【数学】2019届理科一轮复习北师大版选修4－5第2节不等式的证明教案 10页

第二节 不等式的证明 [考纲传真] (教师用书独具)通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比 较法、综合法、分析法． (对应学生用书第 206 页) [基础知识填充] 1．基本不等式 定理 1：设 a，b∈R，则 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时，等号成立． 定理 2：如果 a，b 为正数，则a＋b 2 ≥ ab，当且仅当 a＝b 时，等号成立． 定理 3：如果 a，b，c 为正数，则a＋b＋c 3 ≥3 abc，当且仅当 a＝b＝c 时， 等号成立． 定理 4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果 a1，a2，…，an 为 n 个正 数，则a1＋a2＋…＋an n ≥n a1a2…an，当且仅当 a1＝a2＝…＝an 时，等号成立． 2．柯西不等式 (1)柯西不等式的代数形式：设 a，b，c，d 都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac ＋bd)2(当且仅当 ad＝bc 时，等号成立)． (2)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当 β是零向量，或存在实数 k，使α＝kβ时，等号成立． (3)柯西不等式的三角不等式：设 x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R， 则 x1－x22＋y1－y22＋ x2－x32＋y2－y32≥ x1－x32＋y1－y32. (4)柯西不等式的一般形式：设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn 是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2， 当且仅当 bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数 k，使得 ai＝kbi(i＝1,2，…， n)时，等号成立． 3．不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法等． (1)比较法： ①比差法的依据是：a－b>0⇔a>b 步骤是：“作差→变形→判断差的符 号”．变形是手段，变形的目的是判断差的符号． ②比商法：若 B>0，欲证 A≥B，只需证A B ≥1. (2)综合法与分析法： ①综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明 的不等式，这种方法叫综合法．即“由因导果”的方法． ②分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证 明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件 都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法．即“执果索 因”的方法． [基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)比较法最终要判断式子的符号得出结论．( ) (2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过 逐步推理，最后达到待证的结论．( ) (3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地 寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事 实．( ) (4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)× 2．(教材改编)若 a＞b＞1，x＝a＋1 a ，y＝b＋1 b ，则 x 与 y 的大小关系是( ) A．x＞y B．x＜y C．x≥y D．x≤y A [x－y＝a＋1 a － b＋1 b ＝a－b＋b－a ab ＝a－bab－1 ab . 由 a＞b＞1 得 ab＞1，a－b＞0， 所以a－bab－1 ab ＞0，即 x－y＞0，所以 x＞y.] 3．若 a＝ 3－ 2，b＝ 6－ 5，c＝ 7－ 6，则 a，b，c 的大小关系为( ) A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>a>b A [“分子”有理化得 a＝ 1 3＋ 2 ，b＝ 1 6＋ 5 ，c＝ 1 7＋ 6 ， 所以 a>b>c.] 4．已知 a＞0，b＞0 且 ln(a＋b)＝0，则1 a ＋1 b 的最小值是________. 【导学号：79140398】 4 [由题意得，a＋b＝1，a＞0，b＞0， 所以1 a ＋1 b ＝ 1 a ＋1 b (a＋b)＝2＋b a ＋a b ≥2＋2 b a·a b ＝4， 当且仅当 a＝b＝1 2 时等号成立．] 5．已知 x＞0，y＞0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy. [证明] 因为 x＞0，y＞0， 所以 1＋x＋y2≥33 xy2＞0,1＋x2＋y≥33 x2y＞0， 故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥33 xy2·33 x2y＝9xy. (对应学生用书第 207 页) 比较法证明不等式 已知 a＞0，b＞0，求证： a b ＋ b a ≥ a＋ b. [证明] 法一：∵ a b ＋ b a －( a＋ b) ＝ a b － b ＋ b a － a ＝a－b b ＋b－a a ＝a－b a－ b ab ＝ a＋ b a－ b2 ab ≥0， ∴ a b ＋ b a ≥ a＋ b. 法二：由于 a b ＋ b a a＋ b ＝ a a＋b b ab a＋ b ＝ a＋ ba－ ab＋b ab a＋ b ＝a＋b ab －1 ≥2 ab ab －1＝1. 又 a＞0，b＞0， ab＞0， ∴ a b ＋ b a ≥ a＋ b. [规律方法] 作差比较法证明不等式的步骤：1作差；2变形；3判断差的符 号；4下结论.其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘的形式或平方和 的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负. 注：作商比较法也有类似的步骤，但注意其比较的是两个正数的大小，且第3步 要判断商与“1”的大小. [跟踪训练] (2018·临川一中)设 a≠b，求证：a4＋6a2b2＋b4>4ab(a2＋b2)． [证明] 因为 a4＋6a2b2＋b4－4ab(a2＋b2) ＝(a2＋b2)2－4ab(a2＋b2)＋4a2b2 ＝(a2＋b2－2ab)2＝(a－b)4. 又 a≠b，所以(a－b)4>0， 所以 a4＋6a2b2＋b4>4ab(a2＋b2)． 综合法证明不等式 (2017·全国卷Ⅱ)已知 a>0，b>0，a3＋b3＝2.证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4； (2)a＋b≤2. [证明] (1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6 ＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4. (2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b) ≤2＋3a＋b2 4 (a＋b)＝2＋3a＋b3 4 ， 所以(a＋b)3≤8，因此 a＋b≤2. [规律方法] 1.综合法证明的实质是由因导果，其证明的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2 ⇒…⇒Bn⇒BA 为已知条件或数学定义、定理、公理，B 为要证结论，它的常见 书面表达式是“∵，∴”或“⇒”. 2.综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差 异与联系.合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键. [跟踪训练] 已知 a>0，b>0，a＋b＝1，求证： (1)1 a ＋1 b ＋ 1 ab ≥8； (2) 1＋1 a 1＋1 b ≥9. [证明] (1)∵a＋b＝1，a>0，b>0， ∴1 a ＋1 b ＋ 1 ab ＝1 a ＋1 b ＋a＋b ab ＝2 1 a ＋1 b ＝2 a＋b a ＋a＋b b ＝2 b a ＋a b ＋4≥4 b a·a b ＋4＝8 (当且仅当 a＝b＝1 2 时，等号成立)，∴1 a ＋1 b ＋ 1 ab ≥8. (2)∵ 1＋1 a 1＋1 b ＝1 a ＋1 b ＋ 1 ab ＋1，由(1)知1 a ＋1 b ＋ 1 ab ≥8. ∴ 1＋1 a 1＋1 b ≥9. 用分析法证明不等式 (1)设 a，b，c>0 且 ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥ 3； (2)设 x≥1，y≥1，求证 x＋y＋ 1 xy ≤1 x ＋1 y ＋xy. 【导学号：79140399】 [证明] (1)因为 a，b，c>0， 所以要证 a＋b＋c≥ 3， 只需证明(a＋b＋c)2≥3. 即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3， 而 ab＋bc＋ca＝1， 故需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)． 即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 而 ab＋bc＋ca≤a2＋b2 2 ＋b2＋c2 2 ＋c2＋a2 2 ＝a2＋b2＋c2(当且仅当 a＝b＝c 时等号成立)成立． 所以原不等式成立． (2)由于 x≥1，y≥1， 要证 x＋y＋ 1 xy ≤1 x ＋1 y ＋xy， 只需证 xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2. 因为[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1] ＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)] ＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1) ＝(xy－1)(xy－x－y＋1) ＝(xy－1)(x－1)(y－1)， 因为 x≥1，y≥1， 所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0， 从而所要证明的不等式成立． [规律方法] 分析法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式时，不要把 “逆求”错误地作为“逆推”，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是 充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要 证”“只需证”这样的连接“关键词”. [跟踪训练] (2018·广州综合测试(二))(1)已知 a＋b＋c＝1，证明：(a＋1)2＋(b＋ 1)2＋(c＋1)2≥16 3 ； (2)若对任意实数 x，不等式|x－a|＋|2x－1|≥2 恒成立，求实数 a 的取值范 围． [证明] (1)法一：因为 a＋b＋c＝1， 所以(a＋1)2＋(b＋1)2＋(c＋1)2＝a2＋b2＋c2＋2(a＋b＋c)＋3＝a2＋b2＋c2 ＋5. 所以要证(a＋1)2＋(b＋1)2＋(c＋1)2≥16 3 ， 只需证 a2＋b2＋c2≥1 3. 因为 a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca) ≥(a＋b＋c)2－2(a2＋b2＋c2)， 所以 3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2. 因为 a＋b＋c＝1，所以 a2＋b2＋c2≥1 3. 所以(a＋1)2＋(b＋1)2＋(c＋1)2≥16 3 . 法二：因为 a＋b＋c＝1， 所以(a＋1)2＋(b＋1)2＋(c＋1)2＝a2＋b2＋c2＋2(a＋b＋c)＋3＝a2＋b2＋c2 ＋5. 所以要证(a＋1)2＋(b＋1)2＋(c＋1)2≥16 3 ， 只需证 a2＋b2＋c2≥1 3. 因为 a2＋1 9 ≥2 3a，b2＋1 9 ≥2 3b，c2＋1 9 ≥2 3c， 所以 a2＋b2＋c2＋1 3 ≥2 3(a＋b＋c)． 因为 a＋b＋c＝1，所以 a2＋b2＋c2≥1 3. 所以(a＋1)2＋(b＋1)2＋(c＋1)2≥16 3 . 法三：因为(a＋1)2＋16 9 ≥8 3(a＋1)， (b＋1)2＋16 9 ≥8 3(b＋1)， (c＋1)2＋16 9 ≥8 3(c＋1)， 所以(a＋1)2＋(b＋1)2＋(c＋1)2＋16 3 ≥8 3[(a＋1)＋(b＋1)＋(c＋1)]． 因为 a＋b＋c＝1， 所以(a＋1)2＋(b＋1)2＋(c＋1)2≥16 3 . (2)设 f(x)＝|x－a|＋|2x－1|， 则“对任意实数 x，不等式|x－a|＋|2x－1|≥2 恒成立”等价于“f(x)min≥2”． 当 a<1 2 时，f(x)＝ －3x＋a＋1，x1 2. 此时 f(x)min＝f 1 2 ＝1 2 －a， 要使|x－a|＋|2x－1|≥2 恒成立，必须1 2 －a≥2， 解得 a≤－3 2. 当 a＝1 2 时，f(x)＝|x－1 2|＋|2x－1|＝3|x－1 2|≥2，即|x－1 2|≥2 3 不可能恒成立． 当 a>1 2 时，f(x)＝ －3x＋a＋1，x<1 2 ， x＋a－1，1 2 ≤x≤a， 3x－a－1，x>a. 此时 f(x)min＝f 1 2 ＝a－1 2 ， 要使|x－a|＋|2x－1|≥2 恒成立，必须 a－1 2 ≥2， 解得 a≥5 2. 综上所述，实数 a 的取值范围为 －∞，－3 2 ∪ 5 2 ，＋∞ . 柯西不等式的应用 已知 x，y，z 均为实数． (1)若 x＋y＋z＝1，求证： 3x＋1＋ 3y＋2＋ 3z＋3≤3 3； (2)若 x＋2y＋3z＝6，求 x2＋y2＋z2 的最小值． [解] (1)证明：因为( 3x＋1＋ 3y＋2＋ 3z＋3)2≤(12＋12＋12)(3x＋1＋ 3y＋2＋3z＋3)＝27. 所以 3x＋1＋ 3y＋2＋ 3z＋3≤3 3. 当且仅当 x＝2 3 ，y＝1 3 ，z＝0 时取等号． (2)因为 6＝x＋2y＋3z≤ x2＋y2＋z2· 1＋4＋9， 所以 x2＋y2＋z2≥18 7 ，当且仅当 x＝y 2 ＝z 3 ，即 x＝3 7 ，y＝6 7 ，z＝9 7 时，x2＋y2＋ z2 有最小值18 7 . [规律方法] 1.使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式， 当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进 行证明. 2.利用柯西不等式求最值的一般结构为：a21＋a22＋…＋a2n 1 a21 ＋ 1 a22 ＋…＋ 1 a2n ≥1 ＋1＋…＋12＝n2.在使用柯西不等式时，要注意右边常数且应注意等号成立的条 件. [跟踪训练] (2017·江苏高考)已知 a，b，c，d 为实数，且 a2＋b2＝4，c2＋d2＝16， 证明：ac＋bd≤8. [证明] 由柯西不等式，得(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)． 因为 a2＋b2＝4，c2＋d2＝16， 所以(ac＋bd)2≤64， 因此 ac＋bd≤8.