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- 2021-06-16 发布
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第3讲 圆的方程
[学生用书P149]
1.圆的定义及方程
定 义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准
方程
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
圆心:(a,b),半径:r
一般
方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)
圆心:,
半径:
2.点与圆的位置关系
点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系:
(1)若M(x0,y0)在圆外,则(x0-a)2+(y0-b)2>r2.
(2)若M(x0,y0)在圆上,则(x0-a)2+(y0-b)2=r2.
(3)若M(x0,y0)在圆内,则(x0-a)2+(y0-b)2<r2.
3.与圆有关的对称问题
(1)圆的轴对称性
圆关于直径所在的直线对称.
(2)圆关于点对称
①求已知圆关于某点对称的圆,只需确定所求圆的圆心位置;
②两圆关于某点对称,则此点为两圆圆心连线的中点.
(3)圆关于直线对称
①求已知圆关于某条直线对称的圆,只需确定所求圆的圆心位置;
②两圆关于某条直线对称,则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线.
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则以AB为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.( )
(2)方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=C≠0,B=0,D2+E2-4AF>0.( )
(3)方程x2+2ax+y2=0一定表示圆.( )
(4)(x-2)2+(y+1)2=a2(a≠0)表示以(2,1)为圆心,a为半径的圆.( )
(5)圆x2+2x+y2+y=0的圆心是.( )
(6)若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则x+y+Dx0+Ey0+F<0.( )
答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)×
圆心坐标为(1,1)且过原点的圆的方程是( )
A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1
C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2
解析:选D.由题意得圆的半径为,故该圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2,故选D.
圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是( )
A.(2,3) B.(-2,3)
C.(-2,-3) D.(2,-3)
解析:选D.圆的方程可化为(x-2)2+(y+3)2=13,所以圆心坐标是(2,-3).
方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是( )
A.1
C.m< D.m>1
解析:选B.由(4m)2+4-4×5m>0,得m<或m>1.
(教材习题改编)圆C的直径的两个端点分别是A(-1,1),B(1,3),则圆C的方程为________.
解析:因为点A(-1,1)和B(1,3)为圆C直径的两个端点,则圆心C的坐标为(0,2),半径|CA|==,所以圆C的方程为x2+(y-2)2=2.
答案:x2+(y-2)2=2
已知点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4内,则实数a的取值范围是________.
解析:因为点(1,1)在圆的内部,所以(1-a)2+(1+a)2<4,所以-10),则圆心坐标为.
由题意可得
消去F得,
解得,代入求得F=-12,
所以圆的方程为x2+y2+6x+4y-12=0,
标准方程为(x+3)2+(y+2)2=25.
法二:因为A(0,-6),B(1,-5),
所以线段AB的中点D的坐标为,
直线AB的斜率kAB==1,
因此线段AB的垂直平分线的方程是
y+=-,即x+y+5=0.
圆心C的坐标是方程组的解,
解得,
所以圆心C的坐标是(-3,-2).
圆的半径长r=|AC|==5,
所以,圆心为C的圆的标准方程是(x+3)2+(y+2)2=25.
(2)设所求方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2(r>0),
根据已知条件得
解得
因此所求圆的标准方程为(x-1)2+(y+4)2=8.
【答案】 (1)(x+3)2+(y+2)2=25
(2)(x-1)2+(y+4)2=8
求圆的方程的两种方法
(1)直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程.
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值;
②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.
[通关练习]
1.一个圆经过椭圆+=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为________.
解析:由题意知圆过(4,0),(0,2),(0,-2)三点,
(4,0),(0,-2)两点的垂直平分线方程为y+1=-2(x-2),令y=0,解得x=,圆心为,半径为.
故圆的标准方程为+y2=.
答案:+y2=
2.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,则圆C的方程为________________.
解析:因为圆C的圆心在x轴的正半轴上,设C(a,0),且a>0,所以圆心到直线2x-y=0的距离d==,
解得a=2,所以圆C的半径r=|CM|==3,
所以圆C的方程为(x-2)2+y2=9.
答案:(x-2)2+y2=9
与圆有关的最值问题(高频考点)
[学生用书P150]
与圆有关的最值问题是命题的热点内容,它着重考查数形结合与转化思想.主要命题角度有:
(1)斜率型最值问题;
(2)截距型最值问题;
(3)距离型最值问题;
(4)利用对称性求最值、范围问题.
[典例引领]
角度一 斜率型最值问题
已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,求的最大值和最小值.
【解】 原方程可化为(x-2)2+y2=3,
表示以(2,0)为圆心,为半径的圆.
的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设=k,即y=kx,
当直线y=kx与圆相切时(如图),斜率k取最大值或最小值,此时=,解得k=±.所以的最大值为,最小值为-.
角度二 截距型最值问题
已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,求y-x的最大值和最小值.
【解】
y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距,如图所示,当直线y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值和最小值 ,此时=,解得b=-2±.所以y-x的最大值为-2+,最小值为-2-.
角度三 距离型最值问题
已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,求x2+y2的最大值和最小值.
【解】
如图所示,x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为=2,所以x2+y2的最大值是(2+)2=7+4,x2+y2的最小值是(2-)2=7-4.
角度四 利用对称性求最值、范围问题
(1)光线从点A(-3,3)射到x轴上的点P后反射,反射光线与圆(x-1)2+(y-1)2=2有公共点B,则|AP|+|PB|的最小值为____________.
(2)已知A(0,2),点P在直线x+y+2=0上,点Q在圆C:x2+y2-4x-2y=0上,则|PA|+|PQ|的最小值是____________.
【解析】 (1)设圆(x-1)2+(y-1)2=2的圆心为C,
A关于x轴的对称点为A′,则C(1,1),A′(-3,-3),则|AP|+|PB|的最小值为==.
(2)因为圆C:x2+y2-4x-2y=0,故圆C是以C(2,1)为圆心,半径r=的圆.设点A(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为A′(m,n),故
解得
故A′(-4,-2).
连接A′C交圆C于Q,由对称性可知
|PA|+|PQ|=|A′P|+|PQ|≥|A′Q|=|A′C|-r=2.
【答案】 (1) (2)2
与圆有关的最值问题的四种常见转化法
(1)形如μ=形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题.
(2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题.
(3)形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
(4)形如|PA|+|PQ|的与圆有关的折线段问题(其中P,Q均为动点),要立足两点:①
减少动点的个数;②“曲化直”,即折线段转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决.
[通关练习]
1.设P为直线3x-4y+11=0上的动点,过点P作圆C:x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,切点分别为A,B,则四边形PACB的面积的最小值为________.
解析:圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心为C(1,1),半径为r=1,根据对称性可知,四边形PACB的面积为2S△APC=2×|PA|r=|PA|=,要使四边形PACB的面积最小,则只需|PC|最小,最小时为圆心到直线l:3x-4y+11=0的距离d===2.所以四边形PACB面积的最小值为==.
答案:
2.设点P是函数y=-图象上的任意一点,点Q坐标为(2a,a-3)(a∈R),则|PQ|的最小值为________.
解析:
函数y=-的图象表示圆(x-1)2+y2=4的下半圆(包括与x轴的交点).令点Q的坐标为(x,y),则得y=-3,即x-2y-6=0,作出图象如图所示.
由于圆心(1,0)到直线x-2y-6=0的距离d==>2,所以直线x-2y-6=0与圆(x-1)2+y2=4相离,因此|PQ|的最小值是-2.
答案:-2
与圆有关的轨迹问题[学生用书P150]
[典例引领]
已知A(2,0)为圆x2+y2=4上一定点,B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点.
(1)求线段AP中点的轨迹方程;
(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程.
【解】 (1)设AP的中点为M(x,y),
由中点坐标公式可知,
P点坐标为(2x-2,2y).
因为P点在圆x2+y2=4上,
所以(2x-2)2+(2y)2=4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.
(2)设PQ的中点为N(x,y),
在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|,
设O为坐标原点,连接ON,则ON⊥PQ,
所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.
与圆有关的轨迹问题的四种求法
(1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程.
(2)定义法:根据圆、直线等定义列方程.
(3)几何法:利用圆的几何性质列方程.
(4)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等求解.
[通关练习]
设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,点O是坐标原点,以OM,ON为两边作平行四边形MONP,求动点P的轨迹.
解:因为四边形MONP为平行四边形,
所以=+.
设点P(x,y),点N(x0,y0),
则=-=(x,y)-(-3,4)=(x+3,y-4)=(x0,y0),
所以x0=x+3,y0=y-4.
又点N在圆x2+y2=4上运动,
所以x+y=4,即(x+3)2+(y-4)2=4.
又当OM与ON共线时,O,M,N,P构不成平行四边形,
故动点P的轨迹是以(-3,4)为圆心,2为半径的圆且除去两点和.
确定圆心位置的方法
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上.
(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上.
(3)两圆相切时,切点与两圆圆心共线.
[注意] 解答圆的有关问题,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质.
求圆半径的方法
(1)若已知直线与圆相切,则圆心到切点(或切线)的距离等于半径;
(2)若已知弦长、弦心距、半径,则可利用弦长的一半、弦心距、半径三者满足勾股定理的关系求得.
解决与圆有关的最值及轨迹问题应注意的问题
(1)解答与圆有关的最值问题一般要结合代数式的几何意义进行,注意数形结合,充分运用圆的性质.
(2)求轨迹方程和求轨迹是有区别的,求轨迹方程得出方程即可,而求轨迹在得出方程后还要指明轨迹表示什么曲线.
[学生用书P313(单独成册)]
1.方程y=表示的曲线是( )
A.上半圆 B.下半圆
C.圆 D.抛物线
解析:选A.由方程可得x2+y2=1(y≥0),即此曲线为圆x2+y2=1的上半圆.
2.以M(1,0)为圆心,且与直线x-y+3=0相切的圆的方程是( )
A.(x-1)2+y2=8 B.(x+1)2+y2=8
C.(x-1)2+y2=16 D.(x+1)2+y2=16
解析:选A.因为所求圆与直线x-y+3=0相切,所以圆心M(1,0)到直线x-y+3=0的距离即为该圆的半径r,即r==2.所以所求圆的方程为:(x-1)2+y2=8.故选A.
3.已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为( )
A.(x+2)2+(y-2)2=1 B.(x-2)2+(y+2)2=1
C.(x+2)2+(y+2)2=1 D.(x-2)2+(y-2)2=1
解析:选B.圆C1的圆心坐标为(-1,1),半径为1,设圆C2的圆心坐标为(a,b),由题意得解得所以圆C2的圆心坐标为(2,-2),又两圆的半径相等,故圆C2的方程为(x-2)2+(y+2)2=1.
4.已知圆C与直线y=x及x-y-4=0都相切,圆心在直线y=-x上,则圆C的方程为( )
A.(x+1)2+(y-1)2=2 B.(x+1)2+(y+1)2=2
C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x-1)2+(y+1)2=2
解析:选D.由题意知x-y=0和x-y-4=0之间的距离为=2,所以r=.
又因为x+y=0与x-y=0,x-y-4=0均垂直,所以由y=-x和x-y=0联立得交点坐标为(0,0),由x+y=0和x-y-4=0联立得交点坐标为(2,-2),所以圆心坐标为(1,-1),圆C的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=2.
5.在平面直角坐标系xOy中,已知A(-1,0),B(0,1),则满足|PA|2-|PB|2=4且在圆x2+y2=4上的点P的个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:选C.设P(x,y),则由|PA|2-|PB|2=4,得(x+1)2+y2-x2-(y-1)2=4,所以x+y-2=0.求满足条件的点P的个数即为求直线与圆的交点个数,圆心到直线的距离为=<2=r,所以直线与圆相交,交点个数为2.故满足条件的点P有2个,选C.
6.已知动点M(x,y)到点O(0,0)与点A(6,0)的距离之比为2,则动点M的轨迹所围成的区域的面积是________.
解析:依题意可知=2,即=2,
化简整理得(x-8)2+y2=16,
即动点M的轨迹是以(8,0)为圆心,半径为4的圆.
所以其面积为S=πR2=16π.
答案:16π
7.当方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆的面积取最大值时,直线y=(k-1)x+2的倾斜角α=________.
解析:由题意知,圆的半径r==≤1,当半径r取最大值时,圆的面积最大,此时k=0,r=1,所以直线方程为y=-x+2,则有tan α=-1,又α∈[0,π),故α=.
答案:
8.已知平面区域恰好被面积最小的圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2
及其内部所覆盖,则圆C的方程为________.
解析:由题意知,此平面区域表示的是以O(0,0),P(4,0),Q(0,2)所构成的三角形及其内部,所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆.
因为△OPQ为直角三角形,
所以圆心为斜边PQ的中点(2,1),
半径r==,
因此圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
答案:(x-2)2+(y-1)2=5
9.已知以点P为圆心的圆经过A(-1,0)和B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且|CD|=4.
(1)求直线CD的方程;
(2)求圆P的方程.
解:(1)由题意知,直线AB的斜率k=1,中点坐标为(1,2).则直线CD的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0.
(2)设圆心P(a,b),则由点P在CD上得a+b-3=0.①
又因为直径|CD|=4,所以|PA|=2,
所以(a+1)2+b2=40.②
由①②解得或
所以圆心P(-3,6)或P(5,-2).
所以圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40.
10.已知M(m,n)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点.
(1)求m+2n的最大值;
(2)求的最大值和最小值.
解:将圆C化为标准方程可得(x-2)2+(y-7)2=8,
所以圆心C(2,7),半径r=2.
(1)设m+2n=b,则b可看作是直线n=-m+在y轴上截距的2倍,故当直线m+2n=b与圆C相切时,b有最大或最小值.
所以=2,
所以b=16+2(b=16-2舍去),
所以m+2n的最大值为16+2.
(2)设=k,则k可看作点(m,n)与点(-2,3)所在直线的斜率,
所以当直线n-3=k(m+2)与圆C相切时,k有最大、最小值,所以=2,
解得k=2+或k=2-.
所以的最大值为2+,最小值为2-.
1.直线l:ax+by=0和圆C:x2+y2+ax+by=0在同一坐标系的图形只能是( )
解析:选D.圆C的圆心坐标为,半径为,圆心到直线的距离为d==,
所以直线与圆相切,故选D.
2.已知P(x,y)是圆x2+(y-3)2=a2(a>0)上的动点,定点A(2,0),B(-2,0),△PAB的面积的最大值为8,则a的值为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:选A.要使△PAB的面积最大,只要点P到直线AB的距离最大.
由于AB的方程为y=0,圆心(0,3)到直线AB的距离为d=3,
故P到直线AB的距离的最大值为3+a.
再根据AB=4,可得△PAB面积的最大值为·AB·(3+a)=2(3+a)=8,所以a=1,故选A
.
3.设曲线x=上的点到直线x-y-2=0的距离的最大值为a,最小值为b,则a-b的值为( )
A. B.
C.+1 D.2
解析:选C.由x=得y2-2y+x2=0(x≥0),即x2+(y-1)2=1(x≥0),表示以(0,1)为圆心,1为半径的右半圆,如图.圆心(0,1)到直线x-y-2=0的距离为=.结合图形可知曲线x=上的点到直线x-y-2=0的距离的最小值为-1,最大值为点P(0,2)到直线x-y-2=0的距离=2,因此a=2,b=-1.因此a-b=+1.故选C.
4.设命题p:(x,y,k∈R且k>0);命题q:(x-3)2+y2≤25(x,y∈R). 若p是q的充分不必要条件,则k的取值范围是________.
解析:如图所示:
命题p表示的范围是图中△ABC的内部(含边界),命题q表示的范围是以点(3,0)为圆心,5为半径的圆及圆内部分,p是q的充分不必要条件.实际上只需A,B,C三点都在圆内(或圆上)即可.
由题知B,则
解得00),
则有解得
故圆的方程是x2+y2-6x-2y+1=0.
法二:(几何法)曲线y=x2-6x+1与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点为(3+2,0),(3-2,0).
故可设C的圆心为(3,t),则有32+(t-1)2=(2)2+t2,解得t=1.则圆C的半径为=3,
所以圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.
6.已知方程x2+y2-2x-4y+m=0.
(1)若此方程表示圆,求实数m的取值范围;
(2)若(1)中的圆与直线x+2y-4=0相交于M,N两点,且OM⊥ON(O为坐标原点),求m的值;
(3)在(2)的条件下,求以MN为直径的圆的方程.
解:(1)由D2+E2-4F>0得(-2)2+(-4)2-4m>0,解得m<5.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),由x+2y-4=0得x=4-2y;将x=4-2y代入x2+y2-2x-4y+m=0得5y2-16y+8+m=0,所以y1+y2=,y1y2=.因为OM⊥ON,所以·=-1,即x1x2+y1y2=0.因为x1x2=(4-2y1)(4-2y2)=16-8(y1+y2)+4y1y2,所以x1x2+y1y2=16-8(y1+y2)+5y1y2=0,即(8+m)-8×+16=0,解得m=.
(3)设圆心C的坐标为(a,b),则a=(x1+x2)=,b=(y1+y2)=,半径r=|OC|=,所以所求圆的方程为+=.