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- 2021-06-16 发布
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2020年高考模拟高考数学模拟试卷(理科)(3月份)
一、选择题
1.若全集,,则( )
A. B. 或 C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】
计算得到,再计算补集得到答案.
【详解】,,∴或.
故选:B.
【点睛】本题考查了补集的计算,属于简单题.
2.设复数,且为纯虚数,则 ( )
A. -1 B. 1 C. 2 D. -2
【答案】D
【解析】
为纯虚数,,解得,故选D.
3.蟋蟀鸣叫声可以说是大自然的音乐,殊不知蟋蟀鸣叫的频率(每分钟鸣叫的次数)与气温(单位:℃)有着很大的关系.某观测人员根据下列表格中的观测数据计算出关于的线性回归方程,那么下表中的值为( )
(℃)
38
41
42
39
(次数/分钟)
29
44
36
A. B. C. D.
- 23 -
【答案】B
【解析】
【分析】
计算,,代入回归方程计算得到答案.
【详解】计算,,
代入与的线性回归方程中,得,解得.
故选:B.
【点睛】本题考查了根据回归方程求参数,意在考查学生的计算能力和应用能力.
4.若执行如图所示的程序框图,则输出的值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据程序框图依次计算,找出规律:的值成周期为的间隔存在,得到答案.
- 23 -
【详解】由程序框图可得第一次:,,
第二次,,,不满足退出循环的条件;
第三次,,,不满足退出循环的条件;
第四次,,,不满足退出循环的条件;
第五次,,,不满足退出循环的条件;
第六次,,,不满足退出循环的条件;
…
观察可知的值成周期为的间隔存在,
第次,,,满足退出循环的条件;
第次,,,满足退出循环的条件;
故输出值为,
故选:D.
【点睛】本题考查了程序框图,意在考查学生的计算能力和理解能力,找出周期规律是解题的关键.
5.若双曲线的一条渐近线与直线垂直,则此双曲线的实轴长为( )
A. 2 B. 4 C. 18 D. 36
【答案】C
【解析】
分析:由双曲线的方程,求解其中一条渐近线方程,利用题设垂直,求得,即可得到双曲线的实轴长.
详解:由双曲线的方程,可得一条渐近线的方程为,
所以,解得,所以双曲线的实轴长为,故选C.
点睛:本题主要考查了双曲线的标准方程及其几何性质的应用,其中熟记双曲线的几何性质是解答的关键,着重考查了学生的推理与运算能力.
6.已知,,则( )
- 23 -
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
计算,再根据计算得到答案.
【详解】因为,,所以,
所以
故选:A.
【点睛】本题考查了三角恒等变换,变换是解题的关键,意在考查学生的计算能力.
7.若函数的图象关于点对称,则的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
化简得到,根据对称中心得到,,解得答案.
【详解】函数,其图象关于点对称,
则,;解得,,
又,所以时,取得最小值是.
故选:A.
- 23 -
【点睛】本题考查了根据三角函数的中心对称求参数,意在考查学生对于三角函数性质的灵活运用.
8.函数的大致图象为( )
A. B.
- 23 -
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
当时,,当时,,故排除ABC,得到答案.
【详解】当时,,当时,,故排除ABC.
故选:D.
【点睛】本题考查了函数图像的识别,取特殊值排除选项可以快速得到答案,是解题的关键.
- 23 -
9.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有阳马,广五尺,袤七尺,高八尺,问积几何?“其意思为:“今有底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,它的底面长、宽分别为尺和尺,高为尺,问它的体积是多少?”若以上的条件不变,则这个四棱锥的体积为( )
A. 立方尺 B. 立方尺 C. 立方尺 D. 立方尺
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用体积公式计算得到答案.
【详解】由题意可得:这个四棱锥的体积立方尺,
故选:C.
【点睛】本题考查了四棱锥的体积计算,意在考查学生的理解能力和计算能力.
10.已知实数满足不等式组若当且仅当,时,取得最大值,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
画出可行域和目标函数,根据图像得到答案.
【详解】由题意作出其平面区域,将化为,相当于直线的纵截距,
则由图可知,当且仅当,时,取得最大值,
即目标函数取得最大值时的唯一最优解是,则,
故选:.
- 23 -
【点睛】本题考查了根据线性规划最值点求参数范围,画出图像是解题的关键.
11.已知均为正实数,若,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
画出函数,,,的图像,根据图像得到答案.
【详解】,,,
利用函数,,,,
如图所示:由图象可得:,
- 23 -
故选:C.
【点睛】本题考查了比较方程的解的大小关系,画出函数图像是解题的关键.
12.已知是椭圆:的左焦点,为上一点,,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析:根据椭圆的定义和三角形两边之和大于第三边,转化为
,即可求解其最小值.
详解:设椭圆的右焦点为,
由,则,
根据椭圆的定义可得,
所以
点睛:本题主要考查了椭圆的定义的应用,其中根据椭圆的定义和三角形三边的关系是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力.
二、填空题
13.已知向量,,若,则______.
- 23 -
【答案】
【解析】
【分析】
根据得到,得到,计算模长得到答案.
【详解】根据题意,向量,,,则,解得,
则,则;
故答案为:.
【点睛】本题考查了根据向量垂直求参数,向量的模,意在考查学生的计算能力.
14.已知甲、乙、丙、丁、戊五名同学全部分到两个班级,若甲必须在班,且每班至少有这五名中的人,则不同的分配方案有______种.
【答案】10
【解析】
【分析】
将人分为人数为、两组,有种分法,将甲所在的组安排到班,剩下的组安排到班,有种情况,得到答案.
【详解】根据题意,分步进行分析:
①将人分为人数为、的两组,有种分法,
②将甲所在的组安排到班,剩下的组安排到班,有种情况,
则有种不同的安排方法.
故答案:.
【点睛】本题了分步乘法原理,意在考查学生的应用能力.
15.已知正三棱锥的底面边长为,侧棱长为,则该正三棱锥内切球的表面积为__________.
- 23 -
【答案】.
【解析】
【分析】
作出对应的图像,设圆心,再利用内切圆的性质,根据直角三角形中的长度关系即可内切圆的半径.进而求得表面积.
【详解】如图,是底面的重心,则内切球球心在上,与到的距离都是内切球的半径.
其中,,所以.设内切圆的半径为.由,得.即,解得.所以内切球的表面积为.
故答案为:
【点睛】本题主要考查了内切圆的性质与计算,需要根据立体几何中的相似与比例关系列式求解.属于中等题型.
16.已知在锐角中,角的对边分别为,若,则的最小值为__________.
【答案】
- 23 -
【解析】
【分析】
先用正弦定理边化角,得,再结合诱导公式和内角和代换,进而求得最值
【详解】由正弦定理可转化为,两边同时除以可得,,
即
则,
当且仅当时取到等号;
故答案为
【点睛】本题考查三角函数的化简求值,正弦定理、诱导公式的使用,基本不等式求最值,综合性强,属于中档题
三、解答题
17.已知数列的前项和,数列满足.
(1)求数列和通项公式;
(2)求数列的前项和.
【答案】(1),.(2).
【解析】
分析:(1)分类讨论和两种情况可得数列的通项公式为.则.
(2)结合(1)中的结论错位相减可得数列的前项和.
详解:(1)在中,令,得,
当时, ,所以 .
- 23 -
由于满足,所以.
因为,所以.
(2)由(1)知,所以 ,①
则 .②
①-②得
,
所以.
点睛:数列求和的方法技巧
(1)倒序相加:用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和.
(2)错位相减:用于等差数列与等比数列的积数列的求和.
(3)分组求和:用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和.
18.2019年初,某高级中学教务处为了解该高级中学学生的作文水平,从该高级中学学生某次考试成绩中按文科、理科用分层抽样方法抽取人的成绩作为样本,得到成绩频率分布直方图如图所示,,参考的文科生与理科生人数之比为,成绩(单位:分)分布在的范围内且将成绩(单位:分)分为,,,,,六个部分,规定成绩分数在分以及分以上的作文被评为“优秀作文”,成绩分数在50分以下的作文被评为“非优秀作文”.
- 23 -
(1)求实数的值;
(2)(i)完成下面列联表;
文科生/人
理科生/人
合计
优秀作文
6
______
______
非优秀作文
______
______
______
合计
______
______
400
(ii)以样本数据研究学生的作文水平,能否在犯错误的概率不超过的情况下认为获得“优秀作文”与学生的“文理科“有关?
注:,其中.
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】(1),,(2)(i)填表见解析(ii)在犯错误的概率不超过的情况下,不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关
- 23 -
【解析】
【分析】
(1)根据频率直方图得到,,解得答案.
(2)(i)计算人中文科生的数量为,理科生的数量为,完善列联表得到答案.
(2)(ii)计算,对比临界值表得到答案.
【详解】(1)由频率分布直方图可知,,
因为,所以,
解得,所以,.
即,,.
(2)(i)获奖的人数为人,
因为参考的文科生与理科生人数之比为,
所以人中文科生的数量为,理科生的数量为.
由表可知,获奖的文科生有人,所以获奖的理科生有人,
不获奖的文科生有人,不获奖的理科生有.
于是可以得到列联表如下:
文科生
理科生
合计
获奖
6
14
20
不获奖
74
306
380
合计
80
320
400
(ii)计算;
所以在犯错误的概率不超过的情况下,不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关.
- 23 -
【点睛】本题考查了频率直方图,列联表,独立性检验,意在考查学生的计算能力和应用能力.
19.如图,在正方体中,点为的中点,为的中点.
(1)证明:平面;
(2)若,求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
【分析】
(1)以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,,平面的法向量,,得到证明.
(2)计算平面的法向量,平面的法向量,计算夹角得到答案.
【详解】(1)以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,
设,则,,
,平面的法向量,
∵,平面,∴平面.
(2),,,,,
,,,,
设平面的法向量,
- 23 -
则,取,得,
设平面的法向量,
则,取得,得,
设二面角的平面角为,
则二面角的余弦值为.
、
【点睛】本题考查了线面平行,二面角,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
20.设是坐标原点,是抛物线的焦点,是该抛物线上的任意一点,当它与轴正方向的夹角为60°时,.
(1)求抛物线的方程;
(2)已知,设是该抛物线上的任意一点,是轴上的两个动点,且,当取得最大值时,求的面积.
【答案】(1) .(2)4.
【解析】
【分析】
(1)设,由抛物线的定义得,当与轴正方向的夹角60°时,,由,从而可得结果;(2)设
- 23 -
,则,所以,则,利用基本不等式、结合三角形面积公式可得结果.
【详解】(1)设,则由抛物线的定义得.
当与轴正方向的夹角60°时,,即.
又.
所以,抛物线的方程为
(2)因为所以点在线段的中垂线上,
设,则
所以
所以
当且仅当时等号成立,此时
所以.
- 23 -
点睛:解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法:一是几何意义,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决,非常巧妙;二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.
21.已知函数.
(Ⅰ)讨论函数的单调性;
(Ⅱ)若对恒成立,求的取值范围.
【答案】(1)在上单调递减,在,上单调递增;(2)的取值范围为.
【解析】
试题分析:(1)讨论函数单调性主要研究导函数大于零和小于零的不等式解集,根据题意 ,根据a的不同取值逐一讨论导函数符号即可(2)若对恒成立,显然需要转化为最值问题,设,则,当时,,或,,则,∴在上递增,从而.若,令 ,当时,;
当时,.∴综合得出结论即可
解析:(1) ,
当时,,∴在上单调递增.
当时,,故当或时,在上单调递增.
- 23 -
当时,令,得或;
令,得.
∴在上单调递减,在,上单调递增.
(2)设,则,
当时,,或,,则,
∴在上递增,从而.
此时,在上恒成立.
若,令 ,当时,;
当时,.
∴,则不合题意.
故的取值范围为.
点睛:单调性问题的解题关键是要学会对不等式解法含参的讨论,注意讨论的完整性,另外对于恒成立问题,通常是转化为最值问题求解,分析函数单调性求出最值解不等式即可
22.在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程;
(2)若,直线与曲线交于两点,求的值.
- 23 -
【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】
(1)直线直角坐标方程为,根据极坐标公式得到答案.
(2)直线的参数方程为,代入椭圆方程得到,,,计算得到答案.
【详解】(1)直线的参数方程为(为参数),转换为直角坐标方程为,转换为极坐标方程为.
曲线的极坐标方程为.转换为直角坐标方程为.
(2)把直线的参数方程转换为标准式为(为参数),
代入,得到:,所以,,
所以.
【点睛】本题考查了极坐标方程,参数方程的转化,直线的参数方程求弦长,意在考查学生的计算能力和应用能力.
23.选修4-5:不等式选讲
已知函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若,,求的取值范围.
【答案】(1);(2).
- 23 -
【解析】
【分析】
(1)把代入,分别解不等式及,求交集可得不等式的解集;(2),可对 分三种情况进行讨论,求解的取值范围.
【详解】(1)当时,因为
所以的解集为,
由,得,则,即,
解得,故不等式的解集为;
(2)当时,,
则,又,所以.
当时,,故不合题意,
当时,
当且仅当时等号成立,则,又,所以
综上:的取值范围为.
【点睛】不等式证明选讲近年来多以考查绝对值不等式为主,要能够对参数熟练进行分类讨论,或者运用绝对值不等式几何意义进行求解,当不等式两侧都含有绝对值时,对不等式两侧分别平方可以避免分类讨论,减少计算量.
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