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  • 2021-06-16 发布

高考数学考点42圆锥曲线中的综合性问题试题解读与变式

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考点 42 圆锥曲线中的综合性问题 【考纲要求】 应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系.会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点 个数),会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹、参数问题及相关的不等式与等式的证 明问题. 【命题规律】 圆锥曲线中的综合性问题一般在解答题中考查.难度较大. 【典型高考试题变式】 (一)探究直线与曲线的公共点 例 1.【2016 新课标卷】在直角坐标系 xOy 中,直线 l:y=t(t≠0)交 y 轴于点 M,交抛物线 C: 2 2 ( 0)y px p  于点 P,M 关于点 P 的对称点为 N,连结 ON 并延长交 C 于点 H. (1)求 OH ON ; (2)除 H 以外,直线 MH 与 C 是否有其它公共点?说明理由. 【解析】(1)由已知得 ),0( tM , ),2( 2 tp tP . 又 N 为 M 关于点 P 的对称点,故 ),( 2 tp tN ,ON 的方程为 xt py  , 代入 pxy 22  整理得 02 22  xtpx ,解得 01 x , p tx 2 2 2 ,因此 )2,2( 2 tp tH . 所以 N 为OH 的中点,即 2|| ||  ON OH . (2)直线 MH 与C 除 H 以外没有其它公共点.理由如下: 直线 MH 的方程为 xt pty 2  ,即 )(2 typ tx  .代入 pxy 22  得 044 22  ttyy , 解得 tyy 221  ,即直线 MH 与C 只有一个公共点,所以除 H 以外直线 MH 与 C 没有其它公共点. 【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个 很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成;解析几何中的证 明问题通常有以下几类:证明点共线或直线过定点;证明垂直;证明定值问题.其中考查较多的圆锥曲线是 椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用. 【变式 1】【2017 陕西省咸阳市二模】已知动点 M 到定点  1,0F 和定直线 4x  的距离之比为 1 2 ,设动点 M 的轨迹为曲线 C . (1)求曲线C 的方程; (2)过点 F 作斜率不为 0 的任意一条直线与曲线C 交于两点 ,A B ,试问在 x 轴上是否存在一点 P(与点 F 不重合),使得 APF BPF   ,若存在,求出 P 点坐标;若不存在,说明理由. (2)存在. 设直线        1 1 2 2: 1 0 , 1, , 1, , ,0l x ty t A ty y B ty y P m      , 则  2 2 2 2 1{ 3 1 4 123 4 12 x ty ty yx y        ,即 2 23 4 6 9 0t y ty    , 1 2 1 22 2 6 9,3 4 3 4 ty y y yt t      , 由 APF BPF   得 0AP BPk k  ,即 1 2 1 2 01 1 y y ty m ty m      , 整理得   1 2 1 22 1 0ty y m y y    , ∴  2 2 9 62 1 03 4 3 4 tt mt t      ,解得 4m  , 综上知, 在 x 轴上是存在点  4,0P 满足题意. 【变式 2】【2017 湖南省常德市一模】已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的离心率为 3 2 ,过左焦点 F 且 垂直于 x 轴的直线与椭圆C 相交,所得弦长为 1,斜率为 k ( 0k  )的直线l 过点  1,0 ,且与椭圆C 相交 于不同的两点 A B, . (1)求椭圆C 的方程; (2)在 x 轴上是否存在点 M ,使得无论 k 取何值, 2 21 4 kMA MB k      为定值?若存在,求出点 M 的坐 标;若不存在,请说明理由. 【解析】(1)由题意可知椭圆C 过点 1, 2c    ,则 2 2 2 1 14 c a b   , 又 2 2 23 ,2 ce a b ca     , 解得 2, 1, 3a b c   ,则椭圆方程      2 1 11 1' a x xax a x af x x x            . (2)设在 x 轴上存在点 M(t,0)满足题意,  直线l 过点(1, 0)且斜率为 k,则直线l 的方程可设为  1y k x  , 由   2 2 1{ 4 1 x y y k x     ,可知  22 24 1 4x k x   ,  2 2 2 21 4 8 4 4 0k x k x k      , 易知 0  ,设    1 1 2 2, , ,A x y B x y ,则 2 1 2 2 2 1 2 2 8 1 4{ 4 4 1 4 kx x k kx x k       , 由题可设  2 21 4 kMA MB m mk      为常数 ,  2 2 2 24 8 4 4k t t t m mk      对任意实数  0k k  恒成立; 2 2 4 8 4{ 4 t t m t m     ,解得 2, 0t m  , 存在点 M(2,0)满足题意,且常数为 0. (二)探求参数值 例 2.【2016 年高考四川卷】已知椭圆 E: 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角 形的三个顶点,直线 : 3l y x   与椭圆 E 有且只有一个公共点 T. (1)求椭圆 E 的方程及点 T 的坐标; (2)设 O 是坐标原点,直线 l’平行于 OT,与椭圆 E 交于不同的两点 A、B,且与直线 l 交于点 P.证明: 存在常数  ,使得 2PT PA PB  ,并求  的值. 【分析】(1)由椭圆两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点可得 2a c ,从而可得 2a b , 椭圆的标准方程中可减少一个参数,再利用直线和椭圆只有一个公共点,联立方程,方程有两个相等实根, 解出 b 的值,从而得到椭圆的标准方程;(Ⅱ)首先设出直线 'l 方程为 1 2y x m  ,由两直线方程求出点 P 坐标,得 2PT ,同时设交点 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ,把 'l 方程与椭圆方程联立后消去 y 得 x 的二次方程,利 用根与系数关系,得 1 2 1 2,x x x x ,再计算 PA PB ,比较可得  值. 【解析】(1)由已知, 2 2 2(2 )a a c  ,即 2a c ,所以 2a b ,则椭圆 E 的方程为 2 2 2 2 12 x y b b   . 由方程组 2 2 2 2 1,2 3, x y b b y x        得 2 23 12 (18 2 ) 0x x b    .① 方程①的判别式为 2=24( 3)b  ,由 =0 ,得 2 =3b , 此方程①的解为 =2x , 所以椭圆 E 的方程为 2 2 16 3 x y  ,点 T 坐标为(2,1). 方程②的判别式为 2=16(9 2 )m  ,由 >0 ,解得 3 2 3 2 2 2m   . 由②得 2 1 2 1 2 4 4 12= ,3 3 m mx x x x    . 所以 2 2 1 1 1 2 2 5 2(2 ) (1 ) 23 3 2 3 m m mPA x y x         , 同理 2 5 222 3 mPB x   , 所以 1 2 5 2 2(2 )(2 )4 3 3 m mPA PB x x      2 1 2 1 2 5 2 2(2 ) (2 )( )4 3 3 m m x x x x      2 25 2 2 4 4 12(2 ) (2 )( )4 3 3 3 3 m m m m       210 9 m . 故存在常数 4 5   ,使得 2PT PA PB  . 【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质,考查学生的分析问题解决问题的能力和数形结合的 思想.在涉及到直线与椭圆(圆锥曲线)的交点问题时,一般都设交点坐标为 1 1 2 2( , ),( , )x y x y ,同时把直线 方程与椭圆方程联立,消元后,可得 1 2 1 2,x x x x ,再把 PA PB 用 1 2,x x 表示出来,并代入刚才的 1 2 1 2,x x x x ,这种方法是解析几何中的“设而不求”法.可减少计算量,简化解题过程. 【变式 1】【2016 湖南省师大附中、长沙一中、长郡中学、雅礼中学四校联考】如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知 1F 、 2F 分别是椭圆 )0(1: 2 2 2 2  bab y a xE 的左、右焦点, BA, 分别是椭圆 E 的左、右顶点, )0,1(D 为线段 2OF 的中点,且 05 22  BFAF . (1)求椭圆 E 的方程; (2)若 M 为椭圆 E 上的动点(异于点 A 、 B ),连接 1MF 并延长交椭圆 E 于点 N ,连接 MD 、 ND 并分 别延长交椭圆 E 于点 P ,Q ,连接 PQ ,设直线 MN 、 PQ 的斜率存在且分别为 1k 、 2k .试问是否存在常 数  ,使得 021  kk  恒成立?若存在,求出  的值;若不存在,说明理由. 【解析】(1)∵ 2 25 0AF BF    ,∴ 2 25AF F B  , ∵ )(5 caca  ,化简得 ca 32  ,点 )0,1(D 为线段 2OF 的中点, ∴ 2c ,从而 3a  , 5b  ,左焦点 )0,2(1 F ,故椭圆 E 的方程为 159 22  yx ; (2)存在满足条件的常数  , 7 4 ,设 1 1( , )M x y , 2 2( , )N x y , 3 3( , )P x y , 4 4( , )Q x y , 则直线 MD 的方程为 11 1 1  yy xx ,代入椭圆方程 159 2 x ,整理得, 0415 1 12 2 1 1  yy xyy x , ∵ 5 )1( 1 11 31   x xyyy ,∴ 5 4 1 1 3  x yy ,从而 5 95 1 1 3   x xx ,故点 )5 4,5 95( 1 1 1 1   x y x xP , 同理,点 )5 4,5 95( 2 2 2 2   x y x xQ ,∵三点 NFM ,, 1 共线,∴ 22 2 2 1 1  x y x y , 从而 )(2 211221 yyyxyx  ,从而 1 2 3 4 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 23 4 1 2 1 1 4 4 5 5 5( ) 5 9 5 9 4( ) 5 5 y y y y x x x y x y y yk x xx x x x x x            1 2 1 1 2 7( ) 7 4( ) 4 y y k x x   ,故 07 4 2 1  kk ,从而存在满足条件的常数  , 7 4 . 【变式 2】【2016 洛阳市考试】已知 ( 2,0), (2,0)A B ,动点 M 满足 2AMB   , 2 4| | | | cosAM BM    . (1)求| | | |AM BM  的值,并写出 M 的轨迹曲线C 的方程; (2)动直线 :l y kx m  与曲线C 交于 ,P Q 两点,且OP OQ ,是否存在圆 2 2 2x y r  使得l 恰好是 该圆的切线,若存在,求出 r ;若不存在,说明理由. 【答案】(1)| | | | 4 2AM BM   , 2 2 : 18 4 x yC   (2)存在圆 2 2 8 3x y  ∴ 2 2 : 18 4 x yC   . (2)设 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y ,将 :l y kx m  代入 2 2 : 18 4 x yC   得 2 2 2(1 2 ) 4 2 8 0k x kmx m     , ∵ 0  ,∴ 2 28 4 0k m   ,且 1 2 2 4 1 2 kmx x k     , 2 1 2 2 2 8 1 2 mx x k   , 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 8( )( ) ( ) 1 2 m ky y kx m kx m k x x km x x m k          . ∵OP OQ ,∴ 1 2 1 2 0x x y y  ,即 2 2 2 2 2 2 8 8 01 2 1 2 m m k k k     ,∴ 2 2 3 8 8 mk  , 由 23 8 08 m   和 2 28 4 0k m   ,得 2 8 3m  即可, 因为l 与圆 2 2 2x y r  相切,∴ 2 2 2 | | 8 1 3 mr k   , 存在圆 2 2 8 3x y  符合题意. 【数学思想】 ①数形结合思想. ②分类讨论思想. ③转化与化归思想. 【温馨提示】 解决探索性问题的注意事项: 探索性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在. (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论; (2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件; (3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取另外合适的方法. 【典例试题演练】 1. 【2016 江西师大附中一联】已知抛物线 C 的标准方程为 )0(22  ppxy ,M 为抛物线 C 上一动 点, )0)(0,( aaA 为其对称轴上一点,直线 MA 与抛物线 C 的另一个交点为 N.当 A 为抛物线 C 的焦点且直 线 MA 与其对称轴垂直时,△MON 的面积为 18. (1)求抛物线 C 的标准方程; (2)记 ANAMt 11  ,若 t 值与 M 点位置无关,则称此时的点 A 为“稳定点”,试求出所有“稳定点”, 若没有,请说明理由. 【解析】(1)由题意, 21 1| | | | 2 182 2 2 2MON p pS OA MN p       △ , 6p ∴ , 抛物线 C 的标准方程为 2 12y x . (2)设 1 1 2 2( ) ( )M x y N x y, , , , 设直线 MN 的方程为 x my a  ,联立 2 12 x my a y x     得 2 12 12 0y my a   , ∴ 2144 48 0m a    , 1 2 12y y m  , 1 2 12y y a  , 由对称性,不妨设 0m  , (ⅰ) 0a  时, 1 2 12 0y y a  ∵ , 1 2y y∴ , 同号, 又 2 2 1 2 1 1 1 1 | | | | 1 | | 1 | | t AM AN m y m y       , 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 ( )1 1 144 1 111 ( ) 1 144 1 y y mt m y y m a a m          g g∴ , 不论 a 取何值,t 均与 m 有关, 即 0a  时,A 不是“稳定点”; (ⅱ) 0a  时, 1 2 12 0y y a  ∵ , 1 2y y∴ , 异号. 又 2 2 1 2 1 1 1 1 | | | | 1 | | 1 | | t AM AN m y m y       , 2 2 1 2 2 2 1 2 ( )1 1 ( ) y yt m y y   g∴ 2 1 2 1 2 2 2 1 2 ( ) 41 1 ( ) y y y y m y y     2 2 2 1 144 48 1 144 m a m a   2 2 1 11 31 1 a a m          , ∴仅当 1 1 03 a   ,即 3a  时,t 与 m 无关, 2.【2016 广东广州测试】已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,左顶点为 A ,左焦点为  1 2 0F  , , 点  2B 2, 在椭圆 C 上,直线  0y kx k  与椭圆C 交于 E , F 两点,直线 AE , AF 分别与 y 轴交 于点 M , N . (1)求椭圆C 的方程; (2)以 MN 为直径的圆是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由. 【解析】(1) 设椭圆C 的方程为 2 2 2 2 1 ( 0)x y a ba b     , 因为椭圆的左焦点为  1 2 0F  , ,所以 2 2 4a b  . 因为点  2 2B , 在椭圆 C 上,所以 2 2 4 2 1a b   . 由①②解得, 2 2a  , 2b  .所以椭圆 C 的方程为 2 2 18 4 x y  . 因为直线 AE , AF 分别与 y 轴交于点 M , N , 令 0x  得 2 2 2 1 1 2 ky k    ,即点 2 2 20, 1 1 2 kM k        . 同理可得点 2 2 20, 1 1 2 kN k        . 所以  2 2 2 2 2 1 22 2 2 2 1 1 2 1 1 2 kk kMN kk k         . 设 MN 的中点为 P ,则点 P 的坐标为 20,P k      . 则以 MN 为直径的圆的方程为 2 2 2x y k          2 22 1 2k k        , 即 2 2 2 2 4x y yk    . 令 0y  ,得 2 4x  ,即 2x  或 2x   . 故以 MN 为直径的圆经过两定点  1 2,0P ,  2 2,0P  . 3.【2017 山东省实验中学一诊】已知椭圆C : 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的右焦点 (1,0)F ,过点 F 且与坐标 轴不垂直的直线与椭圆交于 P ,Q 两点,当直线 PQ 经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为 60 . (1)求椭圆C 的方程; (2)设O 为坐标原点,线段OF 上是否存在点 ( ,0)T t ,使得QP TP PQ TQ      ?若存在,求出实数t 的 取值范围;若不存在,说明理由. 【解析】(1)由题意知 1c  ,又 tan 60 3b c   ,所以 2 3b  , 2 2 2 4a b c   ,所以椭圆的方程为: 2 2 14 3 x y  ; (2)设直线 PQ 的方程为: ( 1),( 0)y k x k   ,代入 2 2 14 3 x y  , 得: 2 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x k x k     ,设 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y ,线段 PQ 的中点为 0 0( , )R x y , 则 2 1 2 0 0 02 2 4 3, ( 1)2 3 4 3 4 x x k kx y k xk k        , 由QP TP PQ TQ      得: ( ) (2 ) 0PQ TQ TP PQ TR         , 所以直线TR 为直线 PQ 的垂直平分线, 直线TR 的方程为: 2 2 2 3 1 4( )3 4 3 4 k ky xk k k      , 令 0y  得:T 点的横坐标 2 2 2 1 33 4 4 kt k k    , 因为 2 (0, )k   , 所以 2 3 4 (4, )k    ,所以 1(0, )4t  . 所以线段 OF 上存在点 ( ,0)T t 使得QP TP PQ TQ      ,其中 1(0, )4t  . 4. 已知双曲线 2x2-y2=2. (1)求以 M(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线的方程; (2)过点 N(1,1)能否作直线 l,使直线 l 与所给双曲线交于 P1,P2 两点,且点 N 是弦 P1P2 的中点?若存在, 求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 5.【2018 山西省名校模拟】已知圆 2 2: 6 5 0F x y y    ,某抛物线的顶点为原点O ,焦点为圆心 F , 经过点 F 的直线l 交圆 F 于 N , S 两点,交此抛物线于 M , T 两点,其中 S , T 在第一象限, M , N 在第二象限. (1)求该抛物线的方程; (2)是否存在直线l ,使 5 2 NS 是 MN 与 ST 的等差中项?若存在,求直线l 的方程;若不存在,请说明 理由. 【解析】(1) 2 2 6 5 0x y y    可化为  22 3 4x y   , 根据已知抛物线的方程为 2 2x py ( 0p  ). ∵圆心 F 的坐标为  0,3F ,∴ 32 p  ,解得 6p  . ∴抛物线的方程为 2 12x y . (2)∵ 5 2 NS 是 MN 与 ST 的等差中项,圆 F 的半径为 2,∴ 5 5 4 20MN ST NS     . ∴ 24MT MN NS ST    . 由题知,直线l 的斜率存在,故可设直线l 的方程为 3y kx  , 设  1 1,M x y ,  2 2,T x y ,由 2 3{ 12 y kx x y    ,得 2 12 36 0x kx   , 2144 144 0k    , 故 1 2 12x x k  , 1 2 36x x   . ∵ 21 2 21 2 4)(1|| xxxxkMT  , ∴  2 2 21 • 144 144 12 1MT k k k     , 由  212 1 24k  ,解得 1k   . ∴存在满足要求的直线l ,其方程为 3 0x y   或 3 0x y   . 6.【2017 河北省定州中学月考】已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆C 过点 21, 2       ,离心率为 2 2 , 1A , 2A 是椭圆 C 的长轴的两个端点( 2A 位于 1A 右侧), B 是椭圆在 y 轴正半轴上的顶点. (1)求椭圆C 的标准方程; (2)是否存在经过点 0, 2 且斜率为 k 的直线l 与椭圆C 交于不同两点 P 和Q ,使得向量OP OQ  与 2A B  共线?如果存在,求出直线方程;如果不存在,请说明理由. 【解析】(1)设椭圆的方程为 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     , 依题意得 2 2 2 2 2 , 2{ ,2 1 1 12 a b c c a a b      解得 2 2a  , 2 1b  .所以椭圆C 的方程为 2 2 12 x y  . (2)假设存在过点 0, 2 且斜率为 k 的直线l 适合题意,则因为直线l 的方程为: 2y kx  ,于是联 立方程, 2 2 2 { 12 y kx x y      2 21 2 2 1 02 k x kx       . 由直线l 与椭圆C 交于不同两点 P 和Q 知, 2 218 4 2k k        24 2 0k   , 2 1 2k  . 令  1 1,P x y ,  2 2,Q x y ,  1 2 1 2,OP OQ x x y y      , 1 2 2 4 2 1 2 kx x k     ,  1 2 1 2 2 2y y k x x    2 2 2 1 2k   , 2 2 4 2 2 2,1 2 1 2 kOP OQ k k             2 2 2 2 ,11 2 kk   , 由题知  2 2,0A ,  0,1B ,  2 2,1A B  . 从而,根据向量OP OQ  与 2A B 共线,可得 2 2k  , 2 2k  ,这与 2 1 2k  矛盾. 故不存在符合题意的直线l . 7. 【2016 年济宁市模拟】已知曲线 E 上的任意点到点 )0,1(F 的距离比它到直线 2x   的距离小 1, (1)求曲线 E 的方程; (2)点 D 的坐标为 )0,2( ,若 P 为曲线 E 上的动点,求 PD PF×  的最小值; (3)设点 A 为 y 轴上异于原点的任意一点,过点 A 作曲线 E 的切线l ,直线 3x = 分别与直线l 及 x 轴交于 ,M N ,以 MN 为直径作圆C ,过点 A 作圆C 的切线,切点为 B ,试探究:当点 A 在 y 轴上运动(点 A 与 原点不重合)时,线段 AB 的长度是否发生变化?请证明你的结论. 【解析】(1)设 ),( yxS 为曲线 E 上的任意一点,依题意,点 ),( yxS 到点 )0,1(F 的距离与它到直线 1x   的距离相等,所以曲线 E 是以 )0,1(F 为焦点,直线 1x   为准线的抛物线, 所以曲线 E 的方程为 2 4y x= . (2)设   0 0 0, 0P x y x  ,则     2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 02 , 1 , 3 2 4 2 3 2 2PD PF x y x y y x x x x x x x                 , 因为 0 0x ³ ,所以当 0 0x = 时, PD PF×  有最小值 2 (3)当点 A 在 y 轴上运动( A 与原点不重合)时,线段 AB 的长度不变,证明如下: 依题意,直线l 的斜率存在且不为 0,设 :l y kx b= + ,代入 2 4y x= 得 ( )2 2 22 4 0k x kb x b+ - + = , 由  2 2 22 4 4 16 16 0kb k b kb       得 1kb = , 将 3x = 代入直线l 的方程得 ( )3,3M k b+ ,又 ( )3,0N ,故圆心 33, 2 k bC      , 所以圆C 的半径为 3 2 k br +=   2 2 2 2 22 3 33 0 9 3 62 2 k b k bAB AC r b kb                     6AB  当点 A 在 y 轴上运动(点 A 与原点不重合)时,线段 AB 的长度不变,为定值 6 . 8.【2016湖南省四大名校联考】如图,在平面直角坐标系 xOy 中, 已知 1 2,F F 分别是椭圆   2 2 2 2: 1 0x yE a ba b     的左、右焦点 ,A B 分别是椭圆 E 的左、右顶点,  1,0D 为线段 2OF 的中点, 且 2 25 0AF BF    . (1)求椭圆 E 的方程; (2)若 M 为椭圆 E 上的动点(异于点 ,A B ),连接 1MF 并延长交椭圆 E 于点 N ,连接 MD 、 ND 并分别延 长交椭圆 E 于点 ,P Q 连接 PQ ,设直线 MN 、 PQ 的斜率存在且分别为 1k 、 2k ,试问是否存在常数  ,使得 1 2 0k k  恒成立?若存在,求出  的值;若不存在,说明理由. 【解析】(1)  2 2 2 25 0, 5 , 5AF BF AF F B a c a c             , 化简得 2 3a c ,点  1,0D 为线段 2OF 的中点, 2c  , 从而 3, 5a b  ,左焦点  1 2,0F  , 故椭圆 E 的方程为 2 2 19 5 x y  . (2)存在满足条件的常数 4, 7     .设        1 1 2 2 3 3 4 4, , , , , ,M x y N x y P x y Q x y , 则直线 MD 的方程为 1 1 1 1xx yy   ,代入椭圆方程 2 2 19 5 x y  整理得, 21 1 2 1 1 5 1 4 0x xy yy y     .  1 1 1 1 3 3 1 1 1 4,5 5 y x yy y yx x      ,从而 1 3 1 9 5 5xx x   ,故点 1 1 1 1 5 9 4,5 5 x y xP x          . 理,点 2 2 2 2 5 9 4,5 5 x y xQ x          .因为三点 M 、 1F 、 N 共线,所以 1 2 1 22 2 y y x x   ,从而  1 2 2 1 1 22x y x y y y   . 从而         1 2 1 2 2 1 1 2 1 23 4 1 2 1 2 1 23 4 1 2 1 2 1 2 4 4 5 75 5 7 5 9 5 9 4 4 4 5 5 y y x y x y y y y yy y x x kk x xx x x x x x x x                , 故 2 1 4 07 kk   ,从而存在满足条件的常数 4, 7     . 9.【2017 湖南省长沙市模拟】已知椭圆 2 2 2 2: 1x yE a b   ( 0a b  )的离心率为 2 3 , 1 2,F F 分别是它的 左、右焦点,且存在直线l ,使 1 2,F F 关于l 的对称点恰好是圆 2 2 2: 4 2 5 4 0C x y mx my m      ( , 0m R m  )的一条直线的两个端点. (1)求椭圆 E 的方程; (2)设直线l 与抛物线 2 2y px ( 0p  )相交于 ,A B 两点,射线 1F A, 1F B 与椭圆 E 分别相交于点 ,M N , 试探究:是否存在数集 D ,当且仅当 p D 时,总存在 m ,使点 1F 在以线段 MN 为直径的圆内?若存在, 求出数集 D ;若不存在,请说明理由. (2)因为 1 2,F F 产于l 的对称点恰好是圆 C 的一条直径的两个端点, 所以直线l 是线段OC 的垂直平分线(O 是坐标原点),故l 方程为 52 2 my x   ,与 2 2y px ,联立得: 22 2 5 0y py pm   ,由其判别式 0  得 10 0p m  ①. 设  1 1,A x y ,  2 2,B x y ,则 1 2y y p   , 1 2 5 2y y pm  , 从而 1 2 1 2 5 1 5 2 2 2 2 y yx x m p m      ,  2 1 2 2 1 2 2 25 4 16 y yx x mp   . 因为 1F 的坐标为 2,0 , 所以  1 1 12,F A x y  ,  1 2 22,F B x y  , 注意到 1FM  与 1F A  同向, 1F N  与 1F B  同向,所以 点 1F 在以线段 MN 为直径的圆内 1 1• 0F M F N   , 所以   1 1 1 2 1 2• 0 2 2 0F A F B x x y y      即  1 2 1 2 1 22 4 0x x x x y y     代入整理得    225 10 2 4 4 04 m p m p     ② 当且仅当    2100 2 100 4 0p p      即 5p  时,总存在 m ,使②成立. 又当 5p  时,由韦达定理知方程    225 10 2 4 4 04 m p m p     的两根均为正数, 故使②成立的 0m  ,从而满足①. 故存在数集  5,D   ,当且仅当 p D 时,总存在 m 使点 1F 在以线段 MN 为直径的圆内. 10.已知椭圆C : 2 2 2 2 1x y a b   ( 0a b  )的焦距为 4 ,且过点  2, 3A . (1)求椭圆C 的方程和离心率; (2)设  0 0,P x y ( 0 0 0x y  )为椭圆 C 上一点,过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为Q . 取点  0,2 2B ,连 结 BQ ,过点 B 作 BQ 的垂线交 x 轴于点 D ,点 E 是点 D 关于 y 轴的对称点.试判断直线 PE 与椭圆C 的 位置关系,并证明你的结论. 【解析】(1)由题设,得 2 2 2 2 4 2 3 1 a b a b      , 解得 2 2 8 4 a b    ,故椭圆 C 的方程为 2 2 18 4 x y  , 离心率 2 2 22 2 ce a    ; ∵点 P 在椭圆C 上,故 2 2 0 0 18 4 x y  ,即 2 2 0 02 8x y  , ∴直线 PE 的斜率为 0 02 x y  ,其方程为 0 0 0 8 2 xy xy x        , 联立方程组 2 2 0 0 0 18 4 8 2 x y xy xy x            ,代入消元得  2 2 2 2 0 0 0 02 16 64 16 0x y x x x y     , 利用 2 2 0 02 8x y  ,化简得 2 2 0 02 0x x x x   , 12 分 ∴ 0  ,故方程组有两组相同的实数解,∴直线 PE 与椭圆 C 相切.