎ C.(k∈Z) D.(k∈Z)‎ ‎(2)已知ω>0,函数f(x)=sin在上单调递减,则ω的取值范围是________.‎ 答案 (1)B (2) 解析 (1)由kπ-<2x-<kπ+(k∈Z),‎ 得-<x<+(k∈Z),‎ 所以函数f(x)=tan的单调递增区间为(k∈Z),故选B.‎ ‎(2)由<x<π,ω>0,得+<ωx+<ωπ+,‎ 又y=sin x的单调递减区间为[2kπ+,2kπ+],k∈Z,‎ 所以 k∈Z,‎ 解得4k+≤ω≤2k+,k∈Z.‎ 又由4k+-(2k+)≤0,k∈Z且2k+>0,k∈Z,得k=0,所以ω∈[,].‎ 引申探究 本例(2)中,若已知ω>0,函数f(x)=cos(ωx+)在(,π)上单调递增,则ω的取值范围是____________.‎ 答案 [,]‎ 解析 函数y=cos x的单调递增区间为[-π+2kπ,2kπ],k∈Z,‎ 则 k∈Z,‎ 解得4k-≤ω≤2k-,k∈Z,‎ 又由4k--≤0,k∈Z且2k->0,k∈Z,‎ 得k=1,所以ω∈.‎ 思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间:①求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”;②求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中ω>0)的单调区间时,要视“ωx+φ”为一个整体,通过解不等式求解.但如果ω<0,那么一定先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错.‎ ‎(2)已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解.‎ ‎ (1)函数f(x)=sin的单调减区间为________.‎ ‎(2)若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间[0,]上单调递增,在区间[,]上单调递减,则ω等于(  )‎ A. B. C.2 D.3‎ 答案 (1),k∈Z (2)B 解析 (1)已知函数可化为f(x)=-sin,‎ 欲求函数的单调减区间,只需求f(x)=sin的单调增区间.‎ 由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,‎ 得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.‎ 故所给函数的单调减区间为(k∈Z).‎ ‎(2)∵f(x)=sin ωx(ω>0)过原点,‎ ‎∴当0≤ωx≤,即0≤x≤时,‎ y=sin ωx是增函数;‎ 当≤ωx≤,即≤x≤时,‎ y=sin ωx是减函数.‎ 由f(x)=sin ωx(ω>0)在上单调递增,‎ 在上单调递减,知=,‎ ‎∴ω=.‎ 题型三 三角函数的周期性、对称性 命题点1 周期性 例3 (1)在函数①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos,④y=tan中,最小正周期为π的所有函数为(  )‎ A.①②③ B.①③④‎ C.②④ D.①③‎ ‎(2)若函数f(x)=2tan(kx+)的最小正周期T满足10)的最小正周期为π,则f()等于(  )‎ A.1 B. C.-1 D.- 答案 A 解析 ∵T=π,∴ω=2,‎ ‎∴f()=sin(2×+)=sin =1.‎ ‎2.若函数f(x)=-cos 2x,则f(x)的一个递增区间为(  )‎ A.(-,0) B.(0,)‎ C.(,) D.(,π)‎ 答案 B 解析 由f(x)=-cos 2x知递增区间为[kπ,kπ+],k∈Z,故只有B项满足.‎ ‎3.关于函数y=tan(2x-),下列说法正确的是(  )‎ A.是奇函数 B.在区间(0,)上单调递减 C.(,0)为其图象的一个对称中心 D.最小正周期为π 答案 C 解析 函数y=tan(2x-)是非奇非偶函数,A错误;在区间(0,)上单调递增,B错误;最小正周期为,D错误.‎ ‎∵当x=时,tan(2×-)=0,‎ ‎∴(,0)为其图象的一个对称中心,故选C.‎ ‎4.(2016·潍坊模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx-)+1(x∈R)的图象的一条对称轴为x=π,其中ω为常数,且ω∈(1,2),则函数f(x)的最小正周期为(  )‎ A. B. C. D. 答案 B 解析 由函数f(x)=2sin(ωx-)+1 (x∈R)的图象的一条对称轴为x=π,可得ωπ-=kπ+,k∈Z,∴ω=k+,∴ω=,从而得函数f(x)的最小正周期为=.‎ ‎5.已知函数f(x)=-2sin(2x+φ)(|φ|<π),若f()=-2,则f(x)的一个单调递减区间是(  )‎ A.[-,] B.[,]‎ C.[-,] D.[,]‎ 答案 C 解析 由f()=-2,得 f()=-2sin(2×+φ)=-2sin(+φ)=-2,‎ 所以sin(+φ)=1.‎ 因为|φ|<π,所以φ=.‎ 由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,‎ 解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.‎ 当k=0时,-≤x≤,故选C.‎ ‎6.若函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0且|φ|<)在区间[,]上是单调减函数,且函数值从1减少到-1,则f()等于(  )‎ A. B. C. D.1‎ 答案 C 解析 由题意得函数f(x)的周期T=2(-)=π,所以ω=2,此时f(x)=sin(2x+φ),将点(,1)代入上式得sin(+φ)=1 (|φ|<),所以φ=,‎ 所以f(x)=sin(2x+),‎ 于是f()=sin(+)=cos =.‎ ‎7.函数y=的定义域为______________.‎ 答案 [2kπ+,2kπ+π],k∈Z 解析 由2sin x-1≥0,得sin x≥,‎ ‎∴2kπ+≤x≤2kπ+π,k∈Z.‎ ‎8.函数y=cos2x+sin x(|x|≤)的最小值为___________________.‎ 答案  解析 令t=sin x,∵|x|≤,‎ ‎∴t∈.‎ ‎∴y=-t2+t+1=-2+,‎ ‎∴当t=-时,ymin=.‎ ‎9.函数y=cos(-2x)的单调减区间为______________.‎ 答案 [kπ+,kπ+](k∈Z)‎ 解析 由y=cos(-2x)=cos(2x-),‎ 得2kπ≤2x-≤2kπ+π (k∈Z),‎ 解得kπ+≤x≤kπ+ (k∈Z),‎ 所以函数的单调减区间为[kπ+,kπ+](k∈Z).‎ ‎10.(2016·威海模拟)若f(x)=2sin ωx+1 (ω>0)在区间[-,]上是增函数,则ω的取值范围是__________.‎ 答案 (0,]‎ 解析 方法一 由2kπ-≤ωx≤2kπ+,k∈Z,‎ 得f(x)的增区间是[-,+],k∈Z.‎ 因为f(x)在[-,]上是增函数,‎ 所以[-,]⊆[-,].‎ 所以-≥-且≤,所以ω∈(0,].‎ 方法二 因为x∈[-,],ω>0.‎ 所以ωx∈[-,],‎ 又f(x)在区间[-,]上是增函数,‎ 所以[-,]⊆[-,],‎ 则又ω>0,得0<ω≤.‎ ‎11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(0<φ<)的最小正周期为π.‎ ‎(1)求当f(x)为偶函数时φ的值;‎ ‎(2)若f(x)的图象过点(,),求f(x)的单调递增区间.‎ 解 (1)∵f(x)的最小正周期为π,‎ 则T==π,‎ ‎∴ω=2,∴f(x)=sin(2x+φ).‎ 当f(x)为偶函数时,f(-x)=f(x),‎ ‎∴sin(2x+φ)=sin(-2x+φ),‎ 将上式展开整理得sin 2xcos φ=0,‎ 由已知上式对∀x∈R都成立,‎ ‎∴cos φ=0,∵0<φ<,∴φ=.‎ ‎(2)f(x)的图象过点(,)时,‎ sin(2×+φ)=,即sin(+φ)=.‎ 又∵0<φ<,∴<+φ<π,‎ ‎∴+φ=,φ=,‎ ‎∴f(x)=sin(2x+).‎ 令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,‎ ‎∴f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+],k∈Z.‎ ‎12.(2015·北京)已知函数f(x)=sin x-2sin2.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最小值.‎ 解 (1)因为f(x)=sin x+cos x-=2sin-,‎ 所以f(x)的最小正周期为2π.‎ ‎(2)因为0≤x≤,所以≤x+≤π.‎ 当x+=π,即x=时,f(x)取得最小值.‎ 所以f(x)在区间上的最小值为f=-.‎ ‎*13.已知a>0,函数f(x)=-2asin+2a+b,当x∈时,-5≤f(x)≤1.‎ ‎(1)求常数a,b的值;‎ ‎(2)设g(x)=f且lg g(x)>0,求g(x)的单调区间.‎ 解 (1)∵x∈,∴2x+∈,‎ ‎∴sin∈,‎ ‎∴-2asin∈[-2a,a],‎ ‎∴f(x)∈[b,3a+b],又∵-5≤f(x)≤1,‎ ‎∴b=-5,3a+b=1,因此a=2,b=-5.‎ ‎(2)由(1)得f(x)=-4sin-1,‎ g(x)=f=-4sin-1=4sin-1,‎ 又由lg g(x)>0,得g(x)>1,‎ ‎∴4sin-1>1,∴sin>,‎ ‎∴2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z,‎ 其中当2kπ+<2x+≤2kπ+,k∈Z时,‎ g(x)单调递增,即kπ