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  • 2021-06-16 发布

【数学】2021届一轮复习北师大版(文)第三章 第1讲 变化率与导数、导数的计算学案

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第1讲 变化率与导数、导数的计算 一、知识梳理 ‎1.导数的概念 ‎(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数 一般地,称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率 = 为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′|x=x0,即f′(x0)= = .‎ ‎[提醒] f′(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值;(f(x0))′是函数值f(x0)的导数,而函数值f(x0)是一个常量,其导数一定为0,即(f(x0))′=0.‎ ‎(2)导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点P(x0,y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数).相应地,切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0).‎ ‎(3)函数f(x)的导函数 称函数f′(x)= 为f(x)的导函数.‎ ‎2.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)=c(c为常数)‎ f′(x)=0‎ f(x)=xn(n∈Q*)‎ f′(x)=nxn-1‎ f(x)=sin x f′(x)=cos x f(x)=cos x f′(x)=-sin x f(x)=ax ‎(a>0且a≠1)‎ f′(x)=axln a f(x)=ex f′(x)=ex f(x)=logax ‎(x>0,a>0且a≠1)‎ f′(x)= f(x)=ln x ‎(x>0)‎ f′(x)= ‎3.导数的运算法则 ‎(1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x).‎ ‎(2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x).‎ ‎(3)′=(g(x)≠0).‎ ‎[提醒] 求导常见易错点:①公式(xn)′=nxn-1与(ax)′=axln a相互混淆;②公式中“+”“-”号记混,如出现如下错误:′=,(cos x)′=sin x.‎ 常用结论 ‎1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数.周期函数的导数还是周期函数.‎ ‎2.函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.‎ 二、教材衍化 ‎ ‎1.已知函数f(x)=2xf′(1)+xln x,则f′(1)=(  )‎ A.e          B.1‎ C.-1 D.-e 答案:C ‎2.设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为(  )‎ A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x 解析:选D.因为函数f(x)是奇函数,所以a-1=0,得a=1,所以f(x)=x3+x,f′(x)=3x2+1,所以f′(0)=1,f(0)=0,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y-f(0)=f′(0)x,即y=x.故选D.‎ 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)f′(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率.(  )‎ ‎(2)求f′(x0)时,可先求f(x0),再求f′(x0).(  )‎ ‎(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.(  )‎ ‎(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(  )‎ ‎(5)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与过点P(x0,y0)的切线相同.(  )‎ 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×‎ 二、易错纠偏 (1)混淆平均变化率与导数的区别;‎ ‎(2)导数的运算法则运用不正确.‎ ‎1.函数f(x)=x2在区间[1,2]上的平均变化率为 ,在x=2处的导数为 .‎ 解析:函数f(x)=x2在区间[1,2]上的平均变化率为=3;因为f′(x)=2x,所以f(x)在x=2处的导数为2×2=4.‎ 答案:3 4‎ ‎2.函数y=的导函数为 .‎ 解析:y′==.‎ 答案:y′= ‎      导数的运算(多维探究)‎ 角度一 求已知函数的导数 ‎ 求下列函数的导数:‎ ‎(1)y=x2sin x;‎ ‎(2)y=ln x+.‎ ‎【解】 (1)y′=(x2)′sin x+x2(sin x)′=2xsin x+x2cos x.‎ ‎(2)y′=′=(ln x)′+′=-.‎ ‎[注意] 求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错;遇到函数的商的形式时,如能化简则先化简,这样可避免使用商的求导法则,减少运算量.‎ 角度二 求抽象函数的导数值 ‎ 已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足关系式f(x)=x2+3xf′(2)+ln x,则f′(2)= .‎ ‎【解析】 因为f(x)=x2+3xf′(2)+ln x,所以f′(x)=2x+3f′(2)+,所以f′(2)=4+3f′(2)+=3f′(2)+,所以f′(2)=-.‎ ‎【答案】 - 对解析式中含有导数值的函数,即解析式类似f(x)=f′(x0)g(x)+h(x)(x0为常数)的函数,解决这类问题的关键是明确f′(x0)是常数,其导数值为0.因此先求导数f′(x),令x=x0,即可得到f′(x0)的值,进而得到函数解析式,求得所求导数值.‎ ‎1.下列求导运算正确的是(  )‎ A.′=x      B.(x2ex)′=2x+ex C.(xcos x)′=-sin x D.′=1+ 解析:选D.对于A:′=-·(ln x)′=-,‎ 对于B:(x2ex)′=(x2+2x)ex,‎ 对于C:(xcos x)′=cos x-xsin x,‎ 对于D:′=1+.‎ ‎2.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=3x2+2x·f′(2),则f′(5)=(  )‎ A.2 B.4‎ C.6 D.8‎ 解析:选C.由已知得,f′(x)=6x+2f′(2),‎ 令x=2,得f′(2)=-12.‎ 再令x=5,得f′(5)=6×5+2f′(2)=30-24=6.‎ ‎3.求下列函数的导数:‎ ‎(1)y=x(ln x+cos x);‎ ‎(2)y=;‎ ‎(3)y=ln x.‎ 解:(1)y′=ln x+cos x+x=ln x+cos x-xsin x+1.‎ ‎(2)y′==.‎ ‎(3)y′=ln x+·=.‎ ‎      导数的几何意义(多维探究)‎ 角度一 求切线方程 ‎ (2020·安徽合肥联考)已知曲线f(x)=ex+x2,则曲线在(0,f(0))处的切线与坐标轴围成的图形的面积为 .‎ ‎【解析】 由题意,得f′(x)=ex+2x,所以f′(0)=1.又f(0)=1,所以曲线在(0,f(0))处的切线方程为y-1=1×(x-0),即x-y+1=0,所以该切线与x,y轴的交点分别为(-1,0),(0,1),所以该切线与坐标轴围成的图形的面积为×1×1=.‎ ‎【答案】  求曲线切线方程的步骤 ‎(1)求出函数y=f(x)在点x=x0处的导数,即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率.‎ ‎(2)由点斜式方程求得切线方程为y-f(x0)=f′(x0)·(x-x0).‎ ‎[注意] “过”与“在”:曲线y=f(x)“在点P(x0,y0)处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”的区别:前者P(x0,y0)为切点,而后者P(x0,y0)不一定为切点.‎ 角度二 求切点坐标 ‎ 若曲线y=xln x上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是 .‎ ‎【解析】 设切点P的坐标为(x0,y0),因为y′=ln x+1,‎ 所以切线的斜率k=ln x0+1,‎ 由题意知k=2,得x0=e,代入曲线方程得y0=e.‎ 故点P的坐标是(e,e).‎ ‎【答案】 (e,e)‎ ‎【迁移探究】 (变条件)若本例变为:若曲线y=xln x上点P处的切线与直线x+y+1=0垂直,则该切线的方程为 .‎ 解析:设切点P的坐标为(x0,y0),‎ 因为y′=ln x+1,由题意得ln x0+1=1,‎ 所以ln x0=0,x0=1,即点P(1,0),‎ 所以切线方程为y=x-1,即x-y-1=0.‎ 答案:x-y-1=0‎ 求切点坐标的思路 已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,再让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.‎ 角度三 已知切线方程(或斜率)求参数值 ‎ (2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则(  )‎ A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1‎ C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1‎ ‎【解析】 因为y′=aex+ln x+1,所以y′|x=1=ae+1,所以切线方程为y-ae=(ae+1)(x-1),即y=(ae+1)x-1,与切线方程y=2x+b对照,可得解得故选D.‎ ‎【答案】 D 处理与切线有关的参数问题,通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数:①切点处的导数是切线的斜率;②切点在切线上;③切点在曲线上.‎ ‎1.(2019·高考全国卷Ⅱ)曲线y=2sin x+cos x在点(π,-1)处的切线方程为(  )‎ A.x-y-π-1=0 B.2x-y-2π-1=0‎ C.2x+y-2π+1=0 D.x+y-π+1=0‎ 解析:选C.依题意得y′=2cos x-sin x,y′|x=π=(2cos x-sin x)|x=π=2cos π-sin π=-2,因此所求的切线方程为y+1=-2(x-π),即2x+y-2π+1=0,故选C.‎ ‎2.如图,已知直线l是曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线,则直线l的方程是 ;‎ f(2)+f′(2)的值为 .‎ 解析:由图象可得直线l经过点(2,3)和(0,4),则直线l的斜率为k==-,可得直线l的方程为y=-x+4,即为x+2y-8=0;‎ 由导数的几何意义可得f′(2)=-,则f(2)+f′(2)=3-=.‎ 答案:x+2y-8=0  ‎3.(2020·郑州市第一次质量预测)已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R)的图象与直线x-y+1=0相切,则实数a的值为 .‎ 解析:设直线x-y+1=0与函数f(x)=ln x-ax的图象的切点为P(x0,y0),因为f′(x)=-a,所以由题意,得,解得a=-1.‎ 答案:-1‎ 核心素养系列7 数学运算——求曲线的切线方程 数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的过程.主要包括:理解运算对象,掌握运算法则,探究运算方向,选择运算方法,设计运算程序,求得运算结果等.‎ ‎ 已知曲线y=x3上一点P,则过点P的切线方程为 .‎ ‎【解析】 (1)当P为切点时,由y′=′=x2,‎ 得y′|x=2=4,‎ 即过点P的切线方程的斜率为4.‎ 则所求的切线方程是y-=4(x-2),‎ 即12x-3y-16=0;‎ ‎(2)当P点不是切点时,设切点为Q(x0,y0),‎ 则切线方程为y-x=x(x-x0),‎ 因为切线过点P,把P点的坐标代入切线方程,‎ 求得x0=-1或x0=2(即点P,舍去),‎ 所以切点为Q,‎ 即所求切线方程为3x-3y+2=0.‎ 综上所述,过点P的切线方程为12x-3y-16=0或3x-3y+2=0.‎ ‎【答案】 12x-3y-16=0或3x-3y+2=0‎ 求曲线的切线问题时,要明晰所运算的对象(切线)涉及的点是“在”还是“过”,然后利用求切线方程的方法进行求解.‎ ‎(1)“在”曲线上一点处的切线问题,先对函数求导,代入点的横坐标得到斜率.‎ ‎(2)“过”曲线上一点的切线问题,此时该点未必是切点,故应先设切点,求切点坐标.‎ ‎1.(2019·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是 .‎ 解析:设A(m,n),则曲线y=ln x在点A处的切线方程为y-n=(x-m).‎ 又切线过点(-e,-1),所以有n+1=(m+e).‎ 再由n=ln m,解得m=e,n=1.‎ 故点A的坐标为(e,1).‎ 答案:(e,1)‎ ‎2.(2020·安徽安庆期末改编)已知函数y=f(x)对任意的x∈R都有f(1-x)-2f(x)=x2-1,则f(-1)= ,曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线方程为 .‎ 解析:由题可得解得f(x)=-x2+x+.所以f(-1)=-1,f′(x)=-2x+,所以f′(-1)=,所以曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线方程为y+1=(x+1),即8x-3y+5=0.‎ 答案:-1 8x-3y+5=0‎ ‎ [基础题组练]‎ ‎1.下列求导数的运算中错误的是(  )‎ A.(3x)′=3xln 3‎ B.(x2ln x)′=2xln x+x C.′= D.(sin x·cos x)′=cos 2x 解析:选C.因为′=,C项错误.‎ ‎2.已知曲线y=-3ln x的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为(  )‎ A.3           B.2‎ C.1 D. 解析:选A.因为y′=-,令y′=,解得x=3,即切点的横坐标为3.‎ ‎3.已知函数f(x)可导,则 等于(  )‎ A.f′(x) B.f′(2)‎ C.f(x) D.f(2)‎ 解析:选B.因为函数f(x)可导,‎ 所以f′(x)= ,‎ 所以 =f′(2).‎ ‎4.函数g(x)=x3+x2+3ln x+b(b∈R)在x=1处的切线过点(0,-5),则b的值为(  )‎ A. B. C. D. 解析:选B.当x=1时,g(1)=1++b=+b,‎ 又g′(x)=3x2+5x+,‎ 所以切线斜率k=g′(1)=3+5+3=11,‎ 从而切线方程为y=11x-5,‎ 由于点在切线上,所以+b=11-5,‎ 解得b=.故选B.‎ ‎5.已知函数f(x)及其导数f′(x),若存在x0使得f(x0)=f′(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”.给出下列四个函数:①f(x)=x2;②f(x)=e-x;③f(x)=ln x;④f(x)=tan x.‎ 其中有“巧值点”的函数的个数是(  )‎ A.1 B.2‎ C.3 D.4‎ 解析:选B.对于①,若f(x)=x2,则f′(x)=2x,令x2=2x,得x=0或x=2,这个方程显然有解,故①符合要求;对于②,若f(x)=e-x,则f′(x)=-e-x,即e-x=-e-x,此方程无解,②不符合要求;对于③,若f(x)=ln x,则f′(x)=,若ln x=,利用数形结合法可知该方程存在实数解,③符合要求;对于④,若f(x)=tan x,则f′(x)=′=,令f(x)=f′(x),即sin xcos x=1,变形可sin 2x=2,无解,④不符合要求.故选B.‎ ‎6.(2020·江西南昌一模)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,其导函数为f′(x),且f(ln x)=x+ln x,则f′(1)= .‎ 解析:因为f(ln x)=x+ln x,所以f(x)=x+ex,‎ 所以f′(x)=1+ex,所以f′(1)=1+e1=1+e.‎ 答案:1+e ‎7.(2020·四川绵阳一诊改编)若函数f(x)=x3+(t-1)x-1的图象在点(-1,f(-1))处的切线平行于x轴,则t= ,切线方程为 .‎ 解析:因为函数f(x)=x3+(t-1)x-1,所以f′(x)=3x2+t-1.因为函数f(x)的图象在点(-1,f(-1))处的切线平行于x轴,所以f′(-1)=3×(-1)2+t-1=2+t=0,解得t=-2.此时f(x)=x3-3x-1,f(-1)=1,切线方程为y=1.‎ 答案:-2 y=1‎ ‎8.已知函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为y=2x-1,则曲线g(x)=x2+f(x)在点(2,g(2))处的切线方程为 .‎ 解析:由题意知,f(2)=2×2-1=3,所以g(2)=4+3=7,因为g′(x)=2x+f′(x),f′(2)=2,所以g′(2)=2×2+2=6,所以曲线g(x)=x2+f(x)在点(2,g(2))处的切线方程为y-7=6(x-2),即6x-y-5=0.‎ 答案:6x-y-5=0‎ ‎9.求下列函数的导数:‎ ‎(1)y=(3x2-4x)(2x+1);‎ ‎(2)y=sin(1-2cos2);‎ ‎(3)y=.‎ 解:(1)因为y=(3x2-4x)(2x+1)‎ ‎=6x3+3x2-8x2-4x=6x3-5x2-4x,‎ 所以y′=18x2-10x-4.‎ ‎(2)因为y=sin(-cos)=-sin x,‎ 所以y′=(-sin x)′=-(sin x)′=-cos x.‎ ‎(3)y′== ‎=.‎ ‎10.(2020·陕西延安模拟)已知曲线y=x3+x-2在点P0处的切线l1平行于直线4x-y-1=0,且点P0在第三象限.‎ ‎(1)求P0的坐标;‎ ‎(2)若直线l⊥l1,且l也过切点P0,求直线l的方程.‎ 解:(1)由y=x3+x-2,得y′=3x2+1.‎ 令3x2+1=4,解得x=±1.‎ 当x=1时,y=0;当x=-1时,y=-4.‎ 又点P0在第三象限,所以切点P0的坐标为(-1,-4).‎ ‎(2)因为直线l⊥l1,l1的斜率为4,所以直线l的斜率为-.‎ 因为l过切点P0,点P0的坐标为(-1,-4),‎ 所以直线l的方程为y+4=-(x+1),‎ 即x+4y+17=0.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1.如图,y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g′(x)是g(x)的导函数,则g′(3)=(  )‎ A.-1 B.0‎ C.3 D.4‎ 解析:选B.由题图可知曲线y=f(x)在x=3处切线的斜率为-,即f′(3)=-,又g(x)=xf ‎(x),g′(x)=f(x)+xf′(x),g′(3)=f(3)+3f′(3),由题图可知f(3)=1,所以g′(3)=1+3×=0.‎ ‎2.(2020·成都第二次诊断检测)若曲线y=f(x)=ln x+ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线,则实数a的取值范围是(  )‎ A. B. C.(0,+∞) D.[0,+∞)‎ 解析:选D.f′(x)=+2ax=(x>0),根据题意有f′(x)≥0(x>0)恒成立,所以2ax2+1≥0(x>0)恒成立,即2a≥-(x>0)恒成立,所以a≥0,故实数a的取值范围为[0,+∞).故选D.‎ ‎3.已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R).‎ ‎(1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a,b的值;‎ ‎(2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取值范围.‎ 解:f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).‎ ‎(1)由题意得 解得b=0,a=-3或a=1.‎ ‎(2)因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,‎ 所以关于x的方程f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根,‎ 所以Δ=4(1-a)2+12a(a+2)>0,‎ 即4a2+4a+1>0,‎ 所以a≠-.‎ 所以a的取值范围为∪.‎ ‎4.已知抛物线C:y=-x2+x-4,过原点O作C的切线y=kx,使切点P在第一象限.‎ ‎(1)求k的值;‎ ‎(2)过点P作切线的垂线,求它与抛物线的另一个交点Q的坐标.‎ 解:(1)设点P的坐标为(x1,y1),‎ 则y1=kx1,①‎ y1=-x+x1-4,②‎ 将①代入②得x+x1+4=0.‎ 因为P为切点,‎ 所以Δ=-16=0,得k=或k=.‎ 当k=时,x1=-2,y1=-17.‎ 当k=时,x1=2,y1=1.‎ 因为P在第一象限,‎ 所以k=.‎ ‎(2)过P点作切线的垂线,‎ 其方程为y=-2x+5.③‎ 将③代入抛物线方程得,‎ x2-x+9=0.‎ 设Q点的坐标为(x2,y2),则2x2=9,‎ 所以x2=,y2=-4.‎ 所以Q点的坐标为.‎