2021届高考数学一轮复习第六章不等式第5讲不等式的应用课件 35页

第5讲 不等式的应用 课标要求 考情风向标 1.会用基本不等式解 决简单的最大(小)值 问题. 2.从实际情境中抽象 出一些简单的二元线 性规划问题，并能加以 解决 从近几年的高考试题来看，高考越来越 增大了对密切联系生产和生活实际的应 用性问题的考查力度.主要有两种形式： (1)线性规划问题：求给定可行域的面积； 求给定可行域的最优解；求目标函 数中 参数的范围 . (2)基本不等式的应用：求函数或数列的 最值，侧重“正”“定”“等”的满足 条件 1.如果 a ， b ∈ R ，那么 a 2 ＋ b 2 ≥______(当且仅当 a ＝ b 时取 “＝”号). 2 ab a ＋ b 2 ≥______(当且仅当 a ＝ b 时 2.如果 a ， b 是正数，那么 取 “ ＝ ” 号 ). 以上不等式从左至右分别为：调和平均数(记作 H )，几何平 均数(记作 G )，算术平均数(记作 A )，平方平均数(记作 Q )，即 H ≤ G ≤ A ≤ Q ，各不等式中等号成立的条件都是 a ＝ b . 4. 常用不等式 (1) a ， b ， c ∈ R ， a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 ≥ ab ＋ bc ＋ ca (当且仅当 a ＝ b ＝ c 时取“＝”号). ) z ＝ x ＋ y 的最大值为( A.0 C.2 B.1 D.3 解析： 如图 D37，目标函数 z ＝ x ＋ y 经过 A (3,0)时最大，故 z max ＝3＋0＝3.故选 D. 图 D37 答案： D 解析： 根据不等式组作出可行域，如图 D38 中阴影部分. 图 D38 由题可得，目标函数 z 的值相当于直线 y ＝4 x ＋ z 的纵截距， 则由图可知，当直线 y ＝4 x ＋ z 经过直线 x ＝－1 与直线 x － y ＋2 ＝0 的交点时，此时直线 y ＝4 x ＋ z 的纵截距最大，联立两直线 解得交点为(－1,1).代入到目标函数 z ＝－4 x ＋ y ，得 z ＝5.故选 C. 答案： C 3.要制作一个容积为 4 m 3 ，高为 1 m 的无盖长方体容器.已 知该容器的底面造价是 20 元/m 2 ，侧面造价是 10 元/m 2 ，则该 容器的最低总造价是( ) C A.80 元 B.120 元 C.160 元 D.240 元 4.一批物资要用 11 辆汽车从甲地运到 360 千米外的乙地， ) 批物资至少需要( A.10 小时 C.12 小时 B.11 小时 D.13 小时 答案： C 考点 1 实际生活中的基本不等式问题 例 1 ： (1) 一份印刷品，其排版面积为 432 cm 2 (矩形)，要求 左、右各留有 4 cm 的空白，上、下各留有 3 cm 的空白，则当 排版的长为________cm，宽为________cm 时，用纸最省. 答案： 24 18 (2)某村计划建造一个室内面积为 800 m 2 的矩形蔬菜温室. 在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道，沿 前侧内墙保留 3 m 宽的空地，则最大的种植面积是( ) A.218 m 2 B.388 m 2 C.468 m 2 D.648 m 2 解析： 设矩形温室的左侧边长为 a m，后侧边长为 b m，则 ab ＝800.蔬菜的种植面积： S ＝( a －4)( b －2)＝ ab －4 b －2 a ＋8＝ 40 m， b ＝20 m 时， S max ＝648 m 2 . 答案： D 【方法与技巧】 利用不等式解决实际问题时，首先要认真 审题，分析题意，建立合理的不等式模型，最后通过基本不等 式解题 . 注意最常用的两种题型：积一定，和最小；和一定，积 最大 . 考点 2 实际生活中的线性规划问题 例 2 ： 某家具厂有方木料 90 m 3 ，五合板 600 m 3 ，准备加工 成书桌和书橱出售，已知生产一张书桌需要方木料 0.1 m 3 ，五 合板 2 m 3 ，生产一个书橱需要方木料 0.2 m 3 ，五合板 1 m 3 ，出 售一张书桌可获利润 80 元，出售一个书橱可获利润 120 元. (1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？ (2)如果只安排生产书橱，那么可获利润多少？ (3)如何安排生产可使所得利润最大？ 解： (1)设只生产书桌 x 张，可获利润 z 元， ∴当 x ＝300 时， z max ＝80×300＝24 000(元). 即如果只安排生产书桌，最多可生产 300 张书桌，可获利 润 24 000 元. (2)设只生产书橱 y 个，可获利润 z 元， ∴当 y ＝450 时， z max ＝120×450＝54 000(元). 即如果只安排生产书橱，最多可生产 450 个书橱，可获利 润 54 000 元. (3)设生产书桌 x 张，生产书橱 y 个，可获总利润 z 元， z ＝80 x ＋120 y . 在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域， 即可行域，如图 6-5-1. 图 6-5-1 作直线 l ：80 x ＋120 y ＝0，即直线 2 x ＋3 y ＝0. 把直线 l 向右上方平移到 l 1 的位置，直线 l 1 经过可行域上 的点 M ，此时 z ＝80 x ＋120 y 取得最大值. ∴当 x ＝100， y ＝400 时， z max ＝80×100＋120×400＝56 000(元). 因此安排生产 400 个书橱，100 张书桌，可获利润最大为 56 000 元. 【方法与技巧】 根据已知条件写出不等式组是解题的第一 步；画出可行域是第二步；找出最优解是第三步 . 【跟踪训练】 1.(2016 年新课标Ⅰ ) 某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需 要甲、乙两种新型材料.生产一件产品 A 需要甲材料 1.5 kg，乙 材料 1 kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg， 乙材料 0.3 kg，用 3 个工时.生产一件产品 A 的利润为 2100 元， 生产一件产品 B 的利润为 900 元.该企业现有甲材料 150 kg，乙 材料 90 kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A 、产 品 B 的利润之和的最大值为___________元. 解析： 设生产产品 A 、产品 B 分别为 x ， y 件，利润之和为 z 元，那么 目标函数 z ＝2100 x ＋900 y . ∴当 x ＝60， y ＝100 时， z max ＝2100×60＋900×100＝216 000(元). 故生产产品 A 、产品 B 的利润之和的最大值为 216 000 元. 图 D39 答案： 216 0 00 2.某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过 50 亩(1 亩 ≈666.7 平方米)，投入资金不超过 54 万元，假设种植黄瓜和韭 菜的产量、成本和售价如下表： 为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成 ) 本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为( A.50,0 B.30,20 C.20,30 D.0,50 种植品种 每亩年产量/吨 每亩年种植成本/ 万元 每吨售价/ 万元 黄瓜 4 1.2 0.55 韭菜 6 0.9 0.3 解析： 设黄瓜和韭菜的种植面积分别为 x ， y 亩，种植总利 润为 z 万元， 则目标函数 z ＝(0.55×4 x －1.2 x ) ＋(0.3×6 y －0.9 y ) ＝ x ＋ 0.9 y . 作出约束条件如图 D40 所示的阴影部分. 易求得点 A (0,50)， B (30,20)， C (45,0). 平移直线 x ＋0.9 y ＝0，当直线 x ＋0.9 y ＝0 经过点 B (30，20) 时， z 取得最大值为 48.故选 B. 图 D40 答案： B 易错、易混、易漏 ⊙ 利用基本不等式时忽略了“＝”的条件 例题： 某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 162 平 方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图 6-5-2)，如 果池四周围墙建造单价为 400 元/米，中间两道隔墙建造单价为 248 元/米，池底建造单价为 80 元/米 2 ，水池所有墙的厚度忽略 不计. (1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最 低总造价； (2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过 16 米，试 设计污水池的长和宽，使总造价最低， 并求出最低总造价 . 图 6-5-2 ∴当长为 16.2 米，宽为 10 米时总造价最低，最低总造价 为 38 880 元. 1.应用基本不等式求最值：应遵循“一正”“二定”“三 相等”三项基本原则，尤其等号能否成立最容易忽视，如果等 号不能成立则考虑利用函数的单调性求解. 2.利用线性规划求最值. 3.与函数、导数相结合求单调性及最值(极值).