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- 2021-06-16 发布
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第三篇 方法应用篇
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数形结合的思想在每年的高考中都有所体现,它常用 研究方程根的情况,讨论函数的值域(最值)及求变量的取值范围等.对这类内容的选择题、填空题,数形结合特别有效.从近几年的高考题 看,数形结合的重点是研究“以形助数”.预测2017年高考中,仍然会沿用以往的命题思路,借助各种函数的图象和方程的曲线为载体,考查数形结合的思想方法,在考题形式上,不但有小题,还会有解答题,在考查的数量上,会有多个小题考查数形结合的思想方法.复习中应提高用数形结合思想解题的意识,画图不能太草,要善于用特殊数或特殊点 精确确定图形间的位置关系.
【数形结合思想概述】
1.数形结合的数 思想 包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形 一是借助形的生动性和直观性 阐明数之间的联系,即以形作为手段,数作为目的,比如应用函数的图象 直观地说明函数的性质;二是借助于数的精确性和规范严密性 阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程 精确地阐明曲线的几何性质.
2.运用数形结合思想分析解决问题时,要遵循三个原则
(1)等价性原则.在数形结合时,代数性质和几何性质的转换必须是等价的,否则解题将会出现漏洞.有时,由于图形的局限性,不能完整的表现数的一般性,这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明,要注意其带 的负面效应.
(2)双方性原则.既要进行几何直观分析,又要进行相应的代数抽象探求,仅对代数问题进行几何分析容易出错.
(3)简单性原则.不要为了“数形结合”而数形结合.具体运用时,一要考虑是否可行和是否有利;二要选择好突破口,恰当设参、用参、建立关系、做好转化;三要挖掘隐含条件,准确界定参变量的取值范围,特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线.
3.数形结合思想在高考试题中主要有以下六个常考点
(1)集合的运算及Venn图;
(2)函数及其图象;
(3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图象;
(4)方程(多指二元方程)及方程的曲线;
(5)对于研究距离、角或面积的问题,可直接从几何图形入手进行求解即可;
(6)对于研究函数、方程或不等式(最值)的问题,可通过函数的图象求解(函数的零点、顶点是关键点),做好知识的迁移与综合运用.
4.数形结合思想是解答高考数 试题的一种常用方法与技巧,特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效,这就要求我们在平时 习中加强这方面的训练,以提高解题能力和速度.具体操作时,应注意以下几点
(1)准确画出函数图象,注意函数的定义域;
(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法,值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整,以便于作图),然后作出两个函数的图象,由图求解;
(3)在解答题中数形结合思想是探究解题的思路时使用的,不可使用形的直观代替相关的计算和推理论证.
【数形结合思想解决的问题类型】
一、构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围;
例1.【2017江苏,14】设是定义在且周期为1的函数,在区间上, 其中集合,则方程的解的个数是 .
【答案】8
例2【2016高考天津】已知函数f(x)=(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解,则a的取值范围是( )
(A)(0,] (B)[,] (C)[,]{}(D)[,){}
【答案】C
【解析】
二、构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围;
例3.对于实数a和b,定义运算“ ” a b=设f(x)=(2x-1) (x-1),且关于x的方程f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1,x2,x3,则x1x2x3的取值范围是________.
【答案】
【解析】由定义可知,f(x)=作出函数f(x)的图象,如图所示.
由图可知,当0