贵州省六盘水市第二中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题 19页

www.ks5u.com 六盘水市第二中学2019-2020学年高一数学12月考卷 一.单选题 ‎1.已知，|，则的终边在( )‎ A. 第二、四象限 B. 第一、三象限 C. 第一、三象限或x轴上 D. 第二、四象限或x轴上 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断角所在的象限，再求出的终边所在的象限即可．‎ ‎【详解】∵，|，‎ ‎∴，‎ ‎∴角的终边在在第四象限或轴上，‎ ‎∴的终边在第二、四象限或x轴上．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数值的符号和角的终边所在的位置，解题的关键是根据条件确定角所在的位置，然后再结合图形得到的终边所在的位置．‎ ‎2.已知，则角的终边在（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用角度和弧度的互化公式，将2弧度的角化成角度，再判断角的终边在第几象限.‎ ‎【详解】∵，∴，‎ 故角的终边在第三象限．选C．‎ ‎【点睛】本题考查象限角的概念和计算能力，属于基础题.‎ 第一象限角的集合，‎ 第二象限角的集合，‎ 第三象限角的集合，‎ 第四象限角的集合.‎ ‎3.角的终边经过点且，则的值为()‎ A. -3 B. 3 C. ±3 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数的定义建立方程关系即可．‎ ‎【详解】因为角的终边经过点且，‎ 所以 则 ‎ 解得 ‎【点睛】本题主要考查三角函数的定义的应用，应注意求出的b为正值．‎ ‎4.终边在直线上的角的取值集合是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在到内终边在直线上的角是，由终边相同的角的表示方法可得出终边在直线上的角的集合，可得解.‎ ‎【详解】角的取值集合为 ‎，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查终边相同的角的表示方法，属于基础题.‎ ‎5.已知，则值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角函数的诱导公式，得到，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，可得，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式的化简、求值，其中解答中熟练应用三角函数的诱导公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎6.若角的终边在直线上，则的值（ ）‎ A. 11 B. 3 C. -11 D. -3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由任意角的三角函数的定义，可得tan＝，利用同角三角函数的基本关系将要求的式子化为齐次式，运算求得结果．‎ ‎【详解】由题3 ‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．‎ ‎7.已知函数，且此函数的图像如图所示，则此函数的解析式可以是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过二个相邻零点，可以求出周期，利用最小正周期公式，可以求出的值，把其中一个零点代入解析式中，求出的值．‎ ‎【详解】由图象可知；,又因为，函数图象通过点，所以，而，所以，故本题选A．‎ ‎【点睛】本题考查了通过图象求函数解析式,考查了数学结合，考查了学生分析、解决问题的能力．‎ ‎8.函数为增函数的区间是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出函数的单调增区间，再结合各选项判定后可得结果．‎ ‎【详解】由，‎ 得，‎ ‎∴函数的单调递增区间为，‎ 令k=0，则得函数的单调递增区间为，‎ 故所求的单调递增区间为．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】求函数的单调区间时，可把看作一个整体，然后代入正弦函数的增区间或减区间求出的范围即为所求，解题时要注意的符号求所求区间的影响，这也是在解题中常出现的错误．‎ ‎9.下列四个命题：①函数在定义域内是增函数；②函数的最小正周期是；③函数的图像关于点成中心对称；④函数的图像关于点成中心对称.其中正确命题的个数是（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正切函数的图象和性质分别进行判断即可．‎ ‎【详解】解：①函数y＝tanx在定义域内不是单调函数；故①错误，‎ ‎②函数y＝tan（2x+1）的最小正周期是；故②错误 ‎③函数y＝tanx的图象关于点（，0）成中心对称，当k＝2时，对称中心为（π，0）；故③正确，‎ ‎④函数y＝tanx的图象关于点（，0）成中心对称，当k＝﹣1时，关于（）成中心对称．故④正确，‎ 故正确是③④，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查命题的真假判断，只要涉及正切函数的单调性，周期性以及对称性，利用正切函数的性质是解决本题的关键．‎ ‎10.为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点 A. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 B. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 D. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：由图象知，A=1,T=π，所以=2，y=sin（2x+），将（，0）代入得：sin()=0，所以=kπ，，取=，得y=sin（2x+），故只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变,故选A.‎ 考点：本题主要考查三角函数图象变换，三角函数解析式.‎ 点评：基础题，根据图象求函数解析式及三角函数图象的变换均是高考常见题目，本题将二者结合在一起，解得思路明确，应先观察图象，确定“振幅”“周期”，再通过计算求.‎ ‎11.如图是函数一个周期的图象，则的值等于 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用图象得到振幅，周期，所以，再由图象关于成中心对称，把原式等价于求的值.‎ ‎【详解】由图象得：振幅，周期，所以，所以，‎ 因为图象关于成中心对称，所以，，‎ 所以原式，故选A.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的周期性、对称性等性质，如果算出每个值再相加，会浪费较多时间，且容易出错，采用对称性求解，能使问题的求解过程变得更简洁.‎ ‎12.函数，，若在区间上是单调函数，，则的值为（ ）‎ A. B. 2 C. 或 D. 或2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据单调性得到的范围，然后根据得到的对称轴和对称中心，考虑对称轴和对称中心是否在同一周期内，分析得到的值.‎ ‎【详解】因为，则；又因为，则由可知得一条对称轴为，又因为在区间上是单调函数，则由可知的一个对称中心为；若与是同一周期内相邻的对称轴和对称中心，则，则，所以；若与不是同一周期内相邻的对称轴和对称中心，则，则，所以.‎ ‎【点睛】对称轴和对称中心的判断：‎ 对称轴：，则图象关于对称；‎ 对称中心：，则图象关于成中心对称.‎ 二.填空题 ‎13.若 ,则_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由，结合同角三角函数基本关系，得到，判断出，再由求出正弦与余弦，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，故，‎ 所以，；因此；‎ 由，解得 所以.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查三角函数中给值求值的问题，熟记同角三角函数基本关系即可，属于常考题型.‎ ‎14.在△ABC中，角均为锐角，且则△ABC的形状是___.‎ ‎【答案】钝角三角形 ‎【解析】‎ 试题分析：利用cos（﹣α）=sinα及正弦函数的单调性解之．‎ 详解：因为cosA＞sinB，所以sin（﹣A）＞sinB，‎ 又角A，B均为锐角，则0＜B＜﹣A＜，所以0＜A+B＜，‎ 且△ABC中，A+B+C=π，所以＜C＜π．‎ 故答案为钝角三角形.‎ 点睛：本题考查诱导公式及正弦函数的单调性，解决三角函数形状问题常用的方法有：化同名，再由函数的单调性得到两角的关系，或者根据边的关系，由余弦定理得到角的大小，即可得到三角形的形状.‎ ‎15.已知定义域为的函数同时满足以下三个条件：‎ ‎①函数的图象不过原点；‎ ‎②对任意，都有；‎ ‎③对任意，都有.‎ 请写出一个符合上述条件的函数表达式为______（答案不唯一，写出一个即可）．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由②可知函数为偶函数，由③可知函数的周期为，结合不过原点，即可写出函数的一个解析式．‎ ‎【详解】由题意，根据②可知函数为偶函数，由③可知函数的周期为，‎ 再由函数不过原点，则满足的函数如 ‎【点睛】本题考查了三角函数的奇偶性与周期性的综合应用，开放性问题的解决方案，属于基础题．‎ ‎16.下面四个命题中，其中正确命题的序号为____________.‎ ‎① 函数是周期为的偶函数；‎ ‎② 若 是第一象限角，且，则 ；‎ ‎③是函数的一条对称轴方程；‎ ‎④ 在内方程有3个解 ‎【答案】①③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的图像与性质即可判断①;根据在第一象限内,由角的取值情况即可判断②;根据正弦函数的性质可判断③;将函数化为,根据方程的解即可判断④.‎ ‎【详解】对于①, 函数的图像如下图所示:‎ 由图可知,函数的周期为,且为偶函数,所以①正确;‎ 对于②,在第一象限的角,当时,满足,但,所以②错误.‎ 对于③, 函数的对称轴为,解得,当时解得,所以③正确.‎ 对于④, .在内,当时,等式成立;当时, ,解得.因为在内不成立,所以只有1个解,即④错误.‎ 综上可知, 正确命题的序号为①③‎ 故答案为: ①③‎ ‎【点睛】本题考查了正弦函数与正切函数函数图像与性质的综合应用,综合性较强,属于中档题.‎ 三.解答题 ‎17.（1）已知扇形的周长为8，面积是4，求扇形的圆心角．‎ ‎（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形的面积最大？‎ ‎【答案】（1）2；（2）当半径为10圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值为100．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设扇形圆心角大小为，半径为，根据扇形周长公式和扇形面积公式，列出等式，联立求出扇形的圆心角；‎ ‎（2）设扇形的半径和弧长分别为和,通过扇形的周长为40，可以得到等式，这样可以用表示，用的代数式表示出扇形的面积，利用二次函数的性质，求出当扇形的面积最大时，扇形的的半径和圆心角的大小.‎ ‎【详解】（1）设扇形的圆心角大小为，半径为，‎ 则由题意可得：．‎ 联立解得：扇形的圆心角．‎ ‎（2）设扇形的半径和弧长分别为和,‎ 由题意可得，‎ ‎∴扇形的面积．‎ 当时S取最大值，此时，‎ 此时圆心角为，‎ ‎∴当半径为10圆心角为2时，扇形面积最大，最大值为100．‎ ‎【点睛】本题考查了扇形周长、面积公式、二次函数的最值，考查了数学运算能力.‎ ‎18.已知.‎ ‎（1）化简；‎ ‎（2）若为第三象限角，且，求的值；‎ ‎（3），求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用诱导公式“奇变偶不变,符号看象限”化简即可. (2)利用诱导公式算出,再由(1),利用 计算即可.注意为第三象限角. (3)利用诱导公式进行化简计算即可.‎ ‎【详解】(1)；‎ 即 (2) ,故,因为为第三象限角,‎ 故,即. (3)当时,‎ ‎,‎ 故此时.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式.‎ ‎19.已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示．‎ ‎（1）求函数f（x）的解析式；‎ ‎（2）求函数f（x）的单调增区间；‎ ‎（3）若x∈[-，0]，求函数f（x）的值域．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式；‎ ‎（2）令2kπ2x2kπ，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间；‎ ‎（3）由x∈[，0]，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的值域．‎ ‎【详解】解：（1）由函数的图象可得A=2，T=•=-，求得ω=2．‎ 再根据五点法作图可得2×+φ=，∴φ=，故f（x）=2sin（2x+）．‎ ‎（2）令2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得kπ-≤x≤kπ+，‎ 故函数的增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z．‎ ‎（3）若x∈[-，0]，则2x+∈[-，]，∴sin（2x+）∈[-1，]，‎ 故f（x）∈[-2，1]．‎ ‎【点睛】本题主要考查由函数y＝Asin（ωx+φ）部分图象求解析式，正弦函数的增区间、正弦函数的定义域和值值域，属于基础题．‎ ‎20.已知函数（0＜φ＜π）‎ ‎（1）当φ时，在给定的坐标系内，用“五点法”做出函数f（x）在一个周期内的图象；‎ ‎（2）若函数f（x）为偶函数，求φ的值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，求函数在[﹣π，π]上的单调递减区间．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）φ；（3）[0，π]‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先列表描点即可画出图像；（2）由偶函数求解即可；（3）求f（x）＝的单调减区间则可求 ‎【详解】（1）当φ时，，‎ 列表如下：‎ ‎ ‎ ‎0‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ x ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎﹣2‎ ‎0‎ 用“五点法”作出函数的一个周期内的图象，如图所示；‎ ‎（2）∵函数f（x）为偶函数，∴，‎ ‎∵0＜φ＜π，∴φ；‎ ‎（3）由（2）得，f（x）＝ ，‎ 当x∈[﹣π，π]时，∴，‎ ‎∴当，即x∈[0，π]时f（x）单调递减．‎ ‎∴函数在[﹣π，π]上的单调递减区间[0，π]．‎ ‎【点睛】本题考查五点作图法，三角函数的奇偶性及单调性，熟记基本性质，准确计算是关键，是中档题 ‎21.如图所示，ABCD是一块边长为7米的正方形铁皮，其中ATN是一半径为6米的扇形，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用．工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有边落在BC与CD上的长方形铁皮，其中P是弧TN上一点．设，长方形的面积为S平方米．‎ ‎（1）求关于的函数解析式；‎ ‎（2）求的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）平方米．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1），将用表示，易得到关于的函数解析式．‎ ‎（2）由（1）可知是关于的三角函数，通过换元转化为一元二次函数求解最值，注意换元后定义域也一同变换．‎ ‎【详解】（1）延长RP交AB于E，延长QP交AD于F，‎ 由ABCD是正方形，PRCQ是矩形，可知，，‎ 由，可得，，‎ ‎，，‎ 故S关于的函数解析式为 ‎．‎ ‎（2）令，可得 ‎，即，‎ ‎．‎ 又由，可得，‎ 故，‎ 关于t的表达式为,‎ 又由，‎ 可知当时，S取最大值，最大值为平方米．‎ ‎【点睛】此题考查三角函数最值问题，关键点在对式子灵活换元处理，换元后新函数的定义域一同改变，属于一般题目．‎ ‎22.已知函数，设其最小值为 ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求a以及此时的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2），‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用同角三角函数间的基本关系化简函数解析式后，分三种情况、和讨论，根据二次函数求最小值的方法求出的最小值的值即可；‎ ‎（2）把代入到第一问的的第二和第三个解析式中，求出的值，代入中得到的解析式，利用配方可得的最大值．‎ ‎【详解】（1）由题意，函数 ‎∵，∴，‎ 若，即，则当时，取得最小值，.‎ 若，即，则当时，取得最小值，.‎ 若即，则当时，取得最小值，，‎ ‎∴．‎ ‎（2）由（1）及题意，得当时，‎ 令，解得或（舍去）；‎ 当时，令，解得（舍去），‎ 综上，，此时，‎ 则时，取得最大值.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用二次函数的方法求三角函数的最值，要求熟练掌握余弦函数图象与性质，其中解答中合理转化为二次函数的图象与性质进行求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．‎ ‎ ‎