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  • 2021-06-16 发布

2020年四川省成都市实验外国语学校高考数学模拟(四)试题(含解析)

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2020 年四川省成都市实验外国语学校高考数学模拟(四)试题 一、单选题 1.已知函数   29f x x x  ,则( ) A.    1 2f f B.  f x 的定义域为 3,3 C.  f x 为偶函数 D.  f x 在 0,3 上为增函数 2.已知双曲线 2 2 1 2 2: 1x yC a b    0, 0a b  和双曲线 2 2 2 2 2: 1y xC m n    0, 0m n  焦距相等, 离心率分别为 1e 、 2e ,若 2 2 1 2 1 1 1 e e   ,则下列结论正确的是( ) A. 1C 和 2C 离心率相等 B. 1C 和 2C 渐近线相同 C. 1C 和 2C 实轴长相等 D. 1C 和 2C 虚轴长相等 3.已知 l,m,n为不同的直线,α,β,γ为不同的平面,则下列判断正确的是( ) A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 m⊥α,n∥β,α⊥β,则 m⊥n C.若α∩β=m,α∩γ=n,l⊥m,l⊥n,则 l⊥α D.若α∩β=l,m∥α,m∥β,则 m∥l 4.同时投掷两枚大小完全相同的骰子,用 ( )x y, 表示出现的结果,其中 x,y分别为两枚骰子向上 的点数,则该事件的所有结果种数为( ) A.11 B.22 C.36 D.66 5.已知命题 : , 2 xp x R x e    ,命题 :q a R  ,且 21, log ( 1) 0aa a   ,则( ) A.命题 p q 是真命题 B.命题 p q 是假命题 C.命题 p q 是假命题 D.命题 p q 是真命题 6.已知角θ的顶点与原点重合,始边与 x轴的正半轴重合,终边在直线 1 2 y x  上,则 tan 2  ( ) A. 4 3 B. 3 4 C. 4 3  D. 4 3 7.已知 满足约束条件 ,则 的范围是( ) A. B. C. D. 8.已知函数 f(x)=xsin x+cos x+x2,则不等式 f(ln x)+f 1ln x       <2f(1)的解集为( ) A.(e,+∞) B.(0,e) C. 10, e       ∪(1,e) D. 1 e e       , 9.已知复数 2 1 iz i    ( i是虚数单位),则 z( z是 z的共轭复数)的虚部为( ) A. 1 2 B. 1 2  C. 3 2 D. 3 2  10.已知△ABC的周长为 2,角 A、B、C的对边分别为 a,b,c,且满足 sin sin sin A B C   3c,则 c 等于( ) A. 3 2 B. 2 3 C.1或 2 3 D.1 11.已知集合 1 15| 2 4 2 xM x          ,  | 1N x y x   ,那么M N  ( ) A.{ | 2 1}x x   B. 2| 1x x   C.{ | 2}x x   D. 2|x x  12.函数   21 2 2 x f x x       的图象可能是( ) A. B. C. D. 二、填空题 13.函数 sin( ) 0, 0,| | 2 y A x A            „ 的最小值为-2,最小正周期 2 3 T   ,且图象 过点(0,- 2 ),则此函数的解析式是_________. 14.已知向量 a  、b  满足9、 b  、a b   成等比数列,则向量a  在b  方向上的投影为______. 15.设 x=-2与 x=4是函数 f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点,则常数 a-b的值为________. 三、解答题 16.如图,S是圆锥的顶点, AB是圆锥底面圆 O的直径,点 C在圆锥底面圆 O上,D为 BC的 中点. (1)求证:平面 SOD  平面 SBC; (2)若 SAB 为正三角形,且 2 4BC AC  ,设三棱锥 S ABC 的体积为 1V ,圆锥的体积为 2V , 求 2 1 V V . 17.在极坐标系中,圆 : 4cosC   .以极点O为原点,极轴为 x轴正半轴建立直角坐标系 xOy, 直线 l经过点  1, 3 3M   且倾斜角为 .  1 求圆C的直角坐标方程和直线 l的参数方程;  2 已知直线 l与圆C交与 A, B,满足 A为MB的中点,求 . 18.在直角坐标系 xoy中,直线 l的参数方程为 1 { 2 x t y t     ,( t为参数),在以原点O为极点, x轴 的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为 2 3 1 2cos     . (Ⅰ)直接写出直线 l、曲线C的直角坐标方程; (Ⅱ)设曲线C上的点到与直线 l的距离为 d ,求 d 的取值范围. 19.已知函数 ( ) 2 ln( 1)f x x  . (1)若函数 ( )f x 在点 0 0( , ( ))P x f x 处的切线方程为 2y x ,求切点 P的坐标. ( 2)求证: [0,e 1]x  时, 2( ) 2f x x x  ;(其中 e 2.71828... ). 20.已知数列{an}是首项 a1=1的等比数列,且 an>0,数列{bn}是首项为 1 的等差数列,又 a5+b3 =21,a3+b5=13. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列 4 n n b a       的前 n 项和 nS . 21.某公司为了解广告投入对销售收益的影响,在若干地区各投入 4 万元广告费用,并将各地的销 售收益(单位:万元)绘制成如图所示的频率分布直方图.由于工作人员操作失误,横轴的数据丢失, 但可以确定横轴是从 0开始计数的. (Ⅰ)根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度; (Ⅱ)该公司按照类似的研究方法,测得另外一些数据,并整理得到上表:表中的数据显示 x与 y之 间存在线性相关关系,求 y关于 x的回归方程; (Ⅲ)若广告投入6万元时,实际销售收益为 7 .3万元,求残差 ê . a y b x           1 1 2 2 2 1 1 , n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx                 附: 22.(I)解不等式: 3 1 2x   ; (II)设 , ,a b c R ,求证:  2 2 2 2 2 2 2a b b c c a a b c        四、双空题 23.动圆 E与圆 2 1( 1) 4 M x y   外切,并与直线 1 2 x   相切,则动圆圆心 E的轨迹方程为 __________,过点 (1,2)P 作倾斜角互补的两条直线,分别与圆心 E的轨迹相交于 A, B两点,则 直线 AB的斜率为__________. 【答案与解析】 1.B 逐项判断各选项中的结论正确与否后可得正确的选项. 因为    1 2 2 2 5 2f f   ,所以 A错误; 由 29 0x  ,得 3 3x ≤ ≤ ,所以  f x 的定义域为 3,3 ,所以 B正确;  f x 为奇函数,所以 C错误; 因为    0 3 0f f  ,所以 D错误. 本题考查函数的性质,考查运算求解能力与推理论证能力,注意说明一个函数不是单调函数,只要 找一个与定义不相符合的反例即可,本题属于基础题. 2.B 根据 2 2 1 2 1 1 1 e e   可知:m b , n  a,从而得到结果. 设两个双曲线的焦距为 2c, ∴ 1 ce a  , 2 ce m  又 2 2 1 2 1 1 1 e e   ∴ 2 2 2 2 1a m c c   ,∴ 2 2 2a m c  ∴ 2 2 2 2m c a b   ,即m b ,故 n a 又双曲线 2 2 1 2 2: 1x yC a b   的渐近线方程为: y b x a   , 双曲线 2 2 2 2 2: 1y xC m n   的渐近线方程为: y m x n   ∴ 1C 和 2C 渐近线相同 故选 B 本题考查双曲线的简单几何性质,考查双曲线渐近线方程,考查计算能力,属于基础题. 3.D 在正方体中选择合适的线面并考虑它们的关系可得正确的选项. 如图, 1 1AB 平面 ABCD, 1 1BC 平面 ABCD,当 1 1 1 1 1A B BC B  ,故 A错. 平面 1 1A B BA 平面 ABCD, 1 1C B 平面 1 1A B BA, 1 1AD 平面 ABCD,但 1 1 1 1AD C B ,故 B 错. 如图,平面 1 1 1 1A BC D 平面 1 1 1 1A BCD AB ,平面 1 1 1 1A BC D 平面 1 1 1 1C D DC C D , 1 1 1 1,BC AB BC CD  ,但是 1BC与平面 1 1 1 1A BC D 不垂直,故 C错. 过直线m做平面 且 s   ( s异于 l ),作平面 且 t   ( t异于 l ),因m  ,故m s , 同理m t ,故 s t ,因 s   ,t  中,从而 s  ,因 ,s l     ,故 s l ,所以 l m , 故选 D . 空间中一些线面关系的命题的真假比较难判断,可在常见的几何体(如正方体、正四面体等)选择 不同的线面关系对各选项进行验证或寻找反例. 4.C 根据题意,列举投掷两枚骰子,出现的点数的全部情况即可得结果. 先后投掷两枚骰子,出现的点数情况有: (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6), 共有 36种可能结果, 故选 C 本题考查列举法的应用,注意正确列举全部的基本事件,做到不重不漏. 5.A 先分别判断命题 p与命题q的真假,进而可得出结果. 令 ( ) xf x e x  ,则易知 ( ) xf x e x  在R上单调递增, 所以当 0x  时, ( ) 1 2xf x e x    ,即 2xe x  ; 因此命题 : , 2 xp x R x e    为真命题; 由 0a  得 2 1 1a   ; 所以,当 1a  时, 2log ( 1) 0a a   ;当0 1a  时, 2log ( 1) 0a a   ; 因此,命题 :q a R  ,且 21, log ( 1) 0aa a   为假命题; 所以命题 p q 是真命题. 故选 A 本题主要考查简单的逻辑连接词,复合命题真假的判定,熟记判定方法即可,属于常考题型. 6.C 由条件利用任意角的三角函数的定义求得 tan 的值,再利用二倍角的正切公式求得 tan 2 的值. 解:由于直线 1 2 y x  经过第二、第四象限,故角的终边在第二、或第四象限, ①若角的终边在第二象限,在角的终边 1 2 y x  上任意取一点 11, 2      ,则由任意角的三角函 数的定义,可得 1 12tan 1 2      , 故 2 2 tan 4tan 2 11 tan 31 4 1          . ②角的终边在第四象限,在角的终边 1 2 y x  上任意取一点 11, 2      ,则由任意角的三角函数 的定义,可得 1 12tan 1 2      , 故 2 2 tan 4tan 2 11 tan 31 4 1          . 故选:C. 本题主要考查任意角的三角函数的定义,体现了分类讨论的数学思想,属于基础题. 7.C 试题分析:表示的是可行域内的点ݔǡ,与点 െ െ 连线的斜率的取值范围,作出函可行域 如图所示,由图可知,的取值范围是 t . 考点:线性规划. 8.D '( ) sin cos sin 2 (2 cos )f x x x x x x x x      ,则 0x  时, '( ) 0, ( )f x f x 单调递增,且 2( ) sin cos( ) ( ) ( )f x x x x x f x       ,则 ( )f x 为偶函数,即有 ( ) ( )f x f x ,则不等式 1(ln ) (ln ) 2 (1)f x f f x   可以转化为 (ln ) (1)f x f ,即有 ln 1x  ,即 1 ln 1x   ,解得 1( , )x e e  ,故选 D. 9.D 利用复数的运算法则和共轭复数的意义即可得出. ∵z= 2 1 i i   =         2 1 1 1 i i i i     = 1 3 2 i = 1 3 2 2 i , ∴ 1 3 2 2 z i  . ∴z的共轭复数的虚部是 3 2  . 故选 D. 本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义,属于基础题. 10.B 利用正弦定理,把 sin sin 3 sin A B c C   化简成 23a b c  ,再利用 23 2a b c c c     ,即可求 解. 由题意可知,△ABC的周长为 2,即 2a b c   ,又由 sin sin 3 sin A B c C   ,可得 3a b c c   ,化简得, 23a b c  ,所以, 23 2a b c c c     ,解得 ( 1)(3 2) 0c c   ,又由 0c  可得, 2 3 c  故选:B 本题考查利用正弦定理边角互化的应用,属于基础题. 11.B 分别计算集合 ,M N,然后根据交集的概念可得结果. 由 1 152 4 2  x ,所以 1 150 2 2 2 4 4       x x 由1 0 1x x    所以 { 2 2}, { 1}∣ ∣     M x x N x x , 则M N   2| 1x x   , 故选:B. 本题考查交集的运算,本题重在计算,属基础题. 12.D      2 21 12 2 , 2 2 x x f x x x f x                      故函数额为偶函数,排除 A,当 0x  时  0 3,f  排除 C,函数 1 2 x y       与 2 2y x  的图像只有 2个交点即函数  f x 只有 2个零点,排除 B. 故选 D. 13. 2sin 3 4 y x       根据函数的最小正周期求出,由最小值确定 A,再由函数过点(0,- 2 )代入可求,即可 由题意函数最小正周期 2 3 T   ,即 2 2 3 T      3  , 函数最小值为-2,故 2A  , 又因为函数图象过点(0,- 2 ) 所以 2sin 2   2sin 2     2 , 4 k k Z      又 | | 2  „ 4    2sin 3 4 y x        故答案为 2sin 3 4 y x       本题考查求正弦型函数的解析式,属于基础题. 14. 1 9 由题意可得 9b a b     ,进而可求得向量 a  在b  方向上的投影 a b b     的值. 设向量 a  与b  的夹角为,则向量 a  在b  方向上的投影为 cos a b a ba a a b b                . 由于9、 b  、a b   成等比数列,则 9b a b     ,得 1 9 a b b      . 因此,向量 a  在b  方向上的投影为 1 9 a b b      . 故答案为: 1 9 . 本题考查向量的投影的计算,考查计算能力,属于基础题. 15.21 由已知得   2' 3 2f x x ax b   ,且  ' 2 12 4 0f a b     ,  ' 4 48 8 0f a b    ,由此 利用导数性质能求出常数 a b的值. 因为   3 2f x x ax bx   ,所以   2' 3 2f x x ax b   因为 2x   与 4x  是函数,   3 2f x x ax bx   的两个极值点,可得     2 12 4 0 4 48 8 0 f a b f a b              解得 3a   , 24b   ,所以 21a b  ,故答案为 21. 在极值点处,曲线若有切线则切线是水平的,即:当切线存在时,极值点处的导数为 0; 注意:导数为 0的点不一定是极值点,如 3y x . 16.(1)证明见解析;(2) 5 4  . (1)由线面垂直的性质可得 BC SO ,由圆的性质以及三角形中位线定理可得OD BC^ ,从而 可得 BC⊥平面 SOD,进而可得结论; (2)先证明 SAB 是边长为 2 5的正三角形,再利用棱锥与圆锥的体积公式,求出 1V , 2V ,从 而可得答案. (1)由圆锥的性质可知, SO 底面圆 O, ∵ BC在底面圆 O上,∴ BC SO , ∵点 C在圆 O上,∴ AC BC , 又点 O,D分别为 ,AB BC的中点,∴ / /OD AC,∴OD BC^ , 又OD SO O ,且 ,OD SO 平面 SOD,∴ BC⊥平面 SOD, 又 BC 平面 SBC,∴平面 SOD 平面 SBC. (2)∵ 2 4BC AC  ,∴ 2 2 2 24 2 2 5AB AC BC     , ∴ SAB 是边长为 2 5的正三角形, ∴ 3 2 5 15 2 SO    , ∴ 1 1 1 1 42 4 15 15 3 3 2 3ABCV S SO         , 2 2 1 5 15( 5) 15 3 3 V      , ∴ 2 1 5 15 53 4 415 3 V V     . 本题主要考查面面垂直的判定定理的应用,考查了锥体的体积公式,同时考查了计算能力与空间想 象能力,属于中档题. 17.(1)  2 22 4x y   , 1   3 3 x tcos y tsin          ,( t为参数, 0 a   ).(2) 3   (1)利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式,可求解圆C的直角坐标方程,根据直线参数方 程的形式,即可求得直线的参数方程;  2 将直线 l的方程代入圆C的方程,利用根与系数的关系,求得 A Bt t , A Bt t ,由 A为MB的中 点,得到 2B At t ,求得 ,A Bt t ,即可求得 A Bt t 的表达式,利用三角函数的性质,即可求解. (1)由题意,圆 : 4C cos  ,可得 2 4 cos   , 因为 2 2 2x y   , cosx   ,所以 2 2 4x y x  ,即  2 22 4x y   , 根据直线的参数方程的形式,可得直线 l : 1   3 3 x tcos y tsin          ,( t为参数,0 a   ).  2 设 ,  A B对应的参数分别为 ,  A Bt t , 将直线 l的方程代入C,整理得 2 6 3 2 0( ) 3t t sin cos     , 所以 6 3( )A Bt t sin cos    , 32A Bt t  , 又 A为MB的中点,所以 2B At t , 因此 ( 3 )2 4 6At sin cos sin             ,   8sin 6Bt       , 所以 232sin 32 6A Bt t         ,即 2sin 1 6       , 因为 0 a   ,所以 7 6 6 6      , 从而 = 6 2    ,即 3   . 本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程,直线参数方程的求解,以及直线参数方程的应用,其 中解答中合理利用直线参数中参数的几何意义求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属 于中档试题. 18.(Ⅰ) 3 0x y   , 2 23 3 x y ;(Ⅱ) 2 5 2 2 2       , . 试题分析:(Ⅰ)两式相加消去参数 ,即得直线的普通方程,利用二倍角公式和 进行 求解;(Ⅱ)设出椭圆上点的参数坐标,再利用点到直线的距离公式和配角公式、三角函数的性质进 行求解. 试题解析:(Ⅰ)直线 l的直角坐标方程为 3 0x y   , 因为 ,所以 ,则 , 即曲线C的直角坐标方程为 2 23 3 x y . (Ⅱ)∵曲线C的直角坐标方程为 2 23 3 x y ,即 2 2 1 3 yx   , ∴曲线C上的点的坐标可表示为  cos , 3 sin  . ∵ 2sin 3 1 0 6          , ∴ 2sin 3 2sin 3cos 3 sin 3 6 6 2 2 2 d                      ,∴ d 的最小值为 1 2= 22 , d 的最大值为 5 5 2= 22 .∴ 2 5 2 2 2 d  , 即 d 的取值范围为 2 5 2 2 2       , . 考点:1.曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程的转化;2.点到直线的距离公式. 19.(1) (0,0);(2)证明见解析. 试题分析:(1)先求出   2 1 f x x    ,由  0 2f x  可得 0 0x  ,又  0 0f  ,可得切点 P的坐 标为  0,0 ;(2)设     2 2g x f x x x   ,则原不等式等价于  min 0g x  ,利用导数研究函数  g x 的单调性,可得  g x 在  0, 2 上单调递增,在 ( 2,e 1) 上单调递减,比较极值及区间端 点函数值的大小,可得    min 0 0g x g  ,从而原不等式成立. 试题解析:(1)由函数    2ln 1f x x  得函数  f x 的定义域是  1,  ,且   2 1 f x x    , ∵函数  f x 在点   0 0,P x f x 处的切线方程是 2y x , ∴  0 2f x  即 0 2 2 1x   ,解得 0 0x  , 又  0 0f  , ∴切点 P的坐标为  0,0 . ( 2)证明:由题意,当  0,e 1x  时,   2 2 0f x x x   恒成立, 设     2 2g x f x x x   ,则  min 0g x  ,   22 4 22 2 1 1 xg x x x x        , 令   0g x  ,得0 2x  ;令   0g x  ,得 2 e 1x   , ∴  g x 在  0, 2 上单调递增,在 ( 2,e 1) 上单调递减, 且    0 0 0 0g f   ,          2e 1 2 e 1 2 e 1 2 e 1 3 e 0g            , ∴  g x 在区间 0, 1e 上的最小值    min 0 0g x g  , ∴当  0, 1x e  时,   2 2f x x x  . 【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及利用导数证明不等式,属于难题. 应用导数的几 何意义求切点处切线的斜率,主要体现在以下几个方面:(1) 已知切点   0 0,A x f x 求斜率 k ,即 求该点处的导数  0k f x ;(2) 己知斜率 k求切点   1 1, ,A x f x 即解方程  1f x k  ;(3) 巳 知切线过某点   1 1,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点   0 0, ,A x f x 利用      1 0 0 1 0 f x f x k f x x x     求解.本题是根据(1)求出切线方程后,再利用等差数列求通项的. 20.(1) an=2n-1,bn=1+(n-1)×2=2n-1. (2) 1 3 2 3 2 2n n nS     . (1)由 5 3 3 521 13a b a b   , 求出数列{ }na 的公比,数列 nb 的公差,从而求出数列的通项 公式; (2)根据(1)中求得的结果代入 4 n n b a       中,应用错位相减法求出前 n项和. (1)设数列{ }na 的公比为  0q q  ,数列 nb 的公差为 d,则由已知条件,得 解得 2 2 2d q q= , = 或 =- (舍去). 12 1 ( 1) 2 2 1.n n na b n n -= , =+ - = - (2)由(1),知 = , 2 3 1 1 3 5 2 3 2 1          2 2 2 2 2n n n n nS        = ① ∴ 2 3 4 1 1 1 3 5 2 3 2 1          2 2 2 2 2 2n n n n nS       = ② -②得: 2 3 1 1 1 2 2 2 2 1    2 2 2 2 2 2n n n ns      = , 即 1 1 2 1 1 1 1 1 1[1 ( )1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 12 2  ( ) 1 ( ) ,12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 n n n n n n n n n ns=                      ∴Sn = - . 本题考查等差等比数列的基本运算;考查错位相减法,主要考查学生的计算能力,属中档题. 21.(Ⅰ) 2;(Ⅱ) 1.2 .2ˆ 0y x  ;(Ⅲ) 0.1 . 试题分析: (Ⅰ)利用面积和为 1可得宽度为 2; (Ⅱ)利用回归分析的方法可求得回归方程为 1.2 .2ˆ 0y x  ; (Ⅲ)利用(II)中的结论求得 y ,据此可得残差值为 0.1 . 试题解析: (Ⅰ)设各小长方形的宽度为 a ,由频率直方图各小长方形的面积总和为1,可知  0.08 0.1 0.14 0.12 0.04 0.02 0.5 1a a        , 故 2a  . (Ⅱ)由题意,可知 1 2 3 4 5 2 3 2 5 73, 3.8 5 5 x y            , 5 5 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 3 3 2 4 5 5 7 69, 1 2 3 4 5 55i i i i i x y x                     , 根据公式,可求得 2 69 5 3 3.8 12 1.2, 3.8 1.2 3 0.2 55 5 3 1 ˆ ˆ 0 b a            , 所以 y关于 x的回归方程为 1.2 .2ˆ 0y x  . (Ⅲ)当 6x  时,销售收益预测值 1.2 6 0. = 4ˆ 2 7.y    (万元),又实际销售收益为7.3万元, 所以残差 7.3 7.4 .ˆ 0 1e     . 点睛:解决频率分布直方图的问题,关键在于找出图中数据之间的联系.这些数据中, 比较明显的有组距、 频率 组距 ,间接的有频率、小长方形的面积,合理使用这些数据,再 结合两个等量关系:小长方形面积=组距× 频率 组距 =频率,小长方形面积之和等于 1,即 频率之和等于 1,就可以解决直方图的有关问题. 22.(I) 1 1 3 x x       ;(II)证明见解析. (I)根据绝对值不等式的解法直接解得结果;(II)利用基本不等式可得 2 2 2a b ab  ,左右同时 加上 2 2a b ,可证得  2 2 2 2 a b a b   ,同理得到  2 2 2 2 b c b c   ,  2 2 2 2 a c a c   ,三式相加整理得到结论. (I)由 3 1 2x   得: 2 3 1 2x    ,解得: 1 1 3 x   不等式的解集为: 1 1 3 x x       (II) , ,a b c R 2 2 2a b ab   (当且仅当a b 时取等号)    22 2 2 22 2a b a ab b a b       ,即:  2 2 2 2 a b a b   同理可得:  2 2 2 2 b c b c   ;  2 2 2 2 a c a c    2 2 2 2 2 2 2a b b c c a a b c         (当且仅当 a b c  时取等号) 本题考查绝对值不等式的解法、利用基本不等式证明不等关系.利用基本不等式证明时需注意等号 成立的条件,本题解题关键是能够配凑出  2 2 2 2 a b a b   的形式. 23. 2 4y x 1 由已知可得 E点到直线 1x   的距离等于到点  1,0M 的距离,即动圆圆心 E的轨迹是以M 为焦 点,以 1x   为准线的抛物线,则轨迹方程可求;设出直线 ,PA PB的方程,与抛物线方程联立, 求出 ,A B的坐标,利用斜率公式,即可求得直线 AB的斜率. 解:如图, 由题意可知, 1| | | | 2 NE ME  ,则 1| | | | 2 NE ME  , ∴ E点到直线 1x   的距离等于到点  1,0M 的距离, ∴动圆圆心 E的轨迹是以M 为焦点,以 1x   为准线的抛物线, 则其轨迹方程为 2 4y x ; 点 P坐标为  1,2 ,设    1 1 2 2, , ,A x y B x y , 由已知设 PA: ( 2) 1m y x   ,即: 2 1x my m= - + , 代入抛物线的方程得: 2 4 8 4y my m   ,即 2 4 8 4 0y my m    , 则 1 2 4y m  ,故 1 4 2y m  , 设 : ( 2) 1PB m y x    ,即 2 1x my m    , 代入抛物线的方程得: 2 4 8 4y my m    ,即 2 4 8 4 0y my m    , 则: 2 2 4y m   ,故 2 4 2y m   ,    1 2 1 2 1 22 1 2 1 4 8x x my m my m m y y m m             , 直线 AB的斜率 2 1 2 1 8 1 8ABk y y m x x m        , ∴直线 AB的斜率为−1. 故答案为: 2 4y x ;−1. 本题考查的知识点是抛物线的性质,直线的斜率公式,考查学生的计算能力,正确运用韦达定理是 关键,是中档题.