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- 2021-06-16 发布
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第1讲 变化率与导数、导数的计算
一、知识梳理
1.导数的概念
(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数
一般地,称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率 = 为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′|x=x0,即f′(x0)= = .
[提醒] f′(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值;(f(x0))′是函数值f(x0)的导数,而函数值f(x0)是一个常量,其导数一定为0,即(f(x0))′=0.
(2)导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点P(x0,y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数).相应地,切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0).
(3)函数f(x)的导函数
称函数f′(x)= 为f(x)的导函数.
2.基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)=c(c为常数)
f′(x)=0
f(x)=xn(n∈Q*)
f′(x)=nxn-1
f(x)=sin x
f′(x)=cos x
f(x)=cos x
f′(x)=-sin x
f(x)=ax
(a>0且a≠1)
f′(x)=axln a
f(x)=ex
f′(x)=ex
f(x)=logax
(x>0,a>0且a≠1)
f′(x)=
f(x)=ln x
(x>0)
f′(x)=
3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x).
(2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x).
(3)′=(g(x)≠0).
[提醒] 求导常见易错点:①公式(xn)′=nxn-1与(ax)′=axln a相互混淆;②公式中“+”“-”号记混,如出现如下错误:′=,(cos x)′=sin x.
常用结论
1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数.周期函数的导数还是周期函数.
2.函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.
二、教材衍化
1.已知函数f(x)=2xf′(1)+xln x,则f′(1)=( )
A.e B.1
C.-1 D.-e
答案:C
2.设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )
A.y=-2x B.y=-x
C.y=2x D.y=x
解析:选D.因为函数f(x)是奇函数,所以a-1=0,得a=1,所以f(x)=x3+x,f′(x)=3x2+1,所以f′(0)=1,f(0)=0,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y-f(0)=f′(0)x,即y=x.故选D.
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)f′(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率.( )
(2)求f′(x0)时,可先求f(x0),再求f′(x0).( )
(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( )
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( )
(5)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与过点P(x0,y0)的切线相同.( )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
二、易错纠偏
(1)混淆平均变化率与导数的区别;
(2)导数的运算法则运用不正确.
1.函数f(x)=x2在区间[1,2]上的平均变化率为 ,在x=2处的导数为 .
解析:函数f(x)=x2在区间[1,2]上的平均变化率为=3;因为f′(x)=2x,所以f(x)在x=2处的导数为2×2=4.
答案:3 4
2.函数y=的导函数为 .
解析:y′==.
答案:y′=
导数的运算(多维探究)
角度一 求已知函数的导数
求下列函数的导数:
(1)y=x2sin x;
(2)y=ln x+.
【解】 (1)y′=(x2)′sin x+x2(sin x)′=2xsin x+x2cos x.
(2)y′=′=(ln x)′+′=-.
[注意] 求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错;遇到函数的商的形式时,如能化简则先化简,这样可避免使用商的求导法则,减少运算量.
角度二 求抽象函数的导数值
已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足关系式f(x)=x2+3xf′(2)+ln x,则f′(2)= .
【解析】 因为f(x)=x2+3xf′(2)+ln x,所以f′(x)=2x+3f′(2)+,所以f′(2)=4+3f′(2)+=3f′(2)+,所以f′(2)=-.
【答案】 -
对解析式中含有导数值的函数,即解析式类似f(x)=f′(x0)g(x)+h(x)(x0为常数)的函数,解决这类问题的关键是明确f′(x0)是常数,其导数值为0.因此先求导数f′(x),令x=x0,即可得到f′(x0)的值,进而得到函数解析式,求得所求导数值.
1.下列求导运算正确的是( )
A.′=x B.(x2ex)′=2x+ex
C.(xcos x)′=-sin x D.′=1+
解析:选D.对于A:′=-·(ln x)′=-,
对于B:(x2ex)′=(x2+2x)ex,
对于C:(xcos x)′=cos x-xsin x,
对于D:′=1+.
2.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=3x2+2x·f′(2),则f′(5)=( )
A.2 B.4
C.6 D.8
解析:选C.由已知得,f′(x)=6x+2f′(2),
令x=2,得f′(2)=-12.
再令x=5,得f′(5)=6×5+2f′(2)=30-24=6.
3.求下列函数的导数:
(1)y=x(ln x+cos x);
(2)y=;
(3)y=ln x.
解:(1)y′=ln x+cos x+x=ln x+cos x-xsin x+1.
(2)y′==.
(3)y′=ln x+·=.
导数的几何意义(多维探究)
角度一 求切线方程
(2020·安徽合肥联考)已知曲线f(x)=ex+x2,则曲线在(0,f(0))处的切线与坐标轴围成的图形的面积为 .
【解析】 由题意,得f′(x)=ex+2x,所以f′(0)=1.又f(0)=1,所以曲线在(0,f(0))处的切线方程为y-1=1×(x-0),即x-y+1=0,所以该切线与x,y轴的交点分别为(-1,0),(0,1),所以该切线与坐标轴围成的图形的面积为×1×1=.
【答案】
求曲线切线方程的步骤
(1)求出函数y=f(x)在点x=x0处的导数,即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率.
(2)由点斜式方程求得切线方程为y-f(x0)=f′(x0)·(x-x0).
[注意] “过”与“在”:曲线y=f(x)“在点P(x0,y0)处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”的区别:前者P(x0,y0)为切点,而后者P(x0,y0)不一定为切点.
角度二 求切点坐标
若曲线y=xln x上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是 .
【解析】 设切点P的坐标为(x0,y0),因为y′=ln x+1,
所以切线的斜率k=ln x0+1,
由题意知k=2,得x0=e,代入曲线方程得y0=e.
故点P的坐标是(e,e).
【答案】 (e,e)
【迁移探究】 (变条件)若本例变为:若曲线y=xln x上点P处的切线与直线x+y+1=0垂直,则该切线的方程为 .
解析:设切点P的坐标为(x0,y0),
因为y′=ln x+1,由题意得ln x0+1=1,
所以ln x0=0,x0=1,即点P(1,0),
所以切线方程为y=x-1,即x-y-1=0.
答案:x-y-1=0
求切点坐标的思路
已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,再让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.
角度三 已知切线方程(或斜率)求参数值
(2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则( )
A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1
C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1
【解析】 因为y′=aex+ln x+1,所以y′|x=1=ae+1,所以切线方程为y-ae=(ae+1)(x-1),即y=(ae+1)x-1,与切线方程y=2x+b对照,可得解得故选D.
【答案】 D
处理与切线有关的参数问题,通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数:①切点处的导数是切线的斜率;②切点在切线上;③切点在曲线上.
1.(2019·高考全国卷Ⅱ)曲线y=2sin x+cos x在点(π,-1)处的切线方程为( )
A.x-y-π-1=0 B.2x-y-2π-1=0
C.2x+y-2π+1=0 D.x+y-π+1=0
解析:选C.依题意得y′=2cos x-sin x,y′|x=π=(2cos x-sin x)|x=π=2cos π-sin π=-2,因此所求的切线方程为y+1=-2(x-π),即2x+y-2π+1=0,故选C.
2.如图,已知直线l是曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线,则直线l的方程是 ;
f(2)+f′(2)的值为 .
解析:由图象可得直线l经过点(2,3)和(0,4),则直线l的斜率为k==-,可得直线l的方程为y=-x+4,即为x+2y-8=0;
由导数的几何意义可得f′(2)=-,则f(2)+f′(2)=3-=.
答案:x+2y-8=0
3.(2020·郑州市第一次质量预测)已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R)的图象与直线x-y+1=0相切,则实数a的值为 .
解析:设直线x-y+1=0与函数f(x)=ln x-ax的图象的切点为P(x0,y0),因为f′(x)=-a,所以由题意,得,解得a=-1.
答案:-1
核心素养系列7 数学运算——求曲线的切线方程
数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的过程.主要包括:理解运算对象,掌握运算法则,探究运算方向,选择运算方法,设计运算程序,求得运算结果等.
已知曲线y=x3上一点P,则过点P的切线方程为 .
【解析】 (1)当P为切点时,由y′=′=x2,
得y′|x=2=4,
即过点P的切线方程的斜率为4.
则所求的切线方程是y-=4(x-2),
即12x-3y-16=0;
(2)当P点不是切点时,设切点为Q(x0,y0),
则切线方程为y-x=x(x-x0),
因为切线过点P,把P点的坐标代入切线方程,
求得x0=-1或x0=2(即点P,舍去),
所以切点为Q,
即所求切线方程为3x-3y+2=0.
综上所述,过点P的切线方程为12x-3y-16=0或3x-3y+2=0.
【答案】 12x-3y-16=0或3x-3y+2=0
求曲线的切线问题时,要明晰所运算的对象(切线)涉及的点是“在”还是“过”,然后利用求切线方程的方法进行求解.
(1)“在”曲线上一点处的切线问题,先对函数求导,代入点的横坐标得到斜率.
(2)“过”曲线上一点的切线问题,此时该点未必是切点,故应先设切点,求切点坐标.
1.(2019·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是 .
解析:设A(m,n),则曲线y=ln x在点A处的切线方程为y-n=(x-m).
又切线过点(-e,-1),所以有n+1=(m+e).
再由n=ln m,解得m=e,n=1.
故点A的坐标为(e,1).
答案:(e,1)
2.(2020·安徽安庆期末改编)已知函数y=f(x)对任意的x∈R都有f(1-x)-2f(x)=x2-1,则f(-1)= ,曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线方程为 .
解析:由题可得解得f(x)=-x2+x+.所以f(-1)=-1,f′(x)=-2x+,所以f′(-1)=,所以曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线方程为y+1=(x+1),即8x-3y+5=0.
答案:-1 8x-3y+5=0
[基础题组练]
1.下列求导数的运算中错误的是( )
A.(3x)′=3xln 3
B.(x2ln x)′=2xln x+x
C.′=
D.(sin x·cos x)′=cos 2x
解析:选C.因为′=,C项错误.
2.已知曲线y=-3ln x的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为( )
A.3 B.2
C.1 D.
解析:选A.因为y′=-,令y′=,解得x=3,即切点的横坐标为3.
3.已知函数f(x)可导,则 等于( )
A.f′(x) B.f′(2)
C.f(x) D.f(2)
解析:选B.因为函数f(x)可导,
所以f′(x)= ,
所以 =f′(2).
4.函数g(x)=x3+x2+3ln x+b(b∈R)在x=1处的切线过点(0,-5),则b的值为( )
A. B.
C. D.
解析:选B.当x=1时,g(1)=1++b=+b,
又g′(x)=3x2+5x+,
所以切线斜率k=g′(1)=3+5+3=11,
从而切线方程为y=11x-5,
由于点在切线上,所以+b=11-5,
解得b=.故选B.
5.已知函数f(x)及其导数f′(x),若存在x0使得f(x0)=f′(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”.给出下列四个函数:①f(x)=x2;②f(x)=e-x;③f(x)=ln x;④f(x)=tan x.
其中有“巧值点”的函数的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:选B.对于①,若f(x)=x2,则f′(x)=2x,令x2=2x,得x=0或x=2,这个方程显然有解,故①符合要求;对于②,若f(x)=e-x,则f′(x)=-e-x,即e-x=-e-x,此方程无解,②不符合要求;对于③,若f(x)=ln x,则f′(x)=,若ln x=,利用数形结合法可知该方程存在实数解,③符合要求;对于④,若f(x)=tan x,则f′(x)=′=,令f(x)=f′(x),即sin xcos x=1,变形可sin 2x=2,无解,④不符合要求.故选B.
6.(2020·江西南昌一模)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,其导函数为f′(x),且f(ln x)=x+ln x,则f′(1)= .
解析:因为f(ln x)=x+ln x,所以f(x)=x+ex,
所以f′(x)=1+ex,所以f′(1)=1+e1=1+e.
答案:1+e
7.(2020·四川绵阳一诊改编)若函数f(x)=x3+(t-1)x-1的图象在点(-1,f(-1))处的切线平行于x轴,则t= ,切线方程为 .
解析:因为函数f(x)=x3+(t-1)x-1,所以f′(x)=3x2+t-1.因为函数f(x)的图象在点(-1,f(-1))处的切线平行于x轴,所以f′(-1)=3×(-1)2+t-1=2+t=0,解得t=-2.此时f(x)=x3-3x-1,f(-1)=1,切线方程为y=1.
答案:-2 y=1
8.已知函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为y=2x-1,则曲线g(x)=x2+f(x)在点(2,g(2))处的切线方程为 .
解析:由题意知,f(2)=2×2-1=3,所以g(2)=4+3=7,因为g′(x)=2x+f′(x),f′(2)=2,所以g′(2)=2×2+2=6,所以曲线g(x)=x2+f(x)在点(2,g(2))处的切线方程为y-7=6(x-2),即6x-y-5=0.
答案:6x-y-5=0
9.求下列函数的导数:
(1)y=(3x2-4x)(2x+1);
(2)y=sin(1-2cos2);
(3)y=.
解:(1)因为y=(3x2-4x)(2x+1)
=6x3+3x2-8x2-4x=6x3-5x2-4x,
所以y′=18x2-10x-4.
(2)因为y=sin(-cos)=-sin x,
所以y′=(-sin x)′=-(sin x)′=-cos x.
(3)y′==
=.
10.(2020·陕西延安模拟)已知曲线y=x3+x-2在点P0处的切线l1平行于直线4x-y-1=0,且点P0在第三象限.
(1)求P0的坐标;
(2)若直线l⊥l1,且l也过切点P0,求直线l的方程.
解:(1)由y=x3+x-2,得y′=3x2+1.
令3x2+1=4,解得x=±1.
当x=1时,y=0;当x=-1时,y=-4.
又点P0在第三象限,所以切点P0的坐标为(-1,-4).
(2)因为直线l⊥l1,l1的斜率为4,所以直线l的斜率为-.
因为l过切点P0,点P0的坐标为(-1,-4),
所以直线l的方程为y+4=-(x+1),
即x+4y+17=0.
[综合题组练]
1.如图,y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g′(x)是g(x)的导函数,则g′(3)=( )
A.-1 B.0
C.3 D.4
解析:选B.由题图可知曲线y=f(x)在x=3处切线的斜率为-,即f′(3)=-,又g(x)=xf
(x),g′(x)=f(x)+xf′(x),g′(3)=f(3)+3f′(3),由题图可知f(3)=1,所以g′(3)=1+3×=0.
2.(2020·成都第二次诊断检测)若曲线y=f(x)=ln x+ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线,则实数a的取值范围是( )
A. B.
C.(0,+∞) D.[0,+∞)
解析:选D.f′(x)=+2ax=(x>0),根据题意有f′(x)≥0(x>0)恒成立,所以2ax2+1≥0(x>0)恒成立,即2a≥-(x>0)恒成立,所以a≥0,故实数a的取值范围为[0,+∞).故选D.
3.已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R).
(1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a,b的值;
(2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取值范围.
解:f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).
(1)由题意得
解得b=0,a=-3或a=1.
(2)因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,
所以关于x的方程f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根,
所以Δ=4(1-a)2+12a(a+2)>0,
即4a2+4a+1>0,
所以a≠-.
所以a的取值范围为∪.
4.已知抛物线C:y=-x2+x-4,过原点O作C的切线y=kx,使切点P在第一象限.
(1)求k的值;
(2)过点P作切线的垂线,求它与抛物线的另一个交点Q的坐标.
解:(1)设点P的坐标为(x1,y1),
则y1=kx1,①
y1=-x+x1-4,②
将①代入②得x+x1+4=0.
因为P为切点,
所以Δ=-16=0,得k=或k=.
当k=时,x1=-2,y1=-17.
当k=时,x1=2,y1=1.
因为P在第一象限,
所以k=.
(2)过P点作切线的垂线,
其方程为y=-2x+5.③
将③代入抛物线方程得,
x2-x+9=0.
设Q点的坐标为(x2,y2),则2x2=9,
所以x2=,y2=-4.
所以Q点的坐标为.