浙江省2021届高考数学一轮复习第一章集合常用逻辑用语第1节集合课件 31页

第 1 节　集　合 考试要求　 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言 ( 列举法或描述法 ) 描述不同的具体问题； 2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义； 3. 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩 (Venn) 图表达集合间的基本关系及集合的基本运算． 知 识 梳 理 互异性 1 . 元素与集合 (1) 集合中元素的三个特性：确定性、 ________ 、 ________ . (2) 元素与集合的关系是 ______ 或 ________ ，表示符号分别为 ∈ 和 ∉ . (3) 集合的三种表示方法： ________ 、 ________ 、图示法 . 无序性 属于 不属于 列举法 描述法 2 . 集合间的基本关系 (1) 子集：若对任意 x ∈ A ，都有 _______ ，则 A ⊆ B 或 B ⊇ A . (2) 真子集：若 A ⊆ B ，且集合 B 中至少有一个元素不属于集合 A ，则 _______ 或 B  A . (3) 相等：若 A ⊆ B ，且 _______ ，则 A ＝ B . (4) 空集的性质：  是 ______ 集合的子集，是任何 ______ 集合的真子集 . x ∈ B A  B B ⊆ A 任何 非空 3 . 集合的基本运算   集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A ∪ B A ∩ B 若全集为 U ，则集合 A 的补集为 ∁ U A 图形表示 集合表示 { x | x ∈ A ，或 x ∈ B } __________________ { x | x ∈ U ，且 x ∉ A } { x | x ∈ A ，且 x ∈ B } 4. 集合的运算性质 (1) 并集的性质： A ∪  ＝ A ； A ∪ A ＝ A ； A ∪ B ＝ B ∪ A ； A ∪ B ＝ ____ ⇔ B ⊆ A . (2) 交集的性质： A ∩  ＝  ； A ∩ A ＝ A ； A ∩ B ＝ B ∩ A ； A ∩ B ＝ A ⇔ A ____ B . (3) 补集的性质： A ∪ ( ∁ U A ) ＝ U ； A ∩ ( ∁ U A ) ＝ ____ ； ∁ U ( ∁ U A ) ＝ ___ ； ∁ U ( A ∪ B ) ＝ ( ∁ U A ) ____ ( ∁ U B ) ； ∁ U ( A ∩ B ) ＝ ( ∁ U A ) ∪ ( ∁ U B ). A ⊆  A ∩ [ 常用结论与易错提醒 ] 1. 若有限集 A 中有 n 个元素，则 A 的子集有 2 n 个，真子集有 2 n － 1 个 . 2. 子集的传递性： A ⊆ B ， B ⊆ C ⇒ A ⊆ C ( “ ⊆ ” 换为 “  ” 仍成立 ). 3. 集合元素个数： card( A ∪ B ) ＝ card( A ) ＋ card( B ) － card( A ∩ B )( 常在实际问题中应用 ). 4. 对于 A ⊆ B ，注意 A ＝  的情形 . 5. 对于含参数的集合，注意检验元素的互异性 . 诊 断 自 测 1. 判断下列说法的正误 . (1) 任何集合至少有两个子集 .( 　　 ) (2) 已知集合 A ＝ { x | y ＝ x 2 } ， B ＝ { y | y ＝ x 2 } ， C ＝ {( x ， y )| y ＝ x 2 } ，则 A ＝ B ＝ C .( 　　 ) (3) 若 { x 2 ， 1} ＝ {0 ， 1} ，则 x ＝ 0 ， 1.( 　　 ) (4) 若 A ∩ B ＝ A ∩ C ，则 B ＝ C .( 　　 ) 解析　 (1) 错误 . 空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的 . (2) 错误 . 集合 A 是函数 y ＝ x 2 的定义域，即 A ＝ ( － ∞ ，＋ ∞ ) ；集合 B 是函数 y ＝ x 2 的值域，即 B ＝ [0 ，＋ ∞ ) ；集合 C 是抛物线 y ＝ x 2 上的点集 . 因此 A ， B ， C 不相等 . (3) 错误 . 当 x ＝ 1 时，不满足元素互异性 . (4) 错误 . 当 A ＝  时， B ， C 可为任意集合 . 答案　 (1) × 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) × 答案　 D 3. (2020· 绍兴适应性考试 ) 若全集 U ＝ { － 1 ， 0 ， 1 ， 2} ， P ＝ { x | x 2 － 2 x ＝ 0} ，则 ∁ U P ＝ ( 　　 ) A.{ － 1 ， 1} B.{0 ， 2} C.{ － 1 ， 2} D.{ － 1 ， 0 ， 2} 解析 　由题意得集合 U ＝ { － 1 ， 0 ， 1 ， 2} ， P ＝ {0 ， 2} ，则 ∁ U P ＝ { － 1 ， 1} ，故选 A. 答案 　 A 4. (2020· 北京石景山区测试 ) 已知集合 P ＝ { x ∈ R | x ≥ 1} ， Q ＝ {2 ， 3} ，则下列关系中正确的是 ( 　　 ) A. P ＝ Q B. P ⊆ Q C. Q  P D. P ∪ Q ＝ R 解析 　 ∵ 2 ∈ P ， 3 ∈ P ，且 4 ∈ P ，但 4 ∉ Q ，故 Q  P . 答案 　 C 5. (2020· 上海徐汇区一模 ) 已知集合 A ＝ {2 ， 3} ， B ＝ {1 ， 2 ， a } ，若 A ⊆ B ，则实数 a ＝ ________. 解析　 因为 A ⊆ B ，所以 a ＝ 3. 答案　 3 6. 已知集合 A ＝ { x | － 1 ≤ x ≤ 2} ， B ＝ { x | x 2 － 4 x ≤ 0} ，则 A ∪ B ＝ ________ ， A ∩ ( ∁ R B ) ＝ ________. 解析　 由题意得集合 B ＝ { x |0 ≤ x ≤ 4} ，所以 A ∪ B ＝ { x | － 1 ≤ x ≤ 4} ， ∁ R B ＝ { x | x <0 或 x >4} ，所以 A ∩ ( ∁ R B ) ＝ { x | － 1 ≤ x <0}. 答案　 { x | － 1 ≤ x ≤ 4} 　 { x | － 1 ≤ x ＜ 0} 考点一　集合的基本概念 【例 1 】 (1) ( 一题多解 )(2018· 全国 Ⅱ 卷 ) 已知集合 A ＝ {( x ， y )| x 2 ＋ y 2 ≤ 3 ， x ∈ Z ， y ∈ Z } ，则 A 中元素的个数为 ( 　　 ) A.9 B.8 C.5 D.4 (2) 若集合 A ＝ { x ∈ R | ax 2 － 3 x ＋ 2 ＝ 0} 中只有一个元素，则 a ＝ ( 　　 ) 法二　 根据集合 A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 3 中有 9 个整点，即为集合 A 的元素个数，故选 A. (2) 若集合 A 中只有一个元素，则方程 ax 2 － 3 x ＋ 2 ＝ 0 只有一个实根或有两个相等实根 . 答案　 (1)A 　 (2)D 规律方法 　 (1) 第 (2) 题集合 A 中只有一个元素，要分 a ＝ 0 与 a ≠ 0 两种情况进行讨论，此题易忽视 a ＝ 0 的情形 . (2) 用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合 . 【训练 1 】 (1) (2020· 上海黄浦区模拟 ) 已知集合 A ＝ {1 ， 2 ， 3} ， B ＝ {1 ， m } ，若 3 － m ∈ A ，则非零实数 m 的数值是 ________. (2)(2020· 绿色评价联盟适考 ) 已知集合 A ＝ {1 ， 2} ， B ＝ { x | x 2 － ( a ＋ 1) x ＋ a ＝ 0 ， a ∈ R } ，若 A ＝ B ，则 a ＝ ( 　　 ) A.1 B.2 C. － 1 D. － 2 解析　 (1) 由题意，若 3 － m ＝ 2 ，则 m ＝ 1 ，此时 B 集合不符合元素的互异性，故 m ≠ 1 ；若 3 － m ＝ 1 ，则 m ＝ 2 ，符合题意；若 3 － m ＝ 3 ，则 m ＝ 0 ，不符合题意 . (2) 由 B ＝ {1 ， a } ＝ {1 ， 2} ，得 a ＝ 2 ，故选 B. 答案　 (1)2 　 (2)B 考点二　集合间的基本关系 【例 2 】 (1) 已知集合 A ＝ { x | － 2 ≤ x ≤ 7} ， B ＝ { x | m ＋ 1< x <2 m － 1} ，若 B ⊆ A ，则实数 m 的取值范围是 ________. 解析　 (1) 当 B ＝ ∅ 时，有 m ＋ 1 ≥ 2 m － 1 ，则 m ≤ 2. 当 B ≠ ∅ 时，若 B ⊆ A ，如图 . 综上， m 的取值范围为 ( － ∞ ， 4]. (2) ①∵ A ⊆ B . 则 x ∉ A 时，则 m ＝ 0 ， m (1 － n ) ＝ 0. x ∈ A 时，必有 x ∈ B ， ∴ m ＝ n ＝ 1 ， m (1 － n ) ＝ 0. 综合可得 m (1 － n ) ＝ 0. ② 对任意 x ∈ R ， m ＋ n ＝ 1 ，则 m ， n 的值一个为 0 ，另一个为 1 ， 即 x ∈ A 时，必有 x ∉ B ，或 x ∈ B 时，必有 x ∉ A ， ∴ A ， B 的关系为 A ＝ ∁ R B . 答案　 (1)( － ∞ ， 4] 　 (2) ① 0 　 ② A ＝ ∁ R B 规律方法　 (1) 若 B ⊆ A ，应分 B ＝ ∅ 和 B ≠ ∅ 两种情况讨论 . (2) 已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系 . 解决这类问题常常要合理利用数轴、 Venn 图化抽象为直观进行求解 . 答案　 (1)C 　 (2)( － ∞ ， 2] 考点三　集合的基本运算 【例 3 】 (1) (2019· 浙江卷 ) 已知全集 U ＝ { － 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3} ，集合 A ＝ {0 ， 1 ， 2} ， B ＝ { － 1 ， 0 ， 1} ，则 ( ∁ U A ) ∩ B ＝ ( 　　 ) A.{ － 1} B.{0 ， 1} C.{ － 1 ， 2 ， 3} D.{ － 1 ， 0 ， 1 ， 3} (2) 设常数 a ∈ R ，集合 A ＝ { x |( x － 1)( x － a ) ≥ 0} ， B ＝ { x | x ≥ a － 1}. 若 A ∪ B ＝ R ，则 a 的取值范围为 ( 　　 ) A.( － ∞ ， 2) B.( － ∞ ， 2] C.(2 ，＋ ∞ ) D.[2 ，＋ ∞ ) 解析　 (1) ∵ U ＝ { － 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3} ， A ＝ {0 ， 1 ， 2} ， ∴ ∁ U A ＝ { － 1 ， 3}. 又 ∵ B ＝ { － 1 ， 0 ， 1} ， ∴ ( ∁ U A ) ∩ B ＝ { － 1}. 故选 A. (2) ∵ B ＝ [ a － 1 ，＋ ∞ ) ， A ∪ B ＝ R ， ∴ A ⊇ ( － ∞ ， a － 1). 由 ( x － 1)( x － a ) ≥ 0 ⇒ 当 a ＝ 1 时， x ∈ R ，所以 a ＝ 1 符合题意；当 a >1 时， x ∈ ( － ∞ ， 1] ∪ [ a ，＋ ∞ ) ⇒ 1 ≥ a － 1 ，解得 1< a ≤ 2 ；当 a <1 时， x ∈ ( － ∞ ， a ] ∪ [1 ，＋ ∞ ) ⇒ a ≥ a － 1 ⇒ a <1. 综上， a ≤ 2. 答案　 (1)A 　 (2)B 规律方法 　 (1) 在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化 . (2) 一般地，集合元素离散时用 Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍 . 【训练 3 】 (1) 已知全集 U ＝ A ∪ B ＝ { x ∈ Z |0 ≤ x ≤ 6} ， A ∩ ( ∁ U B ) ＝ {1 ， 3 ， 5} ，则 B ＝ ( 　　 ) A.{2 ， 4 ， 6} B.{1 ， 3 ， 5} C.{0 ， 2 ， 4 ， 6} D.{ x ∈ Z |0 ≤ x ≤ 6} (2) (2019· 北京房山区期末 ) 已知集合 A ＝ { － 1 ， 0 ， 1} ， B ＝ { x | x ＞ a } ，若 A ∩ B ＝ A ，则实数 a 的取值可以为 ( 　　 ) A. － 2 B. － 1 C.1 D.2 解析　 (1) 由 A ∩ ( ∁ U B ) ＝ {1 ， 3 ， 5} 得元素 1 ， 3 ， 5 不在集合 B 内 . 若元素 0 不在集合 B 内，则由 A ∪ B ＝ { x ∈ Z |0 ≤ x ≤ 6} 得元素 0 在集合 A 内，则 0 ∈ A ∩ ( ∁ U B ) ，与题意不符，所以元素 0 在集合 B 内，同理可得元素 2 ， 4 ， 6 也在集合 B 内，所以 B ＝ {0 ， 2 ， 4 ， 6} ，故选 C. (2) ∵ A ∩ B ＝ A ， ∴ A ⊆ B ， ∴ a ＜－ 1 ， ∴ a ＝－ 2. 答案　 (1)C 　 (2)A