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- 2021-06-16 发布
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热点探究课(四)
立体几何中的高考热点问题
[命题解读] 1.立体几何初步是高考的重要内容,几乎每年都考查一个解答题,两个选择或填空题,客观题主要考查空间概念,三视图及简单计算;解答题主要采用“论证与计算”相结合的模式,即利用定义、公理、定理证明空间线线、线面、面面平行或垂直,并与几何体的性质相结合考查几何体的计算.2.重在考查学生的空间想象能力、逻辑推理论证能力及数学运算能力.考查的热点是以几何体为载体的垂直、平行的证明、平面图形的折叠、探索开放性问题等;同时考查转化化归思想与数形结合的思想方法.
热点1 线面位置关系与体积计算(答题模板)
以空间几何体为载体,考查空间平行与垂直关系是高考的热点内容,并常与几何体的体积计算交汇命题,考查学生的空间想象能力、计算与数学推理论证能力,同时突出转化与化归思想方法的考查,试题难度中等.
(本小题满分12分)(2015·全国卷Ⅰ) 如图1,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE⊥平面ABCD.
图1
(1)证明:平面AEC⊥平面BED;
(2)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥EACD的体积为,求该三棱锥的侧面积.
[思路点拨] (1)注意到四边形ABCD为菱形,联想到对角线垂直,从而进一步证线面垂直,面与面垂直;(2)根据几何体的体积求得底面菱形的边长,计算侧棱,求出各个侧面的面积.
[规范解答] (1)证明:因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD.
因为BE⊥平面ABCD,AC平面ABCD,所以AC⊥BE. 2分
因为BD∩BE=B,故AC⊥平面BED.
又AC平面AEC,
所以平面AEC⊥平面BED. 4分
(2)设AB=x,在菱形ABCD中,由∠ABC=120°,可得AG=GC=x,GB=GD=.
因为AE⊥EC,所以在Rt△AEC中,可得EG=x. 6分
由BE⊥平面ABCD,知△EBG为直角三角形,可得BE=x.
由已知得,三棱锥EACD的体积V三棱锥EACD=×·AC·GD·BE=x3=,故x=2. 9分
从而可得AE=EC=ED=.
所以△EAC的面积为3,△EAD的面积与△ECD的面积均为.
故三棱锥EACD的侧面积为3+2. 12分
[答题模板] 第一步:由线面垂直的性质,得线线垂直AC⊥BE.
第二步:根据线面垂直、面面垂直的判定定理证明平面AEC⊥平面BED.
第三步:利用棱锥的体积求出底面菱形的边长.
第四步:计算各个侧面三角形的面积,求得四棱锥的侧面积.
第五步:检验反思,查看关键点,规范步骤.
[温馨提示] 1.在第(1)问,易忽视条件BD∩BE=B,AC平面AEC,造成推理不严谨,导致扣分.
2.正确的计算结果是得分的关键,本题在求三棱锥的体积与侧面积时,需要计算的量较多,防止计算结果错误失分,另外对于每一个得分点的解题步骤一定要写全.阅卷时根据得分点评分,有则得分,无则不得分.
[对点训练1] 如图2,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.
图2
(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1;
(2)求证:C1F∥平面ABE;
(3)求三棱锥EABC的体积.
[解] (1)证明:在三棱柱ABCA1B1C1中,因为BB1⊥底面ABC,AB平面ABC,
所以BB1⊥AB. 2分
又因为AB⊥BC,BB1∩BC=B,
所以AB⊥平面B1BCC1.又AB平面ABE,
所以平面ABE⊥平面B1BCC1. 4分
(2)证明:取AB的中点G,连接EG,FG.
因为G,F分别是AB,BC的中点,
所以FG∥AC,且FG=AC.
因为AC∥A1C1,且AC=A1C1,
所以FG∥EC1,且FG=EC1,6分
所以四边形FGEC1为平行四边形,
所以C1F∥EG.
又因为EG平面ABE,C1F 平面ABE,
所以C1F∥平面ABE. 8分
(3)因为AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC,
所以AB==,10分
所以三棱锥EABC的体积
V=S△ABC·AA1=×××1×2=. 12分
热点2 平面图形折叠成空间几何体
先将平面图形折叠成空间几何体,再以其为载体研究其中的线、面间的位置关系与计算有关的几何量,是近几年高考考查立体几何的一类重要考向,它很好地将平面图形拓展成空间图形,同时也为空间立体图形向平面图形转化提供了具体形象的途径,是高考深层次上考查空间想象能力的主要方向.
如图3,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为CD的中点,F为AE的中点.现沿AE将三角形ADE向上折起,在折起的图形中解答下列问题:
图3
(1)在线段AB上是否存在一点K,使BC∥平面DFK?若存在,请证明你的结论;若不存在,请说明理由;
(2)若平面ADE⊥平面ABCE,求证:平面BDE⊥平面ADE.
【导学号:66482345】
[解] (1)如图,线段AB上存在一点K,且当AK=AB时,BC∥平面DFK. 1分
证明如下:
设H为AB的中点,连接EH,则BC∥EH.
∵AK=AB,F为AE的中点,
∴KF∥EH,∴KF∥BC. 3分
∵KF平面DFK,BC平面DFK,
∴BC∥平面DFK. 5分
(2)证明:∵在折起前的图形中E为CD的中点,AB=2,BC=1,
∴在折起后的图形中,AE=BE=,
从而AE2+BE2=4=AB2,∴AE⊥BE. 8分
∵平面ADE⊥平面ABCE,平面ADE∩平面ABCE=AE,
∴BE⊥平面ADE.
∵BE平面BDE,∴平面BDE⊥平面ADE. 12分
[规律方法] 1.解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量,一般情况下,线段的长度是不变量,而位置关系往往会发生变化,抓住不变量是解决问题的突破口.
2.在解决问题时,要综合考虑折叠前后的图形,既要分析折叠后的图形,也要分析折叠前的图形.
[对点训练2] (2016·全国卷Ⅱ)如图4,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置.
图4
(1)证明:AC⊥HD′;
(2)若AB=5,AC=6,AE=,OD′=2,求五棱锥D′ABCFE的体积.
[解] (1)证明:由已知得AC⊥BD,AD=CD. 2分
又由AE=CF得=,故AC∥EF.
由此得EF⊥HD,故EF⊥HD′,所以AC⊥HD′. 5分
(2)由EF∥AC得==.
由AB=5,AC=6得DO=BO==4. 7分
所以OH=1,D′H=DH=3.
于是OD′2+OH2=(2)2+12=9=D′H2,
故OD′⊥OH.
由(1)知AC⊥HD′,又AC⊥BD,BD∩HD′=H,
所以AC⊥平面BHD′,于是AC⊥OD′.
又由OD′⊥OH,AC∩OH=O,所以OD′⊥平面ABC.
又由=得EF=. 10分
五边形ABCFE的面积S=×6×8-××3=.
所以五棱锥D′ABCFE的体积V=××2=. 12分
热点3 线、面位置关系中的开放存在性问题
是否存在某点或某参数,使得某种线、面位置关系成立问题,是近几年高考命题的热点,常以解答题中最后一问的形式出现,一般有三种类型:(1)条件追溯型.(2)存在探索型.(3)方法类比探索型.
(2017·石家庄质检)如图5所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且E,F分别为PC,BD的中点.
图5
(1)求证:EF∥平面PAD;
(2)在线段CD上是否存在一点G,使得平面EFG⊥平面PDC?若存在,请说明其位置,并加以证明;若不存在,请说明理由.
【导学号:66482346】
[解] (1)证明:如图所示,连接AC,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,且点F为对角线BD的中点. 2分
所以对角线AC经过点F.
又在△PAC中,点E为PC的中点,
所以EF为△PAC的中位线,
所以EF∥PA.
又PA平面PAD,EF 平面PAD,
所以EF∥平面PAD. 5分
(2)存在满足要求的点G.
在线段CD上存在一点G为CD的中点,使得平面EFG⊥平面PDC.
因为底面ABCD是边长为a的正方形,
所以CD⊥AD. 7分
又侧面PAD⊥底面ABCD,CD平面ABCD,侧面PAD∩平面ABCD=AD,
所以CD⊥平面PAD.
又EF∥平面PAD,所以CD⊥EF.
取CD中点G,连接FG,EG. 9分
因为F为BD中点,
所以FG∥AD.
又CD⊥AD,所以FG⊥CD,
又FG∩EF=F,
所以CD⊥平面EFG,
又CD平面PDC,
所以平面EFG⊥平面PDC. 12分
[规律方法] 1.在立体几何的平行关系问题中,“中点”是经常使用的一个特殊点,通过找“中点”,连“中点”,即可出现平行线,而线线平行是平行关系的根本.
2.第(2)问是探索开放性问题,采用了先猜后证,即先观察与尝试给出条件再加以证明,对于命题结论的探索,常从条件出发,探索出要求的结论是什么,对于探索结论是否存在,求解时常假设结论存在,再寻找与条件相容或者矛盾的结论.
[对点训练3] (2017·湖南师大附中检测)如图6,四棱锥SABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点.
图6
(1)求证:AC⊥SD;
(2)若SD⊥平面PAC,则侧棱SC上是否存在一点E,
使得BE∥平面PAC?若存在,求SE∶EC;若不存在,请说明理由.
[证明] (1)连接BD,设AC交BD于点O,连接SO,由题意得四棱锥SABCD是正四棱锥,所以SO⊥AC. 2分
在正方形ABCD中,AC⊥BD,又SO∩BD=O,所以AC⊥平面SBD.
因为SD平面SBD,所以AC⊥SD. 5分
(2)在棱SC上存在一点E,使得BE∥平面PAC.
连接OP.设正方形ABCD的边长为a,则SC=SD=a. 7分
由SD⊥平面PAC得SD⊥PC,易求得PD=.
故可在SP上取一点N,使得PN=PD.
过点N作PC的平行线与SC交于点E,连接BE,BN,
在△BDN中,易得BN∥PO. 10分
又因为NE∥PC,NE平面BNE,BN平面BNE,BN∩NE=N,PO平面PAC,PC平面PAC,PO∩PC=P,
所以平面BEN∥平面PAC,所以BE∥平面PAC.
因为SN∶NP=2∶1,所以SE∶EC=2∶1. 12分