- 1.67 MB
- 2021-06-16 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
河北省石家庄二中2019-2020学年高一下学期期中考试
数学试题
一、选择题
1.若a,b,c为实数,且a<b<0,则下列命题中正确的是( )
A. ac2<bc2 B. a2>ab>b2
C. < D. >
【答案】B
【解析】A选项,若,则,故不正确;
B选项,,,且,,故正确;
C选项,,,,故错误;
D选项,,,,故错误;
故选B.
2.设为等差数列的前项和.若,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】,,
,解得:,
,
故选:A.
3.如图,四棱锥的底面为正方形,,则下列结论中不正确的是( )
A. B.
C. 平面平面 D.
【答案】D
【解析】,在平面的射影与垂直,则,
A正确;
在平面的射影与垂直,则,B正确;
利用上述垂直可得平面,从而有平面平面,C正确;
若,则垂直在平面内的射影,这是不可能的,D错误.
故选:D.
4.若函数当且仅当时取得最小值,则实数的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】,等号成立当且仅当,
,解得:,
故选:C.
5.在正方体中,分别为,的中点,则异面直线所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图所示,取的中点,连接,
,为异面直线所成的角,
,
故选:D.
6.在中, ,则的形状为( )
A. 正三角形 B. 直角三角形
C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】B
【解析】因为,,所以,有.
整理得,故, 的形状为直角三角形.
故选:B.
7.一直三棱柱的每条棱长都是,且每个顶点都在球的表面上,则球的表面积为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图所示的直三棱柱,为三角形的中心,为三角形的中心,
连结,则三棱柱外接球的球心为的中点,
,
,
故选:C.
8.已知数列是首项为,公比为的等比数列,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得:,
当时,,
当时,,
当时,,
等于,
故选:A.
9.的三个内角所对的边分别为,已知,,求的取值范围( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】,
,
,,
,
故选:C.
10.已知数列的前项和为,,若存在两项,,使得,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】,,
两式相减得:,
,
,
,,
且,或或或
当时,,
当时,,
当时,,
当时,,
的最小值为,
故选:A.
二、多选题
11.设等差数列的前项和为,公差为,且满足,,则对描述正确的有( )
A. 是唯一最小值 B. 是最小值
C. D. 是最大值
【答案】CD
【解析】,,
设,则点在抛物线上,
抛物线的开口向下,对称轴为,
且为的最大值,
,
,
故选:CD.
12.在中,D在线段上,且若,则( )
A. B. 的面积为8
C. 的周长为 D. 为钝角三角形
【答案】BCD
【解析】因为,所以,故A错误;
设,则,在中,,解得,所以,
所以,故B正确;
因为,所以,
在中,,解得,
所以,故C正确;
因为为最大边,所以,即为钝角,所以为钝角三角形,故D正确.
故选:BCD
二、填空题
13.已知数列满足,,则通项______.
【答案】
【解析】,,且,
是以1为首项,3为公差的等差数列,,
,故答案为:.
14.函数,则不等式的解集为______.
【答案】
【解析】原不等式或,
解得:或,
原不等式的解集为,
故答案为:.
15.在中,边所对的角分别为.的面积满足,若,则______.
【答案】
【解析】,,
,
,,
,
故答案为:.
16.对于数列,定义为的“优值”,现已知某数列的“优值”,记数列的前项和为,则______.
【答案】
【解析】,且,
,
,
两式相减得:,
当时,也符合上式,
,
,
故答案为:.
三、解答题
17.已知a,b,c分别是的内角A,B,C的对边,且.
(1)求.
(2)若,,求的面积.
解:(1)∵,
∴.
由正弦定理得
,
∴.
(2)由(1)可得,
∵且为三角形的内角,∴,
由余弦定理,可得,
∴,
解得或(舍去),
∴.
18.已知等差数列中,,且依次成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,数列的前项和为,若,求的值.
解:(1)设数列的公差为,
因为,所以,解得,
因为依次成等比数列,所以,
即,解得,
所以;
(2)由(1)知,
所以,
所以,
由,
得.
19.如图,在四棱锥中,底面是直角梯形,,∥,平面,,.
(1)求证:平面平面;
(2)求点到平面的距离.
解:(1)证明:由已知得,,
,
∴,∴,
∵平面,平面,∴,
∵,∴平面,
∵平面,∴平面平面.
(2)解:由(1)得平面,∴,
,,
设点到平面的距离为,
∵,
∴,
∴,
解得,
∴点到平面的距离为.
20.法国数学家费马被称为业余数学之王,很多数学定理以他的名字命名.对而言,若其内部的点P满足,则称P为的费马点.如图所示,在中,已知,设P为的费马点,且满足,.
(1)求的面积;
(2)求PB的长度.
解:(1)由已知,所以.
在中,,故.
所以的面积.
(2)在中,由正弦定理(*)
而,
代入(*)式得.
21.等差数列的公差为2, 分别等于等比数列的第2项,第3项,第4项.
(1)求数列和的通项公式;
(2)若数列满足,求数列的前2020项的和.
解:(1)依题意得: ,
所以 ,
所以
解得
设等比数列的公比为,所以
又
(2)由(1)知,
因为 ①
当时 ②
由①②得,,即,
又当时,不满足上式,
.
数列的前2020项的和
设 ③,
则 ④,
由③④得:
,
所以,
所以.
22.如图,在三棱锥中,,在底面上的射影在上,于.
(1)求证:∥平面;
(2)若,求直线与平面所成角的余弦值.
解:(1)证明:因为,所以分别是的中点,
所以,从而平面
(2)解:在中过作的垂线,垂足,
,
平面,平面,
平面平面,平面平面,平面,
,平面,
即所求线面角,
由是的中点,得
设,,则,,
,,
所以所求线面角的正弦值为,所以余弦值为.