【数学】2021届一轮复习北师大版（文）第三章　第3讲　导数与函数的极值、最值学案 14页

第3讲　导数与函数的极值、最值 一、知识梳理 ‎1．函数的极值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．‎ 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)<0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．‎ 极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．‎ ‎[提醒]　(1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点．‎ ‎(2)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值．‎ ‎(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系．‎ ‎2．函数的最值 ‎(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．‎ ‎(2)若函数f(x)在[a，b]上是增加的，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上是减少的，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．‎ ‎[提醒]　极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值．‎ 常用结论 记住两个结论 ‎(1)若函数在开区间(a，b)内的极值点只有一个，则相应极值点为函数最值点．‎ ‎(2)若函数在闭区间[a，b]的最值点不是端点，则最值点亦为极值点．‎ 二、教材衍化 ‎1．若函数f(x)＝2x3－x2＋ax＋3在区间(－1，1)内恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为(　　)‎ A．(－8，－4) B．[－8，－4)‎ C．(－8，－4] D．(－∞，－8]∪[－4，＋∞)‎ 答案：C ‎2．函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为(　　)‎ A．1－e B．－1‎ C．－e D．0‎ 答案：B 一、思考辨析 ‎ 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的．(　　)‎ ‎(2)导数为零的点不一定是极值点．(　　)‎ ‎(3)函数的极大值不一定比极小值大．(　　)‎ ‎(4)函数的极大值一定是函数的最大值．(　　)‎ ‎(5)开区间上的单调连续函数无最值．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√‎ 二、易错纠偏 (1)利用极值求参数时忽略对所求参数的检验；‎ ‎(2)混淆极值与极值点的概念；‎ ‎(3)连续函数在区间(a，b)上不一定存在最值．‎ ‎1．若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为 ．‎ 解析：函数f(x)＝x(x－c)2的导数为f′(x)＝3x2－4cx＋c2，由题意知，在x＝2处的导数值为12－8c＋c2＝0，解得c＝2或6，又函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，故导数在x＝2处左侧为负，右侧为正，而当c＝6时，f(x)＝x(x－6)2在x＝2处有极大值，故c＝2.‎ 答案：2‎ ‎2．函数g(x)＝－x2的极值点是 ，函数f(x)＝(x－1)3的极值点 (填“存在”或“不存在”)．‎ 解析：结合函数图象可知g(x)＝－x2的极值点是x＝0.因为f′(x)＝3(x－1)2≥0，所以f′(x)＝0无变号零点，故函数f(x)＝(x－1)3不存在极值点．‎ 答案：0　不存在 ‎3．函数g(x)＝x2在[1，2]上的最小值和最大值分别是 ，在(1，2)上的最小值和最大值均 (填“存在”或“不存在”)．‎ 解析：根据函数的单调性及最值的定义可得．‎ 答案：1，4　不存在 ‎　　　　　　函数的极值问题(多维探究)‎ 角度一　由图象判断函数的极值 ‎ 已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图，则下列叙述正确的是(　　)‎ A．函数f(x)在(－∞，－4)上是减少的 B．函数f(x)在x＝2处取得极大值 C．函数f(x)在x＝－4处取得极值 D．函数f(x)有两个极值点 ‎【解析】　由导函数的图像可得，当x≤2时，f′(x)≥0，函数f(x)是增加的；当x>2时，f′(x)<0，函数f(x)是减少的，所以函数f(x)的递减区间为(2，＋∞)，故A错误．当x＝2时函数取得极大值，故B正确．当x＝－4时函数无极值，故C错误．只有当x＝2时函数取得极大值，故D错误．故选B.‎ ‎【答案】　B 由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性，两者结合可得极值点．‎ 角度二　求已知函数的极值 ‎ 已知函数f(x)＝ln x＋，求函数f(x)的极小值．‎ ‎【解】　f′(x)＝－＝(x>0)，‎ 当a－1≤0，即a≤1时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上是增加的，无极小值．‎ 当a－1>0，即a>1时，由f′(x)<0，得00，得x>a－1，函数f(x)在(a－1，＋∞)上是增加的．f(x)极小值＝f(a－1)＝1＋ln(a－1)．‎ 综上所述，当a≤1时，f(x)无极小值；‎ 当a>1时，f(x)极小值＝1＋ln(a－1)．‎ 利用导数研究函数极值问题的一般流程 ‎　‎ 角度三　已知函数的极值求参数值(范围)‎ ‎ 设函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex.‎ ‎(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为0，求实数a的值；‎ ‎(2)若f(x)在x＝1处取得极小值，求实数a的取值范围．‎ ‎【解】　(1)因为f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex，‎ 所以f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex.‎ f′(2)＝(2a－1)e2.‎ 由题设知f′(2)＝0，即(2a－1)e2＝0，解得a＝.‎ ‎(2)由(1)得f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex＝(ax－1)(x－1)ex.‎ 若a>1，则当x∈时，f′(x)<0; ‎ 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.‎ 所以f(x)在x＝1处取得极小值．‎ 若a≤1，则当x∈(0，1)时，ax－1≤x－1<0，‎ 所以f′(x)>0.‎ 所以1不是f(x)的极小值点．‎ 综上可知，a的取值范围是(1，＋∞)．‎ 已知函数极值点或极值求参数的两个要领 ‎(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．‎ ‎(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．‎ ‎[提醒]　若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．　‎ ‎1．(2020·咸阳市诊断测试)已知函数f(x)＝(x2－m)ex，若函数f(x)的图象在x ‎＝1处切线的斜率为3e，则f(x)的极大值是(　　)‎ A．4e－2　　　　　　　　 B．4e2‎ C．e－2 D．e2‎ 解析：选A.f′(x)＝(x2＋2x－m)ex.由题意知，f′(1)＝(3－m)e＝3e，所以m＝0，f′(x)＝(x2＋2x)ex.当x>0或x<－2时，f′(x)>0，f(x)是增函数；当－20，‎ 所以f(x)在上是减函数，在(0，1]上是增函数．所以f(x)min＝f(0)＝0.‎ 又f＝，f(1)＝.‎ 所以f(x)的最大值与最小值的和为.‎ ‎2．(2020·江西南昌模拟)已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数．‎ ‎(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；‎ ‎(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值．‎ 解：(1)易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，‎ 当a＝－1时，f(x)＝－x＋ln x，f′(x)＝－1＋＝，令f′(x)＝0，得x＝1.‎ 当00；当x>1时，f′(x)<0.‎ 所以f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数．‎ 所以f(x)max＝f(1)＝－1.‎ 所以当a＝－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上的最大值为－1.‎ ‎(2)f′(x)＝a＋，x∈(0，e]，∈.‎ ‎①若a≥－，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0，e]上是增函数，所以f(x)max＝f(e)＝ae＋1≥0，不符合题意；‎ ‎②若a<－，令f′(x)>0得a＋>0，结合x∈(0，e]，解得00，‎ 所以f(x)在x＝1处取得极小值，即a＝1时符合题意．‎ ‎(2)当a≤0时，f′(x)>0对x∈(0，1)恒成立，‎ 所以f(x)在(0，1)上是增加的，所以f(x)在x＝0处取得最小值f(0)＝1.‎ 当a>0时，令f′(x)＝x2－a＝0，‎ 解得x1＝－，x2＝，　‎ 当00，f(x)是增加的，‎ 所以f(x)在x＝处取得最小值f()＝1－.‎ 当a≥1时，≥1.‎ x∈(0，1)时，f′(x)<0，f(x)是减少的，‎ 所以f(x)在x＝1处取得最小值f(1)＝－a.‎ 综上所述，当a≤0时，f(x)在x＝0处取得最小值f(0)＝1；‎ 当0－1，即a<1.‎ 解决函数极值、最值问题的策略 ‎(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．‎ ‎(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论．‎ ‎(3)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值．‎ ‎　已知函数f(x)＝ ‎(1)求f(x)在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点；‎ ‎(2)求f(x)在区间[－1，e](e为自然对数的底数)上的最大值．‎ 解：(1)当x<1时，f′(x)＝－3x2＋2x＝－x(3x－2)，‎ 令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝，‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表 x ‎(－∞，0)‎ ‎0‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ f(x)‎  极小值  极大值  所以当x＝0时，函数f(x)取得极小值f(0)＝0，函数f(x)的极大值点为x＝.‎ ‎(2)①由(1)知，当－1≤x<1时，函数f(x)在[－1，0)和上是减少的，在上是增加的．‎ 因为f(－1)＝2，f＝，f(0)＝0，所以f(x)在[－1，1)上的最大值为2.‎ ‎②当1≤x≤e时，f(x)＝aln x，当a≤0时，f(x)≤0；‎ 当a>0时，f(x)在[1，e]上是增加的．‎ 所以f(x)在[1，e]上的最大值为f(e)＝a.‎ 所以当a≥2时，f(x)在[－1，e]上的最大值为a；‎ 当a<2时，f(x)在[－1，e]上的最大值为2.‎ ‎[基础题组练]‎ ‎1．函数f(x)＝2x3＋9x2－2在[－4，2]上的最大值和最小值分别是(　　)‎ A．25，－2　　　　　　　 B．50，14‎ C．50，－2 D．50，－14‎ 解析：选C.因为f(x)＝2x3＋9x2－2，所以f′(x)＝6x2＋18x，当x∈[－4，－3)或x∈(0，2]时，f′(x)＞0，f(x)为增函数，当x∈(－3，0)时，f′(x)＜0，f(x)为减函数，由f(－4)＝14，f(－3)＝25，f(0)＝－2，f(2)＝50，故函数f(x)＝2x3＋9x2－2在[－4，2]上的最大值和最小值分别是50，－2.‎ ‎2．已知函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，给出下列判断：‎ ‎①函数y＝f(x)在区间内是增加的；‎ ‎②当x＝－2时，函数y＝f(x)取得极小值；‎ ‎③函数y＝f(x)在区间(－2，2)内是增加的；‎ ‎④当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值．‎ 则上述判断正确的是(　　)‎ A．①② B．②③‎ C．①②④ D．③④‎ 解析：选B.对于①，函数y＝f(x)在区间内有增有减，故①不正确；‎ 对于②，当x＝－2时，函数y＝f(x)取得极小值，故②正确；‎ 对于③，当x∈(－2，2)时，恒有f′(x)>0，则函数y＝f(x)在区间(－2，2)上是增加的，故③正确；‎ 对于④，当x＝3时，f′(x)≠0，故④不正确．‎ ‎3．已知函数f(x)＝2f′(1)ln x－x，则f(x)的极大值为(　　)‎ A．2 B．2ln 2－2‎ C．e D．2－e 解析：选B.函数f(x)定义域(0，＋∞)，f′(x)＝－1，所以f′(1)＝1，f(x)＝2ln x－x，令f′(x)＝－1＝0，解得x＝2.当00，当x>2时，f′(x)<0，所以当x＝2时函数取得极大值，极大值为2ln 2－2.‎ ‎4．用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四周分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱的最大容积为(　　)‎ A．120 000 cm3 B．128 000 cm3‎ C．150 000 cm3 D．158 000 cm3‎ 解析：选B.设水箱底长为x cm，则高为cm.‎ 由得0＜x＜120.‎ 设容器的容积为y cm3，则有y＝－x3＋60x2.‎ 求导数，有y′＝－x2＋120x.‎ 令y′＝0，解得x＝80(x＝0舍去)．‎ 当x∈(0，80)时，y′＞0；当x∈(80，120)时，y′＜0.‎ 因此，x＝80是函数y＝－x3＋60x2的极大值点，也是最大值点，‎ 此时y＝128 000.故选B.‎ ‎5．函数f(x)＝3x2＋ln x－2x的极值点的个数是(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．无数 解析：选A.函数定义域为(0，＋∞)，‎ 且f′(x)＝6x＋－2＝，‎ 由于x>0，g(x)＝6x2－2x＋1的Δ＝－20<0，‎ 所以g(x)>0恒成立，故f′(x)>0恒成立，‎ 即f(x)在定义域上是增加的，无极值点．‎ ‎6．函数f(x)＝x3－3x2＋4在x＝ 处取得极小值．‎ 解析：由f′(x)＝3x2－6x＝0，得x＝0或x＝2.列表 x ‎(－∞，0)‎ ‎0‎ ‎(0，2)‎ ‎2‎ ‎(2，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎  极大值  极小值  所以在x＝2处取得极小值．‎ 答案：2‎ ‎7．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1.若函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线斜率为6，则实数a＝ ；若函数在(－1，3)内既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是 ．‎ 解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，结合题意f′(1)＝3a＋9＝6，解得a＝－1；若函数在(－1，3)内既有极大值又有极小值，则f′(x)＝0在(－1，3)内有2个不相等的实数根，则解得－1时，f′(x)>0，此时函数f(x)为增函数，当－2n；令f′(x)>0，得x1时，函数f(x)在[1，n)上是增加的，在(n，＋∞)上是减少的，所以f(x)max＝f(n)＝m－1－ln n.‎ ‎10．(2019·高考江苏卷节选)设函数f(x)＝(x－a)(x－b)·(x－c)，a，b，c∈R，f′(x)为f(x)的导函数．‎ ‎(1)若a＝b＝c，f(4)＝8，求a的值；‎ ‎(2)若a≠b，b＝c，且f(x)和f′(x)的零点均在集合{－3，1，3}中，求f(x)的极小值．‎ 解：(1)因为a＝b＝c，所以f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)＝(x－a)3.‎ 因为f(4)＝8，所以(4－a)3＝8，解得a＝2.‎ ‎(2)因为b＝c，所以f(x)＝(x－a)(x－b)2＝x3－(a＋2b)x2＋b(2a＋b)x－ab2，‎ 从而f′(x)＝3(x－b).令f′(x)＝0，得x＝b或x＝.‎ 因为a，b，都在集合{－3，1，3}中，且a≠b，‎ 所以＝1，a＝3，b＝－3.‎ 此时，f(x)＝(x－3)(x＋3)2，f′(x)＝3(x＋3)(x－1)．‎ 令f′(x)＝0，得x＝－3或x＝1.列表如下：‎ x ‎(－∞，－3)‎ ‎－3‎ ‎(－3，1)‎ ‎1‎ ‎(1，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎  极大值  极小值  所以f(x)的极小值为f(1)＝(1－3)(1＋3)2＝－32.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．(2020·郑州质检)若函数y＝f(x)存在n－1(n∈N*)个极值点，则称y＝f(x)为n折函数，例如f(x)＝x2为2折函数．已知函数f(x)＝(x＋1)ex－x(x＋2)2，则f(x)为(　　)‎ A．2折函数 B．3折函数 C．4折函数 D．5折函数 解析：选C.f′(x)＝(x＋2)ex－(x＋2)(3x＋2)＝(x＋2)·(ex－3x－2)，令f′(x)＝0，得x＝－2或ex＝3x＋2.‎ 易知x＝－2是f(x)的一个极值点，‎ 又ex＝3x＋2，结合函数图象，y＝ex与y＝3x＋2有两个交点．又e－2≠3×(－2)＋2＝－4.‎ 所以函数y＝f(x)有3个极值点，则f(x)为4折函数．‎ ‎2．若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内存在最小值，则实数k的取值范围是 ．‎ 解析：因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，又因为f′(x)＝4x－，所以由f′(x)＝0解得x＝，由题意得解得1≤k<.‎ 答案： ‎3．已知函数f(x)＝.‎ ‎(1)求函数f(x)在(1，f(1))处的切线方程；‎ ‎(2)证明：f(x)仅有唯一的极小值点．‎ 解：(1)因为f′(x)＝，‎ 所以k＝f′(1)＝－2.又因为f(1)＝e＋2，‎ 所以切线方程为y－(e＋2)＝－2(x－1)，即2x＋y－e－4＝0.‎ ‎(2)证明：令h(x)＝ex(x－1)－2，则h′(x)＝ex·x，所以x∈(－∞，0)时，h′(x)<0，x∈(0，＋∞)时，h′(x)>0.当x∈(－∞，0)时，易知h(x)<0，‎ 所以f′(x)<0，f(x)在(－∞，0)上没有极值点．‎ 当x∈(0，＋∞)时，‎ 因为h(1)＝－2<0，h(2)＝e2－2>0，‎ 所以f′(1)<0，f′(2)>0，f(x)在(1，2)上有极小值点．‎ 又因为h(x)在(0，＋∞)上是增加的，‎ 所以f(x)仅有唯一的极小值点．‎ ‎4．设f(x)＝xln x－ax2＋(2a－1)x(常数a>0)．‎ ‎(1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间；‎ ‎(2)已知f(x)在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)由f′(x)＝ln x－2ax＋2a，‎ 可得g(x)＝ln x－2ax＋2a，x∈(0，＋∞)．‎ 所以g′(x)＝－2a＝.又a>0，‎ 当x∈时，g′(x)>0，函数g(x)是增加的，‎ 当x∈时，g′(x)<0，函数g(x)是减少的．‎ 所以函数y＝g(x)的增区间为，减区间为.　‎ ‎(2)由(1)知，f′(1)＝0.‎ ‎①当01，由(1)知f′(x)在上是增加的，可得当x∈(0，1)时，f′(x)<0，当x∈时，f′(x)>0.‎ 所以f(x)在(0，1)内是减少的，在上是增加的．‎ 所以f(x)在x＝1处取得极小值，不符合题意．‎ ‎②当a＝时，＝1，f′(x)在(0，1)上是增加的，在(1，＋∞)上是减少的，所以当x∈(0，＋∞)时，f′(x)≤0，f(x)是减少的，不符合题意．‎ ‎③当a>时，0<<1，当x∈时，f′(x)>0，f(x)是增加的，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)是减少的．‎ 所以f(x)在x＝1处取极大值，符合题意．‎ 综上可知，实数a的取值范围为.‎