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- 2021-06-16 发布
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第7讲 二次函数与幂函数
考纲要求
考情分析
命题趋势
1.掌握二次函数的图象与性质,会求二次函数的最值(值域)、单调区间.
2.了解幂函数的概念.
3.结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x的图象,了解它们的变化情况.
2017·浙江卷,5
2016·全国卷Ⅲ,7
2015·福建卷,16
2015·浙江卷,20
1.二次函数的图象和性质,经常与其他知识综合考查.
2.幂函数的图象和性质,很少单独出题.
3.二次函数的综合应用,经常与导数、不等式综合考查.
分值:5~8分
1.幂函数的概念
一般地,形如__y=xα__的函数叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
2.几个常用幂函数的图象与性质
定义
幂函数y=xα(α∈R)
图象
α>0
α<0
性质
图象过点__(0,0)__和__(1,1)__
图象过点__(1,1)__
在第一象限内,函数值随x的增大而增大,即在(0,+∞)上是__增函数__
在第一象限内,函数值随x的增大而减小,即在(0,+∞)上是__减函数__
在第一象限内,当α>1时,图象下凹;当0<α<1时,图象上凸
在第一象限内,图象都下凹
形如y=x或y=x-(m,n为互质的正整数)类型函数的奇偶性判断:当m,n都为奇数时,幂函数在定义域上为奇函数;当m为奇数,n为偶数时,幂函数在定义域上为非奇非偶函数;当m为偶数,n为奇数时,幂函数在定义域上为偶函数
3.二次函数解析式的三种形式
(1)一般式:f(x)=__ax2+bx+c__(a≠0).
(2)顶点式:f(x)=__a(x-h)2+k__(a≠0).
(3)零点式:f(x)=__a(x-x1)(x-x2)__(a≠0).
4.二次函数的图象与性质
二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线,它的对称轴、顶点坐标、开口方向、值域、单调性分别是:
(1)对称轴:x=__-__;
(2)顶点坐标:____;
(3)开口方向:a>0时,开口__向上__,a<0时,开口__向下__;
(4)值域:a>0时,y∈____,a<0时,y∈____;
(5)单调性:a>0时,f(x)在____上是减函数,在____上是增函数
;a<0时,f(x)在上是__增函数__,在上是__减函数__.
5.二次函数、二次方程、二次不等式三者间的关系
二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的零点(图象与x轴交点的横坐标)是相应一元二次方程ax2+bx+c=0的__根__,也是一元二次不等式ax2+bx+c≥0(或ax2+bx+c≤0)解集的__端点值__.
6.二次函数在闭区间上的最值
二次函数在闭区间上必有最大值和最小值,它只能在区间的__端点__或二次函数的__顶点__处取得,可分别求值再比较大小,最后确定最值.
1.思维辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)函数y=2x是幂函数.( × )
(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.( √ )
(3)当n<0时,幂函数y=xn是定义域上的减函数.( × )
(4)二次函数y=ax2+bx+c,x∈[m,n]的最值一定是.( × )
解析 (1)错误.不符合幂函数的定义.
(2)正确.因为图象与坐标轴相交,则由x=0得y=0,若y=0,则得x=0.
(3)错误.幂函数y=x-1在定义域上不单调.
(4)错误.当-∉[m,n]时,二次函数的最值在区间端点取得,而非.
2.函数y=x的图象(图中虚线为直线y=x)是( B )
解析 因为函数y=x是幂函数,幂函数在第一象限内恒过点(1,1),排除A,D项;当x>1,0<α<1时,y=xα在直线y=x下方,排除C项.故选B.
3.函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是( A )
A.m=-2 B.m=2
C.m=-1 D.m=1
解析 当m=-2时,f(x)=x2-2x+1,对称轴为x=1,其图象关于直线x=1对称,反之也成立.故选A.
4.已知f(x)是二次函数,且f′(x)=2x+2,若方程f(x)=0有两个相等实根,则f(x)的解析式为( D )
A.f(x)=x2+2x+4 B.f(x)=2x2+2x+1
C.f(x)=x2+x+1 D.f(x)=x2+2x+1
解析 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f′(x)=2ax+b,
∴a=1,b=2,f(x)=x2+2x+c.∵Δ=4-4c=0,
∴c=1,故f(x)=x2+2x+1.故选D.
5.函数y=3-的值域是__(-∞,2]__.
解析 因为2-2x+x2=(x-1)2+1≥1,
所以≥1,所以y≤2.
一 幂函数的图象和性质
幂函数y=xα的图象和性质由于α的取值不同而比较复杂,一般可从三个方面考查:
(1)曲线在第一象限内的“升降”:α>0时,图象经过点(0,0)和点(1,1),在第一象限的图象“上升”;α<0时,图象不过点(0,0),经过点(1,1),在第一象限的图象“下降”.
(2)曲线在第一象限的凹凸性:α>1时,曲线下凹;0<α<1时,曲线上凸;α<0时,曲线下凹.
(3)函数的奇偶性:一般先将函数式化为正指数幂或根式形式,再根据函数的定义域和奇偶性定义判断其奇偶性.
【例1】 (1)已知函数f(x)=(m2-m-1)xm2+m-3是幂函数,且x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,则m的值为( B )
A.-1 B.2
C.-1或2 D.3
(2)幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是( C )
(3)已知f(x)=x,若00,∴m=2.
(2)∵幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),∴f(x)=x.
(3)∵0-2x的解集为(1,3).若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,则f(x)的解析式为__f(x)=-x2-x-__.
解析 (1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
由题意得解得
所以所求二次函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
(2)因为f(x)+2x>0的解集为(1,3),
设f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a<0,
所以f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.①
由方程f(x)+6a=0,得ax2-(2+4a)x+9a=0.②
因为方程②有两个相等的根,
所以Δ=[-(2+4a)]2-4a·9a=0,解得a=1或a=-.
由于a<0,舍去a=1.将a=-代入①式得f(x)=-x2-x-,所以函数f(x)的解析式为f(x)=-x2-x-.
三 二次函数的图象和性质
(1)对于函数y=ax2+bx+c,若是二次函数,就隐含着a≠0,当题目未说明是二次函数时,就要分a=0和a≠0两种情况讨论.
(2)二次函数最值问题的解法:抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.
(3)由不等式恒成立求参数的取值范围,常用分离参数法,转化为求函数最值问题,其依据是a≥f(x)⇔a≥f(x)max,a≤f(x)⇔a≤f(x)min.
(4)要注意数形结合思想的应用,尤其是给定区间上的二次函数最值问题,先“定性”(作草图),再“定量”(看图求解),事半功倍.
【例3】 (1)若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m( B )
A.与a有关,且与b有关
B.与a有关,但与b无关
C.与a无关,且与b无关
D.与a无关,但与b有关
(2)当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则m的取值范围是__(-∞,-5]__.
解析 (1)设x1,x2分别是函数f(x)在[0,1]上的最小值点与最大值点,则m=x+ax1+b,M=x+ax2+b.
∴M-m=x-x+a(x2-x1),显然此值与a有关,与b无关.故选B.
(2)设f(x)=x2+mx+4,当x∈(1,2)时,f(x)<0恒成立⇔⇒⇒m≤-5.
【例4】 (1)若函数f(x)=x2+2ax+3在区间[-4,6]上是单调函数,则实数a的取值范围为__(-∞,-6]∪[4,+∞)__.
(2)若函数f(x)=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为,则m的取值范围是
____.
解析 (1)由于函数f(x)的图象开口向上,对称轴是x=-a,所以要使f(x)在[-4,6]上是单调函数,应有-a≤-4或-a≥6,即a≤-6或a≥4.
(2)函数f(x)图象的对称轴为x=,且f=-,f(3)=f(0)=-4,由二次函数的图象知m的取值范围为.
1.若幂函数f(x)=mxα的图象经过点A,则m和α的值分别为( C )
A., B.,
C.1, D.,1
解析 根据函数f(x)=mxα为幂函数,所以m=1,根据图象经过点A,则有α=.
2.已知函数f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3.若有f(a)=g(b),则b的取值范围为( B )
A.[2-,2+] B.(2-,2+)
C.[1,3] D.(1,3)
解析 由题意可知,f(x)=ex-1>-1,g(x)=-x2+4x-3=-(x-2)2+1≤1.若有f(a)=g(b),则g(b)∈(-1,1],即-b2+4b-3>-1,解得2-0,设x1,x2是方程f(x)=0的两根,则|x1-x2|的取值范围是__[,2)__.
解析 f(0)=b,f(1)=-(a+b),所以b(a+b)<0,又因为x1+x2=,x1x2=,所以|x1-x2|===2=2.根据b(a+b)<0得到
ab+b2<0,两边同时除以a2,得到+2<0,解得-1<<0,因为|x1-x2|=2,所以|x1-x2|的取值范围是[,2).
错因分析:在已知一元二次方程的根的情况时,忽略了隐含的Δ≥0以及韦达定理的内容.
【例1】 已知关于x的方程x2-2mx+4m2-6=0的两根为α,β,试求(α-1)2+(β-1)2的最小值.
解析 由题意得
∴(α-1)2+(β-1)2=(α+β)2-2αβ-2(α+β)+2
=(2m)2-2(4m2-6)-4m+2
=-4m2-4m+14
=-42+15.
又∵Δ≥0,即(-2m)2-4(4m2-6)≥0,∴-≤m≤,
∴当m=时,(α-1)2+(β-1)2的最小值为6-4.
【跟踪训练1】 已知函数f(x)=x2+2mx+2m+3(m∈R),若关于x的方程f(x)=0有实数根,且两根分别为x1,x2,则(x1+x2)·x1x2的最大值为( B )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 ∵x1+x2=-2m,x1x2=2m+3,
∴(x1+x2)·x1x2=-2m(2m+3)=-42+.
又Δ=4m2-4(2m+3)≥0,∴m≤-1或m≥3.
∵t=-42+在m∈(-∞,-1)上单调递增,在m∈[3,+∞)上单调递减,m=-1时最大值为2.
∴(x1+x2)·x1x2的最大值为2.故选B.
课时达标 第7讲
[解密考纲]本考点考查幂函数的图象与性质、二次函数的单调性与最值、二次函数恒成立问题以及二次方程的根的分布问题,一般以选择题、填空题的形式呈现,
排在中间靠前的位置,难度中等.
一、选择题
1.已知幂函数f(x)=k2·xa+1的图象过点,则k+a=( C )
A. B.-
C.或- D.2
解析 因为f(x)=k2·xa+1是幂函数,所以k2=1,所以k=±1.又f(x)的图象过点,所以a+1=,所以a+1=,所以a=-,所以k+a=±1-=-或.
2.抛物线y=ax2+bx+c的顶点在第一象限,与x轴的两个交点分别位于原点两侧,则a,b,c的符号为( B )
A.a<0,b<0,c<0
B.a<0,b>0,c>0
C.a<0,b<0,c>0
D.a<0,b>0,c<0
解析 由题意知,抛物线开口向下,故a<0.由抛物线与x轴的两个交点分别位于原点两侧,得<0,所以c>0.再由顶点在第一象限得->0,所以b>0.
3.对任意的x∈[-2,1],不等式x2+2x-a≤0恒成立,则实数a的取值范围是( D )
A.(-∞,0] B.(-∞,3]
C.[0,+∞) D.[3,+∞)
解析 设f(x)=x2+2x-a(x∈[-2,1]),由二次函数的图象知,当x=1时,f(x)取得最大值3-a,所以3-a≤0,解得a≥3.故选D.
4.对于幂函数f(x)=x,若0
C.f=
D.无法确定
解析 根据幂函数的性质:当0<<1时,图象是向上凸的,且通过点(0,0),(1,1),可知B项正确.
5.设函数f(x)=x2+x+a(a>0),已知f(m)<0,则( C )
A.f(m+1)≥0 B.f(m+1)≤0
C.f(m+1)>0 D.f(m+1)<0
解析 因为f(x)的对称轴为x=-,f(0)=a>0,所以f(x)的大致图象如图所示.
由f(m)<0,得-10,所以f(m+1)>f(0)>0.故选C.
6.函数f(x)=ax2+bx+5满足条件f(-1)=f(3),则f(2)的值为( A )
A.5 B.6
C.8 D.与a,b的值有关
解析 ①当a=0时,由f(-1)=f(3)可知b=0,此时f(x)=5,所以f(2)=5.
②当a≠0时,因为函数f(x)=ax2+bx+5满足条件f(-1)=f(3),所以f(x)=ax2+bx+5的图象关于x==1对称,则f(2)=f(0)=5.故选A.
二、填空题
7.已知函数f(x)=x,且f(2x-1)0,则-x<0,函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x,所以f(x)=f(-x)=(-x)2+2×(-x)=x2-2x(x>0),
所以f(x)=
(3)g(x)=x2-2x-2ax+2(x∈[1,2]),
对称轴方程为x=a+1,
当a+1≤1,即a≤0时,g(1)=1-2a为最小值;
当12,即a>1时,g(2)=2-4a为最小值.
综上,g(x)min=