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  • 2021-06-16 发布

【数学】2018届一轮复习苏教版含参数导数的解题策略学案

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含参数导数的解题策略 导数是研究函数性质的一种重要工具,利用导数可判断函数单调性、极值、最值等,其中渗透并充分利用着构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要思想方法,导数常作为高考的压轴题,对考生的能力要求非常高,它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能,还要求考生具有较强的分析能力和计算能力。而含参数的导数问题是近年 高考的难点和热点,本文着重就含参数导数的几种常见的解题策略加以归纳.‎ 一、分离参数,转化为最值策略 在给出的不等式中,如果能通过恒等变形分离出参数,即:若恒成立,只须求出,则;若恒成立,只须求出,则,转化为函数求最值.‎ 例1、已知函数.(Ⅰ)求的最小值;‎ ‎(Ⅱ)若对所有都有求实数的取值范围.‎ ‎ ‎ 二、导数为0的点是否在定义域内,分类讨论策略 求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式),但不知导函数为零的实根是否落在定义域内,所以必须分类,通过令导函数为零的实根等于定义域端点值,求分点,从而引起讨论.‎ 例2.已知是实数,函数.‎ ‎(Ⅰ)若,求的值及曲线在点处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)求在区间[0,2]上的最大值.‎ 三、导函数为0是否存在,分类讨论策略 求导后,考虑导函数为零是否有实根(或导函数的分子能否分解因式),涉及到二次方程问题时,△与0的关系不定,所以必须分类,通过导函数是二次函数或者与二次函数有关,令△=0,求分点,从而引起讨论.‎ 例3、已知函数,,讨论在定义域上的单调性.‎ ‎ ‎ 四、导函数为0的方程的根大小不确定,分类讨论策略 求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式), 导函数为零的实根也落在定义域内,但这些实根的大小关系不确定,分不了区间.所以必须分类,通过令几个根相等求分点,从而引起讨论.‎ 例4、已知,讨论函数的单调性.‎ 练习 求导后,考虑导函数为零是否有实根(或导函数的分子能否分解因式),从而引起讨论。‎ 一、 求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式),但不知导函数为零的实根是否落在定义域内,从而引起讨论。‎ 二、 求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式), 导函数为零的实根也落在定义域内,但不知这些实根的大小关系,从而引起讨论。‎ 三、 ‎1.08广东(理) 设,函数,‎ 试讨论函数的单调性。‎ ‎2. (08浙江理)已知是实数,函数 ‎(Ⅰ)求函数的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)设为在区间上的最小值。‎ ‎()写出的表达式;()求的取值范围,使得。‎ ‎3(07天津理)已知函数,其中。‎ ‎(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)当时,求函数的单调区间与极值。 ‎ ‎4(07高考山东理改编)设函数,其中,求函数的极值点。‎ 含参数导数的解题策略 例1、解:(Ⅰ)略. ‎ ‎(Ⅱ)∵ 对所有都有,‎ ‎∴ 对所有都有,即 ‎ 记只需 ‎ 令解得 ‎∴ 当时,取最小值 ‎ ‎∴ 即的取值范围是 ‎ 例2. 解:(I)略.‎ ‎(II)令,解得.‎ 当,即时,在[0,2]上单调递增,从而.‎ 当时,即时,在[0,2]上单调递减,从而.‎ 当,即,在上单调递减,在上单调递增,从而 ‎ 综上所述,‎ 例3、 解:由已知得,‎ ‎ (1)当,时,恒成立,在上为增函数.‎ ‎ (2)当,时,‎ ‎ 1)时,,在 ‎ 上为减函数,在上为增函数,‎ ‎ 2)当时,,故在上为减函数,‎ ‎ 在[,+∞)上为增函数. ‎ ‎ 综上,当时,在上为增函数.‎ ‎ 当时,在上为减函数,‎ ‎ 在上为增函数,‎ ‎ 当时,在(0, ]上为减函数,在[, +∞)上为增函数.‎ 例4、解:,设,令,得,.‎ ‎1)当时,,在区间,上,即,所以在区间,上是减函数;‎ 在区间,,即,所以在区间上是增函数;‎ ‎2)当时,,在区间,上,即,又在处连续,所以在区间上是减函数;‎ ‎3)当时,,在区间,上,即,所以在区间,上是减函数;‎ 在区间上,,即,所以在区间上是增函数.‎ 练习 ‎1. ‎ 解:。‎ 考虑导函数是否有实根,从而需要对参数的取值进行讨论。‎ ‎(一)若,则。由于当时,无实根,而当时,有实根,‎ 因此,对参数分和两种情况讨论。‎ (1) 当时,在上恒成立,所以函数在上为增函数;‎ (2) 当时,。‎ 由,得,因为,所以。‎ 由,得;由,得。‎ 因此,当时,函数在上为减函数,在上为增函数。‎ ‎(二)若,则。由于当时,无实根,而当时,有实根,因此,对参数分和两种情况讨论。‎ ‎(1) 当时,在上恒成立,所以函数在上为减函数;‎ ‎(2) 当时,。‎ 由,得;由,得。‎ 因此,当时,函数在上为减函数,在上为增函数。‎ 综上所述:‎ (1) 当时,函数在上为减函数,在上为增函数,在上为减函数。‎ (2) 当时,函数在上为增函数,在上为减函数。‎ (3) 当时,函数在上为增函数,在上为减函数,在上为增函数。‎ ‎2. 解:(Ⅰ)函数的定义域为,,由得。‎ 考虑是否落在导函数的定义域内,需对参数的取值分及两种情况进行讨论。‎ (1) 当时,则在上恒成立,所以的单调递增区间为。‎ (2) 当时,由,得;由,得。‎ 因此,当时,的单调递减区间为,的单调递增区间为。‎ ‎(Ⅱ)()由第(Ⅰ)问的结论可知:‎ (1) 当时,在上单调递增,从而在上单调递增,所以。‎ (2) 当时,在上单调递减,在上单调递增,所以:‎ ① 当,即时,在上单调递减,在上单调递增,‎ 所以。‎ ② 当,即时,在上单调递减,所以。‎ 综上所述,‎ ‎()令。‎ ‎①若,无解;‎ ‎②若,由解得;‎ ③ 若,由解得。‎ 综上所述,的取值范围为。‎ ‎3、解:(Ⅰ)当时,曲线在点处的切线方程为。‎ ‎(Ⅱ)由于,所以。‎ 由,得。这两个实根都在定义域R内,但不知它们之间的大小。因此,需对参数的取值分和两种情况进行讨论。‎ (1) 当时,则。易得在区间,内为减函数,在区间为增函数。故函数在处取得极小值;函数在处取得极大值。‎ (2) 当时,则。易得在区间,内为增函数,在区间为减函数。故函数在处取得极小值;函数在处取得极大值。‎ ‎4、解:由题意可得的定义域为,,的分母在定义域 上恒为正,方程是否有实根,需要对参数的取值进行讨论。‎ ‎(1)当,即时,方程无实根或只有唯一根,所以 在上恒成立,则在上恒成立,所以函数在上单调递增,从而函数在上无极值点。‎ ‎(2)当,即时,方程,即有两个不相等的实根:。‎ 这两个根是否都在定义域内呢?又需要对参数的取值分情况作如下讨论:‎ ‎(ⅰ)当时,,所以。‎ 此时,与随的变化情况如下表:‎ ‎0‎ 递减 极小值 递增 由此表可知:当时,有唯一极小值点。‎ ‎(ⅱ)当时,,所以。‎ 此时,与随的变化情况如下表:‎ 递增 极大值 递减 极小值 递增 由此表可知:当时,有一个极大值点和一个极小值点。‎ 综上所述:‎ (1) 当时,有唯一极小值点;‎ (2) 当时,有一个极大值点和一个极小值点;‎ (3) 当时,无极值点。‎