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- 2021-06-16 发布
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含参数导数的解题策略
导数是研究函数性质的一种重要工具,利用导数可判断函数单调性、极值、最值等,其中渗透并充分利用着构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要思想方法,导数常作为高考的压轴题,对考生的能力要求非常高,它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能,还要求考生具有较强的分析能力和计算能力。而含参数的导数问题是近年 高考的难点和热点,本文着重就含参数导数的几种常见的解题策略加以归纳.
一、分离参数,转化为最值策略
在给出的不等式中,如果能通过恒等变形分离出参数,即:若恒成立,只须求出,则;若恒成立,只须求出,则,转化为函数求最值.
例1、已知函数.(Ⅰ)求的最小值;
(Ⅱ)若对所有都有求实数的取值范围.
二、导数为0的点是否在定义域内,分类讨论策略
求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式),但不知导函数为零的实根是否落在定义域内,所以必须分类,通过令导函数为零的实根等于定义域端点值,求分点,从而引起讨论.
例2.已知是实数,函数.
(Ⅰ)若,求的值及曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)求在区间[0,2]上的最大值.
三、导函数为0是否存在,分类讨论策略
求导后,考虑导函数为零是否有实根(或导函数的分子能否分解因式),涉及到二次方程问题时,△与0的关系不定,所以必须分类,通过导函数是二次函数或者与二次函数有关,令△=0,求分点,从而引起讨论.
例3、已知函数,,讨论在定义域上的单调性.
四、导函数为0的方程的根大小不确定,分类讨论策略
求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式), 导函数为零的实根也落在定义域内,但这些实根的大小关系不确定,分不了区间.所以必须分类,通过令几个根相等求分点,从而引起讨论.
例4、已知,讨论函数的单调性.
练习
求导后,考虑导函数为零是否有实根(或导函数的分子能否分解因式),从而引起讨论。
一、 求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式),但不知导函数为零的实根是否落在定义域内,从而引起讨论。
二、 求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式), 导函数为零的实根也落在定义域内,但不知这些实根的大小关系,从而引起讨论。
三、
1.08广东(理) 设,函数,
试讨论函数的单调性。
2. (08浙江理)已知是实数,函数
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)设为在区间上的最小值。
()写出的表达式;()求的取值范围,使得。
3(07天津理)已知函数,其中。
(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)当时,求函数的单调区间与极值。
4(07高考山东理改编)设函数,其中,求函数的极值点。
含参数导数的解题策略
例1、解:(Ⅰ)略.
(Ⅱ)∵ 对所有都有,
∴ 对所有都有,即
记只需
令解得
∴ 当时,取最小值
∴ 即的取值范围是
例2. 解:(I)略.
(II)令,解得.
当,即时,在[0,2]上单调递增,从而.
当时,即时,在[0,2]上单调递减,从而.
当,即,在上单调递减,在上单调递增,从而
综上所述,
例3、 解:由已知得,
(1)当,时,恒成立,在上为增函数.
(2)当,时,
1)时,,在
上为减函数,在上为增函数,
2)当时,,故在上为减函数,
在[,+∞)上为增函数.
综上,当时,在上为增函数.
当时,在上为减函数,
在上为增函数,
当时,在(0, ]上为减函数,在[, +∞)上为增函数.
例4、解:,设,令,得,.
1)当时,,在区间,上,即,所以在区间,上是减函数;
在区间,,即,所以在区间上是增函数;
2)当时,,在区间,上,即,又在处连续,所以在区间上是减函数;
3)当时,,在区间,上,即,所以在区间,上是减函数;
在区间上,,即,所以在区间上是增函数.
练习
1.
解:。
考虑导函数是否有实根,从而需要对参数的取值进行讨论。
(一)若,则。由于当时,无实根,而当时,有实根,
因此,对参数分和两种情况讨论。
(1) 当时,在上恒成立,所以函数在上为增函数;
(2) 当时,。
由,得,因为,所以。
由,得;由,得。
因此,当时,函数在上为减函数,在上为增函数。
(二)若,则。由于当时,无实根,而当时,有实根,因此,对参数分和两种情况讨论。
(1) 当时,在上恒成立,所以函数在上为减函数;
(2) 当时,。
由,得;由,得。
因此,当时,函数在上为减函数,在上为增函数。
综上所述:
(1) 当时,函数在上为减函数,在上为增函数,在上为减函数。
(2) 当时,函数在上为增函数,在上为减函数。
(3) 当时,函数在上为增函数,在上为减函数,在上为增函数。
2. 解:(Ⅰ)函数的定义域为,,由得。
考虑是否落在导函数的定义域内,需对参数的取值分及两种情况进行讨论。
(1) 当时,则在上恒成立,所以的单调递增区间为。
(2) 当时,由,得;由,得。
因此,当时,的单调递减区间为,的单调递增区间为。
(Ⅱ)()由第(Ⅰ)问的结论可知:
(1) 当时,在上单调递增,从而在上单调递增,所以。
(2) 当时,在上单调递减,在上单调递增,所以:
① 当,即时,在上单调递减,在上单调递增,
所以。
② 当,即时,在上单调递减,所以。
综上所述,
()令。
①若,无解;
②若,由解得;
③ 若,由解得。
综上所述,的取值范围为。
3、解:(Ⅰ)当时,曲线在点处的切线方程为。
(Ⅱ)由于,所以。
由,得。这两个实根都在定义域R内,但不知它们之间的大小。因此,需对参数的取值分和两种情况进行讨论。
(1) 当时,则。易得在区间,内为减函数,在区间为增函数。故函数在处取得极小值;函数在处取得极大值。
(2) 当时,则。易得在区间,内为增函数,在区间为减函数。故函数在处取得极小值;函数在处取得极大值。
4、解:由题意可得的定义域为,,的分母在定义域
上恒为正,方程是否有实根,需要对参数的取值进行讨论。
(1)当,即时,方程无实根或只有唯一根,所以
在上恒成立,则在上恒成立,所以函数在上单调递增,从而函数在上无极值点。
(2)当,即时,方程,即有两个不相等的实根:。
这两个根是否都在定义域内呢?又需要对参数的取值分情况作如下讨论:
(ⅰ)当时,,所以。
此时,与随的变化情况如下表:
0
递减
极小值
递增
由此表可知:当时,有唯一极小值点。
(ⅱ)当时,,所以。
此时,与随的变化情况如下表:
递增
极大值
递减
极小值
递增
由此表可知:当时,有一个极大值点和一个极小值点。
综上所述:
(1) 当时,有唯一极小值点;
(2) 当时,有一个极大值点和一个极小值点;
(3) 当时,无极值点。