- 1002.50 KB
- 2021-06-16 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
第2讲 空间几何体的表面积与体积
[学生用书P123]
1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧=2πrl
S圆锥侧=πrl
S圆台侧=π(r+r′)l
2.空间几何体的表面积与体积公式
名称
几何体
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积=S侧+2S底
V=S底h
锥 体(棱锥和圆锥)
S表面积=S侧+S底
V=S底h
台 体(棱台和圆台)
S表面积=S侧+S上+S下
V=(S上+S下+)h
球
S=4πR2
V=πR3
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.( )
(2)锥体的体积等于底面积与高之积.( )
(3)球的体积之比等于半径比的平方.( )
(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差.( )
(5)长方体既有外接球又有内切球.( )
答案:(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)×
以长为a,宽为b的矩形的一边所在的直线为轴旋转一周所得圆柱的侧面积为( )
A.ab B.πab
C.2πab D.2ab
解析:选C.若以长边所在的直线为轴旋转,则S侧=2πab,若以短边所在的直线为轴旋转,则S侧=2πba.
所以S圆柱侧=2πab,故选C.
(教材习题改编)已知圆锥的表面积等于12π cm2,其侧面展开图是一个半圆,
则底面圆的半径为( )
A.1 cm B.2 cm
C.3 cm D. cm
解析:选B.S表=πr2+πrl=πr2+πr·2r=3πr2=12π,所以r2=4,所以r=2 cm.
(教材习题改编)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.6 B.3
C.2 D.3
解析:选B.由三视图可知,该几何体是一个直三棱柱,其底面为侧视图,该侧视图是底边为2,高为的三角形,正视图的长为三棱柱的高,故h=3,所以几何体的体积V=S·h=(×2×)×3=3.
已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m),则该四棱锥的体积为________m3.
解析:根据三视图可知该四棱锥的底面是底边长为2 m,高为1 m的平行四边形,四棱锥的高为3 m.
故该四棱锥的体积V=×2×1×3=2 (m3).
答案:2
空间几何体的表面积[学生用书P124]
[典例引领]
(1)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于( )
A.8+2 B.11+2
C.14+2 D.15
(2)(2018·太原模拟)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于( )
A.6π+1 B.+1
C.+ D.+1
【解析】 (1)由三视图知,该几何体是一个直四棱柱,上、下底面为直角梯形,如图所示.直角梯形斜腰长为=,所以底面周长为4+,侧面积为2×(4+)=8+2,两底面的面积和为2××1×(1+2)=3,所以该几何体的表面积为8+2+3=11+2.
(2)由几何体的三视图知,该几何体为一个组合体,其中下部是底面直径为2,高为2的圆柱,上部是底面直径为2,高为1的圆锥的四分之一,所以该几何体的表面积为4π+π+++1=+1,故选D.
【答案】 (1)B (2)D
空间几何体表面积的求法
(1)表面积是各个面的面积之和,求多面体的表面积,只需将它们沿着棱剪开展成平面图形,利用求平面图形面
积的方法求多面体的表面积.求旋转体的表面积,可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手,将其展开后求表面积,但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系.
(2)求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体, 先求出这些基本的柱、锥、台体的表面积,再通过求和或作差,求出几何体的表面积.
[注意] (1)以三视图为载体的几何体的表面积问题,关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理.
(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.
[通关练习]
1.一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为( )
A.21+ B.18+
C.21 D.18
解析:选A.由三视图可得如图所示的几何体,是棱长为2的正方体去掉对角上两个小三棱锥,故该多面体的表面积为S=6×2×2-6××1×1+2×××=21+.
2.如图所示的是一个几何体的三视图,则该几何体的表面积为________.
解析:该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分,长方体的长,宽,高分别为4,1,2,挖去半圆柱的底面半径为1,高为1,所以表面积为S=S长方体表-2S半圆柱底-S圆柱轴截面+S半圆柱侧=2×4×1+2×1×2+2×4×2-π×12-2×1+×2π×1=26.
答案:26
空间几何体的体积(高频考点)
[学生用书P124]
空间几何体的体积是每年高考的热点,考查时多与三视图结合考查,题型既有选择题、填空题,也有解答题,属于容易题.主要命题角度有:
(1)公式法求体积;
(2)割补法求体积;
(3)等积法求体积.
[典例引领]
角度一 公式法求体积
(1)(2017·高考浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是( )
A.+1 B.+3
C.+1 D.+3
(2)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.+π B.+π
C.+π D.1+π
【解析】 (1)由三视图可知该几何体是由底面半径为1,高为3的半个圆锥和三棱锥SABC组成的,如图,三棱锥的高为3,底面△ABC中,AB=2,OC=1,AB⊥OC.故其体积V=××π×12×3+××2×1×3=+1.故选A.
(2)由三视图可知,四棱锥的底面是边长为1的正方形,高为1,其体积V1=×12×1=.设半球的半径为R,则2R=,即R=,所以半球的体积V2=×R3=××=π.故该几何体的体积V=V1+V2=+π.
【答案】 (1)A (2)C
角度二 割补法求体积
(1)(2017·高考全国卷Ⅱ)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( )
A.90π B.63π
C.42π D.36π
(2)
如图所示,在多面体ABCDEF中,已知ABCD是边长为1的正方形,且△ADE,△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为( )
A. B.
C. D.
【解析】 (1)由三视图可知两个同样的几何体可以拼成一个底面直径为6,高为14的圆柱,所以该几何体的体积V=×32×π×14=63π.故选B.
(2)法一:
如图所示,分别过A,B作EF的垂线,垂足分别为G,H,连接DG,CH,则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱,
因为三棱锥高为,直三棱柱高为1,AG==,
取AD的中点M,则MG=,
所以S△AGD=×1×=,
所以V=×1+2×××=.
法二:如图所示,取EF的中点P,则原几何体分割为两个三棱锥和一个四棱锥,易知三棱锥PAED和三棱锥PBCF都是棱长为1的正四面体,四棱锥PABCD为棱长为1的正四棱锥.
所以V=×12×+2×××=.
【答案】 (1)B (2)A
角度三 等积法求体积
如图所示,已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则三棱锥B1ABC1的体积为( )
A. B.
C. D.
【解析】 三棱锥B1ABC1的体积等于三棱锥AB1BC1的体积,三棱锥AB1BC1的高为,底面积为,故其体积为××=.
【答案】 A
(1)处理体积问题的思路
①“转”:指的是转换底面与高,将原来不易求面积的底面转换为易求面积的底面,或将原来不易看出的高转换为易看出并易求解长度的高.
②“拆”:指的是将一个不规则的几何体拆成几个简单的几何体,便于计算.
③“拼”:指的是将小几何体嵌入一个大几何体中,如将一个三棱锥复原成一个三棱柱,将一个三棱柱复原成一个四棱柱,这些都是拼补的方法.
(2)求空间几何体的体积的常用方法
①公式法:对于规则几何体的体积问题,可以直接利用公式进行求解.
②割补法:把不规则的图形分割成规则的图形,然后进行体积计算;或者把不规则的几何体补成规则的几何体,不熟悉的几何体补成熟悉的几何体,便于计算其体积.
③等体积法:一个几何体无论怎样转化,其体积总是不变的.如果一个几何体的底面面积和高较难求解时,我们可以采用等体积法进行求解.等体积法也称等积转化或等积变形,它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,多用来解决有关锥体的体积,特别是三棱锥的体积.
[通关练习]
1.(2017·高考山东卷)由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为________.
解析:由题意知该几何体是由一个长方体和两个圆柱体构成,其中长方体的体积V1=2×1×1=2,两个圆柱体的体积之和V2=×π×12×1×2=,所以该几何体的体积V=V1+V2=2+.
答案:2+
2.如图,△ABC中,AB=8,BC=10,AC=6,DB⊥平面ABC,且AE∥FC∥BD,BD=3,FC=4,AE=5,则此几何体的体积为________.
解析:法一:
如图,取CM=AN=BD,连接DM,MN,DN,用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥.
所以V几何体=V三棱柱+V四棱锥.
由题知三棱柱ABCNDM的体积为V1=×8×6×3=72.
四棱锥DMNEF的体积为
V2=S梯形MNEF·DN=××(1+2)×6×8=24,
则几何体的体积为V=V1+V2=72+24=96.
法二:
用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱,使AA′=BB′=CC′=8,所以V几何体=V三棱柱=×S△ABC·AA′=×24×8=96.
答案:96
球与空间几何体的接、切问题
(高频考点)[学生用书P125]
与球相关的切、接问题是高考命题的热点,也是难点、易失分点,命题角度多变.主要命题角度有:
(1)外接球;
(2)内切球.
[典例引领]
角度一 外接球
(1)(2017·高考全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( )
A.π B.
C. D.
(2)(2017·高考全国卷Ⅱ)长方体的长,宽,高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为________.
(3)(2017·高考全国卷Ⅰ)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥SABC的体积为9,则球O
的表面积为________.
【解析】 (1)设圆柱的底面圆半径为r,
由题意可得12+(2r)2=22,
解得r=.
所以圆柱的体积V=πr2×1=,故选B.
(2)由题意知长方体的体对角线为球O的直径,设球O的半径为R,则(2R)2=32+22+12=14,得R2=,所以球O的表面积为4πR2=14π.
(3)设球O的半径为R,因为SC为球O的直径,所以点O为SC的中点,连接AO,OB,因为SA=AC,SB=BC,所以AO⊥SC,BO⊥SC,因为平面SCA⊥平面SCB,平面SCA∩平面SCB=SC,所以AO⊥平面SCB,所以VSABC=VASBC=×S△SBC×AO=×(×SC×OB)×AO,即9=×(×2R×R)×R,解得R=3,所以球O的表面积为S=4πR2=4π×32=36π.
【答案】 (1)B (2)14π (3)36π
角度二 内切球
(1)(2017·高考江苏卷)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是________.
(2)已知棱长为a的正四面体,则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为________.
【解析】 (1)设圆柱内切球的半径为R,则由题设可得圆柱O1O2的底面圆的半径为R,高为2R,
所以==.
(2)正四面体的表面积为S1=4××a2=a2,其内切球半径r为正四面体高的,即r=
×a=a,因此内切球表面积为S2=4πr2=,则==.
【答案】 (1) (2)
空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时,一般过球心及接、切点作截面,把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.
(2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=a,PB=b,PC=c,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,利用4R2=a2+b2+c2求解.
[通关练习]
1.已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为( )
A. B.2
C. D.3
解析:选C.
如图所示,由球心作平面ABC的垂线,则垂足为BC的中点M.
又AM=BC=,OM=AA1=6,
所以球O的半径R=OA= =.
2.正四棱锥PABCD的侧棱和底面边长都等于2,则它的外接球的表面积是( )
A.16π B.12π
C.8π D.4π
解析:选A.设正四棱锥的外接球半径为R,顶点P在底面上的射影为O,因为OA=AC===2,所以PO===2.又OA=OB=
OC=OD=2,由此可知R=2,于是S球=4πR2=16π.
几何体表面积的求法
(1)多面体:其表面积是各个面的面积之和.
(2)旋转体:其表面积等于侧面面积与底面面积的和.
(3)简单组合体:应搞清各构成部分,并注意重合部分的删,补.
(4)若以三视图形式给出,解题的关键是根据三视图,想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数量关系.
[注意] 求组合体的表面积时,组合体的衔接部分的面积要减去.
求空间几何体体积的常用方法
(1)公式法:直接根据相关的体积公式计算.
(2)等积法:根据体积计算公式,通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易,或是求出一些体积比等.
(3)割补法:把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形,转化为可计算体积的几何体.
[注意] (1)利用三棱锥的“等积性”,可以把任何一个面作为三棱锥的底面.
(2)求体积时,可选择“容易计算”的方式来计算.
解决球与其他几何体的切、接问题
(1)关键在于仔细观察、分析,弄清相关元素的位置关系和数量关系.
(2)选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系),达到空间问题平面化的目的.
(3)几种球与正方体组合的截面.
[注意] 要熟记几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a,球的半径为R,
①若球为正方体的外接球,则2R=a;
②若球为正方体的内切球,则2R=a;
③若球与正方体的各棱相切,则2R=a.
(2)长方体的共顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=.
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
[学生用书P299(单独成册)]
1.圆柱的底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么圆柱的侧面积是( )
A.4πS B.2πS
C.πS D.πS
解析:选A.由πr2=S得圆柱的底面半径是,故侧面展开图的边长为2π·=2,所以圆柱的侧面积是4πS,故选A.
2.如图是某几何体的三视图,其中正视图是腰长为2的等腰三角形,侧视图是半径为1的半圆,则该几何体的体积是( )
A.π B.
C.π D.
解析:选D.由三视图可知,该几何体是两个同底的半圆锥,其中底的半径为1,高为=,
因此体积=2××π×12×=π.
3.(2017·高考全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( )
A.10 B.12
C.14 D.16
解析:选B.由三视图可知该多面体是一个组合体,下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱,上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥,等腰直角三角形的腰长为2,直三棱柱的高为2,三棱锥的高为2,易知该多面体有2个面是梯形,这些梯形的面积之和为
×2=12,故选B.
4.(2018·兰州诊断考试)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
A.(9+)π B.(9+2)π
C.(10+)π D.(10+2)π
解析:选A.由三视图可知,该几何体为一个圆柱挖去一个同底的圆锥,且圆锥的高是圆柱高的一半.故该几何体的表面积S=π×12+4×2π+×2π×=(9+)π.
5.(2018·云南第一次统考)
如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( )
A.12 B.18
C.24 D.30
解析:选C.由三视图知,该几何体是直三棱柱削去一个同底的三棱锥,其中三棱柱的高为5,削去的三棱锥的高为3,三棱锥与三棱柱的底面均为两直角边分别为3和4的直角三角形,所以该几何体的体积为×3×4×5-××3×4×3=24,故选C.
6.将一个边长分别为4π,8π的矩形卷成一个圆柱,则这个圆柱的表面积是________.
解析:当以长度为4π的边为底面圆时,底面圆的半径为2,两个底面的面积是8π;当以长度为8π的边为底面圆时,底面圆的半径为4,两个底面圆的面积为32π.无论哪种方式,侧面积都是矩形的面积32π2.故所求的表面积是32π2+8π或32π2+32π.
答案:32π2+8π或32π2+32π
7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________.
解析:该几何体可视为正方体截去两个三棱锥所得,所以其体积为8--=.
答案:
8.
在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=2,过A1,C1,B三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体ABCDA1C1D1,这个几何体的体积为,则经过A1,C1,B,D四点的球的表面积为________.
解析:设AA1=x,则VABCDA1C1D1=VABCDA1B1C1D1-VBA1B1C1=2×2×x-××2×2×x=,则x=4.
因为A1,C1,B,D是长方体的四个顶点,
所以经过A1,C1,B,D四点的球的球心为长方体ABCDA1B1C1D1的体对角线的中点,且长方体的体对角线为球的直径,所以球的半径R==,所以球的表面积为24π.
答案:24π
9.
如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=2,AD=2,求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积.
解:由已知得:CE=2,DE=2,CB=5,S表面=S圆台侧+S圆台下底+S圆锥侧=π(2+5)×5+π×25+π×2×2=(60+4)π,V=V圆台-V圆锥=(π·22+π·52+)×4-π×22×2
=π.
10.如图,长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);
(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.
解:(1)交线围成的正方形EHGF如图所示.
(2)如图,作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.
因为四边形EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.
于是MH==6,AH=10,HB=6.
故S四边形A1EHA=×(4+10)×8=56,
S四边形EB1BH=×(12+6)×8=72.
因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,
所以其体积的比值为(也正确).
1.(2018·石家庄质量检测(一))某几何体的三视图如图所示(在网格线中,每个小正方形的边长为1),则该几何体的体积为( )
A.2 B.3
C.4 D.6
解析:选A.由三视图知,该几何体为四棱锥,其底面面积S=×(1+2)×2=3,高为2,所以该几何体的体积V=×3×2=2,故选A.
2.(2018·沈阳质量检测(一))已知S,A,B,C是球O表面上的不同点,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,AB=1,BC=,若球O的表面积为4π,则SA=( )
A. B.1
C. D.
解析:选B.根据已知把SABC补成如图所示的长方体.因为球O的表面积为4π,所以球O的半径R=1,2R==2,解得SA=1,故选B.
3.(2018·福州综合质量检测)已知三棱锥PABC的四个顶点均在某球面上,PC为该球的直径,△ABC是边长为4的等边三角形,三棱锥PABC的体积为,则此三棱锥的外接球的表面积为( )
A. B.
C. D.
解析:选D.依题意,记三棱锥PABC的外接球的球心为O,半径为R,点P到平面ABC的距离为h,则由VPABC=S△ABCh=×(×42)×h=得h=.又PC为球O的直径,因此球心O到平面ABC的距离等于h=.又正△ABC的外接圆半径为r==,因此R2=r2+()2=,三棱锥PABC的外接球的表面积等于4πR2=π,选D.
4.一个几何体的三视图如图所示,且其侧(左)视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为________.
解析:由题意得,该几何体为如图所示的五棱锥PABCDE,所以体积V=××=.
答案:
5.已知一个圆锥的底面半径为R,高为H.
(1)若圆锥内有一个高为x的内接圆柱,则x为何值时,圆柱的侧面积最大?最大侧面积是多少?
(2)作一平面将圆锥分成一个小圆锥与一个圆台,当两几何体的体积相等时,求小圆锥的高与圆台的高的比值.
解:(1)设圆柱的侧面积为S,底面半径为r.
由=,得r=R-·x.
则圆柱的侧面积S=2πrx=2πx=-·x2+2πRx,
显然,当x=-=时,圆柱的侧面积最大,
最大侧面积为-·+2πR·=πRH.
(2)设小圆锥的底面半径为a,高为b.
由题意得小圆锥的体积V1=×πR2H=πR2H,
由=,且πa2b=πR2H,
得b=H=H.
设圆台高为c,则==,
故小圆锥的高与圆台的高的比值为.
6.
(2017·高考全国卷Ⅱ)如图,四棱锥PABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°.
(1)证明:直线BC∥平面PAD;
(2)若△PCD的面积为2,求四棱锥PABCD的体积.
解:(1)证明:在平面ABCD内,因为∠BAD=∠ABC=90°,所以BC∥AD.又BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,故BC∥平面PAD.
(2)取AD的中点M,连接PM,CM.由AB=BC=AD及BC∥AD,∠ABC=90°得四边形ABCM为正方形,则CM⊥AD.
因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PM⊥AD,PM⊥底面ABCD,因为CM⊂底面ABCD,所以PM⊥CM.
设BC=x,则CM=x,CD=x,PM=x,PC=PD=2x.
取CD的中点N,连接PN,
则PN⊥CD,所以PN=x.
因为△PCD的面积为2,
所以×x×x=2,
解得x=-2(舍去)或x=2.于是AB=BC=2,
AD=4,PM=2.
所以四棱锥PABCD的体积V=××2=4.