江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高三上学期12月测试数学试题 15页

江苏省海安高级中学 2020 年 12 月数学学科测试试卷 参考公式： 1.随机变量 X 的方差  2 1 ( ) n i i i D X x p    ，其中  为随机变量 X 的数学期望. 2.球的体积公式： 34 3V R . 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给岀的四个选项中，只有一项是符合题目 要求. 1.已知集合 { 4 2}M x x   ∣ ，  2 5 6 0N x x x   ∣ ，则 M N  （ ） A.{ 1 2}x x  ∣ B.{ 4 2}x x  ∣ C.{ 4 6}x x  ∣ D.{ 2 6}x x ∣ 2.若 2z i  ，则 2 2z z  （ ） A.0 B. 5 C. 2 D. 13 3.已知 ,a bR ，下列四个条件中，使 a b 成立的充分不必要的条件是（ ） A. 1a b  B. 1a b  C. 2 2a b D. 3 3a b 4.赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元 222 年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方 程”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图是一张弦 图，已知大正方形的面积为 25，小正方形的面积为 1，若直角三角形较小的锐角为 ，则 tan 2 的值为（ ） A. 3 4 B. 24 25 C.12 7 D. 24 7 5.函数 ln | |( ) xf x x x   的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6.已知随机变量 X 的概率分布如表所示. X -1 a 1 P 1 6 1 3 1 2 当 a 在 ( 1,1) 内增大时，方差 ( )D X 的变化为（ ） A.增大 B.减小 C.先增大再減小 D.先减小再增大 7.在平行四边形 ABCD 中，M，N 分别为 AB，AD 上的点，连接 AC，MN 交于点 P.已知 1 3AP AC  且 3 4AM AB  ，若 AN AD  ，则实数  的值为（ ） A. 1 2 B. 3 5 C. 2 3 D. 3 4 8.三棱锥 A BCD 中， 60ABC CBD DBA       ， 2BC BD  ， ACD△ 的面积为 11 ，则此 三棱锥外接球的体积为（ ） A.16 B. 4 C.16 3  D. 32 3  二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题绐出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9.某城市为了解景区游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2020 年 2 月至 7 月 A，B 两 景区旅游人数（单位：万人），得到如下的折线图，则下列说法正确的是（ ） A.根据 A 景区的旅游人数折线图可知，该景区旅游人数的平均值在[34,35]内 B.根据 B 景区的旅游人数折线图可知，该景区旅游人数总体呈上升趋势 C.根据 A，B 两景区的旅游人数的折线图，可得 A 景区旅游人数极差比 B 景区大 D.根据 A，B 两景区的旅游人数的折线图，可得 B 景区 7 月份的旅游人数比 A 景区多 10.已知 F 为抛物线 2 2 ( 0)y px p  的焦点，过点 F 且斜率为 3 的直线 l 交抛物线于 A、B 两点（点 A 第 一象限），交拋物线的准线于点 C，则下列结论正确的是（ ） A. AF FC  B.| | 2 | |AF BF C.| | 3AB p D.以 AF 为直径的圆与 y 轴相切 11.下列命题正确的有( ) A.若 a b c  ， 0ac  ，则   0bc a c  B.若 0x  ， 0y  ， 2x y  ，则 2 2x y 的最大值为 4 C.若 0x  ， 0y  ， x y xy  ，则 2x y xy  的最小值为5 2 6 D.若实数 2a  ，则 1 2log ( 2) 1a aa a    12.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布 劳威尔（L.E.Brouwer）简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数 ( )f x ，存在一个点 0x ，使得  0 0f x x ， 那么我们称该函数为“不动点”函数，而称 0x 为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的 是（ ） A.函数 ( ) sinf x x 有 3 个不动点 B.函数 2( ) ( 0)f x ax bx c a    至多有两个不动点 C.若定义在 R 上的奇函数 ( )f x ，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数 D.若函数 ( ) xf x e x a   在区间[0,1] 上存在不动点，则实数 a 满足 l a e  （e 为自然对数的底数） 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.已知数列 na ， nb 满足 2log ,n nb a n N   ，其中 nb 是等差数列且 10 2011 2a a  ，则 1 2 2020b b b   ______. 14.双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的一条渐近线与圆 2 2:( 3) 8M x y   相交于 A、B 两点， | | 2 2AB  ，则双曲线的离心率等于______. 15.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三 角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体 P ABC 为鳖臑， PA  平面 ABC， AB BC ，且 1PA AB  ， 2BC  ，则二面角 A PC B  的正弦值为______. 16.函数 ( ) sin( ) 0,| | 2f x x           ，已知 ,06     为 ( )f x 图象的一个对称中心，直线 13 12x  为 ( )f x 图象的一条对称轴，且 ( )f x 在 13 19,12 12       上单调递减.记满足条件的所有 的值的和为 S，则 S 的 值为______. 四、解笞题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.. 17.在① 2cos2 2cos 12 BB   ；② 2 sin tanb A a B ；③ ( )sin sin( ) sina c A c A B b B    这三个条件 中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答. 已知 ABC△ 的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若______， （1）求角 B 的大小； （2）若 4a c  ，求 ABC△ 的最小值. 注：如果选择多个条件分別解答，按第一个解答计分. 18.已知数列 na 中， 1 1a  ，其前 n 项的和为 nS ，且满足 22 ( 2)2 1 n n n Sa nS   . （1）求证：数列 1 nS       是等差数列； （2）设 1 n n b S  ，  2 1 1n n n n bc b b    ，求数列 nc 的前 n 项和 nT . 19.如图，在三棱锥 P ABC 中， 2AB BC  ， 2PA PB PC AC    . （1）证明：平面 PAC  平面 ABC； （2）点 M 在棱 BC 上，且 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为 3 4 ，求 BM. 20.某校高三年级举行班小组投篮比赛，小组是以班级为单位，每小组均由 1 名男生和 2 名女生组成.比赛中 每人投篮 n 次 *n N ，每人每次投篮及相互之间投篮都是相互独立的.已知女生投篮命中的概率均为 1 3 . 男生投篮命中的概率均为 2 3 . （1）当 2n  时，求小组共投中 4 次的概率； （2）当 n l 时，若三人都投中小组获得 30 分，投中 2 次小组获得 20 分，投中 1 次小组获得 10 分，三人 都不中，小组减去 60 分，随机变量 X 表示小组总分，求随机变量 X 的分布列及数学期望. 21.在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的长轴长为 4，离心率为 3 2 ，左右顶点 为 A，B，斜率存在的直线 l 与椭圆交于 M，N 两点（M 在 x 轴上方，N 在 x 轴下方），记直线 MA，NB 的斜 率分别为 1k ， 2k . （1）求椭圆的标准方程； （2）若 2 13k k ，证明：直线 MN 过定点，并求出该定点坐标. 22.已知函数 ( ) 1xf x e  ， ( ) sing x x . （1）判断 ( ) ( ) ( )F x f x g x  在 [0, )x  上零点的个数； （2）当 [0, ]x  时， ( ) ( )( )f x ag x a R  恒成立，求实数 a 的取值范围. 江苏省海安高级中学 2020 年 12 月数学学科测试试卷答案 一、单项选择题：本题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分.在每小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要 求. 1.【答案】C 2.【答案】B 3.【答案】A 4.【答案】D 5.【答案】A 6.【答案】D 7.【答案】B 解： 3 4AM AB  ，则 4 3AB AM  AN AD  ，则 1AD AN  1 1 4 1( )3 3 9 3AP AC AB AD AM AN          ∵P，M，N 共线，∴ 4 1 19 3  ，∴ 3 5   ，选 B. 8.【答案】D 解：取 CD 中点 E，连接 AE，BE，∵ ABC ABD   ∴A 在底面 BCD 上的锤子数学射影落在 CBD 的平分线上 由 AB AB ABC ABD ABC ABD BC BD        △ ≌△ ，∴ AC AD ∴ AE CD ，∵ 11ACDS △ ， 2CD  ，∴ 2 112 AE  ， 11AE  ， ∴ 2 3AD  设 AB x ，在 ABD△ 中，由余弦定理 2 14 2 2 12 42x x x        ，即 4AB  ， 3BE  ， 1cos 33 AEB   ，过 A 作 AM BE 交其延长线于 M， ∴ 1 311 333 EM    ， 1 4 611 3 3AM    在 BE 上取一点 G 使 2 3BG BE ，∴G 为 BCD△ 的锤子数学中心也为外心 过 G 作GH  底面 BCD，∴O 在直线 GH，设OG t 由 2 2 2 22 3 4 6 2 3 2 6 3 3 3 3OA OB t t t                             ∴ 2 2 2 2 3 2 6 43 3R                ， 2R  ， 34 3223 3V     ，选 D. 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给岀的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9.【答案】ABD 10.【答案】AD 11.【答案】ACD 解： a b c  ， 0ac  ，则 a，b，c 同号，∴ 0bc  0a c  ，∴   0bc a c  ，A 正确 22 2 2 2 2 2 2 4x y x y     当且仅当 1x y  时取“=”，即 min 2 2 4x y  ，B 错误 x y xy  ，则 1 yx y   2 21 1 1 12 2 2( 1) 21 1 1 1 y y y yx y xy y yy y y y                 1 1 2 21 2( 1) 2 1 2( 1) 4 3( 1) 5 2 6 61 1 1 1y y y y yy y y y                       ，C 正确 另一解法 x y xy  可得 1 1 1x y   1 1 2 32 2 2 3 (2 3 ) 2 3 5 2 6x yx y xy x y x y x y x y x y y x                     要锤子数学比较 1log ( 2)a a  与 2 1 a a   大小，即比较 ln( 2) ln( 1) a a   与 2 1 a a   大小，即比较 ln( 2) 2 a a   与 ln( 1) 1 a a   大小 令 ln( ) xf x x  ， 2 1 ln( ) 0xf x x    ， x e ( )f x 在 (0, )e  ， ( , )e   2a  ，∴ 1a  ， 2a e  ，∴ ( 1) ( 2)f a f a   ，即 ln( 1) ln( 2) 1 2 a a a a    ∴ 2 ln( 2) 1 ln( 1) a a a a    ，D 正确. 12.【答案】BCD 解：令 ( ) sing x x x  ， ( ) 1 cos 0g x x    ( )g x 在 R 上单调增， (0) 0g  ∴ ( )g x 在 R 有且仅有一个零点 即 ( )f x 有且仅有一个“不动点”，A 错误 ∵ 2 0ax bx c x    至多有两个根，∴ ( )f x 至多有两个“不动点”，B 正确 ( )f x 为定义在 R 上的奇函数，则 ( ) -y f x x 为定义在 R 上的奇函数 0x  是 y 的一个“不动点”，其它的“不动点”都锤子数学关于原点对称，个数和为偶数 ∴一定有奇数个“不动点”，C 正确 ( )f x 在[0,1] 存在“不动点”，则 ( )f x x 在[0,1] 有解 则 2xa e x x   在[0,1] 有解，令 2( ) xm x e x x   ( ) 1 2xm x e x    ，令 ( ) 1 2xn x e x    ， ( ) 2 0xn x e    ， ln 2x  ( )n x 在 (0,ln 2) ， (ln 2,1)  ∴ max( ) (ln 2) 2 1 2ln 2 3 2ln 2 0n x n       ∴ ( ) 0m x  在[0,1] 恒成立，∴ ( )m x 在[0,1]  min( ) (0) 1m x m  ， max( ) (1)m x m e  ∴1 a e  ，D 正确. 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.【答案】1010 14.【答案】 3 15.【答案】 6 3 解：如图补成一个长方体，建系 (0,0,0)A ， (1,0,0)B ， (0,0,1)P ， (1, 2,0)C 设平面 APC 的锤子数学法向量为  1 1 1 1, ,n x y z 1 1 0 0 n AC n AP          ，∴ 1 1 1 0 2 0 z x y    不妨设 1 1y  ，则 1 2x   ， 1 ( 2,1,0)n   设平面 PBC 的法向量为  2 2 2 2, ,n x y z 2 2 0 0 n BC n PB          ，∴ 2 2 2 0 0 y x y     不妨设 2 1x  ，则 2 1z  ， 2 0y  ， 2 (1,0,1)n  设 A PB B  为 ，则 1 2 1 2 1 2 2 3cos cos , 33 2 n nn n n n            ， 6sin 3   . 16.【答案】12 5 解：由题意知 13 12 6 4 T kT    或 13 3 ,12 6 4 T kT k Z     ∴ 5 1 2 4 4 k         或 5 3 2 4 4 k         ∴ 2 (1 4 )5 k   或 2 (3 4 ),5 k k Z    ∵ ( )f x 在 13 19,12 12       上单调递减，∴19 13 12 12 2 T   ∴ 1 2 22 2       ①当 2 (1 4 )5 k   时，取 0k  知 2 5   此时 2( ) sin 5 15f x x      ，当 13 19,12 12x       时， 2 7,5 15 2 10x         满足 ( )f x 在 13 19,12 12       上单调递减，∴ 2 5   符合 取 1k  时， 2  ，此时 ( ) sin 2 3f x x      ，当 13 19,12 12x       时， 5 72 ,3 2 2x        满足 ( )f x 在 锤子数学 13 19,12 12       上单调递减，∴ 2  符合 当 1k   时， 0  ，舍去，当 2k  时， 2  也舍去 ②当 2 (3 4 )5 k   时，取 0k  知 6 5   此时 6( ) sin 5 5f x x      ，当 13 19,12 12x       时， 6 3 21,5 5 2 10x         ，此时 ( )f x 锤子数学在 13 19,12 12       上单调递增了，舍去 当 1k   时， 0  ，舍去，当 1k  时， 2  也舍去 综上： 2 5   或 2， 2 1225 5S    . 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解：选① （1）∵ 2cos2 2cos 12 BB   ，∴ 22cos cos 1 0B B   ， 1cos 2B  ， 3B  . （2） 2 2 212 2a c ac b    ，∴ 2 2 2( ) 3 16 3 16 3 42 a cb a c ac ac            ∴ 2b  ，当且仅当 2a c  时取“=” ∴ ABC△ 周长为 4 6a b c b     ，即 ABC△ 周长锤子数学的最小值为 6. 18.解：（1）∵ 22 ( 2)2 1 n n n Sa nS   ，∴ 2 1 2 2 1 n n n n SS S S   ∴ 1 1 1 1 12 2n n n n n n S S S S S S        ∴ 1 nS       是首项为 1，公差为 2 的等差数列. （2）由（1）知 1 1 2( 1) 2 1 n n nS      ，∴ 2 1nb n  ∴ 2 24 4 1 1 1 1 11(2 1)(2 1) (2 1)(2 1) 2 2 1 2 1n n nc n n n n n n                ∴ 1 1 1 1 1 1 1 11 12 3 3 5 2 1 2 1 2 2 1 2 1n nT n n nn n n n                         . 19.解：（1）证明：取 AC 中点 E，连接 PE，BE ∵ 2PA PC AC   ，∴ PE AC 且 3PE  ∵ 2AB BC  ，∴ 2 2 24AB BC AC   ，∴ ABC△ 为 Rt△ 且 90ABC   ∴ 1 12BE AC  ，∴ 2 2 24PE BE PB   ，∴ PE BE ∵ AC BE E ，∴ PE  平面 ABC ∵ PE  平面 PAC，∴平面 PAC  平面 ABC. （2）法一：设 BM x ，∴ 2 2AM x  ， 2 224 2 2 2 44PM x x x x        ∴ 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2cos 2 2 2 4 2 2 2 4 x x x x xPAM x x x                ∴ 2 2 2 2 2 2 2 7 2 2 4sin 1 8 8 6 x x x xPAM x y x         ∴ 2 2 2 2 1 7 2 2 4 22 2 7 2 2 142 42 2 2PAM x xS x x x x          △ ( 2 ) 2 2 2 2 2AMC x xS   △ 设 C 到平面 PAM 的锤子数学距离为 h，PC 与平面 PAM 所成角为 由 1 1 33 3C PAM P AMC PAM AMCV V S h S     △ △ ∴ 22 2 27 2 2 14 34 2 xx x h      ，∵ 3sin 2 4 h   ，∴ 3 2h  ∴ 22 3 3 27 2 2 14 (2 2 )4 2 2 3x x x x        或 3 2x  ， ∵ 0 2x  ，∴ 2 3x  即 2 3BM  . （2）法二：如图建立锤子数学空间直角坐标系，∴ (0,0, 3)P ， (1,0,0)B ， (0, 1,0)A  ， (0,1,0)C 设 ( ,1 ,0)M x x ， 0 1x  ，∴ (0, 1, 3)PA    ， ( ,2 ,0)AM x x  设平面 PAM 的法向量  0 0 0, ,n x y z ∴ 0 0 0 0 0 0 0 3(2 ) 0 3 0 3 (2 ) 00 1 xx xn PA y z y x x y xn AM z                          ∴ 3(2 ) , 3,1xn x        设 PC 与平面 PAM 所成角为 ， PC  与 n 所成角为 ， (0,1, 3)PC   ∴ 2 2 2 3 3 2sin | cos | 4 3| | | | 3(2 )2 4 PC n x PC n x x                ∴ 2 1, ,03 3M      ，此时 2 21 1 2 3 3 3BM             . 20.解：（1）①男生投中 2 次，女生投中 2 次概率为 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 43 3 3 3 3 3 3 3C                              32 64 96 32 729 729 729 243     ②男生投中 1 次，女生投中 3 次的概率为 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 3223 3 3 3 3 729C C           ③男生投中 0 次，女生投中 4 次的概率为 2 2 21 1 1 1 3 3 3 729                   ∴共投中 4 次的锤子数学概率为 32 32 1 43 243 729 729 243P     . （2） 22 1 2( 30) 3 3 27P X        ， 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 8 1 1( 20) 3 3 3 3 3 27 27 3P X C C               2 1 2 2 2 1 1 2 4( 10) 3 3 3 3 3 9P X C           21 2 4( 60) 3 3 27P X         ∴X 的分布列如下 X 30 20 10 -60 P 2 27 1 3 4 9 4 27 ∴ 2 1 4 4 40( ) 30 20 10 6027 3 9 27 9E X          . 21.解：（1）由题意知 2 2 2 2 4 23 12 a ac ba a b c          ∴椭圆的标准方程为 2 2 14 x y  . （2）∵ 1 4MA MBk k   ，即 1 1 4BMk k   又∵ 2 13k k ，∴ 2 1 3 4BM k k   ， 3 4NB MBk k   设直线 MN 的锤子数学方程为 y kx m  ，  1 1,M x y ，  2 2,N x y ， (2,0)B  2 2 2 2 2 2 4 2 44 4 y kx m x k x kmx mx y           2 2 21 4 8 4 4 0k x kmx m     0  ， 1 2 2 2 1 2 2 8 1 4 4 4 1 4 kmx x k mx x k         ，∴ 2 1 1 1 3 2 2 4 y y x x     ∴     1 2 1 2 1 24 3 2 4 0kx m kx m x x x x            2 2 1 2 1 24 3 (4 6) 4 12 0k x x km x x m         2 2 2 2 2 4 4 84 3 (4 6) 4 12 01 4 1 4 m kmk km mk k           2 22 3 0k m km   ，∴ (2 )( ) 0k m k m   ∴ 2m k  或 m k  但当 2m k  时，  2 2y kx m kx k k x      ，直线 MN 恒过 (2,0) M，N 有一点与 B 重合了，舍去 ∴ m k  ，∴  1y kx m k x    ，直线 MN 恒过定点 (1,0) . 22.解：（1） ( ) 1 sin sinxF x e x x x     令 ( ) sinx x x   ，∴ ( ) 1 cos 0x x    ∴ ( )x 在[0, ) 上锤子数学单调递增，故 ( ) (0) 0x   ，∴ ( ) 0F x  当且仅当 0x  时取“=”，∴ ( ) ( ) ( )F x f x g x  在 [0, )x  上只有一个零点. （2） 1 sin 0xe a x   在[0, ] 上恒成立，令 ( ) 1 sinxG x e a x   ， ( ) cosxG x e a x   注意到 (0) 0G  ，∴ ( ) (0)G x G 在[0, ] 上恒成立 首先有 (0) 1 0 1G a a      （必要性） 当 1a  时， ( ) 1 sin 1 sin 0x xG x e a x e x       符合题意 综上：实数 a 的锤子数学取值范围为 ( ,1] .