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- 2021-06-16 发布
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1.四种命题及相互关系
2.四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.
3.充分条件与必要条件
(1)如果p⇒q,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件;
(2)如果p⇒q,但q⇏ p,则p是q的充分不必要条件;
(3)如果p⇒q,且q⇒p,则p是q的充要条件;
(4)如果q⇒p,且p⇏ q,则p是q的必要不充分条件;
(5)如果p⇏ q,且q⇏ p,则p是q的既不充分又不必要条件.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“x2+2x-3<0”是命题.( × )
(2)命题“α=,则tan α=1”的否命题是“若α=,则tan α≠1”.( × )
(3)若一个命题是真命题,则其逆否命题是真命题.( √ )
(4)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.( √ )
(5)当p是q的充要条件时,也可说成q成立当且仅当p成立.( √ )
(6)若p是q的充分不必要条件,则綈p是綈q的必要不充分条件.( √ )
1.(2015·山东)若m∈R, 命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是( )
A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0
B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0
C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0
D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0
答案 D
解析 原命题为“若p,则q”,则其逆否命题为“若綈q,则綈p”.
∴所求命题为“若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0”.
2.已知命题p:若x=-1,则向量a=(1,x),与b=(x+2,x)共线,则在命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( )
A.0 B.2 C.3 D.4
答案 B
解析 向量a,b共线⇔x-x(x+2)=0⇔x=0或x=-1,
∴命题p为真,其逆命题为假,
故在命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为2.
3.(2015·重庆)“x>1”是“”的( )
A.充要条件 B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 x>1⇒x+2>3⇒,⇒x+2>1⇒x>-1,故“x>1”是“”成立的充分不必要条件.因此选B.
4.若a,b为实数,则“0;当a>0,b<0时,由b<得到ab<0,因此“00,b>0”是“+≥2”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 (1)B (2)A
解析 (1)∵3a>3b>3,∴a>b>1,此时loga33b>3,例如当a=,b=时,loga3b>1.故“3a>3b>3”是“loga30,b>0,则根据基本不等式可得+≥2;反之,+≥2,则ab>0,不一定有a>0,b>0.故“a>0,b>0”是“+≥2”的充分不必要条件.故选A.
思维升华 充要条件的三种判断方法
(1)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断;
(2)集合法:根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断;
(3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题,如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件,即可转化为判断“x=1且y=1”是“xy=1”的某种条件.
(1)(2015·陕西)“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)若命题p:φ=+kπ,k∈Z,命题q:f(x)=sin(ωx+φ)(ω≠0)是偶函数,则p是q的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
答案 (1)A (2)A
解析 (1)∵sin α=cos α⇒cos 2α=cos2α-sin2α=0;cos 2α=0⇔cos α=±sin α⇏ sin α=cos α,故选A.
(2)当φ=+kπ,k∈Z时,f(x)=±cos ωx是偶函数,所以p是q的充分条件;若函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω≠0)是偶函数,则sin φ=±1,即φ=+kπ,k∈Z,所以p是q的必要条件,故p是q的充要条件,故选A.
题型三 充分必要条件的应用
例3 已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,求m的取值范围.
解 由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10,
∴P={x|-2≤x≤10},
由x∈P是x∈S的必要条件,知S⊆P.
则
∴当0≤m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件,即所求m的取值范围是[0,3].
引申探究
1.本例条件不变,问是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件.
解 若x∈P是x∈S的充要条件,则P=S,
∴∴
即不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件.
2.本例条件不变,若x∈綈P是x∈綈S的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
解 由例题知P={x|-2≤x≤10},
∵綈P是綈S的必要不充分条件,
∴P⇒S且S⇏ P.
∴[-2,10][1-m,1+m].
∴或
∴m≥9,即m的取值范围是[9,+∞).
思维升华 充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意:
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.
(1)ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是( )
A.01或x<},
綈q对应的集合B={x|x>a+1或x0;条件q:x>a,且綈q的一个充分不必要条件是綈p,则a的取值范围是( )
A.[1,+∞) B.(-∞,1]
C.[-1,+∞) D.(-∞,-3]
解析 (1)由(a-1)2≤1解得0≤a≤2,∴p:0≤a≤2.
当a=0时,ax2-ax+1≥0对任意x∈R恒成立;
当a≠0时,由得00,得x<-3或x>1,由綈q的一个充分不必要条件是綈p,可知綈p是綈q的充分不必要条件,等价于q是p的充分不必要条件.
∴{x|x>a}{x|x<-3或x>1},∴a≥1.
答案 (1)A (2)A
温馨提醒 (1)本题用到的等价转化
①将綈p,綈q之间的关系转化成p,q之间的关系.
②将条件之间的关系转化成集合之间的关系.
(2)对一些复杂、生疏的问题,利用等价转化思想转化成简单、熟悉的问题,在解题中经常用到.
[方法与技巧]
1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论,然后按定义来写;在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时,要借助原命题与其逆否命题同真或同假,逆命题与否命题同真或同假来判定.
2.充要条件的几种判断方法
(1)定义法:直接判断若p则q、若q则p的真假.
(2)等价法:即利用A⇒B与綈B⇒綈A;B⇒A与綈A⇒綈B;A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系,对于条件或结论是否定形式的命题,一般运用等价法.
(3)利用集合间的包含关系判断:设A={x|p(x)},B={x|q(x)}:若A⊆B,则p是q的充分条件或q是p的必要条件;若AB,则p是q的充分不必要条件,若A=B,则p是q的充要条件.
[失误与防范]
1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时,必须保留大前提.
2.判断命题的真假及写四种命题时,一定要明确命题的结构,可以先把命题改写成“若p,则q”的形式.
3.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向,正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.
A组 专项基础训练
(时间:30分钟)
1.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( )
A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数”
B.“若一个数的平方是正数,则它是负数”
C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数”
D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”
答案 B
解析 依题意,得原命题的逆命题:若一个数的平方是正数,则它是负数.
2.(2015·天津)设x∈R,则“1<x<2”是“|x-2|<1”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由|x-2|<1得1<x<3,所以1<x<2⇒1<x<3;但1<x<3⇒/ 1<x<2,故选A.
3.集合A=,B={x|(x-a)(x-b)<0},若“a=-2”是“A∩B≠∅”的充分条件,则b的取值范围是( )
A.b<-1 B.b>-1
C.b≥-1 D.-1-1时A∩B≠∅.
4.已知A,B是非空集合,条件甲:A∪B=B,条件乙:AB,那么( )
A.甲是乙的充分不必要条件
B.甲是乙的必要不充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲是乙的既不充分也不必要条件
答案 B
解析 若AB,则A∪B=B,反之A∪B=B,则A⊆B,故甲是乙的必要不充分条件.故选B.
5.设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 因为菱形的对角线互相垂直,所以“四边形ABCD为菱形”⇒“AC⊥BD”,所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分条件;又因为对角线垂直的四边形不一定是菱形,所以“AC⊥BD” ⇏ “四边形ABCD为菱形”,所以“四边形ABCD为菱形”不是“AC⊥BD”的必要条件.
综上,“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件.
6.(2015·福建)“对任意x∈,ksin xcos x<x”是“k<1”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 任意x∈,ksin xcos x<x⇔任意x∈,k<,令f(x)=2x-sin 2x.∴f′(x)=2-2cos 2x>0,∴f(x)在为增函数,
∴f(x)>f(0)=0.
∴2x>sin 2x,∴>1,∴k≤1,故选B.
7.“a≠5且b≠-5”是“a+b≠0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 D
解析 “a≠5且b≠-5”推不出“a+b≠0”,例如a=2,b=-2时,a+b=0;“a+b≠0”推不出“a≠5且b≠-5”,例如a=5,b=-6.故“a≠5且b≠-5”是“a+b≠0”的既不充分也不必要条件.故选D.
8.函数f(x)=有且只有一个零点的充分不必要条件是( )
A.a<0 B.01
答案 A
解析 因为函数f(x)过点(1,0),所以函数f(x)有且只有一个零点⇔函数y=-2x+a(x≤0)没有零点⇔函数y=2x(x≤0)与直线y=a无公共点.由数形结合,可得a≤0或a>1.
观察选项,根据集合间关系得{a|a<0}{a|a≤0或a>1},故答案选A.
9.“若a≤b,则ac2≤bc2”,则命题的原命题、逆命题、
否命题和逆否命题中真命题的个数是________.
答案 2
解析 其中原命题和逆否命题为真命题,逆命题和否命题为假命题.
10.若xm+1是x2-2x-3>0的必要不充分条件,则实数m的取值范围是________.
答案 [0,2]
解析 由已知易得{x|x2-2x-3>0}{x|xm+1},又{x|x2-2x-3>0}={x|x<-1或x>3},
∴或∴0≤m≤2.
11.已知α:x≥a,β:|x-1|<1.若α是β的必要不充分条件,则实数a的取值范围为________.
答案 (-∞,0]
解析 α:x≥a,可看作集合A={x|x≥a},
∵β:|x-1|<1,∴0bc2,则a>b;
②若sin α=sin β,则α=β;
③“实数a=0”是“直线x-2ay=1和直线2x-2ay=1平行”的充要条件;
④若f(x)=log2x,则f(|x|)是偶函数.
其中正确命题的序号是________.
答案 ①③④
解析 对于①,ac2>bc2,c2>0,∴a>b正确;
对于②,sin 30°=sin 150°⇒/ 30°=150°,
所以②错误;
对于③,l1∥l2⇔A1B2=A2B1,即-2a=-4a⇒a=0且A1C2≠A2C1,所以③正确;
④显然正确.
B组 专项能力提升
(时间:15分钟)
13.已知a,b为实数,且ab≠0,则下列命题错误的是( )
A.若a>0,b>0,则≥
B.若≥,则a>0,b>0
C.若a≠b,则>
D.若>,则a≠b
答案 C
解析 选项A,由基本不等式可得:若a>0,b>0,则≥,故A正确;
选项B,由有意义可得a,b不可能异号,结合≥可得a≥0,b≥0,由ab≠0可得a≠0,b≠0,故可得a>0,b>0,故B正确;
选项C,需满足a,b同为正数才成立,若a=-1,b=2,显然满足a≠b,但无意义,故C错误;
选项D,把>的两边分别平方,
整理可得(a-b)2>0,显然a≠b,故D正确.故选C.
14.(2015·湖北)设a1,a2,…,an∈R,n≥3.若p:a1,a2,…,an成等比数列;q:(a+a+…+a)(a+a+…+a)=(a1a2+a2a3+…+an-1an)2,则( )
A.p是q的必要条件,但不是q的充分条件
B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件
C.p是q的充分必要条件
D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
答案 B
解析 若p成立,设a1,a2,…,an的公比为q,则(a+a+…+a)(a+a+…+a)=a(1+q2+…+q2n-4)·a(1+q2+…+q2n-4)=aa(1+q2+…+q2n-4)2,(a1a2+a2a3+…+an-1an)2=(a1a2)2(1+q2+…+q2n-4)2,故q成立,故p是q的充分条件.取a1=a2=…=an=0,则q成立,而p不成立,故p不是q的必要条件,故选B.
15.如果对于任意实数x,[x]表示不超过x的最大整数,那么“[x]=[y]”是“|x-y|<1成立”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若[x]=[y],则|x-y|<1;反之,若|x-y|<1,如取x=1.1,y=0.9,则[x]≠[y],即“[x]=[y]”是“|x-y|<1成立”的充分不必要条件.故选A.
16.已知集合A=,B={x|-13,即m>2.
17.设a,b为正数,则“a-b>1”是“a2-b2>1”的________条件.
答案 充分不必要
解析 ∵a-b>1,即a>b+1.
又∵a,b为正数,
∴a2>(b+1)2=b2+1+2b>b2+1,即a2-b2>1成立,反之,当a=,b=1时,满足a2-b2>1,但a-b>1不成立.∴“a-b>1”是“a2-b2>1”的充分不必要条件.
18.下列四个结论中:
①“λ=0”是“λa=0”的充分不必要条件;②在△ABC中,“AB2+AC2=BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件;③若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b全不为零”的充要条件;④若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b不全为零”的充要条件.
正确的是________.
答案 ①④
解析 由λ=0可以推出λa=0,但是由λa=0不一定推出λ=0成立,所以①正确.
由AB2+AC2=BC2可以推出△ABC是直角三角形,但是由△ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角,所以②不正确.
由a2+b2≠0可以推出a,b不全为零,
反之,由a,b不全为零可以推出a2+b2≠0,
所以“a2+b2≠0”是“a,b不全为零”的充要条件,而不是“a,b全不为零”的充要条件,③不正确,④正确.