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- 2021-06-16 发布
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1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0).
余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,1),(,0),(π,-1),(,0),(2π,1).
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
函数
y=sin x
y=cos x
y=tan x
图象
定义域
R
R
{x|x∈R且x≠+kπ,k∈Z}
值域
[-1,1]
[-1,1]
R
单调性
在[-+2kπ,+2kπ](k∈Z)上递增;
在[+2kπ,+2kπ](k∈Z)上递减
在[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上递增;
在[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上递减
在(-+kπ,+kπ)(k∈Z)上递增
最值
当x=+2kπ(k∈Z)时,ymax=1;
当x=2kπ(k∈Z)时,ymax=1;
当x=-+2kπ(k∈Z)时,ymin=-1
当x=π+2kπ(k∈Z)时,ymin=-1
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称中心
(kπ,0)(k∈Z)
(+kπ,0) (k∈Z)
(,0)(k∈Z)
对称轴方程
x=+kπ(k∈Z)
x=kπ(k∈Z)
周期
2π
2π
π
【知识拓展】
1.对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2.奇偶性
若f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0),则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ=+kπ(k∈Z);
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z).
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y=sin x在第一、第四象限是增函数.( × )
(2)常数函数f(x)=a是周期函数,它没有最小正周期.( √ )
(3)正切函数y=tan x在定义域内是增函数.( × )
(4)已知y=ksin x+1,x∈R,则y的最大值为k+1.( × )
(5)y=sin |x|是偶函数.( √ )
(6)若sin x>,则x>.( × )
1.函数f(x)=cos(2x-)的最小正周期是( )
A. B.π
C.2π D.4π
答案 B
解析 最小正周期为T===π.故选B.
2.(教材改编)函数f(x)=3sin(2x-)在区间[0,]上的值域为( )
A.[-,] B.[-,3]
C.[-,] D.[-,3]
答案 B
解析 当x∈[0,]时,2x-∈[-,],
sin(2x-)∈[-,1],
故3sin(2x-)∈[-,3],
即f(x)的值域为[-,3].
3.函数y=tan 2x的定义域是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由2x≠kπ+,k∈Z,得x≠+,k∈Z,
∴y=tan 2x的定义域为.
4.(2016·开封模拟)已知函数f(x)=4sin(-2x),x∈[-π,0],则f(x)的单调递减区间是( )
A.[-π,-]
B.[-π,-]
C.[-π,-π],[-,0]
D.[-π,-π],[-,0]
答案 C
解析 f(x)=4sin(-2x)=-4sin(2x-).
由-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),得
-+kπ≤x≤π+kπ(k∈Z).
所以函数f(x)的递减区间是[-+kπ,π+kπ](k∈Z).
因为x∈[-π,0],
所以函数f(x)的递减区间是[-π,-π],[-,0].
5.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),对于任意x都有f=f,则f的值为________.
答案 2或-2
解析 ∵f=f,
∴x=是函数f(x)=2sin(ωx+φ)的一条对称轴.
∴f=±2.
题型一 三角函数的定义域和值域
例1 (1)函数f(x)=-2tan(2x+)的定义域是____________.
(2)(2017·郑州月考)已知函数f(x)=sin(x+),其中x∈[-,a],若f(x)的值域是[-,1],则实数a的取值范围是________.
答案 (1){x|x≠+,k∈Z} (2)[,π]
解析 (1)由2x+≠+kπ,k∈Z,得x≠+,k∈Z,
所以f(x)的定义域为{x|x≠+,k∈Z}.
(2)∵x∈[-,a],∴x+∈[-,a+],
∵x+∈[-,]时,f(x)的值域为[-,1],
∴由函数的图象知≤a+≤,∴≤a≤π.
思维升华 (1)三角函数定义域的求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借助三角函数线或三角函数图象来求解.
(2)三角函数值域的不同求法
①利用sin x和cos x的值域直接求;
②把所给的三角函数式变换成y=Asin(ωx+φ)的形式求值域;
③通过换元,转换成二次函数求值域.
(1)函数y=lg(sin x)+ 的定义域为 .
(2)函数y=2sin(-) (0≤x≤9)的最大值与最小值的和为__________.
答案 (1)
(2)2-
解析 (1)要使函数有意义必须有
即解得
∴2kπ<x≤+2kπ(k∈Z),
∴函数的定义域为.
(2)∵0≤x≤9,∴-≤-≤,
∴-≤sin(-)≤1,
故-≤2sin(-)≤2.
即函数y=2sin(-)(0≤x≤9)的最大值为2,最小值为-.
∴最大值与最小值的和为2-.
题型二 三角函数的单调性
例2 (1)函数f(x)=tan的单调递增区间是( )
A.(k∈Z) B.(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(k∈Z)
(2)已知ω>0,函数f(x)=sin在上单调递减,则ω的取值范围是________.
答案 (1)B (2)
解析 (1)由kπ-<2x-<kπ+(k∈Z),
得-<x<+(k∈Z),
所以函数f(x)=tan的单调递增区间为(k∈Z),故选B.
(2)由<x<π,ω>0,得+<ωx+<ωπ+,
又y=sin x的单调递减区间为[2kπ+,2kπ+],k∈Z,
所以 k∈Z,
解得4k+≤ω≤2k+,k∈Z.
又由4k+-(2k+)≤0,k∈Z且2k+>0,k∈Z,得k=0,所以ω∈[,].
引申探究
本例(2)中,若已知ω>0,函数f(x)=cos(ωx+)在(,π)上单调递增,则ω的取值范围是____________.
答案 [,]
解析 函数y=cos x的单调递增区间为[-π+2kπ,2kπ],k∈Z,
则 k∈Z,
解得4k-≤ω≤2k-,k∈Z,
又由4k--≤0,k∈Z且2k->0,k∈Z,
得k=1,所以ω∈.
思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间:①求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”;②求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中ω>0)的单调区间时,要视“ωx+φ”为一个整体,通过解不等式求解.但如果ω<0,那么一定先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错.
(2)已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解.
(1)函数f(x)=sin的单调减区间为________.
(2)若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间[0,]上单调递增,在区间[,]上单调递减,则ω等于( )
A. B.
C.2 D.3
答案 (1),k∈Z (2)B
解析 (1)已知函数可化为f(x)=-sin,
欲求函数的单调减区间,只需求f(x)=sin的单调增区间.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
故所给函数的单调减区间为(k∈Z).
(2)∵f(x)=sin ωx(ω>0)过原点,
∴当0≤ωx≤,即0≤x≤时,
y=sin ωx是增函数;
当≤ωx≤,即≤x≤时,
y=sin ωx是减函数.
由f(x)=sin ωx(ω>0)在上单调递增,
在上单调递减,知=,
∴ω=.
题型三 三角函数的周期性、对称性
命题点1 周期性
例3 (1)在函数①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos,④y=tan中,最小正周期为π的所有函数为( )
A.①②③ B.①③④
C.②④ D.①③
(2)若函数f(x)=2tan(kx+)的最小正周期T满足10)的最小正周期为π,则f()等于( )
A.1 B.
C.-1 D.-
答案 A
解析 ∵T=π,∴ω=2,
∴f()=sin(2×+)=sin =1.
2.若函数f(x)=-cos 2x,则f(x)的一个递增区间为( )
A.(-,0) B.(0,)
C.(,) D.(,π)
答案 B
解析 由f(x)=-cos 2x知递增区间为[kπ,kπ+],k∈Z,故只有B项满足.
3.关于函数y=tan(2x-),下列说法正确的是( )
A.是奇函数
B.在区间(0,)上单调递减
C.(,0)为其图象的一个对称中心
D.最小正周期为π
答案 C
解析 函数y=tan(2x-)是非奇非偶函数,A错误;在区间(0,)上单调递增,B错误;最小正周期为,D错误.
∵当x=时,tan(2×-)=0,
∴(,0)为其图象的一个对称中心,故选C.
4.(2016·潍坊模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx-)+1(x∈R)的图象的一条对称轴为x=π,其中ω为常数,且ω∈(1,2),则函数f(x)的最小正周期为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 由函数f(x)=2sin(ωx-)+1 (x∈R)的图象的一条对称轴为x=π,可得ωπ-=kπ+,k∈Z,∴ω=k+,∴ω=,从而得函数f(x)的最小正周期为=.
5.已知函数f(x)=-2sin(2x+φ)(|φ|<π),若f()=-2,则f(x)的一个单调递减区间是( )
A.[-,] B.[,]
C.[-,] D.[,]
答案 C
解析 由f()=-2,得
f()=-2sin(2×+φ)=-2sin(+φ)=-2,
所以sin(+φ)=1.
因为|φ|<π,所以φ=.
由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
当k=0时,-≤x≤,故选C.
6.若函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0且|φ|<)在区间[,]上是单调减函数,且函数值从1减少到-1,则f()等于( )
A. B.
C. D.1
答案 C
解析 由题意得函数f(x)的周期T=2(-)=π,所以ω=2,此时f(x)=sin(2x+φ),将点(,1)代入上式得sin(+φ)=1 (|φ|<),所以φ=,
所以f(x)=sin(2x+),
于是f()=sin(+)=cos =.
7.函数y=的定义域为______________.
答案 [2kπ+,2kπ+π],k∈Z
解析 由2sin x-1≥0,得sin x≥,
∴2kπ+≤x≤2kπ+π,k∈Z.
8.函数y=cos2x+sin x(|x|≤)的最小值为___________________.
答案
解析 令t=sin x,∵|x|≤,
∴t∈.
∴y=-t2+t+1=-2+,
∴当t=-时,ymin=.
9.函数y=cos(-2x)的单调减区间为______________.
答案 [kπ+,kπ+](k∈Z)
解析 由y=cos(-2x)=cos(2x-),
得2kπ≤2x-≤2kπ+π (k∈Z),
解得kπ+≤x≤kπ+ (k∈Z),
所以函数的单调减区间为[kπ+,kπ+](k∈Z).
10.(2016·威海模拟)若f(x)=2sin ωx+1 (ω>0)在区间[-,]上是增函数,则ω的取值范围是__________.
答案 (0,]
解析 方法一 由2kπ-≤ωx≤2kπ+,k∈Z,
得f(x)的增区间是[-,+],k∈Z.
因为f(x)在[-,]上是增函数,
所以[-,]⊆[-,].
所以-≥-且≤,所以ω∈(0,].
方法二 因为x∈[-,],ω>0.
所以ωx∈[-,],
又f(x)在区间[-,]上是增函数,
所以[-,]⊆[-,],
则又ω>0,得0<ω≤.
11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(0<φ<)的最小正周期为π.
(1)求当f(x)为偶函数时φ的值;
(2)若f(x)的图象过点(,),求f(x)的单调递增区间.
解 (1)∵f(x)的最小正周期为π,
则T==π,
∴ω=2,∴f(x)=sin(2x+φ).
当f(x)为偶函数时,f(-x)=f(x),
∴sin(2x+φ)=sin(-2x+φ),
将上式展开整理得sin 2xcos φ=0,
由已知上式对∀x∈R都成立,
∴cos φ=0,∵0<φ<,∴φ=.
(2)f(x)的图象过点(,)时,
sin(2×+φ)=,即sin(+φ)=.
又∵0<φ<,∴<+φ<π,
∴+φ=,φ=,
∴f(x)=sin(2x+).
令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
∴f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+],k∈Z.
12.(2015·北京)已知函数f(x)=sin x-2sin2.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间上的最小值.
解 (1)因为f(x)=sin x+cos x-=2sin-,
所以f(x)的最小正周期为2π.
(2)因为0≤x≤,所以≤x+≤π.
当x+=π,即x=时,f(x)取得最小值.
所以f(x)在区间上的最小值为f=-.
*13.已知a>0,函数f(x)=-2asin+2a+b,当x∈时,-5≤f(x)≤1.
(1)求常数a,b的值;
(2)设g(x)=f且lg g(x)>0,求g(x)的单调区间.
解 (1)∵x∈,∴2x+∈,
∴sin∈,
∴-2asin∈[-2a,a],
∴f(x)∈[b,3a+b],又∵-5≤f(x)≤1,
∴b=-5,3a+b=1,因此a=2,b=-5.
(2)由(1)得f(x)=-4sin-1,
g(x)=f=-4sin-1=4sin-1,
又由lg g(x)>0,得g(x)>1,
∴4sin-1>1,∴sin>,
∴2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z,
其中当2kπ+<2x+≤2kπ+,k∈Z时,
g(x)单调递增,即kπ
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