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  • 2021-06-16 发布

【数学】2020届一轮复习北师大版排序不等式学案

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三 排序不等式 ‎ ‎ ‎1.顺序和、乱序和、反序和 设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2,…,cn为b1,b2,…,bn的任一排列,称a1b1+a2b2+…+anbn为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和),称a1bn+a2bn-1+…+anb1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和).称a1c1+a2c2+…+ancn为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和).‎ ‎2.排序不等式(排序原理)‎ 定理:(排序原理,又称为排序不等式) 设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2,…,cn为b1,b2,…,bn的任一排列,则有a1bn+a2bn-1+…+anb1≤a1c1+a2c2+…+ancn≤a1b1+a2b2+…+anbn,等号成立(反序和等于顺序和)⇔a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn.‎ 排序原理可简记作:反序和≤乱序和≤顺序和.‎ ‎[点睛] 排序不等式也可以理解为两实数序列同向单调时,所得两两乘积之和最大;反向单调(一增一减)时,所得两两乘积之和最小.‎ ‎[例1] 已知a,b,c为正数,且a≥b≥c,求证:‎ ++≥++.‎ ‎[思路点拨] 分析题目中已明确a≥b≥c,所以解答本题时可直接构造两个数组,再用排序不等式证明即可.‎ ‎[证明] ∵a≥b>0,于是≤,‎ 又c>0,从而≥,‎ 同理≥,从而≥≥.‎ 又由于顺序和不小于乱序和,故可得 ++≥++ ‎=++ ‎≥++=++=++.‎ ‎∴原不等式成立.‎ 利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构,从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组.‎ ‎1.已知0<α<β<γ<,求证:sin αcos β+sin βcos γ+sin γ·cos α>(sin 2α+sin 2β+sin 2γ).‎ 证明:∵0<α<β<γ<,且y=sin x在为增函数,y=cos x在为减函数,‎ ‎∴0cos β>cos γ>0.‎ ‎∴sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α ‎>sin αcos α+sin βcos β+sin γcos γ ‎=(sin 2α+sin 2β+sin 2γ).‎ ‎2.设x≥1,求证:1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)xn.‎ 证明:∵x≥1,∴1≤x≤x2≤…≤xn.‎ 由排序原理得12+x2+x4+…+x2n ‎≥1·xn+x·xn-1+…+xn-1·x+xn·1‎ 即1+x2+x4+…+x2n≥(n+1)xn.①‎ 又因为x,x2,…,xn,1为1,x,x2,…,xn的一个排列,‎ 由排序原理得1·x+x·x2+…+xn-1·xn+xn·1‎ ‎≥1·xn+x·xn-1+…+xn-1·x+xn·1,‎ 即x+x3+…+x2n-1+xn≥(n+1)xn.②‎ 将①②相加得1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)xn.‎ 用排序不等式证明不等式(对所证不等式中的字母大小顺序作出假设)‎ ‎  [例2] 设a,b,c为正数,求证:‎ ++≥a10+b10+c10.‎ ‎[思路点拨] 本题考查排序不等式的应用,解答本题需要搞清:题目中没有给出a,b,‎ c三个数的大小顺序,且a,b,c在不等式中的“地位”是对等的,故可以设a≥b≥c,再利用排序不等式加以证明.‎ ‎[证明] 由对称性,不妨设 a≥b≥c,于是a12≥b12≥c12,≥≥,‎ 故由排序不等式:顺序和≥乱序和,得 ++≥++=++.①‎ 又因为a11≥b11≥c11,≤≤.‎ 再次由排序不等式:反序和≤乱序和,得 ++≤++.②‎ 所以由①②得++≥a10+b10+c10.‎ 在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系,对于没有给出大小关系的情况,要根据各字母在不等式中地位的对称性,限定一种大小关系.‎ ‎3.设a,b,c都是正数,求证:++≥a+b+c.‎ 证明:由题意不妨设a≥b≥c>0,‎ 由不等式的单调性,知ab≥ac≥bc,≥≥.‎ 由排序不等式,知ab×+ac×+bc× ‎≥ab×+ac×+bc×=a+c+b,‎ 即++≥a+b+c.‎ ‎4.设a1,a2,a3为正数,求证:++≥a1+a2+a3.‎ 证明:不妨设 a1≥a2≥a3>0,于是 ≤≤,a2a3≤a3a1≤a1a2,‎ 由排序不等式:顺序和≥乱序和得 ++≥·a2a3+·a3a1+·a1a2‎ ‎=a3+a1+a2.‎ 即++≥a1+a2+a3.‎ ‎1.有两组数:1,2,3与10,15,20,它们的顺序和、反序和分别是(  )‎ A.100,85         B.100,80‎ C.95,80 D.95,85‎ 解析:选B 由顺序和与反序和的定义可知顺序和为100,反序和为80.‎ ‎2.若00,‎ 则lg a≥lg b≥lg c,据排序不等式有:‎ alg a+blg b+clg c≥blg a+clg b+alg c,‎ alg a+blg b+clg c≥clg a+alg b+blg c,‎ 以上两式相加,再两边同加alg a+blg b+clg c,整理得 ‎3(alg a+blg b+clg c)≥(a+b+c)(lg a+lg b+lg c),‎ 即lg(aabbcc)≥·lg(abc),‎ 故aabbcc≥(abc).‎ ‎9.某学校举行投篮比赛,按规则每个班级派三人参赛,第一人投m分钟,第二人投n分钟,第三人投p分钟,某班级三名运动员A,B,C每分钟能投进的次数分别为a,b,c,已知m>n>p,a>b>c,如何派三人上场能取得最佳成绩?‎ 解:∵m>n>p,a>b>c,‎ 且由排序不等式知顺序和为最大值,‎ ‎∴最大值为ma+nb+pc,此时分数最高,‎ ‎∴三人上场顺序是A第一,B第二,C第三.‎ ‎10.已知00,‎ 又0