山东省淄博第七中学2019-2020学年高一4月网络学习自测数学试题 14页

高一数学试题 一、单项选择（每小题5分，共60分.）‎ ‎1.设在中,角所对的边分别为, 若, 则的形状为 （ ）‎ A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理可得，结合三角形内角和定理与诱导公式可得，从而可得结果.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以由正弦定理可得，‎ ‎，‎ 所以，所以是直角三角形.‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.‎ ‎2.已知向量满足,则与的夹角( )‎ A. 150° B. 120° C. 60° D. 30°‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将两边平方求解即可.‎ ‎【详解】由有.‎ 解得.因为,故120°.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了向量模长运算方法, 需要平方后利用向量数量积的公式求解,属于基础题型.‎ ‎3.已知△ABC三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=1，则B的大小为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将条件化简整理得，再通过余弦定理便可求得角B的大小．‎ ‎【详解】解：‎ 两边同时除以得 ‎，故选B ‎【点睛】本题考查了余弦定理的知识，解题的关键是要将题中的条件进行转化变形，变成余弦定理的形式，进而解决问题．‎ ‎4.已知，且四边形ABCD为平行四边形，则（ ）.‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量的减法以及向量相等即可求解.‎ ‎【详解】易知，而在平行四边形ABCD中，，‎ 所以，即，也即。‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了向量的减法、向量相等，考查了向量中的基本知识，属于基础题.‎ ‎5.设中边上的中线为，点满足，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出图形，利用、表示，然后利用平面向量减法的三角形法则可得出可得出结果.‎ ‎【详解】如下图所示：‎ 为的中点，则，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查利用基底表示向量，考查了平面向量减法和加法三角形法则的应用，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎6.已知非零向量满足，且，则与的夹角为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．‎ ‎【详解】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B．‎ ‎【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为．‎ ‎7.若平面向量与的夹角为，，，则向量的模为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎，，又，，则，故选 ‎8.已知复数（为虚数单位），则复数的虚部是（ ）‎ A. 1 B. ‎-1 ‎C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据复数代数形式的运算性质化简求出复数，再根据虚部的定义即可求出答案．‎ ‎【详解】解：∵，‎ ‎∴复数的虚部是，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查复数代数形式的运算性质以及虚部的定义，属于基础题．‎ ‎9.若复数，其中i为虚数单位，则=‎ A. 1+i B. 1−i C. −1+i D. −1−i ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：，选B.‎ ‎【考点】复数的运算，复数的概念 ‎【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，一般考查复数运算与概念或复数的几何意义，也是考生必定得分的题目之一.‎ ‎10.若复数则的虚部为（ ）‎ A. -4 B. C. 4 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的除法可先求出，然后再计算，从而可得其虚部.‎ ‎【详解】因为，所以，，故选C.‎ ‎【点睛】本题考查复数的除法运算及复数的概念，属于基础题.‎ ‎11.如图，是水平放置的的直观图，，，则 的面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出的实物图，即可计算出的面积.‎ ‎【详解】由斜二测画法可知，的实物图如下图所示：‎ 可知，，且，因此，的面积为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查由直观图计算原图形的面积，一般将图形还原，或者利用直观图和原图形面积之间的倍数关系来进行计算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎12.如图，正方形的边长为‎1cm，它是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，则原图形的周长是（ ）‎ A. ‎8cm B. ‎6cm C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将直观图还原为平面图形是平行四边形，然后计算．‎ ‎【详解】解：将直观图还原为平面图形，如图所示.‎ ‎＝，，所以，‎ 所以原图形的周长为‎8cm，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查斜二测画法，掌握斜二测画法的定义是解题关键．根据斜二测画法的定义才能根据直观图中直线的位置关系确定原图形中直线的位置关系，从而解决原图形中的问题．‎ 第II卷（非选择题)‎ 二、填空题（每小题4分，共20分.）‎ ‎13.已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径．‎ ‎【详解】由题意四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，借助勾股定理，可知四棱锥的高为，.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，圆柱的底面半径为，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为，故圆柱的体积为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了圆柱与四棱锥的组合，考查了空间想象力，属于基础题.‎ ‎14.已知复数z满足等式，则的最大值为______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意画出图形，数形结合得答案．‎ ‎【详解】|z﹣1﹣i|＝1的几何意义为复平面内动点到定点（1，1）距离为1的点的轨迹，‎ 如图：‎ ‎|z﹣3|可以看作圆上点到点(3,0)的距离.‎ 由图可知，|z﹣3|的最大值为．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查复数模的求法，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．‎ ‎15.计算：____________ .‎ ‎【答案】16i ‎【解析】‎ 由题意可得：‎ ‎16.已知，，实数满足，则________.‎ ‎【答案】1或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量模的坐标计算，可得结果.‎ ‎【详解】由题意可得：‎ ‎,‎ ‎,‎ 解得或.‎ 故答案为：1或 ‎【点睛】本题主要考查向量模坐标计算，属基础题.‎ ‎17.在平行四边形ABCD中, AD = 1,, E为CD的中点. 若, 则AB的长为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设AB的长为，因为，，所以 ‎==+1+=1，‎ 解得，所以AB的长为.‎ ‎【考点定位】本小题主要考查平面向量的数量积等基础知识，熟练平面向量的基础知识是解答好本类题目的关键.‎ 三、解答题 ‎18.计算:‎ ‎(1);‎ ‎(2).‎ ‎【答案】(1) ;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先计算，再计算得到答案.‎ ‎（2）化简得到，再计算得到答案.‎ ‎【详解】(1)‎ ‎(2)‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算，意在考查学生的计算能力.‎ ‎19.设A，B，C，D为平面内的四点，且A（1，3），B（2，–2），C（4，1）．‎ ‎（1）若，求D点坐标；‎ ‎（2）设向量，，若k–与+3平行，求实数 的值．‎ ‎【答案】（1）D（5，–4）；（2）k=–．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）设D（x，y），‎ ‎∵A，B，C，D为平面内的四点，且A（1，3），B（2，–2），C（4，1）．如图，‎ ‎∴由，得（2，–2）–（1，3）=（x，y）–（4，1），‎ 即（1，–5）=（x–4，y–1），‎ ‎∴，解得x=5，y=–4，∴D（5，–4）．‎ ‎（2）∵=（1，–5），=（2，3），‎ ‎∴k–=k（1，–5）–（2，3）=（k，–5k）–（2，3）=（k–2，–5k–3），‎ 又+3=（1，–5）+3（2，3）=（1，–5）+（6，9）=（7，4），‎ 且k–与+3平行，‎ ‎∴7（–5k–3）–4（k–2）=0，解得k=–．‎ ‎∴实数k的值为–．‎ ‎20.已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.‎ ‎(1)若,求的值;‎ ‎(2)若,求b,c的值.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先求出，再利用正弦定理可得结果；‎ ‎(2)由求出，再利用余弦定理解三角形.‎ ‎【详解】(1)∵,且，‎ ‎∴，‎ 由正弦定理得，‎ ‎∴；‎ ‎(2)∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 由余弦定理得，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查正弦余弦定理解三角形，是基础题.‎ ‎21.已知平行四边形的三个顶点对应的复数为.‎ ‎（1）求点B所对应的复数；‎ ‎（2）若，求复数所对应的点的轨迹.‎ ‎【答案】（1）；（2）复数z对应点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆 ‎【解析】‎ 分析：（1）根据复数加法的几何意义，求得的坐标即可得到点B对应的复数．（2）根据复数模的意义可得复数z所对应的点的轨迹为圆，并可求得其方程．‎ 详解：（1）由已知得，‎ ‎∴，‎ ‎∴点对应的复数．‎ ‎（2）设复数所对应的点，‎ ‎∵，‎ ‎∴点到点的距离为1， ‎ ‎∴复数所对应的点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，‎ 且其方程为.‎ 点睛：本题考查复数的几何意义及其应用，解题的关键是正确理解和掌握“复数、复平面内的点、向量”之间的一一对应的关系，学会从形的角度认识复数．‎ ‎22.如图所示，用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台的上、下底面的面积之比为，截去的小圆锥的母线长是‎3cm，求圆台的母线长.‎ ‎【答案】‎‎9cm ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由圆锥平行于底面的截面的性质求解．‎ ‎【详解】解：设圆台的母线长为，由圆台的上、下底面的面积之比为，可设圆台的上、下底面半径分别为，.‎ 过旋转作截面，如图所示，‎ 则，所以.‎ 又，所以，解得，‎ 即圆台的母线长为‎9cm.‎ ‎【点睛】本题考查圆锥的性质，掌握圆锥平行于底面的性质是解题关键．圆锥平行于底面的截面与底面的面积比等于截得小圆锥的高与原圆锥高的平方比．‎ ‎23.如图,正方形的边长为‎1cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图.请画出原来的平面图形的形状,并求原图形的周长与面积.‎ ‎ ‎ ‎【答案】原图见解析,,‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直观图与原图像的边角关系建系画图即可.‎ ‎【详解】如图,建立平面直角坐标系xOy,在x轴上取;在y轴上取;在过点Bx轴的平行线上取.‎ ‎ ‎ 连接O,A,B,C各点,即得到原图形.易知,四边形OABC为平行四边形,,‎ 平行四边形OABC的周长为,面积.‎ ‎【点睛】本题主要考查了直观图的画法与四边形面积和周长的求法,属于基础题型.‎