吉林省桦甸四中、磐石一中、梅河口五中、蛟河实验中学等2020届高三4月联考数学（文）试题 Word版含解析 27页

www.ks5u.com 文科数学 注意事项：‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.‎ ‎2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置.‎ ‎3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.‎ ‎4.本试卷满分150分，测试时间120分钟.‎ ‎5.考试范围：高考全部内容.‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据对数函数的定义域和根式函数的值域求法，化简集合A，B，再利用集合的补集和交集的定义求解.‎ ‎【详解】，，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及对数函数的定义域和根式函数值域的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎2.已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】C ‎【解析】‎ - 27 -‎ ‎【分析】‎ 根据，通过乘除运算将化为的形式，再利用复数的几何意义求解.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ 复数在复平面内对应的点位于第三象限.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎3.已知角满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，求得，再求解.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查辅助角公式以及三角函数求值，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ - 27 -‎ ‎4.命题，，则为（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 由全称命题的否定是特称命题，即可容易求得.‎ ‎【详解】因为全称命题的否定是特称命题，‎ 且，，‎ 故：，.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查全称命题的否定的求解，属基础题.‎ ‎5.数列是等比数列，是其前项和，，，，则（ ）‎ A. B. 12 C. D. 13‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 设数列公比为，由列方程组，解得，或(舍)，，计算，，求和可得.‎ ‎【详解】设数列的公比为，由，‎ - 27 -‎ 得，解得，或(舍)，‎ ‎，，，.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查求解等比数列通项中的量及求和，根据等比数列通项公式列出方程组解得公比及首项，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎6.一只蚂蚁从正四面体的顶点出发，沿着正四面体的棱爬行，每秒爬一条棱，每次爬行的方向是随机的，则蚂蚁第1秒后到点，第4秒后又回到点的不同爬行路线有（ ）‎ A. 6条 B. 7条 C. 8条 D. 9条 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知，可作出树状图，利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解.‎ ‎【详解】根据已知，可作出下图，由图知，不同的爬行路线有7条.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于基础题.‎ ‎7.过点的直线与抛物线交于两点，，则面积的最小值为（ ）‎ - 27 -‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出直线的方程，以及两点的坐标，联立抛物线方程，利用韦达定理求得，再利用，将问题转化为求函数的最小值，即可容易求得.‎ ‎【详解】设直线方程为，，，‎ 由，得，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 当且仅当时，即直线方程为时，取得最小值.‎ 面积的最小值为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线中三角形面积的范围问题，处理问题的关键是将三角形面积转化为求函数的最值.属中档题.‎ ‎8.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ - 27 -‎ ‎【分析】‎ 根据三视图，还原几何体，可知几何体为四棱锥，通过三视图确定基本量代入体积公式即可.‎ ‎【详解】根据三视图，可知几何体为如图所示的四棱锥，‎ 所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查立体几何三视图及体积的求法，根据三视图还原几何体可借助长方体或正方体，考查空间推理能力及直观想象能力，属于中等题.‎ ‎9.在某研究所做的一次实验中，得到了大量实验数据，剔除掉一些不合理数据后，得到了四组数据，，，，则由这四组数据，可以得到与之间的回归方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线性回归直线方程必过样本中心点，排除部分选项，再根据与呈正相关求解.‎ ‎【详解】由四组样本数据，可得样本中心点为.‎ 线性回归直线方程必过样本中心点，‎ 排除选项C、D，‎ 又与呈正相关，‎ ‎.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查线性回归分析，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.‎ - 27 -‎ ‎10.已知定义在上的函数满足，当时，，若方程在上恰好有两个实数根，则正实数的值为（ ）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据可知，函数为偶函数，周期为2，且图象关于直线对称.根据时，，作出函数的图象，转化为函数与的图象在轴右侧有两个交点问题求解.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以函数为偶函数，周期为2，且图象关于直线对称.‎ 因为时，，‎ 作出函数的图象，如图所示.‎ 方程在上恰好有两个实数根，‎ 函数与的图象在轴右侧有两个交点.‎ 设与相切时，切点的坐标为，‎ 由，得，解得，‎ 由图象可知，当直线过点时，方程在上恰好有两个实数根，‎ ‎.‎ - 27 -‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查导数与函数的零点，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎11.我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”中，，､分别是和的中点，则平面截“堑堵”所得截面图形的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 延长，与的延长线交于点，则平面.连接，与交于点，连接，可得截面图形，然后计算其面积.‎ ‎【详解】延长，与的延长线交于点，则平面.连接，与交于点，连接，得到的四边形就是平面截“堑堵”所得截面图形.由已知可求得：,‎ 由∽，可得,‎ ‎,‎ ‎.‎ - 27 -‎ ‎∴截面面积.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查作出平面截空间立体几何图形的截面并计算其面积，属于中档题.‎ ‎12.已知函数在上有两个零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将方程在上有两个解，转化为在上有两个解，设，用导数法研究其值域即可.‎ ‎【详解】因为方程在上有两个解，‎ 即在上有两个解，‎ 设，则，‎ 在上为增函数，且，‎ 当时，，单调递减，‎ 当时，，单调递增.‎ 又，，时，，‎ - 27 -‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查导数与函数的零点，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13.已知函数，直线与函数的图象相切，为正实数，则的值为______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出切点坐标为，对原函数求导，利用导函数与切线斜率可解得，或，代入函数方程，，或，即得到切点坐标为，或，将切点坐标代入直线方程，得的值.‎ ‎【详解】设切点坐标为，‎ ‎，，‎ 解得，或，‎ ‎，或，即切点坐标为，或，‎ 代入直线方程，得，或，‎ 又为正实数，.‎ 故答案为：2.‎ ‎【点睛】本题考查导数与切线方程的综合运用，根据导数几何意义与切线斜率的关系建立方程求解即可，属于简单题.‎ - 27 -‎ ‎14.若，满足约束条件，则的最大值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件，作出可行域，分析出可行域在直线的同侧，然后利用目标函数的几何意义可求解.‎ ‎【详解】由线性约束条件，得到图中所在的区域，‎ 在图中做出直线，可以看出三角形区域的所有点都在直线的同一侧，‎ 所以当直线平移经过点时，取得最大值.‎ 由，解得，代入，得.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查简单线性规划问题，属于中档题.‎ ‎15.在中，，为线段上任意一点，若，则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据和 ， 得到，由为线段 - 27 -‎ 上任意一点，得到.根据，利用其几何意义表示点与点距离的平方求解.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ 三点共线，‎ ‎，即.‎ ‎，表示点与点距离的平方，‎ 点到线段上点的最小距离为与的距离，‎ ‎.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量与解析几何，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎16.已知､为双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若内切圆的圆心为，则圆心到圆上任意一点的距离的最小值为____________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设内切圆与的三边､､的切点分别为､､，根据圆的切线性质，可得，即可得答案.‎ - 27 -‎ ‎【详解】由双曲线，则 .‎ 设内切圆与的三边､､的切点分别为､､，‎ 根据圆的切线性质，可得，‎ 又因为，∴，即，‎ ‎∴内切圆圆心在直线上.又因为圆的圆心为，半径，‎ ‎∴圆心到圆上任意一点的距离的最小值为.‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，属于中档题.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.在锐角中，角所对的边分别是，，.‎ ‎（1）求面积的最大值；‎ ‎（2）设的周长为，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据，利用商数关系得到，‎ 再利用两角差的余弦得到，根据，求得角，再根据，利用余弦定理几何基本不等式得到得到求解.‎ ‎（2）由正弦定理得到，，则有 - 27 -‎ ‎，利用正弦函数的性质求解.‎ ‎【详解】（1），‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 由余弦定理，得，‎ ‎，‎ ‎，‎ 面积的最大值为.‎ ‎（2）由正弦定理知：‎ ‎，‎ ‎，，‎ 又，‎ ‎，‎ ‎，‎ 为锐角三角形，‎ ‎，且，‎ - 27 -‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理，两角和与差的三角函数以及基本不等式在解三角形中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎18.双十一购物狂欢节，是指每年11月11日的网络促销日，源于淘宝商城(天猫)2009年11月11日举办的网络促销活动，已成为中国电子商务行业的年度盛事.某生产商为了了解其生产的产品在不同电商平台的销售情况，统计了两个电商平台各十个网络销售店铺的销售数据：‎ 电商平台 ‎64‎ ‎71‎ ‎81‎ ‎70‎ ‎79‎ ‎69‎ ‎82‎ ‎73‎ ‎75‎ ‎60‎ 电商平台 ‎60‎ ‎80‎ ‎97‎ ‎77‎ ‎96‎ ‎87‎ ‎76‎ ‎83‎ ‎94‎ ‎96‎ ‎（1）作出两个电商平台销售数据的茎叶图，根据茎叶图判断哪个电商平台的销售更好，并说明理由；‎ ‎（2）填写下面关于店铺个数的列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为销售量与电商平台有关；‎ 销售量 销售量 总计 电商平台 电商平台 总计 - 27 -‎ ‎（3）生产商要从这20个网络销售店铺销售量前五名的店铺中，随机抽取三个店铺进行销售返利，则其中恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率是多少？‎ 附：，.‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）茎叶图见解析，电商平台的销售更好，理由见解析（2）列联表答案见解析，没有的把握认为销售量与电商平台有关. （3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知数据作出茎叶图，由茎叶图可知，电商、电商平台销售量的中位数及平均数，可得电商平台的销售更好；‎ ‎（2）由题中数据，可将列联表补充完整，数据代入公式可得，故没有的把握认为销售量与电商平台有关；‎ ‎（3）由已知数据，从销售量前五名的店铺选取三个店铺共有10种情况，其中恰好有两个店铺的销售量在95以上的情况有6种，由古典概型求概率可得.‎ ‎【详解】（1）由已知数据作出茎叶图如下：‎ A电商平台 B电商平台 ‎9‎ ‎4‎ ‎0‎ ‎6‎ ‎0‎ ‎9‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎8‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎7‎ 由茎叶图可知：电商平台的销售更好，理由如下：‎ - 27 -‎ ‎①由茎叶图可知，电商平台销售量的中位数为72，电商平台销售量的中位数为85，因此电商平台的销售更好.‎ ‎②由茎叶图可求得电商平台销售量的平均数为72.4，电商平台销售量的平均数为84.6，因此电商平台的销售更好.‎ ‎（2）由题中数据，可得列联表如下：‎ 销售量0‎ 销售量 总计 电商平台 ‎2‎ ‎8‎ ‎10‎ 电商平台 ‎6‎ ‎4‎ ‎10‎ 总计 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ ‎，‎ 没有的把握认为销售量与电商平台有关.‎ ‎（3）由已知数据，销售量前五名的店铺，销售量分别为97，96，96，94，87.‎ 设对应的店铺分别为.‎ 从其中选取三个店铺共有10种情况，如下：，，，，，，，，.‎ 其中恰好有两个店铺的销售量在95以上的情况有6种：‎ ‎，，，，，.‎ 其中恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率.‎ ‎【点睛】本题为统计与概率综合问题，考查茎叶图、列联表、相关性分析、古典概型求概率等知识的应用，考查数据分析能力，属于中等题.‎ ‎19.如图①，平行四边形中，，，，为中点.将沿折起，使平面平面，得到如图②所示的四棱锥.‎ - 27 -‎ ‎ ‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）证明见解析.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在图中连接，由平面几何知识及勾股定理，可求得，在图②中，平面平面，可得平面，由此得证；‎ ‎（2）由题意，根据解三角形可得，，设点到平面的距离为，由等体积法，可求得点到平面的距离.‎ ‎【详解】（1）证明：在图中连接，由平面几何知识，可求得，，‎ 又，，‎ 在图②中，平面平面，且平面平面，‎ 平面，‎ 又平面，‎ 平面平面.‎ ‎（2）设为中点，连接，如图.‎ 由已知可得为等边三角形，，‎ 平面平面，‎ 平面，‎ ‎，‎ 在中，，，，‎ 由余弦定理求得，‎ - 27 -‎ ‎，‎ 在中，，，‎ ‎，‎ 又，‎ 设点到平面的距离为，‎ 由，‎ 得，‎ ‎，‎ 点到平面的距离为.‎ ‎【点睛】本题考查面面垂直的证明及点到平面的距离，面面垂直的证明考查定理的应用，点到平面的距离通常利用等体积转化法进行求解，属于中等题.‎ ‎20.在平面直角坐标系中，的顶点，，且、、成等差数列.‎ ‎（1）求的顶点的轨迹方程；‎ ‎（2）直线与顶点的轨迹交于两点，当线段的中点落在直线上时，试问：线段的垂直平分线是否恒过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.‎ - 27 -‎ ‎【答案】（1）（2）恒过定点；定点 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由正弦定理，结合椭圆定义，即可容易求得轨迹方程；‎ ‎（2）联立直线方程和椭圆方程，由韦达定理求得中点的坐标，根据其纵坐标为，即可求得的等量关系，再求出直线垂直平分线的方程，再求直线恒过的定点即可.‎ ‎【详解】（1）在中，，‎ 根据正弦定理，可得，且，‎ 由椭圆定义，可知顶点的轨迹为中心在原点，‎ 以为焦点的椭圆（不包括与轴交点）.‎ ‎，，，‎ 轨迹方程为.‎ ‎（2）设，， ‎ 由，得，‎ ‎，‎ ‎，，‎ 点落在直线上，‎ - 27 -‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 线段的垂直平分线方程为，即，‎ 线段的垂直平分线恒过定点.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中直线恒过定点问题的求解，涉及正弦定理，属综合中档题.‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎（1）讨论函数在上的单调性；‎ ‎（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）答案见解析.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对函数求导，对a分类讨论即可得出单调性；‎ ‎（2）对任意x∈（0，+∞），将不等式转化，得，，利用导数对a分类讨论思想求解最值，可得a的取值范围.‎ ‎【详解】（1），‎ ‎，‎ 当时，，函数在上单调递减；‎ 当时，由，得(舍负)，‎ - 27 -‎ 当时，，函数单调递减，‎ 当时，，函数单调递增.‎ ‎（2）由，得.‎ 设，‎ 设，‎ ‎，‎ 当时，，，为增函数，‎ ‎，‎ 在为增函数，‎ 成立，即成立.‎ 当时，由，解得.‎ 时，，为减函数，‎ 时，，为增函数，‎ ‎，‎ 设 在上为减函数，‎ ‎，即 ‎，当时，，为减函数，‎ 当时，，为增函数.‎ - 27 -‎ 又，‎ 当时，，‎ 当时，对，不恒成立 ‎.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，导数研究不等式恒成立问题，不等式恒成立通常是将不等式等价转化为利用导数研究函数的最值问题求解，解题关键是转化思想与分类讨论思想的应用，属于难题.‎ 请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.‎ ‎【选修4—4：坐标系与参数方程】‎ ‎22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设是曲线上任意一点，求点到直线的距离的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据曲线的参数方程为，消去参数即可.根据，化简得，再利用求解.‎ - 27 -‎ ‎（2）设，则点坐标满足（参数），再由点到直线的距离公式求解.‎ ‎【详解】（1）由曲线的参数方程为（为参数），得，‎ ‎，‎ 由，化简得，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎（2）设，则点坐标满足（参数），‎ 所以到直线的距离，‎ 点到直线的距离的取值范围为 ‎【点睛】本题主要考查参数方程，直角坐标方程，极坐标方程的转化以及点到直线的距离，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎【选修4—5：不等式选讲】‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的定义域；‎ ‎（2）若函数的定义域为，设的最大值为，当正数满足时，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）或.（2）‎ - 27 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）a=4时，，即|x+2|+|x-2|-4≥0，讨论x的取值进行分类讨论，去掉绝对值，求出x的取值范围；‎ ‎（2）由题意|x+1|+|x+2|-a≥0恒成立，即a≤|x+1|+|x+2|，求出|x+1|+|x+2|的最小值，即得a的最大值，再利用配凑定值法解均值不等式即可得的最小值．‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ 当时，，解得，‎ 当时，，解得，‎ 当时，，解得，‎ 函数的定义域为或.‎ ‎（2）函数的定义域为，‎ 对恒成立，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当且仅当，时，取“”号.‎ 的最小值为.‎ - 27 -‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的解法、均值不等式求最值问题，绝对值不等式利用分类讨论求解，均值不等式求最值问题主要取等条件是否满足，本题属于中等题.‎ - 27 -‎ - 27 -‎