【数学】2020届一轮复习北师大版排序不等式学案 6页

三 排序不等式 ‎ ‎ ‎1．顺序和、乱序和、反序和 设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任一排列，称a1b1＋a2b2＋…＋anbn为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和)．称a1c1＋a2c2＋…＋ancn为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和)．‎ ‎2．排序不等式(排序原理)‎ 定理：(排序原理，又称为排序不等式)　设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任一排列，则有a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，等号成立(反序和等于顺序和)⇔a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn.‎ 排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．‎ ‎[点睛]　排序不等式也可以理解为两实数序列同向单调时，所得两两乘积之和最大；反向单调(一增一减)时，所得两两乘积之和最小．‎ ‎[例1]　已知a，b，c为正数，且a≥b≥c，求证：‎ ＋＋≥＋＋.‎ ‎[思路点拨]　分析题目中已明确a≥b≥c，所以解答本题时可直接构造两个数组，再用排序不等式证明即可．‎ ‎[证明]　∵a≥b>0，于是≤，‎ 又c>0，从而≥，‎ 同理≥，从而≥≥.‎ 又由于顺序和不小于乱序和，故可得 ＋＋≥＋＋ ‎＝＋＋ ‎≥＋＋＝＋＋＝＋＋.‎ ‎∴原不等式成立．‎ 利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．‎ ‎1．已知0<α<β<γ<，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γ·cos α>(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．‎ 证明：∵0<α<β<γ<，且y＝sin x在为增函数，y＝cos x在为减函数，‎ ‎∴0cos β>cos γ>0.‎ ‎∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α ‎>sin αcos α＋sin βcos β＋sin γcos γ ‎＝(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．‎ ‎2．设x≥1，求证：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.‎ 证明：∵x≥1，∴1≤x≤x2≤…≤xn.‎ 由排序原理得12＋x2＋x4＋…＋x2n ‎≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1‎ 即1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)xn.①‎ 又因为x，x2，…，xn,1为1，x，x2，…，xn的一个排列，‎ 由排序原理得1·x＋x·x2＋…＋xn－1·xn＋xn·1‎ ‎≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1，‎ 即x＋x3＋…＋x2n－1＋xn≥(n＋1)xn.②‎ 将①②相加得1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.‎ 用排序不等式证明不等式(对所证不等式中的字母大小顺序作出假设)‎ ‎　　[例2]　设a，b，c为正数，求证：‎ ＋＋≥a10＋b10＋c10.‎ ‎[思路点拨]　本题考查排序不等式的应用，解答本题需要搞清：题目中没有给出a，b，‎ c三个数的大小顺序，且a，b，c在不等式中的“地位”是对等的，故可以设a≥b≥c，再利用排序不等式加以证明．‎ ‎[证明]　由对称性，不妨设 a≥b≥c，于是a12≥b12≥c12，≥≥，‎ 故由排序不等式：顺序和≥乱序和，得 ＋＋≥＋＋＝＋＋.①‎ 又因为a11≥b11≥c11，≤≤.‎ 再次由排序不等式：反序和≤乱序和，得 ＋＋≤＋＋.②‎ 所以由①②得＋＋≥a10＋b10＋c10.‎ 在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．‎ ‎3．设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.‎ 证明：由题意不妨设a≥b≥c＞0，‎ 由不等式的单调性，知ab≥ac≥bc，≥≥.‎ 由排序不等式，知ab×＋ac×＋bc× ‎≥ab×＋ac×＋bc×＝a＋c＋b，‎ 即＋＋≥a＋b＋c.‎ ‎4．设a1，a2，a3为正数，求证：＋＋≥a1＋a2＋a3.‎ 证明：不妨设 a1≥a2≥a3>0，于是 ≤≤，a2a3≤a3a1≤a1a2，‎ 由排序不等式：顺序和≥乱序和得 ＋＋≥·a2a3＋·a3a1＋·a1a2‎ ‎＝a3＋a1＋a2.‎ 即＋＋≥a1＋a2＋a3.‎ ‎1．有两组数：1,2,3与10,15,20，它们的顺序和、反序和分别是(　　)‎ A．100,85　　　　　　　　 B．100,80‎ C．95,80 D．95,85‎ 解析：选B　由顺序和与反序和的定义可知顺序和为100，反序和为80.‎ ‎2．若00，‎ 则lg a≥lg b≥lg c，据排序不等式有：‎ alg a＋blg b＋clg c≥blg a＋clg b＋alg c，‎ alg a＋blg b＋clg c≥clg a＋alg b＋blg c，‎ 以上两式相加，再两边同加alg a＋blg b＋clg c，整理得 ‎3(alg a＋blg b＋clg c)≥(a＋b＋c)(lg a＋lg b＋lg c)，‎ 即lg(aabbcc)≥·lg(abc)，‎ 故aabbcc≥(abc).‎ ‎9．某学校举行投篮比赛，按规则每个班级派三人参赛，第一人投m分钟，第二人投n分钟，第三人投p分钟，某班级三名运动员A，B，C每分钟能投进的次数分别为a，b，c，已知m＞n＞p，a＞b＞c，如何派三人上场能取得最佳成绩？‎ 解：∵m＞n＞p，a＞b＞c，‎ 且由排序不等式知顺序和为最大值，‎ ‎∴最大值为ma＋nb＋pc，此时分数最高，‎ ‎∴三人上场顺序是A第一，B第二，C第三．‎ ‎10．已知00，‎ 又0