【数学】2019届高考一轮复习北师大版理7-3二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题学案 18页

第 3 讲　二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题 1．二元一次不等式(组)表示的平面区域 不等式(组) 表示区域 Ax＋By＋ C>0(<0) 不包括边界直线 Ax＋By＋ C≥0(≤0) 直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧的所有点组成 的平面区域 包括边界直线 不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分 2.二元一次不等式(组)的解集 满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的 解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集． 3．线性规划的有关概念 名称 意义 约束条件 由变量 x，y 组成的不等式(组) 线性约 束条件 由 x，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)　 目标函数 关于 x，y 的函数解析式，如 z＝x＋2y 线性目 标函数 关于 x，y 的一次函数解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x，y) 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规 划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不等式 Ax＋By＋C>0 表示的平面区域一定在直线 Ax＋By＋C＝0 的上方．(　　) (2)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域．(　　) (3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．(　　) (4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．(　　) (5)在目标函数 z＝ax＋by(b≠0)中，z 的几何意义是直线 ax＋by－z＝0 在 y 轴上的截距．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)× (教材习题改编)不等式 x－2y＋6＜0 表示的区域在直线 x－2y＋6＝0 的(　　) A．右上方 B．右下方 C．左上方 D．左下方 解析：选 C.画出 x－2y＋6＜0 的图象如图所示，可知该 区域在直线 x－2y＋6＝0 的左上方．故选 C. (2017·高考天津卷)设变量 x，y 满足约束条件 {2x＋y ≥ 0， x＋2y－2 ≥ 0， x ≤ 0， y ≤ 3， 则目标函数 z＝x＋y 的最 大值为(　　) A. 2 3 B．1 C. 3 2 D．3 解析：选 D.作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由 z＝x＋y 得 y＝－x＋z， 作出直线 y＝－x，平移使之经过可行域，观察可知，最优解在 B(0，3)处取得，故 zmax＝0＋ 3＝3，选项 D 符合． . 不等式组{2x＋y－6 ≤ 0， x＋y－3 ≥ 0， y ≤ 2 表示的平面区域的面积为________． 解析：不等式组{2x＋y－6 ≤ 0， x＋y－3 ≥ 0， y ≤ 2 表示的平面区域如图所示(阴影部分)， △ABC 的面积即所求．求出点 A，B，C 的坐标分别为 A(1，2)，B(2，2)， C(3，0)，则△ABC 的面积为 S＝ 1 2×(2－1)×2＝1. 答案：1 (2017·高考全国卷Ⅰ)设 x，y 满足约束条件 {x＋2y ≤ 1， 2x＋y ≥ －1， x－y ≤ 0， 则 z＝3x－2y 的最小值为 ________． 解析：画出不等式组{x＋2y ≤ 1， 2x＋y ≥ －1， x－y ≤ 0 所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线 y＝ 3 2x－ z 2过点 A 时，在 y 轴上的截距最大，此时 z 最小，由{x＋2y＝1， 2x＋y＝－1，解得 {x＝－1， y＝1. 所以 zmin＝－5. 答案：－5 　　　　　　二元一次不等式(组)表示的平 面区域 [典例引领] (1)不等式组{x ≥ 0， x＋3y ≥ 4， 3x＋y ≤ 4 所表示的平面区域的面积等于(　　) A. 3 2 B. 2 3 C. 4 3 D. 3 4 (2)若平面区域{x＋y－3 ≥ 0， 2x－y－3 ≤ 0， x－2y＋3 ≥ 0 夹在两条斜率为 1 的平行直线之间，则这两条平行直线间的 距离的最小值是(　　) A. 3 5 5 B. 2 C. 3 2 2 D. 5 【解析】　(1)不等式组所表示平面区域如图所示． 解{x＋3y＝4， 3x＋y＝4 得 A(1，1)，易得 B(0，4)，C(0， 4 3 )， |BC|＝4－ 4 3＝ 8 3. 故 S△ABC＝ 1 2× 8 3×1＝ 4 3. (2)画出平面区域表示的可行域如图阴影部分所示． 易求得 A(1，2)，B(2，1)． 因为 kAB＝－1，所以|AB|即为所求的最小距离，|AB|＝ （1－2）2＋（2－1）2＝ 2. 【答案】　(1)C　(2)B 若本例(1)中平面区域为 D，且直线 y＝a(x＋1)与 D 有公共点，求实数 a 的取值范围． 解：由例题(1)解析知，不等式组表示的可行域如图， 因为直线 y＝a(x＋1)恒过定点 C(－1，0)，由图并结合题意易知 kAC＝ 1 2，kBC＝4，所以要使 直线 y＝a(x＋1)与平面区域 D 有公共点，则 1 2≤a≤4. 二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定方法 (1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界，特殊点定域”，即先作 直线，再取特殊点并代入不等式(组)．若满足不等式(组)，则不等式(组)表示的平面区域为直 线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域； (2)当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．　 [通关练习] 1．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0 在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)大致是(　　) 解析：选 C.(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0，即 {x－2y＋1 ≥ 0， x＋y－3 ≤ 0 或{x－2y＋1 ≤ 0， x＋y－3 ≥ 0， 与选项 C 符 合．故选 C. 2．若不等式组{x－y＋5 ≥ 0， y ≥ a， 0 ≤ x ≤ 2 表示的平面区域是一个三角形，则 a 的取值范围是(　　) A．a<5 B．a≥7 C．5≤a<7 D．a<5 或 a≥7 解析：选 C.如图，当直线 y＝a 位于直线 y＝5 和 y＝7 之间(不含 y＝7)时满足条件，故选 C. 　　　　　　求线性目标函数的最值(范围)(高频考点) 线性目标函数的最值(范围)问题是每年高考的热点，题型多为选择题和填空题，难度为 中档题．高考对线性目标函数最值(范围)问题的考查有以下三个命题角度： (1)求线性目标函数的最值(范围)； (2)已知线性目标函数的最值(范围)求参数值(范围)； (3)求非线性目标函数的最值(范围)． [典例引领] 角度一　求线性目标函数的最值(范围) (2017·高考全国卷Ⅱ)设 x，y 满足约束条件{2x＋3y－3 ≤ 0， 2x－3y＋3 ≥ 0， y＋3 ≥ 0， 则 z＝2x＋y 的最小值 是(　　) A．－15 B．－9 C．1 D．9 【解析】　法一：作出不等式组{2x＋3y－3 ≤ 0， 2x－3y＋3 ≥ 0， y＋3 ≥ 0 对应的可行域，如图中阴影部分所示．易 求得可行域的顶点 A(0，1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，当直线 z＝2x＋y 过点 B(－6，－3)时， z 取得最小值，zmin＝2×(－6)－3＝－15，选择 A. 法二：易求可行域顶点 A(0，1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，分别代入目标函数，求出对应 的 z 的值依次为 1，－15，9，故最小值为－15. 【答案】　A 角度二　已知线性目标函数的最值(范围)求参数值(范围) (2018·惠州市第三次调研考试)已知 x，y 满足约束条件{x－y ≥ 0 x＋y ≤ 2 y ≥ 0 ，若 z＝ax＋y 的最 大值为 4，则 a 等于(　　) A．3 B．2 C．－2 D．－3 【解析】　不等式组{x－y ≥ 0 x＋y ≤ 2 y ≥ 0 表示的平面区域如图阴影部分所示． 易知 A(2，0)，由{x－y＝0 x＋y＝2，得 B(1，1)．由 z＝ax＋y，得 y＝－ax＋z，所以当 a＝－2 或 a＝－ 3 时，z＝ax＋y 在点 O(0，0)处取得最大值，最大值为 zmax＝0，不满足题意，排除 C，D； 当 a＝2 或 a＝3 时，z＝ax＋y 在点 A(2，0)处取得最大值，所以 2a＝4，所以 a＝2，故选 B. 【答案】　B 角度三　求非线性目标函数的最值(范围) (2018·成都市第一次诊断性检测)若实数 x，y 满足约束条件{2x＋y－4 ≤ 0 x－2y－2 ≤ 0， x－1 ≥ 0 则 y－1 x 的最小值为________． 【解析】　作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，因为 y－1 x 表示平面区域内 的点与定点 P(0，1)连线的斜率．由图知，点 P 与点 A(1，－1 2)连线的斜率最小，所以(y－1 x ) min＝kPA＝ －1 2－1 1－0 ＝－ 3 2. 【答案】　－ 3 2 线性规划两类问题的解决方法 (1)求不含参数的目标函数的最值：画出可行域后，要根据目标函数的几何意义求解，常见 的目标函数有： ①截距型：形如 z＝ax＋by；②距离型：形如 z＝ （x－a）2＋（y－b）2；③斜率型：形如 z ＝ y－b x－a.　 (2)含参数的线性规划问题：参数的位置可能在目标函数中，也可能在约束条件中，求解步 骤为：①注意对参数取值的讨论、将各种情况下的可行域画出来；②在符合题意的可行域里， 寻求最优解． [提醒]　求目标函数的最值时，易弄错目标函数的几何意义而求错．如 x2＋y2 是距离的平方， 易忽视平方而求错． [通关练习] 1．(2017·高考全国卷Ⅲ)设 x，y 满足约束条件{3x＋2y－6 ≤ 0 x ≥ 0 y ≥ 0 ，则 z＝x－y 的取值范围是(　　) A．[－3，0] B．[－3，2] C．[0，2] D．[0，3] 解析：选 B.不等式组{3x＋2y－6 ≤ 0， x ≥ 0， y ≥ 0 表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线 l0： y＝x，平移直线 l0，当直线 z＝x－y 过点 A(2，0)时，z 取得最大值 2，当直线 z＝x－y 过点 B(0，3)时，z 取得最小值－3，所以 z＝x－y 的取值范围是[－3，2]，故选 B. 2．(2018·惠州市第三次调研考试)已知实数 x，y 满足： {x＋3y＋5 ≥ 0 x＋y－1 ≤ 0， x＋a ≥ 0 若 z＝x＋2y 的最小 值为－4，则实数 a＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 解析：选 B.作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线 z＝x＋2y 经过点 C (－a， a－5 3 )时，z 取得最小值－4，所以－a＋2· a－5 3 ＝－4，解得 a＝2. 3．(2018·太原市模拟试题)已知实数 x，y 满足条件{3x＋y＋3 ≥ 0 2x－y＋2 ≤ 0， x＋2y－4 ≤ 0 则 z＝x2＋y2 的取值范围 为(　　) A．[1，13] B．[1，4] C.[4 5，13] D.[4 5，4 ] 解析：选 C.不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由此得 z＝x2＋y2 的最小值为点 O 到直线 BC：2x－y＋2＝0 的距离的平方，zmin＝ 4 5，最大值为点 O 与点 A(－2，3)的距离的平 方，zmax＝|OA|2＝13. 　　　　　　线性规划的实际应用 [典例引领] (2016·高考全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料．生 产一件产品 A 需要甲材料 1.5 kg，乙材料 1 kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg，乙材料 0.3 kg，用 3 个工时．生产一件产品 A 的利润为 2 100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元．该企业现有甲材料 150 kg，乙材料 90 kg，则在不超过 600 个工时的条件 下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为________元． 【解析】　由题意，设产品 A 生产 x 件，产品 B 生产 y 件，利润 z＝2 100x＋900y， 线性约束条件为{1.5x＋0.5y ≤ 150， x＋0.3y ≤ 90， 5x＋3y ≤ 600， x ≥ 0， y ≥ 0， 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由 x∈N，y∈N，可知取得最大值时 的最优解为(60，100)， 所以 zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 【答案】　216 000 利用线性规划解决实际问题的五步曲 　 某旅行社租用 A，B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行，A，B 两种车辆的 载客量分别为 36 人和 60 人，租金分别为 1 600 元/辆和 2 400 元/辆，旅行社要求租车总数 不超过 21 辆，且 B 型车不多于 A 型车 7 辆，则租金最少为(　　) A．31 200 元　 B．36 000 元 C．36 800 元 D．38 400 元 解析：选 C.设租用 A 型车 x 辆，B 型车 y 辆，目标函数为 z＝1 600x＋2 400y，则约束条件 为 {36x＋60y ≥ 900， x＋y ≤ 21， y－x ≤ 7， x，y ∈ N， 作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5，12)时，有最小值 z min＝36 800(元)． 利用线性规划求目标函数最值的步骤 (1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条 直线 l； (2)平移——将直线 l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置，有时需要进行直线 l 和可 行域边界的斜率的大小比较； (3)求值——解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值． 求 z＝ax＋by(ab≠0)的最值的方法 将函数 z＝ax＋by 转化为直线的斜截式：y＝－ a bx＋ z b，通过求直线的截距 z b的最值间接求出 z 的最值．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1)当 b>0 时，截距 z b取最大值时，z 也取最大值；截距 z b取最小值时，z 也取最小值； (2)当 b<0 时，截距 z b取最大值时，z 取最小值；截距 z b取最小值时，z 取最大值． 易错防范 (1)画出平面区域，避免失误的重要方法就是首先将二元一次不等式化为 ax＋by＋c>0(a>0)的 形式； (2)线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定 只有一个，也可能有无数多个，也可能没有． 1．(2018·长春模拟)不等式组{x－3y＋6 ≥ 0， x－y＋2 < 0 表示的平面区域是(　　) 解析：选 B.x－3y＋6≥0 表示直线 x－3y＋6＝0 以及该直线下方的区域，x－y＋2<0 表示直 线 x－y＋2＝0 上方的区域，故选 B. 2．二元一次不等式组{2x＋3y ≤ 12， 2x＋3y ≥ －6， 0 ≤ x ≤ 6 所表示的平面区域的面积为(　　) A．18　　　 B．24 C．36 D．12 13 解析：选 C.不等式组所表示的平面区域如图阴影部分， 四边形 ABCD 是平行四边形，由图中数据可知其面积 S＝(4＋2)×6＝36. 3．(2018·合肥市第一次教学质量检测)若实数 x，y 满足约束条件{x－1 ≥ 0 x－y ≤ 0 x＋y－6 ≤ 0 ，则 x－2y 的 最大值为(　　) A．－9 B．－3 C．－1 D．3 解析：选 C.画出可行域，如图中阴影部分所示，令 z＝x－2y，可知 z＝x－2y 在点(1，1)处 取得最大值－1，故选 C. 4．(2018·河南郑州模拟)已知实数 x，y 满足{y ≥ x＋2， x＋y ≤ 6， x ≥ 1， 则 z＝2|x－2|＋|y|的最小值是(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 解析：选 C.画出不等式组{y ≥ x＋2， x＋y ≤ 6， x ≥ 1 表示的可行域，如图阴影部分，其中 A(2，4)，B(1， 5)，C(1，3)，所以 x∈[1，2]，y∈[3，5]． 所以 z＝2|x－2|＋|y|＝－2x＋y＋4，当直线 y＝2x－4＋z 过点 A(2，4)时，直线在 y 轴上的截 距最小，此时 z 有最小值，所以 zmin＝－2×2＋4＋4＝4，故选 C. 5．(2018·河南郑州一中押题卷二)若 x，y 满足约束条件{ 3x－y＋ 3 ≥ 0， 3x＋y－ 3 ≤ 0， y ≥ 0， 则当 y＋1 x＋3取最大 值时，x＋y 的值为(　　) A．－1 B．1 C．－ 3 D. 3 解析：选 D.作出可行域如图中阴影部分所示， y＋1 x＋3的几何意义是过定点 M(－3，－1)与可行 域内的点(x，y)的直线的斜率，由图可知，当直线过点 A(0， 3)时，斜率取得最大值，此时 x，y 的值分别为 0，3，所以 x＋y＝ 3.故选 D. 6．(2017·高考全国卷Ⅲ)若 x，y 满足约束条件 {x－y ≥ 0， x＋y－2 ≤ 0， y ≥ 0， 则 z＝3x－4y 的最小值为 ________． 解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线 l：3x－4y＝0，平移直线 l，当直线 z＝3x－4y 经过点 A(1，1)时，z 取得最小值，最小值为 3－4＝－1. 答案：－1 7．(2018·广东茂名模拟)已知点 A(1，2)，点 P(x，y)满足 {x－y＋1 ≥ 0， x＋y－3 ≤ 0， x＋3y－3 ≥ 0， O 为坐标原点， 则 z＝OA→ ·OP→ 的最大值为________． 解析：由题意知 z＝OA→ ·OP→ ＝x＋2y，作出可行域如图阴影部分，作直线 l0：y＝－ 1 2x，当 l0 移到过 A(1，2)的 l 的位置时，z 取得最大值，即 zmax＝1＋2×2＝5. 答案：5 8．(2018·西安市八校联考)设实数 x，y 满足{x－y ≤ 0 x＋y ≥ 0 y ≤ a ，若 z＝x＋2y 的最大值为 3，则 a 的 值是________． 解析：依题意得 a>0，在平面直角坐标系内大致画出不等式组{x－y ≤ 0， x＋y ≥ 0， y ≤ a 表示的平面区域， 结合图形可知，直线 z＝x＋2y 经过直线 y＝a 与直线 x－y＝0 的交点，即点(a，a)时，z＝x＋ 2y 取得最大值 3，因此 a＋2a＝3，a＝1. 答案：1 9.已知 D 是以点 A(4 ，1) ，B( －1 ，－6) ，C( －3 ，2) 为顶点的三角形区 域(包括边界与内部)．如图所示． (1)写出表示区域 D 的不等式组； (2)设点 B(－1，－6)，C(－3，2)在直线 4x－3y－a＝0 的异侧，求 a 的取值范围． 解：(1)直线 AB、AC、BC 的方程分别为 7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0，4x＋y＋10＝0.原 点(0，0)在区域 D 内，故表示区域 D 的不等式组为{7x－5y－23 ≤ 0， x＋7y－11 ≤ 0， 4x＋y＋10 ≥ 0. (2)根据题意有 [4×(－1)－3×(－6)－a][4×(－3)－3×2－a]<0， 即(14－a)(－18－a)<0， 得 a 的取值范围是－181)将平 面区域Ω分成面积之比为 1∶4 的两部分，则目标函数 z＝ax＋y 的最大值为________． 解析：如图，平面区域Ω为△ABC 及其内部，作直线 x＝a(1