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  • 2021-06-16 发布

贵州省凯里一中2020届高三3月模拟考试(入学诊断)数学(理科)试题 Word版含解析

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www.ks5u.com ‎2020年高考模拟高考数学模拟试卷(理科)(3月份)‎ 一、选择题 ‎1.若全集,,则( )‎ A. B. 或 C. D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算得到,再计算补集得到答案.‎ ‎【详解】,,∴或.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查了补集的计算,属于简单题.‎ ‎2.设复数,且为纯虚数,则 ( )‎ A. -1 B. 1 C. 2 D. -2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 为纯虚数,,解得,故选D.‎ ‎3.蟋蟀鸣叫声可以说是大自然的音乐,殊不知蟋蟀鸣叫的频率(每分钟鸣叫的次数)与气温(单位:℃)有着很大的关系.某观测人员根据下列表格中的观测数据计算出关于的线性回归方程,那么下表中的值为( )‎ ‎(℃)‎ ‎38‎ ‎41‎ ‎42‎ ‎39‎ ‎(次数/分钟)‎ ‎29‎ ‎44‎ ‎36‎ A. B. C. D. ‎ - 23 -‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算,,代入回归方程计算得到答案.‎ ‎【详解】计算,,‎ 代入与的线性回归方程中,得,解得.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查了根据回归方程求参数,意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎4.若执行如图所示的程序框图,则输出的值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序框图依次计算,找出规律:的值成周期为的间隔存在,得到答案.‎ - 23 -‎ ‎【详解】由程序框图可得第一次:,,‎ 第二次,,,不满足退出循环的条件;‎ 第三次,,,不满足退出循环的条件;‎ 第四次,,,不满足退出循环的条件;‎ 第五次,,,不满足退出循环的条件;‎ 第六次,,,不满足退出循环的条件;‎ ‎…‎ 观察可知的值成周期为的间隔存在,‎ 第次,,,满足退出循环的条件;‎ 第次,,,满足退出循环的条件;‎ 故输出值为,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了程序框图,意在考查学生的计算能力和理解能力,找出周期规律是解题的关键.‎ ‎5.若双曲线的一条渐近线与直线垂直,则此双曲线的实轴长为( )‎ A. 2 B. 4 C. 18 D. 36‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析:由双曲线的方程,求解其中一条渐近线方程,利用题设垂直,求得,即可得到双曲线的实轴长.‎ 详解:由双曲线的方程,可得一条渐近线的方程为,‎ 所以,解得,所以双曲线的实轴长为,故选C.‎ 点睛:本题主要考查了双曲线的标准方程及其几何性质的应用,其中熟记双曲线的几何性质是解答的关键,着重考查了学生的推理与运算能力.‎ ‎6.已知,,则( )‎ - 23 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算,再根据计算得到答案.‎ ‎【详解】因为,,所以,‎ 所以 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查了三角恒等变换,变换是解题的关键,意在考查学生的计算能力.‎ ‎7.若函数的图象关于点对称,则的最小值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得到,根据对称中心得到,,解得答案.‎ ‎【详解】函数,其图象关于点对称,‎ 则,;解得,,‎ 又,所以时,取得最小值是.‎ 故选:A.‎ - 23 -‎ ‎【点睛】本题考查了根据三角函数的中心对称求参数,意在考查学生对于三角函数性质的灵活运用.‎ ‎8.函数的大致图象为( )‎ A. B. ‎ - 23 -‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时,,当时,,故排除ABC,得到答案.‎ ‎【详解】当时,,当时,,故排除ABC.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了函数图像的识别,取特殊值排除选项可以快速得到答案,是解题的关键.‎ - 23 -‎ ‎9.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有阳马,广五尺,袤七尺,高八尺,问积几何?“其意思为:“今有底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,它的底面长、宽分别为尺和尺,高为尺,问它的体积是多少?”若以上的条件不变,则这个四棱锥的体积为( )‎ A. 立方尺 B. 立方尺 C. 立方尺 D. 立方尺 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用体积公式计算得到答案.‎ ‎【详解】由题意可得:这个四棱锥的体积立方尺,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查了四棱锥的体积计算,意在考查学生的理解能力和计算能力.‎ ‎10.已知实数满足不等式组若当且仅当,时,取得最大值,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出可行域和目标函数,根据图像得到答案.‎ ‎【详解】由题意作出其平面区域,将化为,相当于直线的纵截距,‎ 则由图可知,当且仅当,时,取得最大值,‎ 即目标函数取得最大值时的唯一最优解是,则,‎ 故选:.‎ - 23 -‎ ‎【点睛】本题考查了根据线性规划最值点求参数范围,画出图像是解题的关键.‎ ‎11.已知均为正实数,若,,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出函数,,,的图像,根据图像得到答案.‎ ‎【详解】,,,‎ 利用函数,,,,‎ 如图所示:由图象可得:,‎ - 23 -‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查了比较方程的解的大小关系,画出函数图像是解题的关键.‎ ‎12.已知是椭圆:的左焦点,为上一点,,则的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析:根据椭圆的定义和三角形两边之和大于第三边,转化为 ‎,即可求解其最小值.‎ 详解:设椭圆的右焦点为,‎ 由,则,‎ 根据椭圆的定义可得,‎ 所以 ‎ 点睛:本题主要考查了椭圆的定义的应用,其中根据椭圆的定义和三角形三边的关系是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力.‎ 二、填空题 ‎13.已知向量,,若,则______.‎ - 23 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据得到,得到,计算模长得到答案.‎ ‎【详解】根据题意,向量,,,则,解得,‎ 则,则;‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了根据向量垂直求参数,向量的模,意在考查学生的计算能力.‎ ‎14.已知甲、乙、丙、丁、戊五名同学全部分到两个班级,若甲必须在班,且每班至少有这五名中的人,则不同的分配方案有______种.‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将人分为人数为、两组,有种分法,将甲所在的组安排到班,剩下的组安排到班,有种情况,得到答案.‎ ‎【详解】根据题意,分步进行分析:‎ ‎①将人分为人数为、的两组,有种分法,‎ ‎②将甲所在的组安排到班,剩下的组安排到班,有种情况,‎ 则有种不同的安排方法.‎ 故答案:.‎ ‎【点睛】本题了分步乘法原理,意在考查学生的应用能力.‎ ‎15.已知正三棱锥的底面边长为,侧棱长为,则该正三棱锥内切球的表面积为__________.‎ - 23 -‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出对应的图像,设圆心,再利用内切圆的性质,根据直角三角形中的长度关系即可内切圆的半径.进而求得表面积.‎ ‎【详解】如图,是底面的重心,则内切球球心在上,与到的距离都是内切球的半径.‎ 其中,,所以.设内切圆的半径为.由,得.即,解得.所以内切球的表面积为.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查了内切圆的性质与计算,需要根据立体几何中的相似与比例关系列式求解.属于中等题型.‎ ‎16.已知在锐角中,角的对边分别为,若,则的最小值为__________.‎ ‎【答案】‎ - 23 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先用正弦定理边化角,得,再结合诱导公式和内角和代换,进而求得最值 ‎【详解】由正弦定理可转化为,两边同时除以可得,,‎ 即 则,‎ 当且仅当时取到等号;‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查三角函数的化简求值,正弦定理、诱导公式的使用,基本不等式求最值,综合性强,属于中档题 三、解答题 ‎17.已知数列的前项和,数列满足.‎ ‎(1)求数列和通项公式;‎ ‎(2)求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1),.(2).‎ ‎【解析】‎ 分析:(1)分类讨论和两种情况可得数列的通项公式为.则.‎ ‎(2)结合(1)中的结论错位相减可得数列的前项和.‎ 详解:(1)在中,令,得,‎ 当时, ,所以 .‎ - 23 -‎ 由于满足,所以.‎ 因为,所以.‎ ‎(2)由(1)知,所以 ,①‎ 则 .②‎ ‎①-②得 ‎ ‎ ,‎ 所以.‎ 点睛:数列求和的方法技巧 ‎(1)倒序相加:用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和.‎ ‎(2)错位相减:用于等差数列与等比数列的积数列的求和.‎ ‎(3)分组求和:用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和.‎ ‎18.2019年初,某高级中学教务处为了解该高级中学学生的作文水平,从该高级中学学生某次考试成绩中按文科、理科用分层抽样方法抽取人的成绩作为样本,得到成绩频率分布直方图如图所示,,参考的文科生与理科生人数之比为,成绩(单位:分)分布在的范围内且将成绩(单位:分)分为,,,,,六个部分,规定成绩分数在分以及分以上的作文被评为“优秀作文”,成绩分数在50分以下的作文被评为“非优秀作文”.‎ - 23 -‎ ‎(1)求实数的值;‎ ‎(2)(i)完成下面列联表;‎ 文科生/人 理科生/人 合计 优秀作文 ‎6‎ ‎______‎ ‎______‎ 非优秀作文 ‎______‎ ‎______‎ ‎______‎ 合计 ‎______‎ ‎______‎ ‎400‎ ‎(ii)以样本数据研究学生的作文水平,能否在犯错误的概率不超过的情况下认为获得“优秀作文”与学生的“文理科“有关?‎ 注:,其中.‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】(1),,(2)(i)填表见解析(ii)在犯错误的概率不超过的情况下,不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关 - 23 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据频率直方图得到,,解得答案.‎ ‎(2)(i)计算人中文科生的数量为,理科生的数量为,完善列联表得到答案.‎ ‎(2)(ii)计算,对比临界值表得到答案.‎ ‎【详解】(1)由频率分布直方图可知,,‎ 因为,所以,‎ 解得,所以,.‎ 即,,.‎ ‎(2)(i)获奖的人数为人,‎ 因为参考的文科生与理科生人数之比为,‎ 所以人中文科生的数量为,理科生的数量为.‎ 由表可知,获奖的文科生有人,所以获奖的理科生有人,‎ 不获奖的文科生有人,不获奖的理科生有.‎ 于是可以得到列联表如下:‎ 文科生 理科生 合计 获奖 ‎6‎ ‎14‎ ‎20‎ 不获奖 ‎74‎ ‎306‎ ‎380‎ 合计 ‎80‎ ‎320‎ ‎400‎ ‎(ii)计算;‎ 所以在犯错误的概率不超过的情况下,不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关.‎ - 23 -‎ ‎【点睛】本题考查了频率直方图,列联表,独立性检验,意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎19.如图,在正方体中,点为的中点,为的中点.‎ ‎(1)证明:平面;‎ ‎(2)若,求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,,平面的法向量,,得到证明.‎ ‎(2)计算平面的法向量,平面的法向量,计算夹角得到答案.‎ ‎【详解】(1)以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,‎ 设,则,,‎ ‎,平面的法向量,‎ ‎∵,平面,∴平面.‎ ‎(2),,,,,‎ ‎,,,,‎ 设平面的法向量,‎ - 23 -‎ 则,取,得,‎ 设平面的法向量,‎ 则,取得,得,‎ 设二面角的平面角为,‎ 则二面角的余弦值为.‎ ‎、‎ ‎【点睛】本题考查了线面平行,二面角,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ ‎20.设是坐标原点,是抛物线的焦点,是该抛物线上的任意一点,当它与轴正方向的夹角为60°时,.‎ ‎(1)求抛物线的方程;‎ ‎(2)已知,设是该抛物线上的任意一点,是轴上的两个动点,且,当取得最大值时,求的面积.‎ ‎【答案】(1) .(2)4.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设,由抛物线的定义得,当与轴正方向的夹角60°时,,由,从而可得结果;(2)设 - 23 -‎ ‎,则,所以,则,利用基本不等式、结合三角形面积公式可得结果.‎ ‎【详解】(1)设,则由抛物线的定义得.‎ 当与轴正方向的夹角60°时,,即.‎ 又.‎ 所以,抛物线的方程为 ‎(2)因为所以点在线段的中垂线上,‎ 设,则 所以 所以 当且仅当时等号成立,此时 所以.‎ - 23 -‎ 点睛:解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法:一是几何意义,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决,非常巧妙;二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(Ⅰ)讨论函数的单调性;‎ ‎(Ⅱ)若对恒成立,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)在上单调递减,在,上单调递增;(2)的取值范围为.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)讨论函数单调性主要研究导函数大于零和小于零的不等式解集,根据题意 ,根据a的不同取值逐一讨论导函数符号即可(2)若对恒成立,显然需要转化为最值问题,设,则,当时,,或,,则,∴在上递增,从而.若,令 ,当时,;‎ 当时,.∴综合得出结论即可 解析:(1) ,‎ 当时,,∴在上单调递增.‎ 当时,,故当或时,在上单调递增.‎ - 23 -‎ 当时,令,得或;‎ 令,得.‎ ‎∴在上单调递减,在,上单调递增.‎ ‎(2)设,则,‎ 当时,,或,,则,‎ ‎∴在上递增,从而.‎ 此时,在上恒成立.‎ 若,令 ,当时,;‎ 当时,.‎ ‎∴,则不合题意.‎ 故的取值范围为.‎ 点睛:单调性问题的解题关键是要学会对不等式解法含参的讨论,注意讨论的完整性,另外对于恒成立问题,通常是转化为最值问题求解,分析函数单调性求出最值解不等式即可 ‎22.在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程;‎ ‎(2)若,直线与曲线交于两点,求的值.‎ - 23 -‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)直线直角坐标方程为,根据极坐标公式得到答案.‎ ‎(2)直线的参数方程为,代入椭圆方程得到,,,计算得到答案.‎ ‎【详解】(1)直线的参数方程为(为参数),转换为直角坐标方程为,转换为极坐标方程为.‎ 曲线的极坐标方程为.转换为直角坐标方程为.‎ ‎(2)把直线的参数方程转换为标准式为(为参数),‎ 代入,得到:,所以,,‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查了极坐标方程,参数方程的转化,直线的参数方程求弦长,意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎23.选修4-5:不等式选讲 已知函数.‎ ‎(1)当时,求不等式的解集;‎ ‎(2)若,,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ - 23 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)把代入,分别解不等式及,求交集可得不等式的解集;(2),可对 分三种情况进行讨论,求解的取值范围.‎ ‎【详解】(1)当时,因为 所以的解集为,‎ 由,得,则,即,‎ 解得,故不等式的解集为;‎ ‎(2)当时,,‎ 则,又,所以.‎ 当时,,故不合题意,‎ 当时,‎ 当且仅当时等号成立,则,又,所以 综上:的取值范围为.‎ ‎【点睛】不等式证明选讲近年来多以考查绝对值不等式为主,要能够对参数熟练进行分类讨论,或者运用绝对值不等式几何意义进行求解,当不等式两侧都含有绝对值时,对不等式两侧分别平方可以避免分类讨论,减少计算量.‎ - 23 -‎ - 23 -‎