【数学】2021届一轮复习北师大版（文）第二章　第8讲　函数与方程学案 14页

第8讲　函数与方程 一、知识梳理 ‎1．函数的零点 函数零点的概念 对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫作函数y＝f(x)(x∈D)的零点 方程的根与函数零点的关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点 函数零点的存在性定理 若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点 ‎[注意]　函数的零点是实数，而不是点；零点一定在函数的定义域内．‎ ‎2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系 Δ＞0‎ Δ＝0‎ Δ<0‎ 二次函数 y＝ax2＋bx＋c ‎(a＞0)的图象 与x轴的交点 ‎(x1，0)，(x2，0)‎ ‎(x1，0)‎ 无交点 零点个数 两个 一个 零个 常用结论 有关函数零点的结论 ‎(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．‎ ‎(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．‎ ‎(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．‎ 二、教材衍化 ‎1．函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致范围是(　　)‎ A．(1，2)　　　　　　　 B．(2，3)‎ C.和(3，4) D．(4，＋∞)‎ 答案：B ‎2． f(x)＝ex＋3x的零点个数是(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ 答案：B ‎3．函数f(x)＝x－的零点个数为 ．‎ 答案：1‎ 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　)‎ ‎(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(　　)‎ ‎(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(　　)‎ ‎(4)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√‎ 二、易错纠偏 (1)忽略限制条件致误；‎ ‎(2)错用零点存在性定理致误．‎ ‎1．函数f(x)＝(x－1)ln(x－2)的零点个数为(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ 解析：选B.由x－2>0，得x>2，所以函数f(x)的定义域为(2，＋∞)，所以当f(x)＝0，即(x－1)ln(x－2)＝0时，解得x＝1(舍去)或x＝3.‎ ‎2．已知函数f(x)＝2ax－a＋3，若∃x∈(－1，1)，使得f(x)＝0，则实数a的取值范围是 ．‎ 解析：依题意可得f(－1)·f(1)<0，即(－2a－a＋3)(2a－a＋3)<0，解得a<－3或a>1.‎ 答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞)‎ ‎　　　　　　函数零点所在区间的判断(师生共研)‎ ‎ (一题多解)函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为(　　)‎ A．(0，1)　　　　　　　 B．(1，2)‎ C．(2，3) D．(3，4)‎ ‎【解析】　法一(定理法)：函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上递增，图象是一条连续曲线．由题意知f(1)＝－1<0，f(2)＝log32>0，f(3)＝2>0，根据零点存在性定理可知，函数f(x)＝log3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内．‎ 法二 ‎(图象法)：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝log3x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两个函数的图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)．故选B.‎ ‎【答案】　B 判断函数零点所在区间的方法 方法 解读 适合题型 定理法 利用函数零点的存在性定理进行判断 能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负 图象法 画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断 容易画出函数的图象 ‎　设f(x)＝3x－x2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是(　　)‎ A．[0，1] B．[1，2]‎ C．[－2，－1] D．[－1，0]‎ 解析：选D.因为f(x)＝3x－x2，所以f(－1)＝3－1－1＝－<0，f(0)＝30－0＝1>0，所以f(－1)·f(0)<0.‎ ‎　　　　　　函数零点个数的判断(师生共研)‎ ‎ (一题多解)函数f(x)＝的零点个数为(　　)‎ A．3 B．2‎ C．1 D．0‎ ‎【解析】　法一(方程法)：由f(x)＝0，‎ 得或 解得x＝－2或x＝e.‎ 因此函数f(x)共有2个零点．‎ 法二(图形法)：函数f(x)的图象如图所示，‎ 由图象知函数f(x)共有2个零点．‎ ‎【答案】　B 判断函数零点个数的3种方法 ‎(1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．‎ ‎(2)定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．‎ ‎(3)图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．‎ ‎　已知函数f(x)＝则f(x)的零点个数为(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ 解析：选C.当x>1时，令f(x)＝ln(x－1)＝0，得x＝2；当x≤1时，令f(x)＝2x－1－1＝0，得x＝1.故选C.‎ ‎　　　　　　函数零点的应用(师生共研)‎ ‎ 设函数f(x)＝ ‎(1)若a＝1，则f(x)的最小值为 ；‎ ‎(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是 ．‎ ‎【解析】　(1)若a＝1，则f(x)＝ 作出函数f(x)的图象如图所示．由图可得f(x)的最小值为－1.‎ ‎(2)当a≥1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足21－a≤0，即a≥2，所以a≥2；当a<1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足解得≤a<1.‎ 综上，实数a的取值范围为∪[2，＋∞)．‎ ‎【答案】　(1)－1　(2)∪[2，＋∞)‎ 利用函数零点求参数取值范围的方法及步骤 ‎(1)常用方法 ‎(2)一般步骤 ‎1．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(1，3) B．(1，2)‎ C．(0，3) D．(0，2)‎ 解析：选C.由题意，知函数f(x)在(1，2)上递增，又函数一个零点在区间(1，2)内，‎ 所以即 解得00)，y2＝ln x(x>0)的图象，如图所示．‎ 由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.‎ ‎2．已知函数f(x)＝若f(a2)0，所以f(5)·f(6)<0，所以函数f(x)＝log4x＋x－7的零点所在区间为(5，6)，所以方程log4x＋x＝7的解所在区间是(5，6)．故选C.‎ ‎4．(2020·陕西西安模拟)已知函数f(x)＝x2－2|x|－m的零点有两个，则实数m的取值范围为(　　)‎ A．(－1，0) B．{－1}∪(0，＋∞)‎ C．[－1，0)∪(0，＋∞) D．(0，1)‎ 解析：选B.在同一直角坐标系内作出函数y＝x2－2|x|的图象和直线y＝m，可知当m>0或m＝－1时，直线y＝m与函数y＝x2－2|x|的图象有两个交点，即函数f(x)＝x2－2|x|－m有两个零点．故选B.‎ ‎5．已知函数f(x)＝xex－ax－1，则关于f(x)的零点叙述正确的是(　　)‎ A．当a＝0时，函数f(x)有两个零点 B．函数f(x)必有一个零点是正数 C．当a<0时，函数f(x)有两个零点 D．当a>0时，函数f(x)只有一个零点 解析：选B.f(x)＝0⇔ex＝a＋(x≠0)，在同一直角坐标系中作出y＝ex与y＝的图象，观察可知A，C，D选项错误，选项B正确．‎ ‎6．已知函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为 ．‎ 解析：由已知得f(1)＝0，即＋a＝0，解得a＝－.‎ 答案：－ ‎7．(2020·新疆第一次适应性检测)设a∈Z，函数f(x)＝ex＋x－a，若x∈(－1，1)时，函数有零点，则a的取值个数为 ．‎ 解析：根据函数解析式得到函数f(x)是递增的．由零点存在性定理知若x∈(－1，1)时，函数有零点，需要满足⇒－10恒成立，即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，所以有(－4a)2－4×(4a)<0⇒a2－a<0，解得00恒成立，无零点；又易知f(x)＝2x－在(0，＋∞)上是增加的，最多有一个零点．又f＝－2<0，f(1)＝2－1>0，所以有一个零点．故选B.‎ 法二：在同一平面直角坐标系中，作出函数y＝2x和y＝的图象，如图所示．‎ 函数f(x)＝2x－的零点等价于2x＝的根等价于函数y＝2x和y＝的交点．‎ 由图可知，有一个交点，所以有一个零点．故选B.‎ ‎2．已知命题p：“m＝2”是“幂函数f(x)＝(m2－m－1)xm在区间(0，＋∞)上为增函数”的充要条件；命题q：已知函数f(x)＝ln x＋3x－8的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1(a，b∈N＋)，则a＋b＝5.则下列命题为真命题的是(　　)‎ A．p且q B．(﹁p)且q C．﹁q D．p且(﹁q)‎ 解析：选A.对于命题p，若幂函数f(x)＝(m2－m－1)xm在区间(0，＋∞)上为增函数，则解得m＝2，所以命题p是真命题，﹁p是假命题．对于命题q，函数f(x)＝ln x＋3x－8在(0，＋∞)上是增加的，且f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3＋1>0，所以零点x0∈[a，b]，且b－a＝1(a，b∈N＋)，则a＝2，b＝3，a＋b＝5，所以命题q为真命题，﹁q为假命题．所以p且q是真命题，(﹁p)且q，﹁q，p且(﹁q)都是假命题．故选A.‎ ‎3．设函数f(x)＝(x>0)．‎ ‎(1)作出函数f(x)的图象；‎ ‎(2)当0