2021届高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量第7节利用空间向量求空间角教学案含解析新人教A版 27页

第7节　利用空间向量求空间角 考试要求　1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题；2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.‎ 知 识 梳 理 ‎1.异面直线所成的角 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则 a与b的夹角β l1与l2所成的角θ 范围 ‎(0，π)‎ 求法 cos β＝ cos θ＝|cos β|＝ ‎2.求直线与平面所成的角 设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝.‎ ‎3.求二面角的大小 ‎(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉.‎ ‎(2)如图②③，n1，n2 分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).‎ ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cos θ＝|cos〈a，n〉|.‎ ‎2.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补.‎ 诊 断 自 测 - 27 -‎ ‎1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.(　　)‎ ‎(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.(　　)‎ ‎(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.(　　)‎ ‎(4)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是[0，π].(　　)‎ 解析　(1)两直线的方向向量所成的角是两条直线所成的角或其补角；(2)直线的方向向量a，平面的法向量n，直线与平面所成的角为θ，则sin θ＝|cosa，n|；(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角或其补角.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2.(老教材选修2－1P104练习2改编)已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为(　　)‎ A.45° B.135° C.45°或135° 　　 D.90°‎ 解析　cos〈m，n〉＝＝＝，即〈m，n〉＝45°.‎ ‎∴两平面所成二面角为45°或180°－45°＝135°.‎ 答案　C ‎3.(老教材选修2－1P112A组T4改编)已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m，n〉＝，则l与α所成的角为(　　)‎ A.30° B.60° C.120° D.150°‎ 解析　由于cos 〈m，n〉＝，所以〈m，n〉＝30°，所以直线l与α所成的角为60°.‎ 答案　B ‎4.(2020·漳州模拟)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设BC＝CA＝CC1＝2，则可得A(2，0，0)，B(0，2，0)，M(1，1，2)，N(1，0，2)，‎ - 27 -‎ ‎∴＝(1，－1，2)，＝(－1，0，2).‎ ‎∴cos〈，〉＝ ‎＝ ‎＝＝.‎ 答案　C ‎5.(2019·南阳调研)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.则B(1，1，0)，B1(1，1，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，‎ 所以＝(0，0，1)，＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1).‎ 令平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝－x＋y＝0，n·＝－x＋z＝0，令x＝1，可得n＝(1，1，1)，‎ 设直线BB1与平面ACD1所成的角为θ，‎ 所以sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝.‎ 答案　B ‎6.(2020·大连预测)过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为________.‎ 解析　如图，建立空间直角坐标系，设AB＝PA＝1，则A(0，0，0)，D(0，1，0)，P - 27 -‎ ‎(0，0，1)，由题意，AD⊥平面PAB，设E为PD的中点，连接AE，则AE⊥PD，‎ 又CD⊥平面PAD，‎ ‎∴CD⊥AE，又PD∩CD＝D，从而AE⊥平面PCD.所以＝(0，1，0)，＝分别是平面PAB，平面PCD的法向量，且〈，〉＝45°.‎ 故平面PAB与平面PCD所成的二面角为45°.‎ 答案　45°‎ 考点一　用空间向量求异面直线所成的角 ‎【例1】 (1)(一题多解)(2017·全国Ⅱ卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)(2020·豫南豫北精英对抗赛)在四面体ABCD中，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为(　　)‎ A. B. C. D.－ 解析　(1)法一　以B为原点，建立如图(1)所示的空间直角坐标系.‎ ‎　‎ 图(1)　　　　　　　　　　　图(2)‎ 则B(0，0，0)，B1(0，0，1)，C1(1，0，1).‎ 又在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝2，则A(－1，，0).‎ 所以＝(1，－，1)，＝(1，0，1)，‎ - 27 -‎ 则cos〈，〉＝ ‎＝＝＝，‎ 因此，异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.‎ 法二　将直三棱柱ABC－A1B1C1补形成直四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图(2))，连接AD1，B1D1，则AD1∥BC1.‎ 则∠B1AD1为异面直线AB1与BC1所成的角(或其补角)，易求得AB1＝，BC1＝AD1＝，B1D1＝.‎ 由余弦定理得cos∠B1AD1＝.‎ ‎(2)取BD的中点O，连接AO，OC，由CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝，得AO⊥BD，CO⊥BD，且OC＝，AO＝1.在△AOC中，AC2＝AO2＋OC2，故AO⊥OC，又知BD∩OC＝O，因此AO⊥平面BCD，以OB，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0，0，1)，B(1，0，0)，C(0，，0)，D(－1，0，0)，∴＝(1，0，－1)，＝(－1，－，0)，设异面直线AB与CD所成角为θ，则cos θ＝＝＝，即异面直线AB与CD所成角的余弦值为.‎ 答案　(1)C　(2)B 规律方法　1.利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：(1)选好基底或建立空间直角坐标系；(2)求出两直线的方向向量v1，v2；(3)代入公式|cos〈v1，v2〉|＝求解.‎ ‎2.两异面直线所成角的范围是θ∈，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角.‎ - 27 -‎ ‎【训练1】 (2019·江西八校联考)在四面体ABCD中，BD⊥AD，CD⊥AD，BD⊥BC，BD＝AD＝1，BC＝2，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　以D为坐标原点，在平面BCD内过D与BD垂直的直线为x轴，以DB，DA所在的直线分别为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(－2，1，0)，D(0，0，0)，所以＝(0，1，－1)，＝(－2，1，0)，则cos〈，〉＝＝＝，故异面直线AB与CD所成角的余弦值为.‎ 答案　D 考点二　用空间向量求线面角 ‎【例2】 (2018·全国Ⅱ卷)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点.‎ ‎(1)证明：PO⊥平面ABC；‎ ‎(2)若点M在棱BC上，且二面角M－PA－C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值.‎ ‎(1)证明　因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，‎ 所以OP⊥AC，且OP＝2.‎ 连接OB，因为AB＝BC＝AC，‎ 所以AB2＋BC2＝AC2，‎ 所以△ABC为等腰直角三角形，‎ 且OB⊥AC，OB＝AC＝2.‎ 由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.‎ - 27 -‎ 由OP⊥OB，OP⊥AC且OB∩AC＝O，知PO⊥平面ABC.‎ ‎(2)解　如图，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系O－xyz.‎ 由已知得O(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，－2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，＝(0，2，2).取平面PAC的一个法向量＝(2，0，0).‎ 设M(a，2－a，0)(00，所以与n的夹角β为锐角，则β与θ互为余角，‎ 所以sin θ＝cos β＝＝，‎ 易知|cos φ|＝＝，‎ 又由图可知，φ为锐角，所以cos φ＝，‎ 所以sin φ＝，易知c