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- 2021-06-16 发布
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专题10:数列难点专项研究
问题归类篇
类型一:等差、等比数列的证明
一、高考回顾
1.(2011年高考题)设M为部分正整数组成的集合,数列{an}的首项a1=1,前n项的和为Sn,已知对任意整数k∈M,当n>k时,Sn+k+Sn-k=2(Sn+Sk)都成立.设M={3,4},求数列{an}的通项公式.
解:由题意对任意整数k∈{3,4},当n>k时,Sn+k+Sn-k=2(Sn+Sk)都成立,则
当n≥4时,Sn+3+Sn-3=2(Sn+S3), ①
当n≥5时,Sn+4+Sn-4=2(Sn+S4), ②
由①得
当n≥5时,Sn+2+Sn-4=2(Sn-1+S3), ③
由①-③得 当n≥5时,an+3+an-3=2an,
由②得
当n≥6时,Sn+3+Sn-5=2(Sn-1+S5), ④
由②-④得 当n≥6时,an+4+an-4=2an,
方法一:
当n≥8时,an-6,an-3,an,an+3,an+6成等差数列,且an-6,an-2,an+2,an+6也成等差数列,
从而当n≥8时,2an=an+3+an-3=an+6+an-6 , ⑤
且 an+2+an-2=an+6+an-6. ⑥
所以当n≥8时,2an=an+2+an-2, ⑦
于是,当n≥9时,an-3,an-1,an+1,an+3成等差数列,
从而an+3+an-3=an+1+an-1,故由⑤式知2an=an+1+an-1,即an+1-an=an-an-1,
所以{an}从第八项开始成等差数列,设其公差为d.
当2≤m≤8时,m+6≥8,从而由⑤式知2am+6=am+am+12,故2am+7=am+1+am+13,
从而2(an+7-an+6)=am+1-am+(am+13-am+12),于是am+1-am=2d-d=d.
因此an+1-an=d,对任意都n≥2成立.
在①中,令n=4得S7+S1=2(S4+S3),即(S7-S4)-(S4-S1)=2S3,故9d=2S3.
在②中,令n=5得S9+S1=2(S5+S4),即(S9-S5)-(S5-S1)=2S5,故16d=2S5.
解得a4=d,从而a2=d,a1=d.因此,数列为等差数列,
由a1=1知d=2,所以数列的通项公式为an=2n-1.
方法二:
因为当n≥5时,an+3+an-3=2an,
所以a2,a5,a8,…成等差数列,设其公差为d1,则a3n-1=a2+(n-1)d1.
a3,a6,a9,…成等差数列,设其公差为d2,则a3n=a3+(n-1)d2.
a4,a7,a10,…成等差数列,设其公差为d3,则a3n+1=a4+(n-1)d3.
因为当n≥6时,an+4+an-4=2an,
所以a2,a6,a10,…成等差数列,设其公差为d.
由于a14=a2+4d1=a2+3d,所以4d1=3d.
由于a18=a6+4d1=a6+3d,所以4d1=3d.
由于a21=a9+4d1=a9+3d,所以4d1=3d.
所以d1=d2=d3=d.
由a6=a2+d=a3+d2,所以a3-a2=d.
由a10=a2+2d=a4+2d2,所以a4-a2=d.
所以2a3=a2+a4.
故2a3n=a3n-1+a3n+1,即a3n+1-a3n=a3n-a3n-1,
所以{an}从第二项开始成等差数列.
下同方法一.
思考:设M={2,5},求数列{an}的通项公式.
2.(2017年高考题)对于给定的正整数k,若数列{an}满足:an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan,对任意正整数n(n>k)总成立,则称数列{an}是“P(k)数列”.若数列{an}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:{an}是等差数列.
证明:数列{an}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,因此,
当n≥3时,an-2+an-1+an+1+an+2=4an, ①
当n≥4时,an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an. ②
由①知,an-3+an-2=4an-1-(an+an+1), ③
an+2+an+3=4an+1-(an-1+an). ④
将③④代入②,得an-1+an+1=2an,其中n≥4,
所以a3,a4,a5,…是等差数列,设其公差为d′.
在①中,取n=4,则a2+a3+a5+a6=4a4,
所以a2=a3-d′,
在①中,取n=3,则a1+a2+a4+a5=4a3,
所以a1=a3-2d′,
所以数列{an}是等差数列.
思考:设M={2,5},求数列{an}的通项公式.
二、方法联想
由含有Sn和an的多阶递推证明等差数列时,可能需要多次退位作差.目标:
(1)2an=an-1+an+1;
(2)转化为常见的二阶递推关系:an-an-1=f(n);=f(n);an=pan-1+q;an=pan-1+f(n;an=;an+an+1=f(n);anan+1=f(n);
(3)2an=an-k+an+k或an-an-k=常数.
方法一:从{an}的子数列{akn},{akn+1},…,{akn+k-1}成等差,根据条件证明这些等差数列的公差相等,同时a1,a2,…,ak是等差数列;
方法二:通过所给条件将2an=an-k+an+k向2an=an-1+an+1进行转化.
注意:由于多次进行退位,会导致等式中n的取值范围的变化,数列前几项成等差,往往需要进行验证.
证明等比数列类似.
三、归类研究
**1.设{an}的前n项和为Sn.证明:对任意n∈N*,都有Sn=n(a1+an),则{an}为等差数列.
证:n≥2时,Sn=n(a1+an) ①,Sn-1=(n-1)(a1+an-1) ②,
①-②得 an=n(a1+an)-(n-1)(a1+an-1)=a1+nan-(n-1)an-1,
所以(n-2)an=(n-1)an-1-a1, ③
所以n≥3时,(n-3)an-1=(n-2)an-2-a1, ④
③-④得 (2n-4)an-1=(n-2)(an-2+an),
又n≥3,所以2an-1=an-2+an,即an-an-1=an-1-an-2.
从而an-an-1=an-1-an-2=…=a2-a1.
所以{an}为等差数列.
注:利用Sn与an的关系,将条件转化an与an-1的递推关系,再次作差,转化为2an-1=an-2+an,进而证明等差数列.
2.命题p:是等差数列;命题q:等式++…+=对任意n(n∈N*)恒成立,其中k,b是常数.
*(1)若p是q的充分条件,求k,b的值;
**(2)对于(1)中的k与b,问p是否为q的必要条件,请说明理由;
解:(1)设的公差为d,当d≠0时原等式可化为
=,所以·=,
即n+b=0对于n∈N*恒成立,所以k=1,b=0.
当d=0时,也成立.
(2)当k=1,b=0时,++…+= ①对于任意的n恒成立.
当n≥2时,++…+= ②,
由①-②得,
=,即nan-an+1=a1 ③.
当n≥3时,an-1-(n-2)an=a1 ④,
③-④,得当n≥3时,2an=an-1+an+1,
在③中当n=2时,a1+a3=2a2,
所以n≥2时,2an=an-1+an+1,即an-an-1=an-1-an-2=…=a2-a1.
所以为等差数列,即p为q的必要条件.
注:利用Sn与an的关系,将条件转化为an与an-1的递推关系,再次作差,转化为2an-1=an-2+an,进而证明等差数列.
**3.在正项数列中,=(p为正常数)对正整数n恒成立,求证为等差数列.
证:记Sn=.
所以Sn== ①,
Sn+1== ②,
②-①,得—=,
化简得当n≥1时,(n+1)an+1-nan+2=a1 ③,
(n+2)an+2-(n+1)an+3=a1, ④,
④-③得当n≥1时,an+1+an+3=2an+2.
在③中令n=1,得a1+a3=2a2,
所以当n≥1时,an+an+2=2an+1均成立,
即an-an-1=an-1-an-2=…=a2-a1,
从而为等差数列.
注:利用Sn与an的关系,将条件转化为an与an-1的递推关系,再次作差,转化为2an-1=an-2+an,进而证明等差数列.
4.设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,a2=6,a3=11,且(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=An+B,n=1,2,3,…,其中A,B为常数.
*(1)求A与B的值;
***(2)证明:数列{an}为等差数列.
解:(1)由已知,得S1=a1=1,S2=a1+a2=7,S3=a1+a2+a3=18
由(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=An+B,知,即,
解得A=-20,B=-8.
(2)由(1)得(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8 ①,
所以(5n-3)Sn+2-(5n+7)Sn+1=-20n-28 ②,
②-①得
(5n-3)Sn+2-(10n-1)Sn+1+(5n+2)Sn=-20 ③,
所以(5n+2)Sn+3-(10n+9)Sn+2+(5n+7)Sn+1=-20 ④,
④-③得
(5n+2)Sn+3-(15n+6)Sn+2+(15n+6)Sn+1-(5n+2)Sn=0.
因为an+1=Sn+1-Sn,
所以(5n+2)an+3-(10n+4)an+2+(5n+2)an+1=0,
因为(5n+2)≠0,
所以an+3-2an+2+an+1=0,
所以an+3-an+2=an+2-an+1,n≥1,又a3-a2=a2-a1=5,
所以数列{an}为等差数列.
注:(1)经过两次作差后,才能用Sn与an的关系,将条件转化为2an-1=an-2+an,进而证明等差数列;(2)由于多次退位,会导致n取值范围的变化,要验证前三项也成等差.
*5.已知数列满足an+an+1=2n+1(n∈N*),求证:数列{an}为等差数列的充要条件是a1=1.
证:(必要性)数列{an}为等差数列,则an=a1+(n-1)d,an+1=a1+nd,
所以an+an+1=2a1+(2n-1)d=2n+1对n∈N*恒成立,
所以解得a1=1.
(充分性)因为n≥2时,an+an+1=2n+1 ①,an-1+an=2n-1 ②
①-②得n≥2时, an+1-an-1=2.
即的奇数项和偶数项均为公差为2的等差数列.
因为a1+a2=3,a1=1,所以a2=2.
所以a2k=a2+2(k-1)=2k,a2k-1=a1+2(k-1)=2k-1,
所以an=n,数列{an}为等差数列.
综上,数列{an}为等差数列的充要条件是a1=1.
思考:(1)若数列{an+an+1}为公差为的等差数列,试探究数列{an}为等差数列的充要条件,并加以证明;
(2)若正项数列{an}满足:数列{anan+1}为公比为的等比数列,试探究数列为等比数列的充要条件,并加以证明.
注:数列{an}的奇数项和偶数项都成共差相等的等差数列,当前三项也成等差时,数列{an}是等差数列.
**6.已知数列{an}的首项a1=a,Sn是数列{an}的前n项和,且满足:S=3n2an+S,
an≠0,n≥2,n∈N*,求数列{an}的通项公式.
解:由S=3n2an+S,得S-S=3n2an,即(Sn+Sn-1)(Sn-Sn-1)=3n2an,
即(Sn+Sn-1)an=3n2an,因为an≠0,所以Sn+Sn-1=3n2,(n≥2), ①
所以 Sn+1+Sn=3(n+1)2, ②
②-①,得an+1+an=6n+3,(n≥2). ③
所以 an+2+an+1=6n+9, ④
④-③,得an+2-an=6,(n≥2)
即数列a2,a4,a6,…,及数列a3,a5,a7,…都是公差为6的等差数列,
因为a2=12-2a,a3=3+2a.
所以an=
思考:(1){an}是否可以为等差数列?(2){an}是否可以为递增数列?
**7.设数列{an}的各项均为正数.若对任意的n∈N*,存在k∈N*,使得a=an·an+2k成立,则称数列{an}为“Jk型”数列.若数列{an}既是“J3型”数列,又是“J4型”数列,证明:数列{an}是等比数列.
证:由{an}是“J4型”数列,得
a1,a5,a9,a13,a17,a21,…成等比数列,设公比为t.
由{an}是“J3型”数列,得
a1,a4,a7,a10,a13,…成等比数列,设公比为α1;
a2,a5,a8,a11,a14,…成等比数列,设公比为α2;
a3,a6,a9,a12,a15,…成等比数列,设公比为α3;
则=α=t3,=α=t3,=α=t3.
所以α1=α2=α3,不妨记α=α1=α2=α3,且t=α.
于是a3k-2=a1αk-1=a1()(3k-2)-1,
a3k-1=a5αk-2=a1tαk-2=a1αk-=a1()(3k-1)-1,
a3k=a9αk-3=a1t2αk-3=a1αk-=a1()3k-1,
所以an=a1()n-1,所以=,故{an}为等比数列.
注:利用两个子数列的公共项,求得两个子数列的公比关系,进而通过三个子数列的通项公式求出原数列的通项公式,由通项公式符合等比数列通项公式的形式,证得等比数列.
**8.已知数列{an}的前三项分别为a1=5,a2=6,a3=8,且数列{an}前n项和Sn满足Sn+m=(S2n+S2m)-(n-m)2,其中m,n为任意正整数.求数列{an}的通项公式an.
解:令n=1,m=2,S3=(S2+S4)-1,S4=29,a4=10,
令m=1,Sn+1=(S2n+S2)-(n-1)2,令m=2,Sn+2=(S2n+S4)-(n-2)2,
所以an+2=Sn+2-Sn+1=2n-3+=2n+6=2(n+2)+2,所以an=2n+2,(n≥3).
又a2=6符合,a1=5不符合,所以an=
注:当递推关系中含有多个变量时,应利用特殊和一般的关系,通过合理的特殊化,将递推关系转化为一个变量.
***9.设数列{an}的各项都为正数,其前n项和为Sn,对于任意正整数m,n,Sm+n=-1恒成立.若a1=1,求a2,a3,a4及数列{an}的通项公式.
解:由条件,令m=n=1,得1+S2=.
所以(1+S2)2=2a2(1+S2).则1+S2=2a2.所以a2=1+a1.因为a1=1,所以a2=2.
令m=1,n=2,得1+S3=.则(4+a3)2=4(4+a3+a4).
令m=2,n=1,得1+S3=.则(4+a3)2=8a4.
解得a3=4,a4=8.得1+Sm+n=.令m=1,得1+Sn+1=.
令m=2,得1+Sn+2=.所以=(n∈N*).因为=2,
则数列{1+Sn}(n≥2,n∈N*)是公比为2的等比数列,
所以1+Sn=2·2n-1=2n,可以求得an=2n-1.
注:(1)通过特殊化,由递推关系Sm+n=-1得到1+Sn+1=和1+Sn+2=,进而得出数列{1+Sn}成等比;(2)求得时体现出得方程思想,也是值得好好体会的.
10.已知数列{an}的各项均为正数,其前n项的和为Sn,且对任意的m,n∈N*,都有(Sm+n+S1)2=4a2ma2n.
*(1)求的值;
***(2)求证:{an}为等比数列.
解:(1)由(Sm+n+S1)2=4a2na2m,得(S2+S1)2=4a,即(a2+2a1)2=4a.
因为a1>0,a2>0,所以a2+2a1=a2,即=2.
(2)(方法一)令m=1,n=2,得(S3+S1)2=4a2a4,即(2a1+a2+a3)2=4a2a4,
令m=n=2,得S4+S1=2a4,即2a1+a2+a3=a4.
所以a4=4a2=8a1.
又因为=2,所以a3=4a1.
由(Sm+n+S1)2=4a2na2m,得(Sn+1+S1)2=4a2na2,(Sn+2+S1)2=4a2na4.
两式相除,得=,所以==2.
即Sn+2+S1=2(Sn+1+S1),
从而Sn+3+S1=2(Sn+2+S1).
所以an+3=2an+2,故当n≥3时,{an}是公比为2的等比数列.
又因为a3=2a2=4a1,从而an=a1·2 n-1,n∈N*.
显然,an=a1·2 n-1满足题设,
因此{an}是首项为a1,公比为2的等比数列.
(方法二)在(Sm+n+S1)2=4a2na2m中,
令m=n,得S2n+S1=2a2n. ①
令m=n+1,得S2n+1+S1=2 , ②
在①中,用n+1代n得,S2n+2+S1=2a2n+2. ③
②-①,得a2n+1=2-2a2n=2(-), ④
③-②,得a2n+2=2a2n+2-2=2(-), ⑤
由④⑤得a2n+1=. ⑥
⑥代入④,得a2n+1=2a2n;⑥代入⑤得a2n+2=2a2n+1,
所以==2.又=2,
从而an=a1·2 n-1,n∈N*.
显然,an=a1·2 n-1满足题设,
因此{an}是首项为a1,公比为2的等比数列.
注:方法二的技巧性非常强,但消元的思想方法值得借鉴.
***11.已知{an},{bn},{cn}都是各项不为零的数列,且满足a1b1+a2b2+…+anbn=cnSn,n∈N*,其中Sn是数列{an}的前n项和,{cn}是公差为d(d≠0)的等差数列.若an=λn(λ是不为零的常数),求证:数列{bn}是等差数列;
解:因为a1b1+a2b2+…+anbn=cnSn,
当n≥2时,Sn-1cn-1=a1b1+a2b2+…+an-1bn-1,
两式相减得Sncn-Sn-1cn-1=anbn,
即(Sn-1+an)cn-Sn-1cn-1=anbn,Sn-1(cn-cn-1)+ancn=anbn,
即Sn-1d+λncn=λnbn,
又Sn−1=(n−1)=,
所以d+λncn=λnbn,
即d+cn=bn,
所以当n≥3时,d+cn−1=bn−1,
两式相减得bn−bn−1=d(n≥3),
所以数列{bn}从第二项起是公差为d等差数列;
又当n=1时,由S1c1=a1b1得c1=b1,
当n=2时,由b2=d+c2=d+(c1+d)=b1+d得b2−b1=d,
故数列{bn}是公差为d的等差数列.
注:(1)当问题中出现多个数列相互限制的关系时,字母符号会比较多,要合理运用所给条件,化简所给条件.(2)针对条件d+cn=bn,本题选择用定义证明等差数列.
12.数列{an},{bn},{cn}满足:bn=an-2an+1,cn=an+1+2an+2-2,n∈N*.
*(1)若数列{an}是等差数列,求证:数列{bn}是等差数列;
**(2)若数列{bn},{cn}都是等差数列,求证:数列{an}从第二项起为等差数列;
***(3)若数列{bn}是等差数列,试判断当b1+a3=0时,数列{an}是否成等差数列?证明你的结论.
证:(1)设数列{an}的公差为d,
因为bn=an-2an+1,
所以bn+1-bn=(an+1-2an+2)-(an-2an+1)=(an+1-an)-2(an+2-an+1)=d-2d=-d,
所以数列{bn}是公差为-d的等差数列.
(2)当n≥2时,cn-1=an+2an+1-2,
因为bn=an-2an+1,
所以an=+1,所以an+1=+1,
所以an+1−an=−=+,
因为数列{bn},{cn}都是等差数列,
所以+为常数,
所以数列{an}从第二项起为等差数列.
(3)因为bn=an-2an+1,b1+a3=0,
令n=1,a1-2a2=-a3,即a1-2a2+a3=0,
所以bn+1=an+1-2an+2,bn+2=an+2-2an+3,
所以2bn+1-bn-bn+2=(2an+1-an-an+2)-2(2an+2-an+1-an+3),
因为数列{bn}是等差数列,所以2bn+1-bn-bn+2=0,
所以2an+1-an-an+2=2(2an+2-an+1-an+3),
因为a1-2a2+a3=0,
所以2an+1-an-an+2=0,即an-an-1=an-1-an-2=…=a2-a1,
所以数列{an}是等差数列.
注:(3)中针对条件bn=an-2an+1,本题选择中项关系证明等差数列.
类型二:等差、等比数列中的求值
一、高考回顾
1.(2013年高考题)设{an}是首项为a,公差为d的等差数列(d≠0),Sn是其前n项和.记bn=,n∈N*,其中c为实数.
(1)若c=0,且b1,b2,b4成等比数列,证明:Snk=n2Sk(k,n∈N*);
(2)若{bn}是等差数列,证明:c=0.
证:由题设,Sn=na+d.
(1)由c=0,得bn==a+d.
又因为b1、b2、b4成等比数列,所以b=b1b4,即=a,化简得d2-2ad=0.
因为d≠0,所以d=2a,
因此,对于所有的m∈N*,有Sm=m2a.从而对于所有的k、n∈N*,有Snk=(nk)2a=n2k2a=n2Sk.
(2) 设数列{bn}的公差是d1,则bn=b1+(n-1)d1,则=b1+(n-1)d1,n∈N*,
代入Sn的表达式,整理得,对于所有的n∈N*,有n3+n2+cd1n=c(d1-b1).
令A=d1-d,B=b1-d1-a+d,D=c(d1-b1),则对于所有的n∈N*,有An3+Bn2+cd1n=D.(*)
在(*)式中分别取n=1,2,3,4,得
A+B+cd1=8A+4B+2cd1=27A+9B+3cd1=64A+16B+4cd1,
从而有
由②、③得A=0,cd1=-5B,代入方程①,得B=0,从而cd1=0.
即d1-d=0,b1-d1-a+d=0,cd1=0.若d1=0,
则由d1-d=0,得d=0,与题设矛盾,所以d1≠0.
又因为cd1=0,所以c=0.
2.(2014年高考题)设数列{an}的前n项和为Sn.若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得Sn=am,则称{an}是“H数列”.
(1) 若数列{an}的前n项和为Sn=2n(n∈N*),证明:{an}是“H数列”;
(2) 设{an}是等差数列,其首项a1=1,公差d<0.若{an}是“H数列”,求d的值;
解:(1) 首先a1=S1=2,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1,所以an=
所以对任意的n∈N*,Sn=2n是数列{an}中的n+1项,因此数列{an}是“H数列”.
(2)(方法一)由已知,S2=2a1+d=2+d,
因为数列{an}是“H数列”,所以存在正整数m,使得S2=am,即2+d=1+(m-1)d,
于是(m-2)d=1,因为d<0,所以m-2<0,故m=1,从而d=-1.
当d=-1时,an=2-n,Sn=是小于2的整数,n∈N*.
于是对任意正整数n,总存在m=2-Sn=2-,使得Sn=am,所以{an}是“H数列”.
因此d=-1.
(方法二)先证明:若等差数列{an}是“H数列”,则{an}至多只有一项是正项.
事实上,若{an}至少有两项是正项,则由公差d<0知{an}是递减数列,
从而{an}的前两项a1>a2>0,因此S2 =a1+a2>a1≥an(n∈N*),即{an}不是“H数列”,矛盾.
因为a1=1>0,故a2≤0.
若a2<0,则有 a1> a1+a2=S2>a2>an ( n ≥3),从而{ an }不是“H数列”,矛盾.
故a2=0,从而d=-1.
同方法一,可证d=-1时,若{an}是“H数列”.
思考:设{an}是等差数列,其首项为a1,公差为d(d≠0).若{an}是“H数列”,求a1,d满足的条件.
3.(2012年高考题) 已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足:an+1=n∈N*.
(1)设bn+1=1+n∈N*,求证:数列{()2}是等差数列;
(2)设bn+1=·n∈N*,且{an}是等比数列,求a1和b1的值.
解:(1) 由题设知an+1===,所以=,
从而-=1(n∈N*),
所以数列是以1为公差的等差数列.
(2) 因为an>0,bn>0,所以≤a+b<(an+bn)2,
从而1<an+1=≤. (*)
设等比数列{an}的公比为q,由an>0知q>0.下证q=1.
若q>1,则a1=<a2≤,故当n>logq时,an+1=a1qn>,与(*)矛盾;
若0<q<1,则a1=>a2>1,故当n>logq时,an+1=a1qn<1,与(*)矛盾.
综上,q=1,故an=a1(n∈N*),所以1<a1≤.
又bn+1=·=·bn(n∈N*),
所以{bn}是公比为的等比数列.
若a1≠,则>1,于是b1<b2<b3.又由a1=得bn=,
所以b1,b2,b3中至少有两项相同,矛盾.所以a1=,从而bn==.
所以a1=b1=.
二、方法联想
根据条件确定等差(比)数列中的参量时,根据条件常有下列方法:
(1)所给条件为恒等式:
方法一:转化为关于n的多项式恒等于0求解;
方法二:用特殊值法,如取连续3项列方程求解后进行验证.
(2)所给条件等于可求解参量的个数,直接求解;
(3)所给条件少于可求解参量个数:
方法一:利用整数的性质,求解不定方程;
方法二:利用等差(比)数列的特殊性质,例如单调性,有界性,达到确定参数的目的.
三、归类研究
1.设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.
*(1)若首项a1=,公差d=1,求满足S=(Sk)2的正整数k;
**(2)求所有的无穷等差数列{an},使得对于一切正整数k都有S=(Sk)2成立.
解:(1)当a1=,d=1时,Sn=n+=n2+n,
由S=(Sk)2得,k4+k2=(k2+k)2 ,即k3(k-1)=0,又k≠0,所以k=4.
(2)设数列{an}的公差为d,
则在S=(Sk)2中分别取k=1,2得,即,
由①得a1=0或a1=1.
当a1=0时,代入(2)得:d=0或d=6;
当a1=0,d=0时,an=0,Sn=0,从而S=(Sk)2成立;
当a1=0,d=6时,则an=6(n-1),由S3=18,(S3)2=324,S9=216知,S9≠(S3)2,
故所得数列不符合题意;
当a1=1时,d=0或d=2,当a1=1,d=0时,an=1,Sn=n,从而S=(Sk)2成立;
当a1=1, d=2时,则an=2n-1,Sn=n2,从而S=(Sk)2成立,
综上共有3个满足条件的无穷等差数列; an=0或an=1或an=2n-1.
注:确定等差数列只需要两个量,因此可以通将恒等式特殊化得到两个方程求解,但切记要检验,当然本题也可以用方程恒成立求解.
2.设Sn为数列{an}的前项和,若(n∈N*)是非零常数,则称该数列为“和等比数列”.
*(1)若数列{2}是首项为2,公比为4的等比数列,试判断数列{bn}是否为“和等比数列”;
**(2)若数列{cn}是首项为c1,公差为d(d≠0)的等差数列,且数列{cn}是“和等比数列”,试探究d与c1之间的等量关系.
解:(1)因为数列是首项为2,公比为4的等比数列,所以2=2·4n-1=22n-1,
因此bn=2n-1.
设数列的前n项和为Tn,则Tn=n2,T2n=4n2,所以=4,
因此数列为“和等比数列”.
(2)设数列的前n项和为Rn,且=k(k为常数,且k≠0),
因为数列是等差数列,所以Rn=nc1+d,R2n=2nc1+d,
所以==k对于n∈N*都成立,
化简得,(k-4)dn+(k-2)(2c1-d)=0,
则因为d≠0,所以k=4,d=2c1,
因此d与c1之间的等量关系为d=2c1.
注:本题是用方程恒成立求解.
**3.已知数列{an},{bn}都是等差数列,它们的前n项和分别记为Sn,Tn,满足对一切n∈N*,都有Sn+3=Tn.若a1≠b1,试分别写出一个符合条件的数列{an}和{bn};
解:设数列{an},{bn}的公差分别是d1,d2.
则Sn+3=(n+3)a1+d1,Tn=nb1+d2.
∵对一切n∈N*,有Sn+3=Tn,
∴(n+3)a1+d1=nb1+d2,
即n2+n+3a1+3d1=n2+n.
∴即
故答案不唯一.
例如取d1=d2=2,a1=-2,b1=4,得an=2n-4(n∈N*),bn=2n+2(n∈N*).
注:本题是用方程恒成立求解.
***4.是否存在两个等比数列,,使得b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4成公差不为0的等差数列?若存在,求,的通项公式;若不存在,说明理由.
解:假设存在两个等比数列{an},{bn},
使b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4成公差不为0的等差数列,
设{an}的公比为q1,{bn}的公比为q2,则
,
由b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4成等差数列得
即
①×q2-②得a1(q1-q2)(q1-1)2=0,
由a1≠0得q1=q2或q1=1.
(1)当q1=q2时,由①,②得b1=a1或q1=q2=1,
这时(b2-a2)-(b1-a1)=0与公差不为0矛盾;
(2)当q1=1时,由①,②得b1=0或q2=1,
这时(b2-a2)-(b1-a1)=0与公差不为0矛盾,
综上所述,不存在两个等比数列{an},{bn},
使b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4成公差不为0的等差数列.
注:本题的难点在于多字母的消元.
**5.已知数列{an}是等比数列,且an>0.若a2-a1=8,a3=m,且数列{an}是唯一的,求m的值;
解:要使满足条件的数列{an}是唯一的,即关于a1与q的方程组,有唯一正数解.
所以方程8q2-mq+m=0有唯一解.
则Δ=m2-32m=0,解得m=32或m=0.
因为a3=m>0,所以m=32,此时q=2.
经检验,当m=32时,数列{an}唯一,其通项公式是an=2n+2.
注:“数列{an}是唯一的”转化为关于a1与q的方程组,有唯一正数解.
6.已知n为正整数,数列{an}满足an>0,4(n+1)a-na=0,设数列{bn}满足bn=.
*(1)求证:数列为等比数列;
**(2)若数列{bn}是等差数列,求实数t的值;
**(3)若数列{bn}是等差数列,前n项和为Sn,对任意的n∈N*,均存在m∈N*,使得8aSn-an2=16bm成立,求满足条件的所有整数a1的值.
解:(1)由题意得4(n+1)a=na,因为数列{an}各项均为正,
得=4·,所以=2·,
因此=2,所以是以a1为首项,公比为2的等比数列.
(2)由(1)得=a1·2n-1,即an=a1·2n-1·,
所以bn==,
如果数列{bn}是等差数列,则2b2=b1+b3,
即2·=+,
整理得=+,则t2-16t+48=0,
解得t=4或t=12.
当t=4时,bn=,
因为bn+1-bn=-=,
所以数列{bn}是等差数列,符合题意;
当t=12时,bn=,
因为b2+b4=+==a,2b3=2·=,b2+b4≠2b3,
所以数列{bn}不是等差数列,t=12不符合题意,
综上,如果数列{bn}是等差数列,则t=4.
(3)由(2)得bn=,对任意的n∈N*,均存在m∈N*,使8aSn-an2=16bm,
则8··-an2=16,所以m=.
当a1=2k,k∈N*时,m==k2n,对任意的n∈N*,m∈N*,符合题意;
当a1=2k-1,k∈N*,当n=1时,m==k2-k+∉N*,故不合题意.
综上,当a1=2k,k∈N*,对任意的n∈N*,均存在m∈N*,使8aSn-an2=16bm.
注:(1)利用特殊值法确定等差数列中得参数,务必检验;(2)说明等式不能恒成立,只要举一个反例.
7.已知数列{an}的各项都为自然数,前n项和为Sn,且存在整数λ,使得对任意正整数n都有Sn=(1+λ)an-λ恒成立.
**(1)求λ的值,使得数列{an}为等差数列,并求数列{an}的通项公式;
***(2)若数列{an}为等比数列,此时存在正整数k,当1≤k<j时,有i=2 016,求k.
解:(1)(方法一):因为Sn=(1+λ)an-λ, ①
所以 Sn+1=(1+λ)an+1-λ, ②
由②-①得λan+1=(1+λ)an, ③
当λ=0时,an=0,数列{an}是等差数列.
当λ≠0时,a1=(1+λ)a1-λ,a1=1,且an+1-an=an,④
要使数列{an}是等差数列,则④式右边an为常数,即an+1-an为常数,
④式左边an+1-an=0,an=0,与a1=1矛盾.
综上可得,当λ=0时,数列{an}为等差数列,且an=0.
(方法二)若数列{an}是等差数列,必有2a2=a1+a3,
当λ=0时,a1=a2=a3=0,满足2a2=a1+a3,
此时Sn=an,则Sn+1=an+1,故an=0,
当λ≠0时,a1=1,a2=1+,a3=,
由2a2=a1+a3,得2=1+,该方程无解,
综上可得,当λ=0时,数列{an}为等差数列,其中an=0.
(2)由(1)可得,当λ=0时,数列{an}不是等比数列,
当λ=-1时,由①得Sn=1,则a1=S1=1,
an=Sn-Sn-1=0(n≥2),不是等比数列.
当λ≠0,且λ≠-1时,得=1+,{an}为公比为1+的等比数列,
又对任意n,an∈N,则q=1+∈N,
故仅有λ=1,q=2时,满足题意,
又由(1)得a1=1,故an=2n-1.
因为i==2 016,
所以2k-1(2j-k+1-1)=2 016=25×32×7,
由题意j-k+1≥2,2j-k+1-1为大于1的奇数,所以2k-1=25,k=6,
则2j-5-1=32×7,2j-5=64,j=11,
故仅存在k=6时,j=11,i=2 016.
注:(1)判定等差数列可以利用定义或用中项关系,等差数列中的未知量可以用项的恒等关系探求,也可以利用特殊项的关系列方程求得.(2)题(2)的难点在于由n,an∈N,得q=1+∈N.
***8.若存在常数k(k∈N*,k≥2),q,d,使得无穷数列{an}满足an+1=则称数列{an}为“段比差数列”,其中常数k,q,d分别叫做段长、段比、段差.设首项为b的等比数列{bn}为“段比差数列”,试写出所有满足条件的{bn},并说明理由.
解:(方法一)设{bn}的段长、段比、段差分别为k,q,d,
则等比数列{bn}的公比为=q,由等比数列的通项公式得bn=bqn-1,
当任意m∈N*时,bkm+2-bkm+1=d,即bqkm+1-bqkm=bqkm(q-1)=d恒成立,
①若q=1,则d=0,bn=b;
②若q≠1,则qkm=,则qkm为常数,q=-1,k为偶数,d=-2b,
bn=(-1)n-1b;
经检验,满足条件的{bn}的通项公式为bn=b或bn=(-1)n-1b.
(方法二)设{bn}的段长、段比、段差分别为k,q,d,
①若k=2,则b1=b,b2=b+d,b3=(b+d)q,b4=(b+d)q+d,
由b1b3=b,得b+d=bq;由b2b4=b,得(b+d)q2=(b+d)q+d,
联立两式,得或则bn=b或bn=(-1)n-1b,经检验均合题意.
②若k≥3,则b1=b,b2=b+d,b3=b+2d,
由b1b3=b,得(b+d)2=b(b+2d),得d=0,则bn=b,经检验适合题意.
综上①②,满足条件的{bn}的通项公式为bn=b或bn=(-1)n-1b.
注:(1)新定义数列的问题理解定义非常关键;(2)方法一和方法二示范了恒成立问题处理的两种策略.
**9.已知数列{an}的奇数项是公差为d1的等差数列,偶数项是公差为d2的等差数列,Sn是数列{an}的前n项和,a1=1,a2=2.已知S15=15a8,且对任意n∈N*,有an<an+1恒成立,求证:数列{an}是等差数列;
证:当n为偶数时,由an<an+1恒成立,得2+d2<1+d1,
即n(d2-d1)+2-2d2<0恒成立,所以d2-d1≤0且d1>1.
当n为奇数时,由an<an+1恒成立,得1+d1<2+d2,
即n(d1-d2)-d1+d2-2<0恒成立,所以d1-d2≤0.
因此d1=d2.
又由S15=15a8,得(a1+a3+…+a15)+(a2+a4+…+a14)=15(a2+3d2),
即8+d1+14+d2=30+45d2.
解得d1=d2=2.
所以an=n,即数列{an}是等差数列.
注:利用数列单调性,通过夹逼法确定参数值.
***10.设无穷数列满足:任意n∈Ν*,an<an+1,an∈N*.记bn=a,cn=a(n∈N*).
(1)若bn=3n(n∈N*),求证:a1=2,并求c1的值;
(2)若是公差为1的等差数列,问是否为等差数列,证明你的结论.
解:(1)因为an∈N*,所以若a1=1,则a=a1=3矛盾,
若a1≥3=a,可得1≥a1≥3矛盾,所以a1=2.于是a2=a=3,从而c1=a=a3=a=6.
(2)是公差为1的等差数列,
(方法一)由an+1>an得n≥2时,an>an-1,所以an≥an-1+1,an≥am+(n-m),(m<n).
所以a≥a+an+1+1-(an+1),即cn+1-cn≥an+1-an,
由题设,1≥an+1-an,又an+1-an≥1,所以an+1-an=1,即是等差数列.
(方法二)由an<an+1,an∈N*可得an+1-an≥1,下面我们来证明an+1-an≤1恒成立,
假设an+1-an>1,则an+1-an≥2,an+1+1-an+1≥2,
由数列的单调性可得a-a≥2与题设矛盾,所以假设不成立,故an+1-an≤1,
则an+1-an=1,即是等差数列.
(方法三)一方面:由an<an+1,且an∈N*,可得an+1-an≥1恒成立;
另一方面:是公差为1的等差数列,则a-a=1,
a=1+a≤a,从而an+1+1≤an+2,变形可得an+1-an≤1,
综上:an+1-an=1,是等差数列.
注:(1)利用数列单调性,通过夹逼法确定参数值.(2)本题得难点还在于符号“a”过于抽象.
11.已知数列{an}单调递增,且各项非负,对于正整数K,若任意的i,j(1≤i≤j≤K),aj-ai仍是{an}中的项,则称数列{an}为“K项可减数列”.
*(1)已知数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列,且数列{an-2}是“K项可减数列”,试确定K的最大值;
***(2)求证:若数列{an}是“K项可减数列”,则其前n项的和Sn=an(n=1,2,…,K);
解:(1)设cn=an−2=2n−2,则c1=0,c2=2,c3=6,
易得c1-c1=c1,c2-c1=c2,c2-c2=c1,即数列{cn}一定是“2项可减数列”,
但因为c3-c2≠c1,c3-c2≠c2,c3-c2≠c3,所以K的最大值为2.
(2)因为数列{an}是“K项可减数列”,
所以ak-at(t=1,2…,K)必定是数列{an}中的项,
而{an}是递增数列,故ak-ak<ak-ak-1<ak-ak-2<…<ak-a1,
所以必有ak-ak=a1,ak-ak-1=a2,ak-ak-2=a3,…,ak-a1=ak,
则a1+a2+a3+…+ak=(ak-ak)+(ak-ak-1)+(ak-ak-2)+…+(ak-a1)=Kak-(a1+a2+a3+…+ak),
所以SK=KaK-SK,即SK=aK.
又由定义知,数列{an}也是“t项可减数列”(t=1,2,…,K-1),
所以Sn=an(n=1,2,…,K).
注:由数列单调性,构造项的排序,是题(2)求解的关键.
12.已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn},{cn}满足(n+1)bn=an+1-,(n+2)cn=-,其中n∈N*.
*(1)若数列{an}是公差为2的等差数列,求数列{cn}的通项公式;
***(2)若存在实数λ,使得对一切n∈N*,有bn≤λ≤cn,求证:数列{an}是等差数列.
解:(1)因为数列{an}是公差为2的等差数列,
所以an=a1+2(n-1),=a1+n-1.
因为(n+2)cn=-(a1+n-1)=n+2,所以cn=1.
(2)证明:由(n+1)bn=an+1-,
得n(n+1)bn=nan+1-Sn,(n+1)(n+2)bn+1=(n+1)an+2-Sn+1,两式相减,
并化简得an+2-an+1=(n+2)bn+1-nbn.
从而(n+2)cn=-=-[an+1-(n+1)bn]
=+(n+1)bn=+(n+1)bn=(bn+bn+1),
因此cn=(bn+bn+1).
因为对一切n∈N*,有bn≤λ≤cn,
所以λ≤cn=(bn+bn+1)≤λ,故bn=λ,cn=λ.
所以(n+1)λ=an+1-,①
(n+2)λ=(an+1+an+2)-,②
②-①得(an+2-an+1)=λ,即an+2-an+1=2λ,故an+1-an=2λ(n≥2).
又2λ=a2-=a2-a1,则an+1-an=2λ(n≥1).
所以数列{an}是等差数列.
注:本题难度非常大,主要技巧体现在:(1)首先需要利用条件“(n+1)bn=an+1-,(n+2)cn=-”消去数列{an};(2)利用不等关系bn≤λ≤cn夹逼出数列{bn},{cn}.
13.已知数列{an}是公差不为零的等差数列,数列{bn}是等比数列.
**(1)设cn=anbn(n∈N*),其中an是公差为2的整数项数列,bn=,若c5>2c4>4c3>8c2>16c1,且当n≥17时,{cn}是递减数列,求数列{an}的通项公式;
***(2)若数列{cn}使得是等比数列,数列{dn}的前n项和为,且数列{dn}满足:对任意n≥2,n∈N*,或者dn=0恒成立或者存在正常数M,使<|dn|<M
恒成立,求证:数列{cn}为等差数列.
解:(1)由题意得cn+1>2cn对n=1,2,3,4恒成立,且cn>cn+1对n≥17恒成立,
设cn=anbn=·(2n+t),则(2n+t+2)>2(2n+t),
即14t<24-28n对n=1,2,3,4恒成立,得t<-,
由(2n+t)>(2n+t+2)得t>24-2n对n≥17恒成立,得t>-10,
所以 -10<t<-,而t∈Z,所以t=-9,-8,-7,
所以an=2n-7,或an=2n-8,或an=2n-9.
(3) 证明:设bn=A1q,=A2q,则an=··cn,
不妨设=A,=q,则an=Aqn·cn,
i==Aqn-1,所以dn==[A(q-1)]qn-1(n≥2),
即|dn|=|A(q-1)||q|n-1(n≥2).
若q=1,满足dn=0(n≥2);
若q>1,则对任给正数M,则n取(log|q|,+∞)内的正整数时,|dn|>M,与<dn<M矛盾;
若0<q<1,则对任给正数T=,则n取(log|q|,+∞)内的正整数时|dn|<T=,与<dn<M矛盾.
所以 q=1,所以 an=Acn.
而an是等差数列,设公差为d′,所以 cn+1-cn=(an+1-an)=为定值,所以 数列{cn}为等差数列.
注:题(2)主要示范数列有界性的应用.
类型三:等差、等比数列中的探究
一、高考回顾
1.(2009年高考题)设{an}是公差不为零的等差数列,Sn为其前n项和,满足a22+a32=a42+a52,S7=7.
(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn;
(2)试求所有的正整数m,使得为数列{an}中的项.
解:(1)设公差为d,则a-a=a-a,由性质得-3d(a+a)=d(a+a),
因为d≠0,所以a+a=0,即2a1+5d=0,又由S7=7得7a1+d=7,
解得a1=-5,d=2,an =2n-7, Sn=n2-6n.
(2) 因为==am+2-6+为数列{an}中的项,
故为整数,又由(1)知:am+2为奇数,所以am+2=2m-3=±1,m=1,2.
经检验,符合题意的正整数只有m=2.
2.(2015年高考题)设a1,a2,a3,a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列.
(1)证明:2,2,2,2依次成等比数列;
(2)是否存在a1,d,使得a1,a22,a33,a44依次成等比数列,并说明理由.
解:(1)因为=2an+1−an=2d,(n=1,2,3,)是同一个常数,
所以2a1,2a2,2a3,2a4依次构成等比数列;
(2)令a1+d=a,则a1,a2,a3,a4分别为a-d,a,a+d,a+2d(a>d,a>-2d,d≠0)
假设存在a1,d使得a1,a22,a33,a44依次构成等比数列,
则a4=(a-d)(a+d)3,且(a+d)6=a2(a+2d)4,
令t=,则1=(1-t)(1+t)3,且(1+t)6=(1+2t)4,(-<t<1,t≠0),
化简得t3+2t2-2=0(*),且t2=t+1,将t2=t+1代入(*)式,
t(t+1)+2(t+1)-2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0,则t=-,
显然t=-不是上面方程的解,矛盾,所以假设不成立,
因此不存在a1,d,使得a1,a22,a33,a44依次构成等比数列.
3.(2008年高考题)(1)设数列a1,a2,…,an(n≥4)是各项均不为0的等差数列,且公差d≠0,若从中删去一项后,剩余各项(按原来的顺序)成等比数列.
(i)当n=4时,求的值;
(ii)求n的所有可能值.
(2)求证:对于给定的正整数n(n≥4),存在一个各项及公差均不为0的等差数列b1,b2,…,bn,其中任意三项(按原来的顺序)都不能组成等比数列.
解:(1)①当n=4时,a1,a2,a3,a4中不可能删去首项或末项,否则等差数列中连续三项成等比数列,推出d=0,与公差d≠0矛盾.
若删去a2,则有a=a1a4,即(a1+2d)2=a1(a1+3d),化简得a1d+4d2=0.
因为d≠0,所以=4;
若删去a3,则有a=a1a4,即(a1+d)2=a1(a1+3d),得=1.
综上,=1或-4.
②当n=5时,在a1,a2,a3,a4,a5中,同①可证不可能删去首项或末项.
若删去a2,则有a1a5=a3a4,即a1(a1+4d)=(a1+2d)(a1+3d),得=6;
若删去a3,则有a1a5=a2a4,即a1(a1+4d)=(a1+d)(a1+3d),化简得3d2=0,即d=0,与公差d≠0矛盾,所以也不能删去a3;
若删去a4,则有a1a5=a2a3,即a1(a1+4d)=(a1+d)(a1+2d),得=2.
当n≥6时,不存在这样的等差数列.
事实上,在数列a1,a2,…,an-2,an-1,an中,由于不能删去首项或末项,所以
若删去a2,则有a1an=a3an-2,得d=0,与公差d≠0矛盾;
同样若删去an-1,则也有a1an=a3an-2,得d=0,与公差d≠0矛盾;
若删去a3,…,an-2中任意一个,则必有a1an=a2an-1,得d=0,与公差d≠0矛盾;
综上所述,n∈{4,5}.
(2)假设对于某个正整数n,存在一个公差为d的n项等差数列b1,b2,…,bn,其中bx+1,by+1,bz+1(0≤x<y<z≤n-1)为任意三项成等比数列,则b+1=bx+1bz+1,即(b1+yd)2=(b1+xd)(b1+zd),化简得(y2-xz)d2=(x+z-2y)b1d.(*)
由b1d知,y2-xz=0与x+z-2y同时为0或同时不为0.
当y2-xz与x+z-2y同时为0时,有x=z=y与题设矛盾.
故y2-xz与x+z-2y同时不为0,所以由(*)得=.
因为0≤x<y<z≤n-1,且x,y,z为整数,所以上式右边为有理数,从而为有理数.
于是,对于任意的正整数n(n≥4),只要为无理数,相应的数列就是满足题意要求的数列.
例如n项数列1,1+,1+2,……,1+(n-1)满足要求.
二、方法联想
数列中的存在性问题,常常转化为方程解的存在性问题研究,涉及到的往往是两类方程:
(1)方程的个数大于等于可求解未知数的个数;
(2)方程的个数小于等于可求解未知数的个数(不定方程).
方法一:利用约数,筛选不定方程的可能解,缩小解范围,进而枚举检验;
方法二:利用奇偶分析缩小解的范围或判定方程无解;
方法二:利用有理数和无理数的分析判定方程无解;
方法四:利用数的符号或数列的单调性、有界性构造不等式,缩小解范围,进而枚举检验;
三、归类研究
**1.在数列{an}中,已知a1=a2=1,an+an+2=λ+2an+1,n∈N*,λ为常数.当λ≠0时,数列 {an-1}中是否存在三项as+1-1,at+1-1,ap+1-1成等比数列,且s,t,p也成等比数列?若存在,求出s,t,p的值;若不存在,说明理由.
解:由an+an+2=λ+2an+1,得an+2-an+1=an+1-an+λ,
令bn=an+1-an,则bn+1-bn=λ,b1=a2-a1=0,
所以{bn}是以0为首项,公差为λ的等差数列,
所以bn=b1+(n-1)λ=(n-1)λ,
即an+1-an=(n-1)λ,
用累加法可求得an=1+λ(n≥2),
当n=1时也适合,所以an=1+λ(n∈N*).
假设存在三项as+1-1,at+1-1,ap+1-1成等比数列,且s,t,p也成等比数列,
则(at+1-1)2=(as+1-1)(ap+1-1),即=,
因为s,t,p成等比数列,所以t2=sp,
所以(t-1)2=(s-1)(p-1),
化简得s+p=2t,联立 t2=sp,得s=t=p.
这与题设矛盾.
故不存在三项as+1-1,at+1-1,ap+1-1成等比数列,且s,t,p也成等比数列.
注:既是等差数列,又是等比数列的数列是常数列.
***2.设数列{cn}满足cn=2n-1,对于给定的正整数p,是否存在正整数q、r(p<q<r),使得、、成等差数列?若存在,试用p表示q、r;若不存在,说明理由.
解:① 当p=1时,cp=c1=1,cq=2q-1,cr=2r-1,
若、、成等差数列,则=1+(*).
因为p<q<r,
所以q≥2,r≥3,<1,1+>1,
所以(*)不成立.
② 当p≥2时,若、、成等差数列,则=+,
所以=-=,
即2r-1=,
所以r=,
欲满足题设条件,只需q=2p-1,此时r=4p2-5p+2.
因为p≥2,所以q=2p-1>p,r-q=4p2-7p+3=4(p-1)2+p-1>0,
即r>q.
综上所述,当p=1时,不存在q、r满足题设条件;当p≥2时,存在q=2p-1,r=4p2-5p+2,满足题设条件.
注:(1)两个未知量,一个等量关系,可以进行未知量分离;(2)利用1是任何整数的约数,构造不定方程的一组解.
**3.设数列{an}的前n项和Sn=n2,数列{bn}满足bn=(m∈N*).是否存在m,使得数列{bn}中存在某项bt满足b1,b4,bt(t∈N*,t≥5)成等差数列?若存在,请指出符合题意的m的个数;若不存在,请说明理由.
解:因为Sn=n2,所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1.
又当n=1时,a1=S1=1,适合上式,所以an=2n-1(n∈N*).
假设存在m,使得b1,b4,bt(t∈N*,t≥5)成等差数列,即2b4=b1+bt,则
2×=+,化简得t=7+.
所以当m-5=1,2,3,4,6,9,12,18,36时,分别存在t=43,25,19,16,13,11,10,9,8适合题意,
即存在这样m,且符合题意的m共有9个.
注:(1)两个未知量,一个等量关系,可以进行未知量分离;(2)利用约数,筛选不定方程的可能解,缩小范围,进而使枚举检验成为可能.
4.数列{an}满足:a1+++…+=n2+2n(λ>0,n∈N*)
*(1)求数列{an}的通项公式;
**(2)当λ=4时,是否存在互不相同的正整数r,s,t,使得ar,as,at成等比数列?若存在,给出r,s,t满足的条件;若不存在,说明理由;
解:(1)a1=3.
当n≥2时,由a1+++…+=n2+2n ①,
得a1+++…+=(n-1)2+2(n-1) ②,
①- ②得=2n+1,所以an=(2n+1)λn-1(n≥2).
因为a1=3,所以an=(2n+1)λn-1(n∈N*).
(2)当λ=4时,an=(2n+1)4n-1
若存在ar,as,at成等比数列,则(2r+1)(2t+1)4r+t-2s=(2s+1)2
由奇偶性知r+t-2s=0
所以(2r+1)(2t+1)=(r+t+1)2,即r=t,这与r≠t矛盾.
故不存在互不相同的正整数r,s,t,使得ar,as,at成等比数列.
注:利用奇偶分析,说明不定方程无解.
**5.已知bn=3·2n-1-2,试问:数列{bn}中是否存在不同的三项bp,bq,br(p,q,r∈N*)恰好成等差数列?若存在,求出p,q,r的关系;若不存在,请说明理由.
解:若数列{bn}中存在不同的三项bp,bq,br(p,q,r∈N*)恰好成等差数列,
不妨设p>q>r,显然{bn}是递增数列,则2bq=bp+br
即2(3·2q-1-2)=(3·2p-1-2)+(3·2r-1-2),化简得:
2·2q-r=2p-r+1……(*)
由于p,q,r∈N*,且p>q>r,知q-r≥1,p-r≥2,
所以(*)式左边为偶数,右边为奇数,
故数列{bn}中不存在不同的三项bp,bq,br(p,q,r∈N*)恰好成等差数列.
注:利用奇偶分析,说明不定方程无解.
***6.已知bn=2n-1,由{bn}构成一个新数列3,b2,b3,设这个新数列的前n项和为Sn,若Sn可以写成ab,(a,b∈N,a>1,b>1),则称Sn为“好和”.问S1,S2,S3,···中是否存在“好和”,若存在,求出所有“好和”;若不存在,说明理由.
解:当n≥2时,Sn=3+2+4+…+2n-1=2n+1.
由ab=2n+1,ab-1=2n,a,b∈N,a>1,b>1,a只能是不小于3的奇数.
当b为偶数时,ab-1=(a+1)(a-1)=2n.
因为a+1,a-1都是大于1的正整数,所以存在正整数t,s使得a-1=2t,a+1=2s,
2s-2t=2,2t(2s-t-1)=2,2t=2且2s-t-1=1,t=1,s=2.
相应的n=3,即有S3=32,S3为好和;
当b为奇数时,ab-1=(a-1)(1+a+a2+…+ab-1),
由于1+a+a2+…+ab-1是b个奇数之和,仍为奇数,又a-1为正偶数,
所以(a-1)(1+a+a2+…+ab-1)=2n不成立,这时没有好和.
注:利用因数分解,结合奇偶分析,探究方程解的情形.
**7.已知cn=n++1,试问:在数列{cn}中是否存在三项cr,cs,ct(r<s<t,r,s,t∈N*)恰好成等比数列?若存在,求出此三项;若不存在,请说明理由.
解:,假设存在三项cr,cs,ct成等比数列,则cs2=cr•ct,
即[s+(+1)]2=[r+(+1)][t+(+1)],
整理得(2s−r−t) =rt+r+t−s2−2s.
当2s-r-t≠0时,=,
因为r,s,t∈N*,所以是有理数,这与为无理数矛盾;
当2s-r-t=0时,则rt+r+t-s2-2s=0,从而
解得r=t,这与r<t矛盾.
综上所述,不存在满足题意的三项cr,cs,ct.
注:利用有理数无理数分析,说明方程无解.
**9.已知Tn=,是否存在正整数m,n(1<m<n),使得T1,Tm,Tn成等比数列?若存在,求出所有的m,n的值;若不存在,请说明理由.
解:T1=,Tm=,Tn=,
若T1,Tm,Tn成等比数列,则()2=(),即=.
方法一:由=,可得=,
所以-2m2+4m+1>0,.5u
从而1-<m<1+,又m∈N,且m>1,所以m=2,此时n=12.
故可知当且仅当m=2, n=12使数列{Tn中的T1,Tm,Tn成等比数列.
方法二:因为=<,故<,即2m2-4m-1<0,
从而1-<m<1+,(以下同上).
注:(1)两个未知量,一个等量关系,可以进行未知量分离;(2)通过构造不等式关系,筛选不定方程的可能解,缩小范围,进而使枚举检验成为可能.
**10.已知Sn=4(1−),是否存在正整数m,n,使<成立?若存在,求出所有符合条件的有序实数对(m,n);若不存在,说明理由.
解:由<,得<,即<,
所以1−<1−,即>,
因为2m+1>0,所以2n(4-m)>2,
所以m<4,且2<2n(4-m)<2m+1+4,①
因为m∈N*,所以m=1或2或3.
当m=1时,由①得,2<2n×3<8,所以n=1;
当m=2时,由①得,2<2n×2<12,所以n=1或2;
当m=3时,由①得,2<2n<20,所以n=2或3或4,
综上可知,存在符合条件的所有有序实数对(m,n)为:(1,1),(2,1),(2,2),(3,2),(3,3),(3,4).
注:通过构造不等式关系,缩小解范围,进而使枚举检验成为可能.
11.已知各项均为正数的等比数列{an}的公比为q,且0<q<.
**(1)在数列{an}中是否存在三项,使其成等差数列?说明理由;
***(2)若a1=1,且对任意正整数k,ak-(aK+1+ak+2)仍是该数列中的某一项.求公比q.
解:(1)根据题意,an=a1qn-1,其中0<q<.
因为an>0,所以an+1<an对任意n∈N+恒成立,
设{an}中存在三项ak、am、an(k<m<n),满足成等差数列
则2am=ak+an,即2qm-k=1+qn-k,
由2qm-k<1且1+qn-k>1,可得上式不能成立.因此数列{an}中不存在三项,使其成等差数列.
(2)ak-(ak+1+ak+2)=a1qk-1(1-q-q2)=a1qk-1[-(q+)2]
因为[-(q+)2]∈(,1),
所以ak-(aK+1+ak+2)<ak<ak-1<…<a2<a1,且ak-(ak+1+ak+2)>ak+2>ak+3>…
因此,只有ak-(ak+1+ak+2)=ak+1,化简可得q2+2q-1=0
解之得q=−1(舍负);
注:(1)通过构造不等式关系,说明方程无解.(2)利用数列的单调性,消元.
12.已知数列{an}中,a2=1,前n项和为Sn,且Sn=.
*(1)求a1;
**(2)证明数列{an}为等差数列,并写出其通项公式;
***(3)设lgbn=,试问是否存在正整数p,q(其中1<p<q),使b1,bp,bq成等比数列?若存在,求出所有满足条件的数组(p,q);若不存在,说明理由.
解:(1)令n=1,则a1=S1==0.
(2)由Sn=,即Sn=, ①
得Sn+1=. ②
②-①,得(n-1)an+1=nan. ③
于是,nan+2=(n+1)an+1. ④
③+④,得nan+2+nan=2nan+1,即an+2+an=2an+1.
又a1=0,a2=1,a2-a1=1,
所以,数列{an}是以0为首项,1为公差的等差数列.
所以,an=n-1.
(3)解法1:假设存在正整数数组(p,q),使b1,bp,bq成等比数列,则lgb1,lgbp,lgbq成等差数列,于是,=+.
p≥2时,-=<0,故数列{}( p≥2)为递减数列,
q≥3时,(+)-(+)=<0,故数列{+}(q≥3)为递减数列,
()max=,(+)max=,即p=2,q=3时,=+
又当p≥3时,≤=<,故无正整数q使得=+成立.
解法2:同上有,=+>,且数列{}( p≥2)为递减数列,
当p=2时,=>成立;当p≥3时,≤=<,
因此,由>得,p=2,此时q=3
注:利用数列单调性,通过放缩,将方程转为不等式,进而限制未知数的取值范围,使枚举验证成为可能.
13.已知等差数列{an}的首项为a,公差为b,等比数列{bn}的首项为b,公比为a,其中a,
b都是大于1的正整数,且a1<b1,b2<a3.
*(1)求a的值;
**(2)若对于任意的n∈N*,总存在m∈N+,使得am+3=bn成立,求b的值;
***(3)令Cn=an+1+bn,问数列{Cn}中是否存在连续三项成等比数列?若存在,求出所有成等比数列的连续三项;若不存在,请说明理由.
解:(1)由已知,得an=a+(n-1)b,bn=b·an-1.由a1<b1,b2<a3,得a<b,ab<a+2b.
因a,b都为大于1的正整数,故a≥2.又b>a,故b≥3.
再由ab<a+2b,得 (a-2)b<a.
由b>a,故(a-2)b<b,即(a-3)b<0.
由b≥3,故a-3<0,解得a<3.
于是2≤a<3,根据a∈N,可得a=2.
(2)由a=2,对于任意的n∈N*,均存在m∈N*,使得b(m-1)+5=b·2n-1,则
b(2n-1-m+1)=5.
又b≥3,由数的整除性,得b是5的约数.
故2n-1-m+1=1,b=5.
所以b=5时,存在正自然数m=2n-1满足题意.
(3)设数列{Cn}中,Cn,Cn+1,Cn+2成等比数列,由Cn=2+nb+b·2n-1,
(Cn+1)2=Cn·Cn+2,得(2+nb+b+b·2n)2=(2+nb+b·2n-1)(2+nb+2b+b·2n+1).
化简,得b=2n+(n-2)·b·2n-1. (※)
当n=1时,b=1时,等式(※)成立,而b≥3,不成立.
当n=2时,b=4时,等式(※)成立.
当n≥3时,b=2n+(n-2)·b·2n-1>(n-2)·b·2n-1≥4b,这与b≥3矛盾.
这时等式(※)不成立.
综上所述,当b≠4时,不存在连续三项成等比数列;当b=4时,数列{Cn}中的第二、三、四项成等比数列,这三项依次是18,30,50.
注:(1)用约数筛选方程可能解;(2)通过放缩法,构造不等式,筛选方程可能的解.
14.已知数列{an}是以d为公差的等差数列,数列{bn}是以q为公比的等比数列.
*(1)若数列{bn}的前n项和为sn,且a1=b1=d=2,S3<a1003+5b2-2010,求整数q的值;
***(2)在(1)的条件下,试问数列{bn}中是否存在一项bk,使得bk恰好可以表示为该数列中连续p(p∈N,p≥2)项的和?请说明理由;
***(3)若b1=ar,b2=as≠ar,b3=at(其中t>s>r,且(s-r)是(t-r)的约数),求证:数列{bn}中每一项都是数列{an}中的项.
解:(1)由题意知,an=2n,bn=2·qn-1,所以由S3<a1003+5b2-2010,
得b1+b2+b3<a1003+5b2-2010Þb1-4b2+b3<2006-2010Þq2-4q+3<0,
解得1<q<3,又q为整数,所以q=2.
(2)假设数列{bn}中存在一项bk,满足bk=bm+bm+1+bm+2+…+bm+p-1,
因为bn=2n,所以bk>bm+p-1Þ2k>2m+p-1Þk>m+p-1Þk≥m+p(*),
又bk=2k=bm+bm+1+bm+2+…+bm+p-1=2m+2m+1+…+2n+p-1
==2m+p-2m<2m+p,所以k<m+p,此与(*)式矛盾.
所以,项bk不存在.
(3)由b1=ar,得b2=b1q=arq=as=ar+(s-r)d,则d= ,
又b3=b1q2=arq2=at=ar+(t-r)dÞarq2-ar=(t-r)·,
从而ar(q+1)(q-1)=ar(q-1)·,因为as≠arÞb1≠b2,所以q≠1,又ar≠0,
故q=-1. 又t>s>r,且(s-r)是(t-r)的约数,所以q是整数,且q≥2.
对于数列{bn}中任一项bi(不妨设i>3),有
bi=ar+ar(qi-1-1)=ar+ar(q-1)(1+q+q2+…+qi-2)
=ar+d(s-r)(1+q+q2+…+qi-2)=ar+[((s-r)(1+q+q2+…+qi-2)+1)-1]·d,
由于(s-r)(1+q+q2+…+qi-2)+1是正整数,所以bi一定是数列{a}的项.
注:利用数列的有界性,构造矛盾,说明方程无解.
15.已知数列{an},an=pn+λqn(p>0,q>0,p≠q,λ∈R,λ≠0,n∈N*).
*(1)求证:数列{an+1-pan}为等比数列;
**(2)数列{an}中,是否存在连续的三项,这三项构成等比数列?试说明理由;
***(3)设A={(n,bn)|bn=3n+kn,n∈N*},其中k为常数,且k∈N*,B={(n,cn)|cn=5n,n∈N*},求A∩B.
解:(1)因为an=pn+λqn,所以an+1-pan=pn+1+λqn+1-p(pn+λqn)=λqn(q-p),
因为λ≠0,q>0,p≠q所以=q为常数所以数列{an+1-pan}为等比数列
(2)取数列{an}的连续三项an,an+1,an+2(n≥1,n∈N*),
因为a-anan+2=(pn+1+λqn+1)2-(pn+λqn)(pn+2+λqn+2)=-λpnqn(p-q)2,
因为p>0,q>0,p≠q,λ≠0,所以-λpnqn(p-q)2≠0,即a≠anan+2,
所以数列{an}中不存在连续三项构成等比数列;
(3)当k=1时,3n+kn=3n+1<5n,此时B∩C=Æ;
当k=3时,3n+kn=3n+3n=2·3n为偶数;而5n为奇数,此时B∩C=Æ;
当k≥5时,3n+kn>5n,此时B∩C=Æ;
当k=2时,3n+2n=5n,发现n=1符合要求,下面证明唯一性(即只有n=1符合要求).
由3n+2n=5n得()n+()n=1,
设f(x)=()x+()x,则f(x)=()x+()x是R上的减函数,所以 f(x)=1的解只有一个,
从而当且仅当n=1时()n+()n=1,即3n+2n=5n,此时B∩C={(1,5)};
当k=4时,3n+4n=5n,发现n=2符合要求,同理可证明唯一性(即只有n=2符合要求).
从而当且仅当n=2时()n+()n=1,即3n+4n=5n,此时B∩C={(2,25)};
综上,当k=1,k=3或k≥5时,B∩C=Æ;
当k=2时,B∩C={(1,5)},
当k=4时,B∩C={(2,25)}.
注:(1)通过放缩法,构造不等式,筛选方程可能的解.(2)通过函数单调性,说明解的唯一性.