【数学】2019届一轮复习北师大版选择题技法攻略学案 8页

第五讲 选择题技法攻略 题型概述 高考数学选择题主要考查对基础知识的理解、基本技能的熟练程度、基本计算的准确性、基本方法的正确运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面，注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，能充分考查灵活应用基础知识解决数学问题的能力.‎ 技法指导 方法一 直接法 直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择．涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．‎ ‎【典例1】 (2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为( )‎ A．2 B. C. D. ‎[解析] 依题意，双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为bx－ay＝0.因为直线bx－ay＝0被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，所以＝，所以3a2＋3b2＝4b2，所以3a2＝b2，所以e＝ ＝＝2，选择A.‎ ‎[答案] A 直接法的使用技巧 平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，准确把握题目的特点．用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错．‎ ‎[对点训练] ‎ ‎1．(2017·安徽省合肥市高三一检)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosC＝，bcosA＋acosB＝2，则△ABC的外接圆面积为( )‎ A．4π B．8π C．9π D．36π ‎[解析] 因为sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，所以c＝bcosA＋acosB＝2，由cosC＝得sinC＝，再由正弦定理可得2R＝＝6，即R＝3.所以△ABC的外接圆面积为πR2＝9π，故选C.‎ ‎[答案] C 方法二 特例法 特例法(也称特值法)是用特殊值(或特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而得到正确选项的方法，常用的特例法有：特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角和特殊位置等．‎ ‎【典例2】 (2017·杭州模拟)已知函数f(x)满足：f(m＋n)＝f(m)·f(n)，f(1)＝3，则＋＋＋的值等于( )‎ A．36 B．24 C．18 D．12‎ ‎[解析] 取特殊函数，根据条件可设f(x)＝3x，‎ 则有＝＝6，‎ 所以＋＋＋＝6×4＝24.故选B.‎ ‎[答案] B 特例法的应用技巧 特例检验法适用于解答“对某一集合的所有元素、某种关系恒成立”，这样以全称判断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真”，利用“小题小做”或“小题巧做”的解题策略．‎ ‎[对点训练] ‎ ‎2．如图，在棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P、Q满足A1P＝BQ，过P、Q、C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )‎ A．3∶1 B．2∶1 C．4∶1 D.∶1‎ ‎[解析] 将P、Q置于特殊位置：P→A1，Q→B，此时仍满足条件A1P＝BQ(＝0)，则有VC－AA1B＝VA1－ABC＝.故选B.‎ ‎[答案] B 方法三 排除法 选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确结论．排除法(又叫筛选法)就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通过特例对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论．‎ ‎【典例3】 (2017·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )‎ ‎[解析] 根据题意，已知导函数的图象有三个零点，且每个零点的两边导函数值的符号相反，因此函数f(x)在这些零点处取得极值，排除A、B；记导函数f′(x)的零点从左到右分别为x1，x2，x3，又在(－∞，x1)上f′(x)<0，在(x1，x2)上f′(x)>0，所以函数f(x)在(－∞，x1)上单调递减，排除C，故选D.‎ ‎[答案] D 排除法的应用技巧 排除法适应于定性型或不易直接求解的选择题．当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案．‎ ‎[对点训练] ‎ ‎3．(2017·郑州检测)设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为( )‎ A．[－1,2] B．[－1,0]‎ C．[1,2] D．[0,2]‎ ‎[解析] 若a＝－1，则f(x)＝ 易知f(－1)是f(x)的最小值，排除A，B；‎ 若a＝0，则f(x)＝易知f(0)是f(x)的最小值，故排除C.D正确．‎ ‎[答案] D 方法四 图解法(数形结合法)‎ 图解法就是根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断，习惯上也叫数形结合法，常用于函数、向量、解析几何等问题中，有些选择题可通过命题条件中的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质等，得出结论．‎ ‎【典例4】 已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )‎ A．(－∞，0] B．(－∞，1]‎ C．[－2,1] D．[－2,0]‎ ‎[解析] 函数y＝|f(x)|的图象如图所示．‎ ‎①当a＝0时，|f(x)|≥ax显然成立．‎ ‎②当a>0时，只需在x>0时，ln(x＋1)≥ax成立．比较对数函数与一次函数y＝ax的增长速度．显然不存在a>0使ln(x＋1)≥ax在x>0上恒成立．‎ ‎③当a<0时，只需x<0时，x2－2x≥ax成立，即a≥x－2成立，∴a≥－2.‎ 综上所述：－2≤a≤0.故选D.‎ ‎[答案] D 图解法的应用技巧 图解法是依靠图形的直观性进行分析的，用这种方法解题比直接计算求解更能抓住问题的实质，并能迅速地得到结果．不过，运用图解法解题一定要对有关的函数图象、几何图形较熟悉，否则错误的图象反而会导致错误的选择．‎ ‎[对点训练] ‎ ‎4．(2017·福建质检)若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎[解析] 设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，根据椭圆与正方形的对称性，可画出满足题意的图形，如图所示，因为|OB|＝a，所以|OA|＝a，所以点A的坐标为，又点A在椭圆上，所以＋＝1，所以a2＝3b2，所以a2＝3(a2－c2)，所以3c2＝2a2，所以椭圆的离心率e＝＝，故选D.‎ ‎[答案] D 方法五 估算法 由于选择题提供了唯一正确的选项，解答又无需过程，因此，有些题目，不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次．‎ ‎【典例5】 若a＝20.5，b＝logπ3，c＝log2sin，则( )‎ A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a ‎[解析] 由指数函数的性质可知y＝2x在R上单调递增，而0<0.5<1，所以a＝20.5∈(1,2)．由对数函数的性质可知y＝logπx，y＝log2x均在(0，＋∞)上单调递增，而1<3<π，所以b＝logπ3∈(0,1)；因为sin∈(0,1)，所以c＝log2sin<0.‎ 综上，a>1>b>0>c，即a>b>c.故选A.‎ ‎[答案] A 估算法的应用技巧 估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求解的方法．当题目从正面解析比较麻烦，特值法又无法确定正确的选项时(如难度稍大的函数的最值或取值范围、函数图象的变化等问题)常用此种方法确定选项．‎ ‎[对点训练] ‎ ‎5．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1，其图象与直线y＝－1相邻两个交点的距离为π.若f(x)>1对于任意的x∈恒成立，则φ的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎[解析] 因为函数f(x)的最小值为－2＋1＝－1，由函数f(x)的图象与直线y＝－1相邻两个交点的距离为π可得，该函数的最小正周期为T＝π，所以＝π，解得ω＝2.‎ 故f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1.‎ 由f(x)>1，可得sin(2x＋φ)>0.‎ 又x∈，所以2x∈.‎ 对于选项B，D，若取φ＝，则2x＋∈，在上，sin(2x＋φ)<0，不合题意；对于选项C，若取φ＝，则2x＋∈，在上，sin(2x＋φ)<0，不合题意．选A.‎ ‎[答案] A 方法六 概念辨析法 概念辨析法是从题设条件出发，通过对数学概念的辨析，进行少量运算或推理，直接选择出正确结论的方法．这类题目一般是给出一个创新定义，或涉及一些似是而非、容易混淆的概念或性质，需要考生在平时注意辨析有关概念，准确区分相应概念的内涵与外延，同时在审题时多加小心．‎ ‎【典例6】 下列命题是真命题的是( )‎ A．∀φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数 B．∃α，β∈R，使cos(α＋β)＝cosα＋cosβ C．向量a＝(2,1)，b＝(－1,0)，则a在b的方向上的投影为2‎ D．“|x|≤1”是“x≤1”的既不充分又不必要条件 ‎[解析] 当φ＝时，f(x)＝cos2x，其为偶函数，故A为假命题；令α＝，β＝－，则cos(α＋β)＝cos＝，cosα＋cosβ＝＋0＝，cos(α＋β)＝cosα＋cosβ成立，故B为真命题；设a与b的夹角为θ，则a在b的方向上的投影为＝＝－2，故C为假命题；|x|≤1，－1≤‎ x≤1，故充分性成立，若x≤1，|x|≤1不一定成立，故为充分不必要条件，D为假命题．‎ ‎[答案] B 概念辨析法的应用技巧 创新定义问题要求考生在短时间内通过阅读、理解后，解决题目给出的问题．解决这类问题的关键是准确把握新定义的含义，把从定义和题目中获取的信息进行有效整合，并转化为熟悉的知识加以解决．‎ ‎[对点训练] ‎ ‎6．(2017·西安质检)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为( )‎ A．x＋2y＋3＝0 B．2x＋y＋3＝0‎ C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋3＝0‎ ‎[解析] 因为AC＝BC，所以欧拉线为AB的中垂线，又A(2,0)，B(0,4)，故AB的中点为(1,2)，kAB＝－2，故AB的中垂线为y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0，故选C.‎ ‎[答案] C 题型技法归纳 ‎1．解答选择题的策略 充分地利用题干和选择支两方面的条件所提供的信息作出判断，先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解，对于具有多种解题思路的，宜选最简 解法等．解题时应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏．初选后认真检验，确保准确．‎ ‎2．解答选择题的原则 小题巧解，小题不能大做.‎