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  • 2021-06-16 发布

浙江省2021届高考数学一轮复习第一章集合常用逻辑用语第1节集合课件

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第 1 节 集 合 考试要求  1. 了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;能用自然语言、图形语言、集合语言 ( 列举法或描述法 ) 描述不同的具体问题; 2. 理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;在具体情境中了解全集与空集的含义; 3. 理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;能使用韦恩 (Venn) 图表达集合间的基本关系及集合的基本运算. 知 识 梳 理 互异性 1 . 元素与集合 (1) 集合中元素的三个特性:确定性、 ________ 、 ________ . (2) 元素与集合的关系是 ______ 或 ________ ,表示符号分别为 ∈ 和 ∉ . (3) 集合的三种表示方法: ________ 、 ________ 、图示法 . 无序性 属于 不属于 列举法 描述法 2 . 集合间的基本关系 (1) 子集:若对任意 x ∈ A ,都有 _______ ,则 A ⊆ B 或 B ⊇ A . (2) 真子集:若 A ⊆ B ,且集合 B 中至少有一个元素不属于集合 A ,则 _______ 或 B  A . (3) 相等:若 A ⊆ B ,且 _______ ,则 A = B . (4) 空集的性质:  是 ______ 集合的子集,是任何 ______ 集合的真子集 . x ∈ B A  B B ⊆ A 任何 非空 3 . 集合的基本运算   集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A ∪ B A ∩ B 若全集为 U ,则集合 A 的补集为 ∁ U A 图形表示 集合表示 { x | x ∈ A ,或 x ∈ B } __________________ { x | x ∈ U ,且 x ∉ A } { x | x ∈ A ,且 x ∈ B } 4. 集合的运算性质 (1) 并集的性质: A ∪  = A ; A ∪ A = A ; A ∪ B = B ∪ A ; A ∪ B = ____ ⇔ B ⊆ A . (2) 交集的性质: A ∩  =  ; A ∩ A = A ; A ∩ B = B ∩ A ; A ∩ B = A ⇔ A ____ B . (3) 补集的性质: A ∪ ( ∁ U A ) = U ; A ∩ ( ∁ U A ) = ____ ; ∁ U ( ∁ U A ) = ___ ; ∁ U ( A ∪ B ) = ( ∁ U A ) ____ ( ∁ U B ) ; ∁ U ( A ∩ B ) = ( ∁ U A ) ∪ ( ∁ U B ). A ⊆  A ∩ [ 常用结论与易错提醒 ] 1. 若有限集 A 中有 n 个元素,则 A 的子集有 2 n 个,真子集有 2 n - 1 个 . 2. 子集的传递性: A ⊆ B , B ⊆ C ⇒ A ⊆ C ( “ ⊆ ” 换为 “  ” 仍成立 ). 3. 集合元素个数: card( A ∪ B ) = card( A ) + card( B ) - card( A ∩ B )( 常在实际问题中应用 ). 4. 对于 A ⊆ B ,注意 A =  的情形 . 5. 对于含参数的集合,注意检验元素的互异性 . 诊 断 自 测 1. 判断下列说法的正误 . (1) 任何集合至少有两个子集 .(    ) (2) 已知集合 A = { x | y = x 2 } , B = { y | y = x 2 } , C = {( x , y )| y = x 2 } ,则 A = B = C .(    ) (3) 若 { x 2 , 1} = {0 , 1} ,则 x = 0 , 1.(    ) (4) 若 A ∩ B = A ∩ C ,则 B = C .(    ) 解析  (1) 错误 . 空集只有一个子集,就是它本身,故该说法是错误的 . (2) 错误 . 集合 A 是函数 y = x 2 的定义域,即 A = ( - ∞ ,+ ∞ ) ;集合 B 是函数 y = x 2 的值域,即 B = [0 ,+ ∞ ) ;集合 C 是抛物线 y = x 2 上的点集 . 因此 A , B , C 不相等 . (3) 错误 . 当 x = 1 时,不满足元素互异性 . (4) 错误 . 当 A =  时, B , C 可为任意集合 . 答案  (1) ×   (2) ×   (3) ×   (4) × 答案  D 3. (2020· 绍兴适应性考试 ) 若全集 U = { - 1 , 0 , 1 , 2} , P = { x | x 2 - 2 x = 0} ,则 ∁ U P = (    ) A.{ - 1 , 1} B.{0 , 2} C.{ - 1 , 2} D.{ - 1 , 0 , 2} 解析  由题意得集合 U = { - 1 , 0 , 1 , 2} , P = {0 , 2} ,则 ∁ U P = { - 1 , 1} ,故选 A. 答案   A 4. (2020· 北京石景山区测试 ) 已知集合 P = { x ∈ R | x ≥ 1} , Q = {2 , 3} ,则下列关系中正确的是 (    ) A. P = Q B. P ⊆ Q C. Q  P D. P ∪ Q = R 解析   ∵ 2 ∈ P , 3 ∈ P ,且 4 ∈ P ,但 4 ∉ Q ,故 Q  P . 答案   C 5. (2020· 上海徐汇区一模 ) 已知集合 A = {2 , 3} , B = {1 , 2 , a } ,若 A ⊆ B ,则实数 a = ________. 解析  因为 A ⊆ B ,所以 a = 3. 答案  3 6. 已知集合 A = { x | - 1 ≤ x ≤ 2} , B = { x | x 2 - 4 x ≤ 0} ,则 A ∪ B = ________ , A ∩ ( ∁ R B ) = ________. 解析  由题意得集合 B = { x |0 ≤ x ≤ 4} ,所以 A ∪ B = { x | - 1 ≤ x ≤ 4} , ∁ R B = { x | x <0 或 x >4} ,所以 A ∩ ( ∁ R B ) = { x | - 1 ≤ x <0}. 答案  { x | - 1 ≤ x ≤ 4}   { x | - 1 ≤ x < 0} 考点一 集合的基本概念 【例 1 】 (1) ( 一题多解 )(2018· 全国 Ⅱ 卷 ) 已知集合 A = {( x , y )| x 2 + y 2 ≤ 3 , x ∈ Z , y ∈ Z } ,则 A 中元素的个数为 (    ) A.9 B.8 C.5 D.4 (2) 若集合 A = { x ∈ R | ax 2 - 3 x + 2 = 0} 中只有一个元素,则 a = (    ) 法二  根据集合 A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形,如图,易知在圆 x 2 + y 2 = 3 中有 9 个整点,即为集合 A 的元素个数,故选 A. (2) 若集合 A 中只有一个元素,则方程 ax 2 - 3 x + 2 = 0 只有一个实根或有两个相等实根 . 答案  (1)A   (2)D 规律方法   (1) 第 (2) 题集合 A 中只有一个元素,要分 a = 0 与 a ≠ 0 两种情况进行讨论,此题易忽视 a = 0 的情形 . (2) 用描述法表示集合,先要弄清集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明确集合类型,是数集、点集还是其他的集合 . 【训练 1 】 (1) (2020· 上海黄浦区模拟 ) 已知集合 A = {1 , 2 , 3} , B = {1 , m } ,若 3 - m ∈ A ,则非零实数 m 的数值是 ________. (2)(2020· 绿色评价联盟适考 ) 已知集合 A = {1 , 2} , B = { x | x 2 - ( a + 1) x + a = 0 , a ∈ R } ,若 A = B ,则 a = (    ) A.1 B.2 C. - 1 D. - 2 解析  (1) 由题意,若 3 - m = 2 ,则 m = 1 ,此时 B 集合不符合元素的互异性,故 m ≠ 1 ;若 3 - m = 1 ,则 m = 2 ,符合题意;若 3 - m = 3 ,则 m = 0 ,不符合题意 . (2) 由 B = {1 , a } = {1 , 2} ,得 a = 2 ,故选 B. 答案  (1)2   (2)B 考点二 集合间的基本关系 【例 2 】 (1) 已知集合 A = { x | - 2 ≤ x ≤ 7} , B = { x | m + 1< x <2 m - 1} ,若 B ⊆ A ,则实数 m 的取值范围是 ________. 解析  (1) 当 B = ∅ 时,有 m + 1 ≥ 2 m - 1 ,则 m ≤ 2. 当 B ≠ ∅ 时,若 B ⊆ A ,如图 . 综上, m 的取值范围为 ( - ∞ , 4]. (2) ①∵ A ⊆ B . 则 x ∉ A 时,则 m = 0 , m (1 - n ) = 0. x ∈ A 时,必有 x ∈ B , ∴ m = n = 1 , m (1 - n ) = 0. 综合可得 m (1 - n ) = 0. ② 对任意 x ∈ R , m + n = 1 ,则 m , n 的值一个为 0 ,另一个为 1 , 即 x ∈ A 时,必有 x ∉ B ,或 x ∈ B 时,必有 x ∉ A , ∴ A , B 的关系为 A = ∁ R B . 答案  (1)( - ∞ , 4]   (2) ① 0   ② A = ∁ R B 规律方法  (1) 若 B ⊆ A ,应分 B = ∅ 和 B ≠ ∅ 两种情况讨论 . (2) 已知两个集合间的关系求参数时,关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数满足的关系 . 解决这类问题常常要合理利用数轴、 Venn 图化抽象为直观进行求解 . 答案  (1)C   (2)( - ∞ , 2] 考点三 集合的基本运算 【例 3 】 (1) (2019· 浙江卷 ) 已知全集 U = { - 1 , 0 , 1 , 2 , 3} ,集合 A = {0 , 1 , 2} , B = { - 1 , 0 , 1} ,则 ( ∁ U A ) ∩ B = (    ) A.{ - 1} B.{0 , 1} C.{ - 1 , 2 , 3} D.{ - 1 , 0 , 1 , 3} (2) 设常数 a ∈ R ,集合 A = { x |( x - 1)( x - a ) ≥ 0} , B = { x | x ≥ a - 1}. 若 A ∪ B = R ,则 a 的取值范围为 (    ) A.( - ∞ , 2) B.( - ∞ , 2] C.(2 ,+ ∞ ) D.[2 ,+ ∞ ) 解析  (1) ∵ U = { - 1 , 0 , 1 , 2 , 3} , A = {0 , 1 , 2} , ∴ ∁ U A = { - 1 , 3}. 又 ∵ B = { - 1 , 0 , 1} , ∴ ( ∁ U A ) ∩ B = { - 1}. 故选 A. (2) ∵ B = [ a - 1 ,+ ∞ ) , A ∪ B = R , ∴ A ⊇ ( - ∞ , a - 1). 由 ( x - 1)( x - a ) ≥ 0 ⇒ 当 a = 1 时, x ∈ R ,所以 a = 1 符合题意;当 a >1 时, x ∈ ( - ∞ , 1] ∪ [ a ,+ ∞ ) ⇒ 1 ≥ a - 1 ,解得 1< a ≤ 2 ;当 a <1 时, x ∈ ( - ∞ , a ] ∪ [1 ,+ ∞ ) ⇒ a ≥ a - 1 ⇒ a <1. 综上, a ≤ 2. 答案  (1)A   (2)B 规律方法   (1) 在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化 . (2) 一般地,集合元素离散时用 Venn 图表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时要注意端点值的取舍 . 【训练 3 】 (1) 已知全集 U = A ∪ B = { x ∈ Z |0 ≤ x ≤ 6} , A ∩ ( ∁ U B ) = {1 , 3 , 5} ,则 B = (    ) A.{2 , 4 , 6} B.{1 , 3 , 5} C.{0 , 2 , 4 , 6} D.{ x ∈ Z |0 ≤ x ≤ 6} (2) (2019· 北京房山区期末 ) 已知集合 A = { - 1 , 0 , 1} , B = { x | x > a } ,若 A ∩ B = A ,则实数 a 的取值可以为 (    ) A. - 2 B. - 1 C.1 D.2 解析  (1) 由 A ∩ ( ∁ U B ) = {1 , 3 , 5} 得元素 1 , 3 , 5 不在集合 B 内 . 若元素 0 不在集合 B 内,则由 A ∪ B = { x ∈ Z |0 ≤ x ≤ 6} 得元素 0 在集合 A 内,则 0 ∈ A ∩ ( ∁ U B ) ,与题意不符,所以元素 0 在集合 B 内,同理可得元素 2 , 4 , 6 也在集合 B 内,所以 B = {0 , 2 , 4 , 6} ,故选 C. (2) ∵ A ∩ B = A , ∴ A ⊆ B , ∴ a <- 1 , ∴ a =- 2. 答案  (1)C   (2)A