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- 2021-06-16 发布
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第5讲 指数与指数函数
1.根式
(1)根式的概念
①若xn=a,则x叫做a的n次方根,其中n>1且n∈N*.式子叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.
②a的n次方根的表示:
xn=a⇒
(2)根式的性质
①()n=a(n∈N*,且n>1).
②=
2.有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂:a=(a>0,m,n∈N*,且n>1).
②负分数指数幂:a-==(a>0,m,n∈N*,且n>1).
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义.
(2)有理数指数幂的运算性质
①aras=ar+s(a>0,r,s∈Q).
②(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q).
③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).
3.指数函数的图象及性质
函数
y=ax(a>0,且a≠1)
图象
01
图象特征
在x轴上方,过定点(0,1)
当x逐渐增大时,图象逐渐下降
当x逐渐增大时,图象逐渐上升
性质
定义域
R
值域
(0,+∞)
单调性
减
增
函数值
变化
规律
当x=0时,y=1
当x<0时,y>1;
当x<0时,00时,00时,y>1
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)=π-4.( )
(2)与()n都等于a(n∈N*).( )
(3)(-1)=(-1)=.( )
(4)函数y=3·2x与y=2x+1都不是指数函数.( )
(5)若am>an,则m>n.( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×
(教材习题改编)有下列四个式子:
① =-8;② =-10;
③ =3-π;④=a-b.
其中正确的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:选A.①正确, =|-10|=10,②错误;
=|3-π|=-(3-π)=π-3,③错误,=|a-b|=,故选A.
(2018·东北三校联考)函数f(x)=ax-1(a>0,a≠1)的图象恒过点A,下列函数中图象不经过点A的是( )
A.y= B.y=|x-2|
C.y=2x-1 D.y=log2(2x)
解析:选A.由f(x)=ax-1(a>0,a≠1)的图象恒过点(1,1),又0=,知(1,1)不在y=的图象上.
函数f(x)=的值域为________.
解析:由1-ex≥0,ex≤1,
故函数f(x)的定义域为{x|x≤0}.
所以01,b<0
B.a>1,b>0
C.00
D.00.
答案:(0,+∞)
2.若本例(2)的条件变为:函数y=|3x-1|+k的图象不经过第二象限,则实数k的取值范围是________.
解析:作出函数y=|3x-1|+k的图象如图所示.
由图象知k≤-1,即k∈(-∞,-1].
答案:(-∞,-1]
3.若将本例(2)变为函数y=|3x-1|在(-∞,k]上单调递减,则k的取值范围如何?
解:由本例(2)作出的函数y=|3x-1|的图象知,其在(-∞,0]上单调递减,所以k∈(-∞,0].
指数函数图象的画法及应用
(1)画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),.
(2)与指数函数有关的函数图象的研究,往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称、翻折变换得到其图象.
(3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.
[通关练习]
1.函数f(x)=1-e|x|的图象大致是( )
解析:选A.将函数解析式与图象对比分析,因为函数f(x)=1-e|x|是偶函数,且值域是(-∞,0],只有A满足上述两个性质.
2.若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是________.
解析:(1)当01时,y=|ax-1|的图象如图②,而y=2a>1不可能与y=|ax-1|有两个交点.综上,0>,所以<<,即b-3,此时-30时,10时,11.
因为x>0时,bx0时,>1.
所以>1,所以a>b.
所以11时,y=au为增函数.
②形如y=f(ax)的值域,要先求出u=ax的值域,再结合y=f(u)的单调性确定y=f(ax)
的值域.
与指数函数有关的复合函数的单调性
利用复合函数的单调性判断形如y=af(x)的函数的单调性,它的单调区间与f(x)的单调区间有关:
(1)若a>1,函数f(x)的单调增(减)区间即函数y=af(x)的单调增(减)区间.
(2)若00,a≠1)的图象和性质与a的取值有关,要特别注意区分a>1或00,a≠1)满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是( )
A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]
解析:选B.由f(1)=得a2=.
又a>0,
所以a=,因此f(x)=.
因为g(x)=|2x-4|在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)的单调递减区间是[2,+∞).
6.化简:+2-2×-(0.01)0.5=________.
解析:原式=1+×-=1+×-=1+-=.
答案:
7.(2018·陕西西安模拟)若函数f(x)=ax-2-2a(a>0,a≠1)的图象恒过定点,则函数f(x)在[0,3]上的最小值等于________.
解析:令x-2=0得x=2,且f(2)=1-2a,所以函数f(x)的图象恒过定点(2,1-2a),因此x0=2,a=,于是f(x)=-,f(x)在R上单调递减,故函数f(x)在[0,3]上的最小值为f(
3)=-.
答案:-
8.已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=________.
解析:①当a>1时,函数f(x)=ax+b在[-1,0]上为增函数,由题意得无解.
②当00,a≠1,b∈R).
(1)若f(x)为偶函数,求b的值;
(2)若f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,试求a,b应满足的条件.
解:(1)因为f(x)为偶函数,
所以对任意的x∈R,都有f(-x)=f(x),
即a|x+b|=a|-x+b|,|x+b|=|-x+b|,解得b=0.
(2)记h(x)=|x+b|=
①当a>1时,f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,
即h(x)在区间[2,+∞)上是增函数,
所以-b≤2,b≥-2.
②当01且b≥-2.
1.(2018·河南濮阳检测)若“m>a”是函数“f(x)=+m-的图象不过第三象限”的必要不充分条件,则实数a能取的最大整数为( )
A.-2 B.-1 C.0 D.1
解析:选B.因为f(0)=m+,所以函数f(x)的图象不过第三象限等价于m+≥0,即m≥-,所以“m>a”是“m≥-”的必要不充分条件,所以a<-,则实数a能取的最大整数为-1.
2.(2017·高考全国卷Ⅰ)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则( )
A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y
C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z
解析:选D.设2x=3y=5z=k>1,所以x=log2k,y=log3k,z=log5k.因为2x-3y=2log2k-3log3k=-===>0,所以2x>3y;因为3y-5z=3log3k-5log5k=-===<0,所以3y<5z;因为2x-5z=2log2k-5log5k=-===<0,所以5z>2x.所以5z>2x>3y,故选D.
3.若不等式(m2-m)2x-<1对一切x∈(-∞,-1]恒成立,则实数m的取值范围是________.
解析:(m2-m)2x-<1可变形为m2-m<+.
设t=,则原条件等价于不等式m2-mb≥0,若f(a)=f(b),则b·f(a)的取值范围是________.
解析:画出函数图象如图所示,
由图象可知要使a>b≥0,
f(a)=f(b)同时成立,
则≤b<1.
b·f(a)=b·f(b)=b(b+1)
=b2+b=-,
所以≤b·f(a)<2.
答案:
5.已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.
(1)求a,b的值;
(2)解关于t的不等式f(t2-2t)+f(2t2-1)<0.
解:(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,
即=0,解得b=1,
所以f(x)=.
又由f(1)=-f(-1)知=-,解得a=2.
(2)由(1)知f(x)==-+.
由上式易知f(x)在(-∞,+∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f(x)在R上是减函数).
又因为f(x)是奇函数,所以不等式f(t2-2t)+f(2t2-1)<0等价于f(t2-2t)<-f(2t2-1)=f(-2t2+1).
所以t2-2t>-2t2+1即3t2-2t-1>0.
解得t>1或t<-,所以该不等式的解集为{t|t>1或t<-}.
6.已知函数f(x)=-+3(-1≤x≤2).
(1)若λ=,求函数f(x)的值域;
(2)若函数f(x)的最小值是1,求实数λ的值.
解:(1)f(x)=-+3=()2x-2λ·()x+3(-1≤x≤2).
设t=()x,
得g(t)=t2-2λt+3(≤t≤2).
当λ=时,g(t)=t2-3t+3
=(t-)2+(≤t≤2).
所以g(t)max=g()=,
g(t)min=g()=.
所以f(x)max=,f(x)min=,
故函数f(x)的值域为[,].
(2)由(1)得g(t)=t2-2λt+3
=(t-λ)2+3-λ2(≤t≤2),
①当λ≤时,
g(t)min=g()=-+,
令-+=1,得λ=>,
不符合舍去;
②当<λ≤2时,
g(t)min=g(λ)=-λ2+3,
令-λ2+3=1,得λ=(λ=-<,不符合舍去);
③当λ>2时,g(t)min=g(2)=-4λ+7,令-4λ+7=1,得λ=<2,不符合舍去.
综上所述,实数λ的值为.