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- 2021-06-16 发布
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考点 42 圆锥曲线中的综合性问题
【考纲要求】
应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系.会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点
个数),会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹、参数问题及相关的不等式与等式的证
明问题.
【命题规律】
圆锥曲线中的综合性问题一般在解答题中考查.难度较大.
【典型高考试题变式】
(一)探究直线与曲线的公共点
例 1.【2016 新课标卷】在直角坐标系 xOy 中,直线 l:y=t(t≠0)交 y 轴于点 M,交抛物线 C: 2 2 ( 0)y px p
于点 P,M 关于点 P 的对称点为 N,连结 ON 并延长交 C 于点 H.
(1)求 OH
ON
;
(2)除 H 以外,直线 MH 与 C 是否有其它公共点?说明理由.
【解析】(1)由已知得 ),0( tM , ),2(
2
tp
tP .
又 N 为 M 关于点 P 的对称点,故 ),(
2
tp
tN ,ON 的方程为 xt
py ,
代入 pxy 22 整理得 02 22 xtpx ,解得 01 x ,
p
tx
2
2
2 ,因此 )2,2(
2
tp
tH .
所以 N 为OH 的中点,即 2||
||
ON
OH .
(2)直线 MH 与C 除 H 以外没有其它公共点.理由如下:
直线 MH 的方程为 xt
pty 2
,即 )(2 typ
tx .代入 pxy 22 得 044 22 ttyy ,
解得 tyy 221 ,即直线 MH 与C 只有一个公共点,所以除 H 以外直线 MH 与 C 没有其它公共点.
【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个
很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成;解析几何中的证
明问题通常有以下几类:证明点共线或直线过定点;证明垂直;证明定值问题.其中考查较多的圆锥曲线是
椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.
【变式 1】【2017 陕西省咸阳市二模】已知动点 M 到定点 1,0F 和定直线 4x 的距离之比为 1
2
,设动点 M
的轨迹为曲线 C .
(1)求曲线C 的方程;
(2)过点 F 作斜率不为 0 的任意一条直线与曲线C 交于两点 ,A B ,试问在 x 轴上是否存在一点 P(与点 F
不重合),使得 APF BPF ,若存在,求出 P 点坐标;若不存在,说明理由.
(2)存在.
设直线 1 1 2 2: 1 0 , 1, , 1, , ,0l x ty t A ty y B ty y P m ,
则 2 2
2 2
1{ 3 1 4 123 4 12
x ty ty yx y
,即 2 23 4 6 9 0t y ty ,
1 2 1 22 2
6 9,3 4 3 4
ty y y yt t
,
由 APF BPF 得 0AP BPk k ,即 1 2
1 2
01 1
y y
ty m ty m
,
整理得 1 2 1 22 1 0ty y m y y ,
∴ 2 2
9 62 1 03 4 3 4
tt mt t
,解得 4m ,
综上知, 在 x 轴上是存在点 4,0P 满足题意.
【变式 2】【2017 湖南省常德市一模】已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的离心率为 3
2
,过左焦点 F 且
垂直于 x 轴的直线与椭圆C 相交,所得弦长为 1,斜率为 k ( 0k )的直线l 过点 1,0 ,且与椭圆C 相交
于不同的两点 A B, .
(1)求椭圆C 的方程;
(2)在 x 轴上是否存在点 M ,使得无论 k 取何值,
2
21 4
kMA MB k
为定值?若存在,求出点 M 的坐
标;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)由题意可知椭圆C 过点 1, 2c
,则
2
2 2
1 14
c
a b
,
又 2 2 23 ,2
ce a b ca
,
解得 2, 1, 3a b c ,则椭圆方程 2
1 11 1'
a x xax a x af x x x
.
(2)设在 x 轴上存在点 M(t,0)满足题意,
直线l 过点(1, 0)且斜率为 k,则直线l 的方程可设为 1y k x ,
由
2
2 1{ 4
1
x y
y k x
,可知 22 24 1 4x k x ,
2 2 2 21 4 8 4 4 0k x k x k ,
易知 0 ,设 1 1 2 2, , ,A x y B x y ,则
2
1 2 2
2
1 2 2
8
1 4{
4 4
1 4
kx x k
kx x k
,
由题可设 2
21 4
kMA MB m mk
为常数 ,
2 2 2 24 8 4 4k t t t m mk 对任意实数 0k k 恒成立;
2
2
4 8 4{
4
t t m
t m
,解得 2, 0t m ,
存在点 M(2,0)满足题意,且常数为 0.
(二)探求参数值
例 2.【2016 年高考四川卷】已知椭圆 E:
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角
形的三个顶点,直线 : 3l y x 与椭圆 E 有且只有一个公共点 T.
(1)求椭圆 E 的方程及点 T 的坐标;
(2)设 O 是坐标原点,直线 l’平行于 OT,与椭圆 E 交于不同的两点 A、B,且与直线 l 交于点 P.证明:
存在常数 ,使得 2PT PA PB ,并求 的值.
【分析】(1)由椭圆两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点可得 2a c ,从而可得 2a b ,
椭圆的标准方程中可减少一个参数,再利用直线和椭圆只有一个公共点,联立方程,方程有两个相等实根,
解出 b 的值,从而得到椭圆的标准方程;(Ⅱ)首先设出直线 'l 方程为 1
2y x m ,由两直线方程求出点 P
坐标,得 2PT ,同时设交点 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ,把 'l 方程与椭圆方程联立后消去 y 得 x 的二次方程,利
用根与系数关系,得 1 2 1 2,x x x x ,再计算 PA PB ,比较可得 值.
【解析】(1)由已知, 2 2 2(2 )a a c ,即 2a c ,所以 2a b ,则椭圆 E 的方程为
2 2
2 2 12
x y
b b
.
由方程组
2 2
2 2 1,2
3,
x y
b b
y x
得 2 23 12 (18 2 ) 0x x b .①
方程①的判别式为 2=24( 3)b ,由 =0 ,得 2 =3b ,
此方程①的解为 =2x ,
所以椭圆 E 的方程为
2 2
16 3
x y ,点 T 坐标为(2,1).
方程②的判别式为 2=16(9 2 )m ,由 >0 ,解得 3 2 3 2
2 2m .
由②得
2
1 2 1 2
4 4 12= ,3 3
m mx x x x .
所以 2 2
1 1 1
2 2 5 2(2 ) (1 ) 23 3 2 3
m m mPA x y x ,
同理 2
5 222 3
mPB x ,
所以 1 2
5 2 2(2 )(2 )4 3 3
m mPA PB x x 2
1 2 1 2
5 2 2(2 ) (2 )( )4 3 3
m m x x x x
2
25 2 2 4 4 12(2 ) (2 )( )4 3 3 3 3
m m m m 210
9 m .
故存在常数 4
5
,使得 2PT PA PB .
【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质,考查学生的分析问题解决问题的能力和数形结合的
思想.在涉及到直线与椭圆(圆锥曲线)的交点问题时,一般都设交点坐标为 1 1 2 2( , ),( , )x y x y ,同时把直线
方程与椭圆方程联立,消元后,可得 1 2 1 2,x x x x ,再把 PA PB 用 1 2,x x 表示出来,并代入刚才的
1 2 1 2,x x x x ,这种方法是解析几何中的“设而不求”法.可减少计算量,简化解题过程.
【变式 1】【2016 湖南省师大附中、长沙一中、长郡中学、雅礼中学四校联考】如图,在平面直角坐标系 xOy
中,已知 1F 、 2F 分别是椭圆 )0(1: 2
2
2
2
bab
y
a
xE 的左、右焦点, BA, 分别是椭圆 E 的左、右顶点,
)0,1(D 为线段 2OF 的中点,且 05 22 BFAF .
(1)求椭圆 E 的方程;
(2)若 M 为椭圆 E 上的动点(异于点 A 、 B ),连接 1MF 并延长交椭圆 E 于点 N ,连接 MD 、 ND 并分
别延长交椭圆 E 于点 P ,Q ,连接 PQ ,设直线 MN 、 PQ 的斜率存在且分别为 1k 、 2k .试问是否存在常
数 ,使得 021 kk 恒成立?若存在,求出 的值;若不存在,说明理由.
【解析】(1)∵ 2 25 0AF BF ,∴ 2 25AF F B ,
∵ )(5 caca ,化简得 ca 32 ,点 )0,1(D 为线段 2OF 的中点,
∴ 2c ,从而 3a , 5b ,左焦点 )0,2(1 F ,故椭圆 E 的方程为 159
22
yx ;
(2)存在满足条件的常数 ,
7
4 ,设 1 1( , )M x y , 2 2( , )N x y , 3 3( , )P x y , 4 4( , )Q x y ,
则直线 MD 的方程为 11
1
1 yy
xx ,代入椭圆方程 159
2
x ,整理得, 0415
1
12
2
1
1 yy
xyy
x ,
∵
5
)1(
1
11
31
x
xyyy ,∴
5
4
1
1
3
x
yy ,从而
5
95
1
1
3
x
xx ,故点 )5
4,5
95(
1
1
1
1
x
y
x
xP ,
同理,点 )5
4,5
95(
2
2
2
2
x
y
x
xQ ,∵三点 NFM ,, 1 共线,∴
22 2
2
1
1
x
y
x
y ,
从而 )(2 211221 yyyxyx ,从而
1 2
3 4 1 2 1 2 2 1 1 2
2
1 23 4 1 2
1 1
4 4
5 5 5( )
5 9 5 9 4( )
5 5
y y
y y x x x y x y y yk x xx x x x
x x
1 2 1
1 2
7( ) 7
4( ) 4
y y k
x x
,故 07
4 2
1 kk ,从而存在满足条件的常数 ,
7
4 .
【变式 2】【2016 洛阳市考试】已知 ( 2,0), (2,0)A B ,动点 M 满足 2AMB , 2
4| | | | cosAM BM .
(1)求| | | |AM BM 的值,并写出 M 的轨迹曲线C 的方程;
(2)动直线 :l y kx m 与曲线C 交于 ,P Q 两点,且OP OQ ,是否存在圆 2 2 2x y r 使得l 恰好是
该圆的切线,若存在,求出 r ;若不存在,说明理由.
【答案】(1)| | | | 4 2AM BM ,
2 2
: 18 4
x yC (2)存在圆 2 2 8
3x y
∴
2 2
: 18 4
x yC .
(2)设 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y ,将 :l y kx m 代入
2 2
: 18 4
x yC 得
2 2 2(1 2 ) 4 2 8 0k x kmx m ,
∵ 0 ,∴ 2 28 4 0k m ,且 1 2 2
4
1 2
kmx x k
,
2
1 2 2
2 8
1 2
mx x k
,
2 2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 2
8( )( ) ( ) 1 2
m ky y kx m kx m k x x km x x m k
.
∵OP OQ ,∴ 1 2 1 2 0x x y y ,即
2 2 2
2 2
2 8 8 01 2 1 2
m m k
k k
,∴
2
2 3 8
8
mk ,
由
23 8 08
m 和 2 28 4 0k m ,得 2 8
3m 即可,
因为l 与圆 2 2 2x y r 相切,∴
2
2
2
| | 8
1 3
mr k
,
存在圆 2 2 8
3x y 符合题意.
【数学思想】
①数形结合思想.
②分类讨论思想.
③转化与化归思想.
【温馨提示】
解决探索性问题的注意事项:
探索性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在.
(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论;
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件;
(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取另外合适的方法.
【典例试题演练】
1. 【2016 江西师大附中一联】已知抛物线 C 的标准方程为 )0(22 ppxy ,M 为抛物线 C 上一动
点, )0)(0,( aaA 为其对称轴上一点,直线 MA 与抛物线 C 的另一个交点为 N.当 A 为抛物线 C 的焦点且直
线 MA 与其对称轴垂直时,△MON 的面积为 18.
(1)求抛物线 C 的标准方程;
(2)记
ANAMt 11 ,若 t 值与 M 点位置无关,则称此时的点 A 为“稳定点”,试求出所有“稳定点”,
若没有,请说明理由.
【解析】(1)由题意,
21 1| | | | 2 182 2 2 2MON
p pS OA MN p △ , 6p ∴ ,
抛物线 C 的标准方程为 2 12y x .
(2)设 1 1 2 2( ) ( )M x y N x y, , , ,
设直线 MN 的方程为 x my a ,联立 2 12
x my a
y x
得 2 12 12 0y my a ,
∴ 2144 48 0m a , 1 2 12y y m , 1 2 12y y a ,
由对称性,不妨设 0m ,
(ⅰ) 0a 时, 1 2 12 0y y a ∵ , 1 2y y∴ , 同号,
又
2 2
1 2
1 1 1 1
| | | | 1 | | 1 | |
t AM AN m y m y
,
2 2
2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 2
( )1 1 144 1 111 ( ) 1 144 1
y y mt m y y m a a m
g g∴ ,
不论 a 取何值,t 均与 m 有关, 即 0a 时,A 不是“稳定点”;
(ⅱ) 0a 时, 1 2 12 0y y a ∵ , 1 2y y∴ , 异号.
又
2 2
1 2
1 1 1 1
| | | | 1 | | 1 | |
t AM AN m y m y
,
2
2 1 2
2 2
1 2
( )1
1 ( )
y yt m y y
g∴
2
1 2 1 2
2 2
1 2
( ) 41
1 ( )
y y y y
m y y
2
2 2
1 144 48
1 144
m a
m a
2 2
1 11 31 1
a
a m
,
∴仅当 1 1 03 a ,即 3a 时,t 与 m 无关,
2.【2016 广东广州测试】已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,左顶点为 A ,左焦点为 1 2 0F , ,
点 2B 2, 在椭圆 C 上,直线 0y kx k 与椭圆C 交于 E , F 两点,直线 AE , AF 分别与 y 轴交
于点 M , N .
(1)求椭圆C 的方程;
(2)以 MN 为直径的圆是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由.
【解析】(1) 设椭圆C 的方程为
2 2
2 2 1 ( 0)x y a ba b
,
因为椭圆的左焦点为 1 2 0F , ,所以 2 2 4a b .
因为点 2 2B , 在椭圆 C 上,所以 2 2
4 2 1a b
.
由①②解得, 2 2a , 2b .所以椭圆 C 的方程为
2 2
18 4
x y .
因为直线 AE , AF 分别与 y 轴交于点 M , N ,
令 0x 得
2
2 2
1 1 2
ky
k
,即点
2
2 20,
1 1 2
kM
k
.
同理可得点
2
2 20,
1 1 2
kN
k
.
所以
2
2 2
2 2 1 22 2 2 2
1 1 2 1 1 2
kk kMN kk k
.
设 MN 的中点为 P ,则点 P 的坐标为 20,P k
.
则以 MN 为直径的圆的方程为
2
2 2x y k
2
22 1 2k
k
,
即 2 2 2 2 4x y yk
.
令 0y ,得 2 4x ,即 2x 或 2x .
故以 MN 为直径的圆经过两定点 1 2,0P , 2 2,0P .
3.【2017 山东省实验中学一诊】已知椭圆C :
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的右焦点 (1,0)F ,过点 F 且与坐标
轴不垂直的直线与椭圆交于 P ,Q 两点,当直线 PQ 经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为 60 .
(1)求椭圆C 的方程;
(2)设O 为坐标原点,线段OF 上是否存在点 ( ,0)T t ,使得QP TP PQ TQ ?若存在,求出实数t 的
取值范围;若不存在,说明理由.
【解析】(1)由题意知 1c ,又 tan 60 3b
c
,所以 2 3b ,
2 2 2 4a b c ,所以椭圆的方程为:
2 2
14 3
x y ;
(2)设直线 PQ 的方程为: ( 1),( 0)y k x k ,代入
2 2
14 3
x y ,
得: 2 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x k x k ,设 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y ,线段 PQ 的中点为 0 0( , )R x y ,
则
2
1 2
0 0 02 2
4 3, ( 1)2 3 4 3 4
x x k kx y k xk k
,
由QP TP PQ TQ 得: ( ) (2 ) 0PQ TQ TP PQ TR ,
所以直线TR 为直线 PQ 的垂直平分线,
直线TR 的方程为:
2
2 2
3 1 4( )3 4 3 4
k ky xk k k
,
令 0y 得:T 点的横坐标
2
2
2
1
33 4 4
kt k
k
,
因为 2 (0, )k , 所以 2
3 4 (4, )k
,所以 1(0, )4t .
所以线段 OF 上存在点 ( ,0)T t 使得QP TP PQ TQ ,其中 1(0, )4t .
4. 已知双曲线 2x2-y2=2.
(1)求以 M(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线的方程;
(2)过点 N(1,1)能否作直线 l,使直线 l 与所给双曲线交于 P1,P2 两点,且点 N 是弦 P1P2 的中点?若存在,
求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.
5.【2018 山西省名校模拟】已知圆 2 2: 6 5 0F x y y ,某抛物线的顶点为原点O ,焦点为圆心 F ,
经过点 F 的直线l 交圆 F 于 N , S 两点,交此抛物线于 M , T 两点,其中 S , T 在第一象限, M ,
N 在第二象限.
(1)求该抛物线的方程;
(2)是否存在直线l ,使 5
2 NS 是 MN 与 ST 的等差中项?若存在,求直线l 的方程;若不存在,请说明
理由.
【解析】(1) 2 2 6 5 0x y y 可化为 22 3 4x y ,
根据已知抛物线的方程为 2 2x py ( 0p ).
∵圆心 F 的坐标为 0,3F ,∴ 32
p ,解得 6p .
∴抛物线的方程为 2 12x y .
(2)∵ 5
2 NS 是 MN 与 ST 的等差中项,圆 F 的半径为 2,∴ 5 5 4 20MN ST NS .
∴ 24MT MN NS ST .
由题知,直线l 的斜率存在,故可设直线l 的方程为 3y kx ,
设 1 1,M x y , 2 2,T x y ,由 2
3{ 12
y kx
x y
,得 2 12 36 0x kx , 2144 144 0k ,
故 1 2 12x x k , 1 2 36x x .
∵ 21
2
21
2 4)(1|| xxxxkMT ,
∴ 2 2 21 • 144 144 12 1MT k k k ,
由 212 1 24k ,解得 1k .
∴存在满足要求的直线l ,其方程为 3 0x y 或 3 0x y .
6.【2017 河北省定州中学月考】已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆C 过点 21, 2
,离心率为 2
2
,
1A , 2A 是椭圆 C 的长轴的两个端点( 2A 位于 1A 右侧), B 是椭圆在 y 轴正半轴上的顶点.
(1)求椭圆C 的标准方程;
(2)是否存在经过点 0, 2 且斜率为 k 的直线l 与椭圆C 交于不同两点 P 和Q ,使得向量OP OQ 与
2A B
共线?如果存在,求出直线方程;如果不存在,请说明理由.
【解析】(1)设椭圆的方程为
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
,
依题意得
2 2 2
2 2
,
2{ ,2
1 1 12
a b c
c
a
a b
解得 2 2a , 2 1b .所以椭圆C 的方程为
2
2 12
x y .
(2)假设存在过点 0, 2 且斜率为 k 的直线l 适合题意,则因为直线l 的方程为: 2y kx ,于是联
立方程, 2
2
2
{
12
y kx
x y
2 21 2 2 1 02 k x kx
.
由直线l 与椭圆C 交于不同两点 P 和Q 知,
2 218 4 2k k
24 2 0k , 2 1
2k .
令 1 1,P x y , 2 2,Q x y , 1 2 1 2,OP OQ x x y y ,
1 2 2
4 2
1 2
kx x k
, 1 2 1 2 2 2y y k x x 2
2 2
1 2k
,
2 2
4 2 2 2,1 2 1 2
kOP OQ k k
2
2 2 2 ,11 2 kk
,
由题知 2 2,0A , 0,1B , 2 2,1A B .
从而,根据向量OP OQ 与 2A B 共线,可得 2 2k , 2
2k ,这与 2 1
2k 矛盾.
故不存在符合题意的直线l .
7. 【2016 年济宁市模拟】已知曲线 E 上的任意点到点 )0,1(F 的距离比它到直线 2x 的距离小 1,
(1)求曲线 E 的方程;
(2)点 D 的坐标为 )0,2( ,若 P 为曲线 E 上的动点,求 PD PF× 的最小值;
(3)设点 A 为 y 轴上异于原点的任意一点,过点 A 作曲线 E 的切线l ,直线 3x = 分别与直线l 及 x 轴交于
,M N ,以 MN 为直径作圆C ,过点 A 作圆C 的切线,切点为 B ,试探究:当点 A 在 y 轴上运动(点 A 与
原点不重合)时,线段 AB 的长度是否发生变化?请证明你的结论.
【解析】(1)设 ),( yxS 为曲线 E 上的任意一点,依题意,点 ),( yxS 到点 )0,1(F 的距离与它到直线 1x
的距离相等,所以曲线 E 是以 )0,1(F 为焦点,直线 1x 为准线的抛物线,
所以曲线 E 的方程为 2 4y x= .
(2)设 0 0 0, 0P x y x ,则
2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 02 , 1 , 3 2 4 2 3 2 2PD PF x y x y y x x x x x x x ,
因为 0 0x ³ ,所以当 0 0x = 时, PD PF× 有最小值 2
(3)当点 A 在 y 轴上运动( A 与原点不重合)时,线段 AB 的长度不变,证明如下:
依题意,直线l 的斜率存在且不为 0,设 :l y kx b= + ,代入 2 4y x= 得 ( )2 2 22 4 0k x kb x b+ - + = ,
由 2 2 22 4 4 16 16 0kb k b kb 得 1kb = ,
将 3x = 代入直线l 的方程得 ( )3,3M k b+ ,又 ( )3,0N ,故圆心 33, 2
k bC
,
所以圆C 的半径为 3
2
k br +=
2 2
2 2 22 3 33 0 9 3 62 2
k b k bAB AC r b kb
6AB
当点 A 在 y 轴上运动(点 A 与原点不重合)时,线段 AB 的长度不变,为定值 6 .
8.【2016湖南省四大名校联考】如图,在平面直角坐标系 xOy 中, 已知 1 2,F F 分别是椭圆
2 2
2 2: 1 0x yE a ba b
的左、右焦点 ,A B 分别是椭圆 E 的左、右顶点, 1,0D 为线段 2OF 的中点, 且
2 25 0AF BF .
(1)求椭圆 E 的方程;
(2)若 M 为椭圆 E 上的动点(异于点 ,A B ),连接 1MF 并延长交椭圆 E 于点 N ,连接 MD 、 ND 并分别延
长交椭圆 E 于点 ,P Q 连接 PQ ,设直线 MN 、 PQ 的斜率存在且分别为 1k 、 2k ,试问是否存在常数 ,使得
1 2 0k k 恒成立?若存在,求出 的值;若不存在,说明理由.
【解析】(1) 2 2 2 25 0, 5 , 5AF BF AF F B a c a c
,
化简得 2 3a c ,点 1,0D 为线段 2OF 的中点, 2c , 从而 3, 5a b ,左焦点 1 2,0F ,
故椭圆 E 的方程为
2 2
19 5
x y .
(2)存在满足条件的常数 4, 7
.设 1 1 2 2 3 3 4 4, , , , , ,M x y N x y P x y Q x y ,
则直线 MD 的方程为 1
1
1 1xx yy
,代入椭圆方程
2 2
19 5
x y 整理得, 21 1
2
1 1
5 1 4 0x xy yy y
.
1 1 1
1 3 3
1 1
1 4,5 5
y x yy y yx x
,从而 1
3
1
9
5
5xx x
,故点 1 1
1 1
5 9 4,5 5
x y
xP x
.
理,点 2 2
2 2
5 9 4,5 5
x y
xQ x
.因为三点 M 、 1F 、 N 共线,所以 1 2
1 22 2
y y
x x
,从而
1 2 2 1 1 22x y x y y y .
从而
1 2
1 2 2 1 1 2 1 23 4 1 2 1
2
1 23 4 1 2 1 2
1 2
4 4
5 75 5 7
5 9 5 9 4 4 4
5 5
y y
x y x y y y y yy y x x kk x xx x x x x x
x x
,
故 2
1
4 07
kk ,从而存在满足条件的常数 4, 7
.
9.【2017 湖南省长沙市模拟】已知椭圆
2 2
2 2: 1x yE a b
( 0a b )的离心率为 2
3
, 1 2,F F 分别是它的
左、右焦点,且存在直线l ,使 1 2,F F 关于l 的对称点恰好是圆 2 2 2: 4 2 5 4 0C x y mx my m
( , 0m R m )的一条直线的两个端点.
(1)求椭圆 E 的方程;
(2)设直线l 与抛物线 2 2y px ( 0p )相交于 ,A B 两点,射线 1F A, 1F B 与椭圆 E 分别相交于点 ,M N ,
试探究:是否存在数集 D ,当且仅当 p D 时,总存在 m ,使点 1F 在以线段 MN 为直径的圆内?若存在,
求出数集 D ;若不存在,请说明理由.
(2)因为 1 2,F F 产于l 的对称点恰好是圆 C 的一条直径的两个端点,
所以直线l 是线段OC 的垂直平分线(O 是坐标原点),故l 方程为 52 2
my x ,与 2 2y px ,联立得:
22 2 5 0y py pm ,由其判别式 0 得 10 0p m ①.
设 1 1,A x y , 2 2,B x y ,则 1 2y y p , 1 2
5
2y y pm ,
从而 1 2
1 2
5 1 5
2 2 2 2
y yx x m p m , 2
1 2 2
1 2 2
25
4 16
y yx x mp
.
因为 1F 的坐标为 2,0 ,
所以 1 1 12,F A x y , 1 2 22,F B x y ,
注意到 1FM
与 1F A
同向, 1F N
与 1F B
同向,所以
点 1F 在以线段 MN 为直径的圆内 1 1• 0F M F N ,
所以 1 1 1 2 1 2• 0 2 2 0F A F B x x y y 即 1 2 1 2 1 22 4 0x x x x y y
代入整理得 225 10 2 4 4 04 m p m p ②
当且仅当 2100 2 100 4 0p p 即 5p 时,总存在 m ,使②成立.
又当 5p 时,由韦达定理知方程 225 10 2 4 4 04 m p m p 的两根均为正数,
故使②成立的 0m ,从而满足①.
故存在数集 5,D ,当且仅当 p D 时,总存在 m 使点 1F 在以线段 MN 为直径的圆内.
10.已知椭圆C :
2 2
2 2 1x y
a b
( 0a b )的焦距为 4 ,且过点 2, 3A .
(1)求椭圆C 的方程和离心率;
(2)设 0 0,P x y ( 0 0 0x y )为椭圆 C 上一点,过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为Q . 取点 0,2 2B ,连
结 BQ ,过点 B 作 BQ 的垂线交 x 轴于点 D ,点 E 是点 D 关于 y 轴的对称点.试判断直线 PE 与椭圆C 的
位置关系,并证明你的结论.
【解析】(1)由题设,得
2 2
2 2
4
2 3 1
a b
a b
,
解得
2
2
8
4
a
b
,故椭圆 C 的方程为
2 2
18 4
x y , 离心率 2 2
22 2
ce a
;
∵点 P 在椭圆C 上,故
2 2
0 0 18 4
x y ,即 2 2
0 02 8x y ,
∴直线 PE 的斜率为 0
02
x
y
,其方程为 0
0 0
8
2
xy xy x
,
联立方程组
2 2
0
0 0
18 4
8
2
x y
xy xy x
,代入消元得 2 2 2 2
0 0 0 02 16 64 16 0x y x x x y ,
利用 2 2
0 02 8x y ,化简得 2 2
0 02 0x x x x , 12 分
∴ 0 ,故方程组有两组相同的实数解,∴直线 PE 与椭圆 C 相切.
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